La estructura de ecuaciones

Los modelos macroeconómicos dinámicos incluyen identidades, funciones de comportamiento, condiciones de equilibrio y ecuaciones de movimiento. El modelo estudiado no es la excepción dado que sus ecuaciones aplican a cualquier período t ≥ 1.

El Cuadro 1 describe el significado de las distintas variables.

Si se utiliza el operador Δ para representar a las variaciones entre dos periodos contiguos,⁴ entonces las tres ecuaciones de abajo también están implicadas.

Este modelo dinámico bajo previsión perfecta incluye cinco parámetros. El significado de los parámetros se indica en el Cuadro 2. La relación entre el número de parámetros y ecuaciones es inoperante, trasciende más bien, que los parámetros sean ‘invariantes' a la política económica, lo que está sujeto a la crítica de ^{Lucas (1976)}.

La interpretación de las ecuaciones

Estas ecuaciones tienen una interpretación en términos del modelo IS-LM y la curva de Phillips. La ecuación (1) es una función de gasto agregado, mientras que la ecuación (3) exterioriza el proceso de adecuación de la producción a los inventarios de mercancías no vendidas. El bloque IS tradicional se desprende de estas dos ecuaciones bajo la hipótesis de un ajuste instantáneo de la producción a la demanda agregada, un aspecto que no se satisface en un modelo dinámico. Esto último exige de tiempo; solo por simplicidad, en un modelo estático, se acepta el ajuste instantáneo.

Como es conocido, la demanda agregada depende positivamente del ingreso nacional; sin embargo, es posible prescindir de la propensión a consumir de ^{Keynes (1936)} para hacer depender a la demanda agregada únicamente de la tasa de interés real.⁵ Esta omisión es inocua, ya que los resultados no cambian si el ingreso nacional es excluido de la demanda agregada. De este modo, la ordenada al origen en la ecuación (1) denota el componente autónomo del gasto agregado, mientras su pendiente mide qué tan sensible es el gasto agregado a la tasa de interés de interés real.

La expresión (3) es la ecuación de ajuste de la producción real asociado a la variación de stock de inventarios. Las empresas toman decisiones de producción en función de la acumulación de inventarios.⁶ Si en el período t no venden la totalidad de la producción y acumulan inventarios, entonces reducen su producción en el período t+1. En tanto existan inventarios no deseados, son necesarios algunos períodos para acomodar la producción a la demanda agregada. En los períodos en los que las empresas tienen la destreza de acoplar su producción a la demanda agregada se cumple la ecuación yt=ytd. Esto último es una certeza al asumir que la velocidad de ajuste de la producción real a la demanda agregada tiende a ser ‘muy grande’.⁷ En el modelo IS-LM estándar es imperativo que las empresas no tengan dificultades en ajustar su producción a la demanda agregada. En contraste, el bloque IS de este modelo dinámico implica la idea de que las empresas necesitan de algunos períodos para ajustar su producción a la demanda agregada. Esto es especialmente notorio si las empresas requieren de la señalización de inventarios.

La ecuación (2) es el bloque LM. Esta ecuación denota la condición de equilibrio entre la demanda y oferta de saldos reales.⁸ La demanda de saldos reales depende de manera positiva del producto real y de forma negativa de la tasa de interés nominal.⁹ Un supuesto explícito del modelo es que el banco central tiene el control absoluto de la cantidad de dinero. Esto es, dado el nivel de precios, entonces la oferta de saldos nominales es independiente del ingreso nacional y de la tasa de interés nominal.

La expresión (4) es una curva de Phillips extendida. Esta ecuación implica que la inflación tiene una fuente transitoria y/o permanente. El componente transitorio o cíclico proviene del exceso de la producción sobre su capacidad productiva.¹⁰ La inflación es transitoria en la medida que la capacidad productiva no puede seguir el ritmo de la demanda agregada. La inflación se desvanece tan pronto como la brecha económica es igual a cero.¹¹ El componente permanente de la inflación está prácticamente conectado a la existencia de una tasa de crecimiento del dinero. El banco central no solo controla la oferta de dinero, sino también decide sobre la tasa de crecimiento del dinero.

