Introducción

Albert Einstein recibió el premio Nobel por su contribución a la teoría cuántica. No obstante, nunca aceptó que el universo estuviera gobernado por el azar. Sus ideas al respecto están resumidas en su famosa frase “Dios no juega a los dados”. La mecánica cuántica no predice un único resultado para un experimento determinado sino que predice un cierto número de resultados posibles y entrega las probabilidades de ocurrencia de cada uno de ellos. Es decir, si se realizara el mismo experimento en un gran número de sistemas similares, con las mismas condiciones de partida en cada uno de ellos, se encontraría que el resultado del experimento sería “A” un cierto número de veces, “B” otro número de veces, y así sucesivamente. Se podría predecir el número aproximado de veces que obtendría el resultado “A” o el “B”, pero no se podría predecir el resultado específico de un experimento determinado. Así pues, la mecánica cuántica introduce un elemento inevitable de incapacidad de predicción, una aleatoriedad en la ciencia.¹

En finanzas la palabra aleatoriedad ha sido tema de discusión constante en torno de los precios accionarios. Desde que ^{Fama (1970)} planteara la hipótesis de mercados eficientes, muchos estudios han señalado que las fluctuaciones de los precios accionarios siguen un camino aleatorio. No obstante, trabajos posteriores² han concluido que existen pruebas de que los precios accionarios no siguen un proceso de caminata aleatoria (random walk) y muestran que los rendimientos accionarios pueden ser predecibles en algún grado. En síntesis, se asume que la evolución de los rendimientos accionarios futuros se puede predecir por modelos basados en series de tiempo.

El análisis de series de tiempo fue impulsado por ^{Box y Jenkins (1970)} y dio origen a la metodología del mismo nombre. Estos modelos se han empleado exitosamente en variables económicas pero no han tenido igual éxito en variables financieras. Como consecuencia de esto, aparecieron modelos que explican en mejor medida las variables financieras. En este contexto destacan los modelos ARCH y GARCH desarrollados por ^{Engle y Bollerslev (1982} y 1986, respectivamente) los cuales, ocupando las bases de la metodología ARIMA, la amplían para estudiar la varianza. Por cierto que los modelos ARCH y GARCH han dado pie a numerosos modelos de la misma familia, entre los cuales se encuentran los modelos T-GARCH, E-GARCH, I-GARCH, M-GARCH, entre muchos otros.

Durante el decenio de los setenta del siglo pasado nace la teoría del caos (o análisis de series de tiempo con comportamiento caótico) gracias a los trabajos de ^{Lorenz (1963)}, ^{Takens (1981)} y ^{Mandelbrot (1982)}, entre otros. Pero no fue hasta 1980 cuando se amplió el análisis a las series temporales gracias a ^{Packard, Crutchfield, Farmer y Shaw (1980)} para que luego, en 1981, Takens lo formalizara matemáticamente.

La contrastación de comportamiento caótico en series económicas y financieras se inició en los años ochenta para variables macroeconómicas como el PIB y agregados monetarios. En dichas series se encontró pocas pruebas de caos; no obstante, se demostró la existencia de una estructura no lineal (^{Le Baron, 1994}). Desde entonces se han realizado diversos estudios en la búsqueda de comportamiento caótico en las series financieras y económicas (^{Di Matteo, Aste y Dacorogna, 2005}; ^{Los, 2004}; ^{Los y Yu, 2005}). Así, lo habitual es encontrar investigaciones que utilizan técnicas e instrumentos como el coeficiente de Hurst, el exponente de Lyapunov y la dimensión de correlación, para la contrastación de comportamiento caótico en dichas series.

En el contexto del coeficiente de Hurst estudios recientes muestran dependencia de largo plazo en las series de precios de los activos financieros. Así, por ejemplo, ^{Kyaw, Los y Zong (2004)}, utilizando wavelet multiresolution analysis (MRA) para las series diarias de los índices bursátiles y tasas de cambio latinoamericanos (Argentina, Brasil, Chile, Colombia, México y Venezuela) encontraron un coeficiente de Hurst igual o mayor a 0.5 en todos los países, excepto en Colombia. Similares resultados encontraron ^{Los y Yu (2005)} para el mercado accionario de China. En dicho estudio, utilizando precios de cierre diarios de los índices de las bolsas de valores de Shangai y Shenzhen, encontraron un coeficiente de Hurst de 0.54 y 0.55, respectivamente.

