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Introducción
La teoría de control es el estudio de las propiedades matemáticas de los sistemas de control automático, los cuales son mecanismos que de manera autónoma mantienen variables de interés de un proceso dentro de límites establecidos a pesar de variaciones externas o cambios de los valores establecidos. Formalmente, la teoría de control inició con la presentación de J. C. Maxwell On governors ante la Royal Society of London en 1868 (Maxwell, 1868). En la referida presentación, Maxwell, (1868) hace especial énfasis en la implicación de las “raíces imposibles” (impossible roots en el original), llamadas en la actualidad raíces complejas, sobre la estabilidad del regulador de velocidad de una máquina de vapor. A lo largo de la historia, académicos de la ingeniería química han desarrollado trascendentales contribuciones a la teoría de control. Un ejemplo reciente es el control ℒ2 / 𝒟, que es una clase de control geométrico paramétrico desarrollado en el seno del Cuerpo Académico de Ingeniería de Alimentos (ITVER-CA-05), en el marco de varias tesis de doctorado (Ruiz-López 2007; Carrillo-Ahumada 2011), del Tecnológico Nacional de México/I. T. de Veracruz (García-Alvarado et al., 2005; Ruiz-López et al., 2006; García-Alvarado y Ruiz-López 2010; Carrillo-Ahumada et al., 2011; Vargas-González et al., 2013; González-González et al., 2020). Con base en lo anterior, el objetivo de este ensayo de divulgación es presentar la definición formal del control en ℒ2 / 𝒟, su interpretación en lenguaje natural, sus aplicaciones actuales, su relevancia debida al principio de parsimonia y un análisis prospectivo de futuras aplicaciones. Asociada a la definición formal, se promueve la creación de conciencia entre jóvenes estudiantes o jóvenes investigadores de la importancia y capacidad de expresión de los lenguajes formales, así como la relación entre la concepción abstracta y su aplicación en la ingeniería. En cuanto a la estructura, es preciso mencionar el título, ya que es sumamente compacto para mostrar la capacidad de expresión del término ℒ2 / 𝒟; en la sección 2 se expone el concepto solo con matemáticas y en la sección 3 se expresa en lenguaje natural (español); por último, en las secciones 4 y 5 se detallan las aplicaciones en ingeniería tanto las del presente como las que tienen potencial a futuro.
1. Definición formal
De manera formal, un control en ℒ2 / 𝒟 se define (Ruiz-López et al., 2006; González-González et al., 2020; Carrillo-Ahumada et al., 2020) como:
2. Definición en lenguaje natural
La traducción a lenguaje natural (español) de la definición de control ℒ2 / 𝒟 implícita en las ecuaciones (1)-(10) se detalla a continuación. Existe un índice de funcionamiento cuadrático (ec. 1) que alcanza un valor mínimo en función de los parámetros α, β 1, β 2, γ, δ 1 y δ 2 del algoritmo de control, representado en las ecs. (5)-(6), que actúa en un proceso definido por las ecs. (1)-(2) con parámetros agrupados en las matrices A, B 1, B 2, C, D 1 y D 2. Como las integrales de la ec. (1) son impropias sobre el tiempo (t) y están formadas por las sumas de cuadrados de los vectores diferencia de números reales e y ud, la única forma de que la ec. (1) alcance un valor mínimo es que e y ud sean elementos de espacios normados de Lebesgue (ℒ2). La condición (2) restringe el mínimo de la integral (1) para que solo exista cuando los valores propios de la matriz de lazo cerrado 𝐀, que se construye cuando las ecs. (1)-(2), (3)-(4) se unifican en las ecs.(8) -(10), estén localizados en una región definida del semiplano complejo izquierdo 𝒟, donde la relación de la parte compleja sobre la real es menor que un valor definido φ (de preferencia menor que 1).