Por tanto, este modelo es dinámico, no solo por el hecho de que la producción se ajusta a la demanda agregada, sino también porque la economía excede su capacidad productiva. Además, si el banco central emite dinero, el nivel de precios a lo largo del tiempo se ajusta tanto por el ajuste de la producción a la demanda agregada como porque aumenta el circulante monetario.

Por último, la ecuación (5) es la hipótesis de previsión perfecta para la tasa de inflación esperada Δpte.¹² De acuerdo con este supuesto, los agentes económicos anticipan el futuro sin equivocaciones; por esta razón, la inflación esperada Δpte es igual a la inflación observada Δpt, para todo t≥1. Desde luego, esta hipótesis es altamente irreal, pero es conveniente desde una perspectiva pedagógica. Desde luego, en una etapa ulterior es necesario eliminar este supuesto y proceder con una hipótesis más idónea, como el esquema de expectativas adaptables o racionales.

Un esbozo al comportamiento económico

Una vez establecidas las ecuaciones del modelo macroeconómico, es momento de clasificar las variables. El equilibrio representa la situación de reposo de las verdaderas variables endógenas en el sistema económico. El Cuadro 3 contiene la clasificación de las variables endógenas y exógenas en el denominado ‘estado estacionario’.

En el estado estacionario las empresas ni expanden ni contraen la producción de bienes y servicios. Las unidades de producción operan en su nivel de capacidad productiva, de modo que ytd=yt=y-t; en consecuencia, si el banco central no emite dinero, tampoco hay inflación en el estado estacionario. Esto último significa que el público anticipa el nivel de precios, por lo que pte=pt. De este modo, dadas las variables exógenas, el comportamiento de este modelo económico se característica por una sucesión de dos etapas. En la primera etapa, el mercado de bienes establece la tasa de interés real esperada. En la segunda etapa, el mercado de dinero determina el nivel de precios, claro está, a sabiendas de cuál es la tasa de interés real esperada.

Sin embargo, el objetivo es estudiar el comportamiento de la economía en el horizonte de tiempo t≥1 antes de arribar al estado estacionario. Lo anterior requiere aceptar algún disturbio exógeno, lo que desde luego generará una desviación de la economía de su estado estacionario. La única preocupación al respecto es la crítica de ^{Lucas (1976)} de que es improbable que los parámetros permanezcan invariantes durante el proceso de ajuste de la economía, más aún en presencia de un cambio en el régimen de política económica. Con todo, durante el proceso de ajuste es igualmente propicio establecer la clasificación de las variables endógenas y exógenas, tal como se muestra en el Cuadro 4.

Es importante considerar que durante el período t, el nivel de precios pt y el producto real yt están dados. Si en el período t se gesta algún disturbio exógeno, el estado estacionario del período previo implica el cumplimiento de estas ecuaciones: pt=pt-1 y yt=yt-1. Además, una vez conocido el conjunto mt,pt,yt, la ecuación (2) nos permite calcular la tasa de interés it. Cabe la posibilidad, inclusive, de aceptar la conjetura it=it-1, con tal que la oferta monetaria haya permanecido constante, mt=mt-1. Por ejemplo, supongamos que ocurre una reducción del producto natural y-t. La ecuación (3) pone de manifiesto el surgimiento de una brecha económica positiva yt-y-t>0. Esto impulsa una tasa de inflación positiva, de modo que el nivel de precios del siguiente período será mayor, es decir pt+1>pt.¹³ La existencia de un proceso inflacionario implica la reducción de la tasa de interés real, el gasto público permanece constante; es decir (gt=gt-1), la ecuación (1) nos asegura que la demanda agregada ytd aumentará debido a la reducción de la tasa de interés real. Ahora bien, como ytd>yt, la ecuación (3) implica que las empresas expandirán su producción, de modo que se comprobará: yt+1>yt.