De esta manera se infiere que los mercados bursátiles latinoamericanos, en general, presentan memoria de largo plazo al igual que el mercado bursátil chino. No obstante, estas pruebas no son congruentes con resultados encontrados para países europeos. Por ejemplo, ^{Lipka y Los (2003)} realizan un estudio que comprende ocho índices bursátiles europeos, correspondientes a Alemania, Austria, Dinamarca, España, Francia, Noruega y Reino Unido. Los autores, tomando muestras irregulares que van desde 435 observaciones para el índice Ibex 35 de España hasta 4 437 para el índice FTSE 100 correspondiente al Reino Unido, utilizando siete técnicas distintas para computar el coeficiente de Hurst, encontraron resultados completamente distintos, dependiendo de la técnica utilizada. Así, el cálculo del coeficiente de Hurst varía desde 0.22 a 0.56.

Para la detección de comportamiento caótico, un instrumento utilizado por lo común en diversas investigaciones es el exponente de Lyapunov. Así, por ejemplo, ^{Rajaratnam y Weston (2004)} encontraron un exponente de Lyapunov de 0.132 para la serie del tipo de cambio entre Nueva Zelanda y Estados Unidos, para el periodo comprendido entre 1985 y 2004, lo que indicaría claramente la existencia de un comportamiento caótico en dicha serie.

Como se ha visto, la dependencia de largo plazo en las series financieras fue investigada y documentada, al igual que el cómputo del exponente de Lyapunov. Sin embargo, dichos estudios se limitan a contrastar sólo esa cualidad y no abordan el análisis utilizando otros instrumentos para contrastar comportamiento caótico en las mismas series financieras, utilizando, por ejemplo, análisis de recurrencia, entropía de espacio temporal o la dimensión de correlación, entre otras. Este problema es justamente resuelto en la presente investigación.

De esta manera nuestro trabajo se centra en analizar la existencia de un comportamiento caótico en las bolsas de Argentina, Brasil, Canadá, Chile, Estados Unidos, Perú y México, utilizando la evolución de los índices accionarios Merval, Bovespa, S&P TSX Composite, IPSA, IGPA, S&P 500, Dow Jones Industrials, Nasdaq, IGBVL e IPC, respectivamente. Los resultados de aplicar distintas técnicas y métodos, como el análisis gráfico, análisis de recurrencia, entropía de espacio temporal, coeficiente de Hurst, exponente de Lyapunov y dimensión de correlación, apoyan la hipótesis de que los mercados bursátiles americanos se comportan de manera caótica, en contra de la hipótesis de aleatoriedad.

La consecuencia teórica de contrastar un comportamiento caótico en los mercados accionarios americanos radica en que, a diferencia de la hipótesis de mercados eficientes, la información (o nueva información) que se agrega a la serie de precios accionarios (cambio de directores, anuncio de aumento de dividendos, etc.) no es externa sino que es propia de la dinámica interna del mercado. Por tanto, el desafío ya no consiste en dar una explicación estadística, o de otro tipo, a variables estocásticas que ayudan a mejorar el pronóstico de la evolución futura de activos financieros, sino que radica en descubrir la dinámica propia del mercado. Es decir, reconstruir el “atractor financiero”.

Desde el punto de vista práctico, sin duda que la importancia de evidenciar un comportamiento caótico en series de activos financieros justifica la búsqueda de técnicas predictivas a la hora de invertir en los mercados accionarios americanos. A su vez, confirma la conveniencia de usar estas técnicas para lograr una mayor eficiencia en la administración de carteras de inversión. En síntesis, la principal aportación de la teoría del caos es que otorga una explicación teórica de la existencia de sistemas dinámicos con comportamientos irregulares sin la necesidad de recurrir a variables estocásticas.

Esta investigación se estructura de la siguiente manera. En la sección I se introduce los conceptos básicos de las series con comportamiento caótico por medio del análisis de los sistemas dinámicos. La sección II describe los datos y series a utilizar. La sección III corrobora el comportamiento caótico en las series analizadas. En la sección IV se aplica pruebas no paramétricas para contrastar aleatoriedad y caos. Finalmente, se resume las principales conclusiones.

I. Sistemas dinámicos con comportamiento caótico

La diferencia fundamental entre un sistema dinámico y otro estático que en el primero las variables están en función del tiempo, mientras que en un sistema estático no ocurre lo mismo. Los sistemas dinámicos pueden ser clasificados de acuerdo con el comportamiento de sus órbitas. Dichas órbitas corresponden al movimiento en el cual evoluciona el sistema a lo largo del tiempo dentro del espacio de fase,³ es decir, el movimiento del vector describe el sistema.

