2.1 Geometria das Lajes e Traçado dos Cabos

Os modelos estruturais testados são compostos por um pavimento de laje, apoiada diretamente nos pilares, sem a existência de vigas, como apresentado na Figura 2. Os vãos entre pilares são todos iguais em cada modelo e variaram de 7,0 a 10,0 m, resultando em quatro modelos estruturais, com vãos de 7,0 m x 7,0 m até 10,0 x 10,0 m, variando de metro em metro, sendo os modelos nomeados de M7, M8, M9 e M10.

Os modelos estruturais apresentam espessuras de lajes diferentes, definidas aproximadamente pela relação L/42 (ACI 318, 2019), onde L é o vão da laje. Na Tabela 1 são apresentados os modelos estruturais, com suas nomenclaturas, vãos entre pilares e as espessuras para cada uma das lajes.

O traçado dos cabos de protensão seguiu a premissa de dispor as faixas de cordoalhas concentradas na maior dimensão da laje (direção x) e, cordoalhas distribuídas na direção perpendicular (direção y), Figura 3.

Figura 2 Modelo estrutural do pavimento para as análises. 

Figura 3 Layout das cordoalhas engraxadas na laje lisa protendida. 

Analisou-se, exclusivamente, a faixa central de cordoalhas da direção x, em virtude de ser esta a faixa que concentra os maiores carregamentos e, assim, é mais influenciada pelas variações de excentricidade aplicadas em cada modelo proposto.

As variações das excentricidades foram testadas sobre os pilares (topo) e no centro dos vãos (base), de maneira isolada e também combinada, conforme o esquema da Figura 4. No primeiro caso foram reduzidas as excentricidades das cordoalhas unicamente na face superior da laje (topo), nas regiões dos pilares P6 e P7. Posteriormente, diminuiu-se a excentricidade exclusivamente nas regiões entre os apoios, na face inferior da laje (base). No terceiro caso realizou-se a análise com variações em conjunto, denominada como combinação crítica, reduzindo as excentricidades das cordoalhas simultaneamente nas regiões entre os apoios e também no topo dos pilares P6 e P7.

Figura 4 Pontos de redução da excentricidade para as lajes. 

Para cada um dos quatro modelos (Tabela 1) foram desenvolvidas quatro hipóteses de variações de excentricidades, com valores de 5 mm, 10 mm, 15 mm e 20 mm. Esses valores foram adotados no estudo em virtude de que geralmente nos projetos os pontos de apoios verticais são apresentados nesta formatação, visando viabilizar a conferência in loco. Além disso, os estudos apresentados em (^{Cauduro, 2002}) mostram valores limites de 5 mm e 10 mm de redução nas excentricidades das cordoalhas das lajes, para espessuras de lajes iguais ou maiores que as definidas neste estudo. Na Tabela 2 são apresentadas as hipóteses de variações, com suas nomenclaturas e as respectivas reduções das excentricidades.

Nas análises, o vão entre o P5 e P6 foi nomeado como “primeiro”, o vão entre o P6 e P7 recebeu a denominação “central” e, por fim, o vão entre o P7 e P8, recebeu a denominação de “último”, conforme o esquema da Figura 5.

Figura 5 Posicionamento vertical das cordoalhas na laje. 

2.2 Materiais e Parâmetros Normativos

Foi considerado um carregamento variável (sobrecarga) com o valor mínimo recomendado na (^{NBR 6120, 2019}) para salas de uso geral de edificações comerciais, igual a 2,5 kN/m². Adotou-se também um carregamento permanente de revestimento de valor igual a 1,0 kN/m². Além desses dois carregamentos, foi aplicado o peso próprio calculado em função da espessura da laje, em cada caso.

Adotou-se o valor de 2,5 cm para o cobrimento das armaduras passivas e 3,0 cm para o cobrimento das armaduras ativas. Nas modelagens adotou-se concreto classe C35, com f_ck de 35,0 MPa e módulo de elasticidade (E) de 39,7 GPa.

As cordoalhas utilizadas foram do tipo CP 190 RB (f_ptk = 1900 MPa), com diâmetro nominal de 12,7 mm e área de aço nominal 100,9 mm².

Nas análises dos modelos das lajes seguiram-se inicialmente três parâmetros fundamentais normatizados: tensão de pré-compressão mínima, tensão normal limite de tração e deslocamentos verticais máximos. Após estes critérios alcançados ajustou-se as demais considerações, como balanceamento de cargas e deslocamentos finais. Após realizadas estas primeiras análises, as lajes foram dimensionadas para o Estado-limite de Serviço (ELS) e Estado-limite Último (ELU).

A tensão de pré-compressão, em qualquer ponto da laje, teve respeitado o valor mínimo de 1,0 MPa, (ACI 318, 2019; ^{NBR 6118, 2014}). Nos modelos, no processo de pré-dimensionamento, em que a pré-compressão de 1,0 MPa não foi suficiente para atender o limite da máxima tensão normal de tração no concreto ou deslocamentos, a quantidade de cordoalhas foi aumentada, até que este parâmetro fosse alcançado.