En el período t+1, el conjunto de variables pt+1,yt+1 es conocido. En el caso de que no ocurran más cambios en las variables exógenas, todavía se proyecta el movimiento de las variables endógenas en los períodos futuros sucesivos. Es aquí donde los eventos pudieran no ser inteligibles, por eso, es necesario que el análisis económico descanse en algunas herramientas matemáticas disponibles, como es el caso de las simulaciones numéricas de un sistema dinámico discreto autónomo de primer orden.

Solución al sistema lineal de ecuaciones

El carácter dinámico del modelo que se estudia proviene directamente de las ecuaciones (3) y (4). Junto con el resto del modelo, estas ecuaciones implican la existencia de un sistema lineal de dos ‘ecuaciones en diferencias’ de primer orden. Esta aseveración es visible en tanto se realizan algunas manipulaciones algebraicas. Si se empieza por despejar la tasa de interés it de la ecuación (2), se tiene

Por otro lado, el considerar la hipótesis de previsión perfecta en la función de demanda agregada, implica insertar (5) en la ecuación (1).

Es útil sustituir (9) en la ecuación (10) y después separar términos.

En la ecuación (11) se pone de manifiesto que la demanda agregada ytd depende de forma positiva del gasto público gt, los saldos reales (mt-pt) y la tasa de inflación observada Δpt. Por otro lado, la demanda agregada ytd depende de manera negativa del producto real yt. La explicación de esta última relación es que una expansión del producto real ocasiona un exceso de demanda de dinero. El ajuste en el mercado monetario ocasiona un incremento en la tasa de interés nominal (y real), de manera que la demanda agregada experimenta una reducción inducida.

Sustituyendo (11) en la ecuación (4) se obtiene la ecuación (12).

La manipulación algebraica se facilita todavía más en términos matriciales. Por este motivo, las ecuaciones (3) y (12) se escriben en un arreglo de dos renglones y dos columnas.

donde,

Es patente que es posible calcular la inversa de la matriz F~ en la ecuación anterior.

Al multiplicar F~-1 en ambos lados de la ecuación (13), se obtiene un sistema de ecuaciones en diferencias de primer orden.

donde,

Por otro lado, es fácil mostrar que el vector de variables endógenas es equivalente a la siguiente expresión:

Si se toma en cuenta esto en la ecuación (14) se obtiene otra expresión:

donde,

La inversa de la primera matriz es igual a

Ahora bien, al multiplicar la matriz inversa en ambos lados de la ecuación (15) se obtiene la expresión

donde,

Este sistema lineal de ecuaciones en diferencias de primer orden anterior es de la forma xt=Axt-1+b, cuya solución general es

donde, x-=I-A-1b. Además, λ1 y λ2 son los valores propios de A, s1 es el vector propio asociado a λ1, s2 es el vector propio asociado a λ2 y c1 y c2 denotan a constantes arbitrarias (que dependen de las condiciones iniciales).

Siguiendo a ^{Davis y Gómez-Ramírez (2022)} este sistema lineal de ecuaciones anterior se resuelve en cuatro etapas: (i) Se calculan los nodos o valores de equilibrio del sistema económico, x-=I-A-1; (ii) se computan los valores propios de A al resolver la ecuación cuadrática det⁡λI-A=0 asociados a los nodos del sistema económico; (iii) se cuantifican los vectores propios al resolver los sistemas lineales de ecuaciones As1=λ1s1 y As2=λ2s2 ; y (iv) como hay infinitos vectores propios, se elige el más idóneo de ellos.

Ahora bien, la naturaleza de un sistema económico dinámico depende en gran manera de los valores propios de la matriz A asociada. En el caso de una matriz de dimensión (2 ×2), los valores propios se obtienen del siguiente polinomio cuadrático pAλ.

es decir,

Es conveniente establecer en valor absoluto si los valores propios son menores o mayores a la unidad. En el caso de la matriz A, se desconoce el signo de la traza y determinante.

Con todo, es imperioso buscar que el sistema de ecuaciones en diferencias sea estable.