En un sistema dinámico un vector representa una “fotografía” del sistema en un determinado momento. Para el mercado financiero el vector puede estar formado por variables que afectan el mercado (precio, volumen, etc.). De esta manera, si el sistema se mueve en un conjunto ℜn, tal que A es subconjunto de ℜn, entonces las órbitas podrán tener el siguiente comportamiento: i) sistema disipativo: si A se contrae con el paso del tiempo; ii) sistema expansivo: si A se expande con el paso del tiempo, iii) sistema conservativo: si A se mantiene con el paso del tiempo.

Un concepto asociado a los sistemas disipativos es el de atractor. Se denomina atractor a un subconjunto B hacia el que A tiende a contraerse en el tiempo. Por tanto, las órbitas que entran en un atractor no escapan sino que permanecen en él. En un sistema dinámico el atractor representa el equilibrio, ya que una vez alcanzado dicho equilibrio la órbita no tiende a separarse de él.

De acuerdo con ^{Eckmann y Ruelle (1985)} existen cuatro tipos de atractores: fijo, periódico, semiperiódico y aperiódico. Este último es un atractor en el que las órbitas no pueden clasificarse como periódicas ni como semiperiódicas. Así, un rendimiento accionario con este tipo de atractor se movería sin una pauta que lo identificase y podría parecer que los precios se mueven de manera errática. Finalmente, ^{Ruelle y Takens (1971)} denominaron a este último tipo “atractor extraño”. Así, los sistemas dinámicos que presentan atractores extraños se denominan sistemas caóticos. Un sistema caótico presenta las siguientes características:

II. Datos y modelos

Los datos fueron extraídos de Economática. En el caso de Argentina, la serie de observaciones del índice Merval fue ampliada hasta el 25 de abril de 2005 para completar las 3 841 observaciones por índice accionario. La elección del número de datos se ajustó a los requerimientos de los diversos cálculos realizados. Los datos corresponden a los valores de cierre diarios de cada índice. Un resumen de la serie final se muestra en el cuadro 1.

Los instrumentos que permiten probar la existencia de un comportamiento caótico en las series de tiempo son sensibles a los procesos estocásticos en los cuales existen dependencias entre las variables. Por ello es necesario aplicar un filtro para eliminar dichas dependencias, por medio de un modelo ARMA. De esta manera, luego de filtrar los rendimientos accionarios, la nueva serie es de residuos no correlacionados. Así, si el sistema era caótico, la serie de residuos continuará teniendo las características del sistema original y si era estocástico los residuos no serán más que ruido blanco.

Dado lo anterior, utilizando la prueba de ^{Dickey-Fuller aumentada (1979)} y la de ^{Phillips y Perron (1988)}, se analizó si la serie es estacionaria, para luego buscar modelos del tipo ARMA (p, q). De esta manera se encontraron modelos ARMA para los índices Merval, S&P TSX Composite, IGPA, IPC y S&P 500. Para los otros índices se encontraron modelos estadísticamente significativos pero con correlación en los residuos, por este motivo se desecharon dichos modelos y se buscaron otros que arrojaran residuos no correlacionados. Con esto, y luego de la inspección gráfica de las series, se estimó que los modelos GARCH (^{Bollerslev, 1986}) eran los más adecuados para generar residuos no correlacionados. Los modelos definitivos se muestran en el cuadro 2.

III. Detección del comportamiento caótico

^{Peters (1994)} intenta encontrar indicios de una serie con comportamiento caótico mediante el análisis gráfico y señala que las series de precios de los activos financieros tienen gráficamente la misma estructura, sea cual fuere la escala temporal estudiada. Al observar las gráficas de la evolución de los índices en análisis, no resultan diferencias entre éstas, lo que dificulta establecer cuál es el horizonte temporal al que corresponden dichas gráficas.⁴ El hecho de que estas series tengan la misma apariencia en distintas escalas de tiempo es un indicio de que estamos ante un fractal. Sin embargo, esta característica encontrada en las series de los índices bursátiles americanos no es garantía definitiva de estar ante un proceso caótico.

^a Las ampliaciones se muestran en el sentido de las manecillas del reloj. Los datos que comprenden las ampliaciones corresponden a las series de: 1-3 841, 1 325-3 570, 1 490-1 950 y 1 583-1 800 datos. Es decir: 3 841, 2 246, 461 y 218 datos respectivamente. En el eje vertical se encuentra el valor de cierre del índice y en el eje horizontal la cantidad de datos.