El índice de funcionamiento cuadrático I está formado por la integral de toda la historia del cuadrado del error (𝑒) del sistema de control y la integral del cuadrado de toda la historia de la desviación de la acción de control (ud ), normalizado con las matrices de ponderación Q y R. El error (𝑒) es la diferencia entre el valor de referencia o set point (r) de la variable objetivo con respecto a su valor actual (y). La desviación de la acción de control (ud ) es la diferencia entre la acción de control instantánea (u) y la acción de control cuando el sistema ha retornado a un estado estable (u∞ ). El hecho que 𝑒 y ud sean elementos de ℒ2 implica que el sistema de control bajo ℒ2 / 𝒟 es asintóticamente estable. ξ y x son el estado del algoritmo de control (ecs. 5 y 6) y del sistema controlado (ecs. 3 y 4),– los cuales, si su espacio de estado es suave o lineal, son elementos de una variedad, y con ello se cumple con la definición de control geométrico (González-González et al., 2020),– y w son las perturbaciones del sistema.
La característica principal de un control ℒ2 / 𝒟 es su principio de parsimonia: minimizar el cuadrado de toda la historia del error con un esfuerzo mínimo. Esa característica fue detallada por González-González et al. (2020) al demostrar la naturaleza no necesariamente competitiva de las dos integrales que forman I cuando se asegura que los valores propios de 𝐀 se localicen en 𝒟. Está última propiedad matemática hace referencia al estudio de Maxwell (1868), pues el espacio 𝒟 restringe el valor de la parte compleja de los valores propios referidos, o sea, a las llamadas raíces imposibles por Maxwell (1868). Otro grupo de investigación independiente (Voßwinkel et al., 2019) ha demostrado que mantener los valores propios de 𝐀 en la región 𝒟 asegura un control amortiguado.
3. Aplicaciones actuales
El control ℒ2 / 𝒟 se ha aplicado con éxito en simuladores de procesos de columnas de rectificación continuas (Ruiz-López et al., 2006; García-Alvarado y Ruiz-López, 2010; Estévez-Sánchez et al., 2017), reactores químicos (Ruiz-López et al., 2006; Carrillo-Ahumada et al., 2011), reactores bioquímicos (Ruiz-López et al., 2006); Carrillo-Ahumada et al., 2011; Carrillo-Ahumada et al., 2020), intercambiadores de calor de tanque (Vargas-González et al., 2013), intercambiadores de calor de tubos concéntricos (González-González et al., 2020) e, inclusive, en un simulador electro-mecánico (simulador físico) de un sistema aeronáutico (Carrillo Ahumada et al., 2015).
En todos los ejemplos citados, el control ℒ2 / 𝒟 demostró mejor desempeño con mayor parsimonia que controles sintonizados con otros criterios aplicados a los mismos sistemas: control ℋ 2/ℋ ∞ en reactores químicos (Chen et al., 2002; Gonçalves et al., 2008), control no-lineal de columnas de rectificación continuas (Tan et al., 2002), el control geométrico acotado en intercambiadores de calor de tubos concéntricos (Maidi et al., 2009) y control con polos dominantes inestables en reactores bioquímicos (Sree y Chidambaram, 2003).
Es importante enfatizar que debido a la naturaleza abstracta del concepto, este puede tener aplicación en cualquier sistema físico descrito por el espacio de estado definido en las ecs. (3)-(4). Incluso, se ha demostrado (González-González et al., 2020) que el control ℒ2 / 𝒟 trabaja adecuadamente aunque los procesos solo se describan de manera aproximada por el espacio de estado. González-González et al. (2020) demostraron que el control de un intercambiador de calor de tubos concéntricos descritos por un sistema de 60 ecuaciones diferenciales no-lineales aproximado con 60 ecuaciones diferenciales linealizadas por serie de Taylor resultó en un control que mantiene su índice de funcionamiento cuadrático I cuando se valida con las ecuaciones no-lineales originales. La metodología recomendada para encontrar un control ℒ2 / 𝒟 es el siguiente:
3. 1. Inicialización
Se resuelve el siguiente problema:
donde:
Esto es, el problema es minimizar la abscisa espectral (Σ) de la matriz característica (𝐀) de lazo cerrado del sistema de control como función de los parámetros del algoritmo de control α, β 1, β 2, γ, δ 1, δ 2. Para asegurar que el sistema sea asintóticamente estable se debe alcanzar un valor negativo en Σ.
3. 2. Búsqueda de la colocación adecuada de los valores propios en 𝒟
Se resuelve el siguiente problema con la solución del problema (11) como valor inicial.