Condiciones de estabilidad

Un sistema de ecuaciones en diferencias (autónomo) de primer orden es estable si y solo si el valor absoluto de los valores propios de la matriz A en la ecuación (16) es inferior a la unidad, λj<1, j=1,2. Esta proposición es inmediata si la matriz A es diagonalizable. En este caso, la matriz A es semejante a su matriz diagonal D de valores propios λj a través de la matriz P de vectores propios j.¹⁴

Esto es,

donde,

Si el sistema económico (16) es estable, entonces es ventajoso determinar las condiciones de la traza y determinante de la matriz A para los que sus valores propios (en valor absoluto) sean inferiores a la unidad. A tal efecto, es conveniente aceptar la propiedad de semejanza de las matrices A y D, siendo así, las ecuaciones de abajo son verdaderas.

Si se asume que λ1 y λ2 son números reales, entonces claramente se tiene

Si λ1 y λ2 son números complejos de la forma a+bi y a-bi, respectivamente, entonces se cumple

Por otro lado, si el valor absoluto de los valores propios λ1 y λ2 coincide

entonces,

Si el sistema es estable y los valores propios son números complejos, entonces también se cumple la desigualdad: det⁡A<1.

Por otro lado, el polinomio característico (18) se puede escribir como:

Si los valores propios λ1 y λ2 son números reales e inferiores (en valor absoluto) a la unidad, al evaluar λ=1 o λ=-1 se tiene pA1 > 0,pA-1>0.

Lo anterior se satisface debido a que ambos valores propios son inferiores a la unidad, además de que están en el mismo lado de 1 ó -1 (en recta de los números reales). Por otro lado, también se puede mostrar que estas desigualdades son válidas en el caso de valores propios complejos con módulo inferior a la unidad.

Ahora bien, de la ecuación (18) podemos comprobar que se cumplen las siguientes relaciones:

Por lo tanto, se puede enunciar el siguiente teorema de estabilidad.

TEOREMA. Una matriz A de (2×2) tiene sus dos valores propios en el círculo unitario si y solo si se cumplen las siguientes condiciones:

La Gráfica 1 ilustra el teorema al dibujar las rectas pA1=0 y pA-1=0 en el espacio traza-determinante, junto con una línea horizontal asociada al det⁡A=1. Para las matrices cuyo determinante y traza caigan en el área sombreada, el teorema nos asegura que tiene valores propios dentro del círculo unitario, de modo que su sistema dinámico asociado es estable.

El diseño del experimento económico

Consideramos inicialmente dos conjuntos de parámetros dependiendo de los valores propios de la matriz A. Estos dos grupos de parámetros suponen valores propios de la matriz A de números reales y números complejos inferiores a la unidad (en valor absoluto). El Cuadro 5 muestra que la diferencia en los datos reside en el parámetro γ, el cual denota cuán sensible es la demanda de dinero a la tasa de interés. Los monetaristas admiten una función de demanda de dinero ‘menos elástica’ a la tasa de interés, mientras que los keynesianos aceptan una función de demanda de dinero ‘más elástica’.

Por otro lado, el Cuadro 6 contiene los valores de las variables exógenas para dos escenarios distintos. En particular, se contempla un nivel más grande de la oferta monetaria (m0→m1) o una mayor tasa de crecimiento monetario (z0→z1). Las demás variables exógenas, el producto natural y-0 y el componente autónomo del gasto agregado g0, permanecen invariantes. En términos de la notación matricial y vectorial, se tienen dos matrices de parámetros y tres vectores de variables exógenas.¹⁵

Los valores propios λjs,j=1,2 de las matrices Am y Ak son los siguientes:

Los valores propios de la matriz Am son números reales e inferiores a la unidad. Los valores propios de la matriz Ak, en cambio, son números complejos, pero también tienen un módulo inferior a la unidad. El criterio de la traza y determinante nos dice que ambas economías poseen un equilibrio estable. Pero, además, hay teoremas que aseguran que el ‘punto fijo’ de las dos economías es globalmente estable.¹⁶

Economía monetarista

El equilibrio inicial de la economía ‘monetarista’ se calcula mediante la siguiente ecuación:

donde,

El vector del nivel de precios y producción de equilibrio es el siguiente:

Las otras dos variables; es decir, la tasa de interés i0 y la demanda agregada y0d, se calculan mediante las ecuaciones (9) y (10) en el supuesto de que Δp0=0. Los cálculos son:

Es posible deducir que el sistema económico evoluciona de acuerdo con siguiente ecuación:

donde, X0 es el ‘punto fijo’ al cual converge la economía. La diagonalización de la matriz Am es la siguiente:

donde, Am=PDtP-1.