Gráfica 1 Evolución diaria del índice bursátil Merval para el periodo de la muestra ^a 

Una de las características de los sistemas caóticos es que tienen soluciones (puntos) periódicas densas inestables. ^{Gilmore (1993)} busca estas órbitas periódicas inestables de manera gráfica. Si estas órbitas proceden de un atractor extraño, existirán observaciones que se encuentren cercanas a una órbita periódica. Si ocurriera esto encontraríamos que las siguientes observaciones también estarían cercanas a dicha órbita, por lo menos antes de alejarse como consecuencia de la sensibilidad a las condiciones iniciales.

Para la reconstrucción de las gráficas de recurrencia se detectan pautas y cambios estructurales ocultos en los datos o semejanzas en pautas por medio de la serie de tiempo en estudio. Así, una señal de determinismo será cuando más estructurada sea la gráfica de recurrencia. Una señal de aleatoriedad será cuando dicha gráfica sea más uniforme y no tenga una pauta identificable.⁵ Para obtener las gráficas de recurrencia es necesario calcular la dimensión de inmersión y el tiempo de retardo. Estos datos son difíciles de obtener, no obstante, existen distintos programas para su cómputo como, por ejemplo, el programa VRA⁶ que utiliza la técnica información mutua (AMI)⁷ para determinar el tiempo de retardo y el método de falsos vecinos cercanos (FNN)⁸ para la dimensión de inmersión. Los resultados de los cálculos de AMI y FNN se muestran en el cuadro 3.

La estimación del tiempo de retardo (T) mediante la función de información mutua mostró homogeneidad para los registros estudiados (como promedio T=18 para las series en estudio) y la dimensión de inmersión fue relativamente alta para cada uno de los registros, con m>=13 en todos los casos (excepto para la serie del índice Bovespa, FNN = 8). Así, al observar las gráficas de recurrencia de los índices, se encontró que son como una serie aleatoria en la que no hay una pauta definida, lo que estaría denotando las dependencias lineales que existirían en dicha serie, a diferencia de las gráficas de recurrencias aplicadas a las series de los residuos de los modelos ARMA y GARCH que se asemejan al del atractor de Lorenz, indicando un comportamiento determinista. Las gráficas de recurrencia no son concluyentes dado que algunos índices presentan un comportamiento aleatorio y otros presentan uno caótico.

Gráfica 2 Recurrencia para una serie aleatoria y para el atractor de Lorenz 

Gráfica 3 Recurrencia para el índice IGPA 

La entropía de espacio temporal (STE) compara la distribución de colores en una gráfica completa de recurrencia con la distribución de colores en cada línea diagonal de la gráfica. Cuanto más altas son las diferencias entre la distribución global y las distribuciones sobre las líneas diagonales individuales, más estructurada es la imagen. Aquí se comparan las distancias entre todos los pares de vectores en el espacio reconstruido con las distancias entre las diversas órbitas que se desarrollan durante el tiempo. El resultado se normaliza y se presenta como porcentaje. Así, porcentajes cercanos a 100 indicarán aleatoriedad en la serie, mientras que porcentajes cercanos a 0 representarán series periódicas. Por último, porcentajes entre 0 y 100 indicarán series con comportamiento caótico. De los resultados del cuadro 4 se infiere un comportamiento caótico en las series de residuos de los modelos seleccionados, con un promedio de 59% para todos los índices en contraste con 2% para las series originales, lo cual representaría periodicidad en dichas series.⁹

El coeficiente de Hurst indica la persistencia o la no persistencia en una serie temporal. De encontrarse persistencia, ésta sería una señal de que dicha serie no es ruido blanco y, por tanto, existiría algún tipo de dependencia entre los datos. ^{Hurst (1951)} estudió la capacidad de reserva de las represas del río Nilo a lo largo del tiempo y elaboró un estadístico para contrastar si el nivel de dichas reservas seguiría una caminata aleatoria o no. Si el estadístico se encuentra entre 0.5 y 1 indica persistencia en la serie (los valores tenderían a mantenerse en el tiempo), si se encuentra entre 0 y 0.5 indica no persistencia, y un valor igual a 0.5 indica ruido blanco.¹⁰

El cálculo del coeficiente de Hurst viene dado de la siguiente ley de potencia que muestra la ecuación (1):

en la que a es una constante, N es el número de observaciones, H es el exponente o coeficiente de Hurst, R/S(N) es el estadístico R/S que depende del tamaño de la serie y que se define como el rango de variación de la serie partido por su desviación característica.