Donde:
Sujeto a:
El problema es minimizar la relación φ de los valores propios de la matriz característica (𝐀) de lazo cerrado del sistema de control como función de los parámetros del algoritmo de control α, β 1, β 2, γ, δ 1, δ 2 para delimitar la región que define 𝒟, donde se mantenga una abscisa espectral máxima Σmax en un determinado valor negativo. El principal objetivo es localizar parámetros del control en una región donde φ < 1, lo cual no siempre es posible.
3. 3. Localizar el control ℒ2 / 𝒟
A partir de los resultados del problema definido en la sección 3. 2. se estiman los valores adecuados de las matrices de ponderación Q y R (la estructura mas sencilla son múltiplos de la matriz identidad) de manera que ambas integrales de la ec. (1) estén dentro del mismo orden de magnitud. Una vez establecidas las matrices se resuelve el problema de la ec. (1) con la ec. (2) como restricción donde se utilizan los resultados del problema definido en la sección 3. 2. como punto de partida.
Las integrales de la ec. (1) se pueden calcular (García-Alvarado y Ruiz-Lopez, 2010; Vargas-González et al., 2013) para la función escalón unitario (1(t)) en la referencia con
donde Py y Pu son soluciones de la ecuación de Sylvester,
Y K es un valor arbitrario definido por el usuario.
Como ejemplo, un algoritmo de control proporcional integral PI,
Se puede escribir en términos de las ecs. (5)-(6) como:
Por lo tanto, los problema de las secciones 3. 1.-3. 3. se resuelven solo para los parámetros kp y ki .
Todo el software para encontrar un control ℒ2 / 𝒟 con la metodología de las secciones 3. 1.-3. 3. se encuentra disponible en el Laboratorio de Bioestadística de la UNIDA del Tecnológico Nacional de México Campus Veracruz. Todos los problemas de optimización se resuelven con el algoritmo Box-Ruiz-Rodríguez-García detallado en Ruiz-López et al. (2006), el cual es un algoritmo de búsqueda aleatoria dirigida que no utiliza derivadas y fue adaptado para resolver problemas de optimización con restricciones en una región no-necesariamente convexa.
Prospectiva
A la fecha, el control ℒ2 / 𝒟 se ha utilizado con algoritmos de control PI (proporcional integral) o PDI (proporcional derivativo e integral), lo cual ha representado ciertas limitaciones. Por ejemplo, en el control de intercambiadores de calor de tubos concéntricos con un espacio de estado de 60 ecuaciones diferenciales (González-González et al., 2020) no fue posible definir 𝒟 para φ < 1. Existen razones teóricas para suponer que será posible alcanzar φ < 1 con mayor orden en la integración del error. Hoy en día, el control ℒ2 / 𝒟 se está probando en sistemas de espacios de estado elevado (30 o más ecuaciones diferenciales) con un algoritmo PDII2 (acción proporcional, derivativa, integral y doble integral).
La parsimonia del control ℒ2 / 𝒟 se manifiesta en su nombre, en su formalización y en su desempeño; en su nombre, porque la simbología matemática expresa un control asintóticamente estable con mínimo índice de funcionamiento y amortiguado sin sobre impulsos. En su formalización, pues, queda definido en su totalidad con las ecs. (1)-(10) y en su desempeño, que es consecuencia de acotar las oscilaciones y la integral I u sin entrar en competencia con I e . La referida parsimonia representa una ventaja fundamental en el control de sistemas de soporte vital médico. Por ejemplo, en ventiladores mecánicos para respiración asistida se puede asegurar la saturación de oxígeno del paciente con la mínima acción de control y prevenir así el exceso de presión en los pulmones y desgaste prematuro de los componentes mecánicos.
Conclusiones
Como se ha detallado, el control ℒ2 / 𝒟 es un concepto abstracto del control geométrico con potencial de ser aplicado en otros procesos tanto de la ingeniería química como electro-mecánica y biomédica. En este artículo se ha presentado tanto su versión formal como descripción en lenguaje natural para difundirlo entre la comunidad académica de México (y otros lugares de habla hispana) con el propósito de que sea de utilidad tanto para académicos consagrados como para los jóvenes investigadores en el área de control.