Una vez calculado el equilibrio inicial, es necesario calcular las funciones impulso-respuesta y trazar las trayectorias temporales de las variables endógenas inducidas por un incremento de una unidad monetaria acorde al vector de exógenas Z0A. La Gráfica 2 ilustra el comportamiento de las variables en un lapso de 40 períodos. En todos los casos se observa que las variables endógenas convergen a un nuevo valor estacionario. El nivel de precios se eleva de 1 hasta 2, el cual se estabiliza después de poco más de 20 períodos. La tasa de interés disminuye inmediatamente después del impacto monetario de 2 hasta casi 1, pero después se recupera con suficiente rapidez para finalmente retornar a 2, esto sucede antes de 20 períodos de tiempo. La producción y la demanda agregada saltan al unísono con el incremento monetario, pero después de unos cuantos períodos, la demanda agregada alcanza su valor estacionario inicial, que a la postre significa simplemente que la producción retorna también a su nivel inicial.

La Gráfica 3 ilustra el impacto de un incremento en la tasa de emisión monetaria de un 1%. Los efectos se reflejan en el nivel de precios, este aumenta de 1 hasta 7 en un lapso aproximado de 30 períodos; sin embargo, lo más importante de la tasa de emisión monetaria son sus efectos permanentes. La tasa de interés, la demanda agregada y la producción real alcanzan valores distintos de su estado estacionario inicial. La tasa de interés ya no regresa a su nivel inicial de 2, sino que después de una sobrerreacción se estabiliza en un nivel de 4 después de aproximadamente 20 períodos. Esto tiene consecuencias permanentes en la producción y la demanda agregada. Estas dos variables disminuyen de 2000 hasta 1900 en un lapso de tiempo más pronto de lo esperado. La explicación reside en la ecuación (4), que representa a la curva de Phillips. La inflación se desvanece Δpt=0, con tal que la presencia de una brecha de producción negativa (yt-y-t) compense a la tasa de emisión monetaria positiva zt>0.

A manera de resumen, a corto plazo, el dinero tiene efectos reales; sin embargo, en la economía monetarista, a largo plazo, los incrementos en el nivel de dinero influyen solo en el nivel de precios. Por otro lado, una mayor tasa de emisión monetaria conlleva efectos reales permanentes en el largo plazo; es decir, el dinero no es súper-neutral en tanto hay efectos permanentes en las principales variables agregadas. En particular, no solo el nivel de precios es mayor; sino también la producción real cae. Esto último se explica por el hecho de que la demanda agregada se contrae debido a un incremento en la tasa de interés real. Es decir, el nivel de precios aumenta de manera sustancial respecto de la tasa de interés nominal, de modo que ocurre una caída de la tasa de interés real.

Economía keynesiana

La situación inicial en la economía keynesiana se expresa a través de la siguiente ecuación:

donde,

Por consiguiente, con la ayuda de las ecuaciones (9), (10) y (26) podemos calcular el vector de equilibrio.

La gran diferencia en esta economía ‘keynesiana’ es un nivel de precios ‘más inflado’. Esto se explica por la mayor elasticidad de la demanda de dinero a la tasa de interés. Pero, por otro lado, el valor inicial de las demás variables endógenas es prácticamente idéntica al de una economía ‘monetarista’.

Como ya sabemos, el sistema económico evolucionará de acuerdo con la siguiente ecuación:

donde, otra vez, X0 es el ‘punto fijo’ al cual converge la economía. La diagonalización de la matriz Am es la siguiente:

Una solución de valores y vectores propios con números complejos tiene un tratamiento distinto especialmente si se desea simular las funciones impulso-respuesta. Por consiguiente, es necesario transitar al espacio de los reales. Sean λ y λ* valores propios de números complejos de la matriz A y v y v* sus respectivos vectores propios. En la forma cartesiana

Sin embargo, es útil expresar estos valores propios en su forma polar, es decir:

donde, r=a2+b2,θ=tan-1ba.