El coeficiente de Hurst se utiliza para la detección de memoria a largo plazo en las series temporales. Los resultados del cuadro 5 evidencian memoria de largo plazo en los índices bursátiles americanos en estudio, con un coeficiente de Hurst promedio de 0.75.¹¹ No obstante, los modelos GARCH captan en mejor medida esta cualidad que los modelos ARMA. El coeficiente de Hurst promedio para los modelos ARMA fue de 0.57, mientras que para los modelos GARCH fue de 0.84. Con esto sabemos que una de las principales características de los modelos GARCH es que consideran la información pasada de la variable y su volatilidad observada como factor explicativo de su comportamiento presente y futuro, lo cual es congruente con las series con comportamiento caótico.

El exponente de Lyapunov (λ) (^{Eckmann y Ruelle, 1992}) se utiliza para medir la sensibilidad a las condiciones iniciales y es, quizá, el método más empleado para la detección de caos en series de datos de las ciencias naturales. Puntualmente, representa la separación exponencial entre dos trayectorias, inicialmente próximas, al cabo de N pasos o iteraciones.

Ahora bien, los sistemas dinámicos que presentan atractores extraños se denominan sistemas caóticos.Para que un atractor sea extraño ha de tener al menos un exponente positivo de Lyapunov. Así, si λ<0 implica contracción, por lo que la serie presenta convergencia, es decir, las órbitas convergerán en el tiempo hasta alcanzar el estado estacionario. Si λ=0 las órbitas no convergen ni divergen, lo cual indica que el comportamiento es periódico o cuasi periódico. Si λ pasa de negativo a nulo de manera alternante, la serie es cíclica. Si λ>0 implica alejamiento de los puntos, por lo que la serie presenta una dinámica caótica.

En la práctica se determina el primer exponente que es más fácil de calcular y permite diferenciar el caos de los comportamientos periódicos y cuasi periódicos. De esta manera, la presencia de un exponente positivo es suficiente para diagnosticar caos. Existen diferentes algoritmos¹² para calcular el máximo exponente de Lyapunov. No obstante, la mayoría de estos métodos no son aplicables para series de tiempo pequeñas y son relativamente difíciles de aplicar. ^{Rosenstein, Collins y De Luca (1993)} establecieron un método que resuelve estos inconvenientes. Así, después de reconstruir la dinámica del atractor, hacen que el algoritmo localice el punto Yn′ más cercano a cada punto de la trayectoria Yn. Además, impone la restricción adicional que los puntos vecinos más cercanos deben tener una separación espacial mayor que el periodo medio de las series de tiempo. Esto permite considerar que cada par de vecinos corresponde a condiciones iniciales muy cercanas pero de diferentes trayectorias. Así, el exponente máximo de Lyapunov es aproximadamente la velocidad media de separación de los puntos vecinos más cercanos.

Los resultados del exponente de Lyapunov, que se encuentran resumidos en el cuadro 6, indican que λ>0 para todas las series de residuos de los índices bursátiles en estudio, lo que representa una conclusión robusta de la existencia de un comportamiento caótico en los índices bursátiles americanos.¹³

Sabemos que los sistemas dinámicos que presentan atractores extraños se denominan sistemas caóticos. Ahora corresponde determinar la dimensión de dicho atractor. Lo habitual para determinar dicha dimensión es calcular la dimensión de correlación¹⁴ del sistema en estudio. La dimensión de correlación, Dc, de un sistema dinámico es una medida de su complejidad, que permite discriminar entre un sistema determinista y uno aleatorio.¹⁵ Así, si D=1 indicaría una serie con comportamiento de oscilaciones periódicas, D=2 oscilaciones cuasi periódicas y D>2 comportamiento caótico.

Para calcular la dimensión de correlación ^{Grassberger y Procaccia (1983)} crearon un eficiente algoritmo en el cual plantean que Dc≤D, en el que D es la dimensión de capacidad.¹⁶ La idea es remplazar el algoritmo para calcular M(ε), llamado box-counting, por la distancia entre puntos representando posiciones del sistema a lo largo de una órbita en el conjunto atractor. Los resultados de la dimensión de correlación están resumidos en el cuadro 7. Los valores de la dimensión de correlación son muy cercanos a 2, lo que representa oscilaciones cuasi periódicas, no obstante 8 de las 15 series presentan una dimensión mayor a 2 lo que apoya la hipótesis de que estos índices bursátiles tienen un comportamiento caótico.