Adotou-se, quando possível, para o parâmetro de balanceamento de cargas, resultados entre 60% a 80% da carga permanente, valores estes usuais para lajes de edifícios residenciais, comerciais e garagens, (^{Loureiro, 2006}).

Definiu-se para o dimensionamento a utilização da protensão limitada, (^{NBR 6118, 2014}). Ainda, conforme a referida norma, nos projetos com laje lisa protendida, basta ser atendido o ELS-F (Estado Limite de Serviço de Formação de Fissuras), para a combinação frequente das ações, em qualquer das classes de agressividade ambiental. O valor limite de tensão normal de compressão no concreto no ato da protensão, foi limitado em 15,75 MPa e no estado limite de formação de fissuras (ELS-F) de 21,0 MPa, (ACI 318, 2019).

A norma (^{NBR 6118, 2014}) limita os deslocamentos verticais, para a aceitabilidade sensorial, de vigas e lajes, na relação L/250 (sendo L o vão livre entre pilares). Este valor foi tomado como limite para os modelos antes da inserção de variações nas excentricidades das cordoalhas.

As armaduras passivas positivas e negativas foram calculadas para os diferentes modelos, conforme os critérios apresentados em (^{NBR 6118, 2014}). A Tabela 3 resume os parâmetros utilizados na verificação das lajes.

Após a inserção das variações de excentricidades, foram feitas as análises para confirmar quais modelos mantiveram-se atendendo a estes limites e, assim, calcular as armaduras passivas e definir a posição e o valor máximo de variação admissível da excentricidade das cordoalhas.

2.3 Análises de Dimensionamento

O dimensionamento das lajes foi realizado com o auxílio do programa Adapt Floor 2017 PRO. Este programa é específico para análise e dimensionamento de concreto protendido e discretiza a laje em elementos finitos de placa, verificando os efeitos da protensão de acordo com a geometria e força das cordoalhas, em cada elemento.

O programa permite a geração automática da malha de elementos finitos, cabendo ao usuário a definição do tamanho dos elementos desta malha. Neste trabalho foram testados dois tamanhos de dimensão máxima dos elementos. Como não foram encontradas diferenças significativas nos resultados, definiu-se utilizar para as análises uma dimensão máxima para os elementos de 500 mm de malha. A Figura 6 mostra a malha de elementos finitos para o Modelo M8.

Para as análises dos modelos das lajes foram lançadas linhas de suporte no alinhamento dos pilares. Essas linhas permitem ao programa definir “design sections”, no qual são apresentados ao usuário os valores médios das tensões na laje. Logo, essas tensões são analisadas a partir de regiões tributárias que compilam os resultados das áreas definidas pelas linhas de suporte.

A quantidade de cordoalhas, para a faixa central dimensionada, para os Modelos M7, M8, M9 e M10 foram de 10, 17, 25 e 33 unidades, respectivamente.

Figura 6 Malha de elementos finitos da laje.  

Na Figura 7 são apresentadas as tensões normais na direção “x” para as faces superior e inferior da laje, para a combinação frequente, do Modelo M8.

3.1 Tensões de pré-compressão

A Tabela 4 apresenta os resultados para os valores das tensões normais de pré-compressão nas lajes. As tensões normais de pré-compressão não variam em função da modificação da posição vertical das cordoalhas e sim em virtude da quantidade de cordoalhas e intensidade da força aplicada pelas mesmas. Uma densidade maior de cordoalhas, necessária para equilibrar os modelos com vãos maiores, resultou em valores de tensão de pré-compressão também maiores. Para o modelo M7 as tensões variaram entre 1,0 e 1,11 MPa, entre vãos. Enquanto para o modelo M10 variaram entre 1,43 e 1,60 MPa, entre vãos.

Figura 7 Tensões normais (direção x), para combinação frequente, da laje modelo M8, em MPa. 

3.2 Tensões normais máximas na laje

As tensões normais de tração na face inferior da laje (Tabela 5), para os quatro modelos, mesmo com as mudanças no posicionamento vertical das excentricidades das cordoalhas, atenderam o valor limite máximo de 3,38 MPa no ELS-F, conforme estabelecido na (^{NBR 6118, 2014}).

Nos modelos de referência, no trecho do vão central, foram encontradas tensões de compressão na face inferior da laje, devido a maior força de protensão neste trecho em relação ao primeiro e último vãos.