Ahora bien, por el teorema de Moivre, se tiene

En particular, sea v el vector propio asociado a λ igual a

donde, v0=0.0350, v1=0.0278, v2=0.9990. En esta situación, se sabe que se cumple

donde,

es decir,

De esta manera, las partes real e imaginaria, respectivamente, son

Una vez más, sean

de modo que,

Por lo tanto, en el espacio de los números reales, la solución del sistema dinámico discreto estudiado es

donde la trigonometría básica nos dice que r=a2+b2=0.8452, θ=tan-1ba=0.4049.

Las trayectorias temporales de las variables endógenas que resultan de una unidad de dinero más, y cual está representado por el vector Z0A, son ilustradas en la Gráfica 4. Las funciones impulso-respuesta muestran que el nivel de precios se incrementa en una unidad más (pasa de 4 a 5) en un lapso de tiempo de casi 20 períodos. La tasa de interés disminuye al principio; sin embargo, a la postre se recupera para estabilizarse en su nivel inicial de 2. Esto sucede en un lapso de alrededor de 30 períodos de tiempo. En el caso de la demanda agregada y la producción después de un período de ajuste estos se estabilizan alrededor de 2000. Sin embargo, algo distintivo de la economía keynesiana es que un incremento de la masa monetaria ocasiona que todas las variables se alternan entre períodos ascendentes y descendentes, si bien las oscilaciones finalmente convergen a un valor estacionario.

En la Gráfica 5 tenemos el caso de un incremento en la tasa de emisión monetaria, medido por el vector Z0B. El impacto monetario es notorio no solo en el corto plazo, sino también en el largo plazo. El nivel de precios se eleva de un nivel de 4 hasta 13, es decir, el nivel de precios aumenta más que proporcionalmente con el incremento en la tasa de emisión de dinero. Por otro lado, la tasa de interés nominal se eleva de 2 a 4, acompañado de una sobrerreacción respecto de su nivel de estado estacionario final. Sin embargo, los efectos reales más visibles en la economía son la demanda agregada y producción real. Estas dos variables disminuyen de 2000 a 1900, mostrando así los efectos permanentes de la concurrencia de una tasa de emisión monetaria fijada por el banco central. Además, es evidente que la naturaleza de la convergencia es oscilatoria.

Los efectos permanentes se manifiestan en el nivel de precios, la tasa de interés, la demanda agregada y la producción real. La totalidad de las variables requieren de más tiempo para alanzar sus valores estacionarios. Estos cambios obedecen a una mayor elasticidad de la demanda de dinero a la tasa de interés, de modo que la economía keynesiana experimenta más fluctuaciones que una economía monetarista después de presentarse el disturbio monetario. Además, si los parámetros cambian es posible encontrar más resultados con una tendencia al comportamiento caótico. Por ejemplo, en el Cuadro 7, se reportan valores de una economía keynesiana moderada y extrema. La situación moderada es conocida de las dos simulaciones previas, pero ¿qué pasa con los nuevos valores paramétricos del cuadro de abajo?

En el caso de valores numéricos de una economía keynesiana ‘extrema’ (trampa de liquidez) se tiene un valor propio inferior a la unidad, además de una raíz unitaria: λ1=-0.1613 y λ2=1. En este caso, el sistema dinámico discreto se caracteriza por una ‘orbita periódica’, también conocido como histéresis. La simulación numérica de las funciones impulso-respuesta se reportan en la Gráfica 6. Debido a un mayor circulante monetario, el nivel de precios pasa de 4 a de 9.99, el nivel de producto real se estabiliza en torno de 2000, la tasa de interés se queda en reposo alrededor de 10. Sin embargo, lo que llama la atención es el comportamiento de la demanda agregada. Esta variable se reposa en torno de 1999.999 con sobresaltos (caídas) a intervalos regulares exhibiendo así que se trata de una órbita periódica.