IV. Pruebas estadísticas

Aunque los resultados apoyan la hipótesis fractal contra la de aleatoriedad es necesario aplicar pruebas estadísticas que confirmen estos hallazgos. En este contexto se aplicaron dos pruebas estadísticas: la de Rachas para carácter aleatorio (o prueba de Wald-Wolfowitz) y la BDS desarrollada por ^{Brock, Dechert, Scheinkman y Le Baron (1996)}.

La prueba no paramétrica de Rachas plantea en su hipótesis nula que la serie es aleatoria. Los resultados de esta prueba confirman que las series de índices bursátiles en estudio no corresponden a una serie aleatoria y, por medio del tipo de esquema resultante, descarta que el atractor que caracteriza dichos sistemas sea de carácter periódico o cuasi periódico, para el caso de los sistemas disipativos. De esta manera podríamos estar en presencia de un atractor cuasi periódico o extraño que caracteriza a los sistemas con comportamiento caótico; los resultados se muestran en el cuadro 8.

La prueba BDS es no paramétrica con la hipótesis nula de que una determinada serie temporal es independiente e idénticamente distribuida (i.i.d.). Esta prueba puede ser aplicada a series de residuos estimados para evaluar si éstos son independientes e idénticamente distribuidos (i.i.d.). Se estimó la prueba BDS para dimensiones de correlación 2, 3, 4, 5 y 6, con el fin de maximizar la veracidad de dicha prueba. Los resultados están resumidos en el cuadro 9 y rechazan la hipótesis de independencia en las series originales y de residuos de los modelos GARCH (de acuerdo con ^{Brock y Dechert, 1991}). Sólo en la serie de residuos del modelo ARMA, correspondiente al índice Merval, se presenta independencia. Los resultados de la prueba BDS son un apoyo sólido para confirmar que las series de índices bursátiles americanos no presentan un comportamiento lineal.

Conclusiones

El cuadro 10 presenta un resumen de los resultados encontrados al aplicar las diversas técnicas y métodos para detectar comportamientos caóticos en las series de índices bursátiles americanos. Los resultados presentan pruebas de no aleatoriedad en las series en estudio y son un apoyo sólido a la existencia de un comportamiento caótico en las series de índices bursátiles americanos. Esto implica que el mercado tiene memoria y que es útil el análisis de la información de empresas que operan en el mercado; por ello, es conveniente el uso de técnicas de predicción de rendimientos accionarios en estos mercados. La aleatoriedad en los mercados financieros no se sostiene, sino que hay pruebas de una pseudoaleatoriedad, determinada por la dinámica del sistema. Es decir, se trata de una aleatoriedad intrínseca que genera un proceso pseudoaleatorio como lo es el caos determinista, el cual es generado por la dinámica del atractor que origina dicho proceso.

En los casos extremos de aleatoriedad, como son los crash y boom, la teoría del caos permite explicar dichos acontecimientos como parte de la evolución endógena del propio sistema, sin necesidad de recurrir a variables exógenas. Esta evolución endógena está determinada por la sensibilidad a las condiciones iniciales, lo que mediante el efecto mariposa puede explicar un crash o boom bursátil.

El hecho de que la evolución de los rendimientos accionarios se comporte de manera aleatoria también es explicado por la teoría del caos por medio de los puntos o soluciones periódicas densas que se encuentran próximos a la evolución de dicho sistema. Así, se podrían repetir situaciones ocurridas en el pasado cuando la evolución del sistema pase nuevamente cerca de algún acontecimiento en particular. Por otra parte, en el muy corto plazo sería posible predecir la evolución de dicho sistema, lo que validaría el análisis técnico como instrumento predictivo. Con esto, la teoría del caos une las fluctuaciones rápidas y, a muy corto plazo, a las de largo plazo. Es decir, no separa sino que une los cambios de minuto a minuto o día a día a los de mes a mes o año a año.

La presencia de memoria de largo plazo en los índices accionarios americanos, determinada por el coeficiente de Hurst, valida la utilización de modelos no lineales con memoria larga, para la predicción de la evolución de dichas series. En resumen, los resultados confirman la existencia de un comportamiento caótico en las bolsas de Argentina, Brasil, Canadá, Chile, Estados Unidos, Perú y México, utilizando la evolución de los índices accionarios Merval, Bovespa, S&P TSX Composite, IPSA, IGPA, S&P 500, Dow Jones Industrials, Nasdaq, IGBVL e IPC, respectivamente.