Ao modificar as excentricidades das cordoalhas, exclusivamente no topo dos pilares, as tensões sofrem menores variações quando comparadas com as reduções das tensões provocadas nos modelos com variações de excentricidades na base. As reduções das excentricidades, na combinação crítica, são mais desfavoráveis. Mesmo assim, em todas as hipóteses as tensões normais de tração na face inferior da laje mantiveram-se atendendo o limite de 3,38 MPa, (^{NBR 6118, 2014}). As análises das tensões na face superior encontram-se resumidas na Tabela 6. Em amarelo foram destacadas as tensões que ultrapassaram o limite normativo. A variação de excentricidade no topo dos pilares, nas hipóteses H5 foram as únicas que apresentaram resultados de tensões normais de tração na face superior atendendo o limite normativo de 3,38 MPa, (^{NBR 6118, 2014}). A redução de excentricidade na face inferior da laje gera maiores tensões normais de tração na face superior do elemento, na região do apoio (pilares), em comparação à variação da excentricidade na face superior. Os modelos M7 e M9, foram os únicos que na hipótese H5 de modificação dos valores de excentricidades do caso “Base”, tiveram seus valores de tensões normais de tração menores que 3,38 MPa.

Além disso, na combinação crítica, em nenhuma das variações de excentricidades, as tensões normais de tração obtidas foram menores que o limite normativo estabelecido de 3,38 MPa, para o ELS na combinação frequente, (^{NBR 6118, 2014}).

3.3 Deslocamentos verticais

Na Tabela 7 são apresentados os valores obtidos para os deslocamentos verticais diferidos das lajes.

Os modelos M7 e M8 apresentaram para todas as hipóteses e casos de variações, valores de deslocamentos verticais atendendo os limites de 28,0 mm e 32,0 mm, respectivamente. O modelo M9, apenas no vão central, obteve valores menores que 36,0 mm de deslocamentos verticais. Por fim, o modelo M10, teve seus valores de deslocamentos verticais abaixo de 40,0 mm, limite normativo (^{NBR 6118, 2014}), em todas as variações de excentricidades para o caso “Topo” de modificações nas alturas das cordoalhas.

Para melhor compreensão dos efeitos da alteração da excentricidade dos cabos no comportamento à flexão da laje, foi desenvolvido o gráfico da Figura 8. Neste gráfico no eixo das ordenadas, a relação f/L representa, na forma de denominador de fração, a flecha equivalente, por exemplo L/430, onde o valor L/250 é a flecha limite. No eixo das abcissas estão colocadas as excentricidades relativas, ou seja, o valor do deslocamento dado ao cabo (excentricidade), em relação à espessura da laje. A excentricidade relativa (ou variação da excentricidade relativa) pode ser mais ou menos influente para os diferentes casos. Observando o alinhamento dos pontos, percebe-se que para todos os modelos de lajes a hipótese crítica conduz a maiores variações de deslocamentos. As linhas tracejadas foram inseridas para demonstrar os casos testados, M7 a M10.

Figura 8 Deslocamentos relativos para os diferentes modelos de lajes. 

Para os casos M9 e M10, a posição da excentricidade, topo, base ou crítica, foi menos influente do que para os casos M7 e M8. A amplitude de variação das flechas aumentou quando se aumentou a excentricidade relativa. Para o caso M9 - Crítico, o aumento da excentricidade relativa de 2,4% para 9,5% resultou em um acréscimo de flecha de L/248 para L/230. Já para o caso M7 - Crítico, um aumento da excentricidade relativa de 2,9% para 11,8%, resultou em um aumento da flecha de L/363 para L/325.

3.4 Balanceamento de cargas

Os valores de balanceamentos de cargas aumentam a partir da inserção de cordoalhas impostas para atender os limites de tensões normais de tração nas faces inferior, superior e pré-compressão da laje. A Tabela 8 mostra o resumo dos valores de balanceamentos de cargas para todos os conjuntos avaliados.

Somente o modelo M7 foi o que atendeu as recomendações de (^{Loureiro, 2006}; ^{Aalami, 2014}), para valores de balanceamento de cargas, entre 60% e 80%. Nos demais modelos, o balanceamento variou entre 59 e 95% das cargas permanentes.

3.5 Armaduras passivas

Na Tabela 9 são apresentados os resultados do cálculo das armaduras passivas positivas.

Para as variações nas hipóteses H5 no caso “Topo”, as taxas de armaduras passivas positivas mantiveram-se iguais aos seus respectivos modelos de referência. As mudanças de taxas de armaduras aconteceram nos mesmos modelos, mas em diferentes trechos. Na Tabela 10 são apresentados os cálculos das armaduras de combate à flexão negativa no caso H5.

A taxa de armadura passiva, de combate a flexão negativa, manteve-se a mesma, para os modelos hipótese de referência em comparação com os modelos na hipótese H5 de variação de excentricidade para o caso “Topo”. Isto porque, a redução de 5 mm na altura das excentricidades das cordoalhas, posicionadas no topo dos pilares, não apresentou novos esforços suficientes para aumentar a quantidade de aço neste caso.

A variação da excentricidade das cordoalhas na face inferior para o modelo M7, fez com que fosse necessário aumentar a taxa de armadura de combate à flexão negativa sobre os pilares, em relação ao modelo de referência, para a mesma distância entre pilares analisada.