Première partie du questionnaire

Cette partie concerne la première question, composée de deux sous-questions ouvertes.

Sous-question 1 : Rôle du contre-exemple dans l’activité mathématique scolaire

Nous avons demandé aux enseignants de préciser les rôles que pourrait jouer le contre-exemple dans l’activité mathématique scolaire. Cette question vise à déterminer si les enseignants tunisiens considèrent le travail sur les contre-exemples comme une opportunité pour approfondir la compréhension des mathématiques, notamment en ce qui concerne l’importance du domaine de validité et des hypothèses.

Le programme officiel de l’enseignement des mathématiques au collège (2011) ne met pas spécifiquement en avant le raisonnement par contre-exemple. Bien que les concepteurs insistent sur l’importance de favoriser les conflits cognitifs, ils n’indiquent pas clairement que les contre-exemples sont essentiels pour évaluer les conjectures. En revanche, le ^{programme officiel de mathématiques du secondaire (2008)} est plus explicite. Il encourage les élèves à émettre des conjectures, produire des contre-exemples pour montrer la fausseté d’une assertion, vérifier des résultats, et distinguer entre une conjecture et un résultat démontré.

Cependant, ce programme présente le contre-exemple principalement comme un argument pour démontrer la fausseté d’une assertion universelle, ce qui correspond à une réfutation par contre-exemple spécifique ou semi-général. Son rôle pour comprendre les notions mathématiques et l’importance des hypothèses, ainsi que sa contribution à la production de connaissances mathématiques, n’est pas explicitement souligné. Ainsi, le contre-exemple est perçu principalement comme un outil de réfutation.

Sous-question 2 : Importance des contre-exemples dans la classe de mathématiques

Nous avons demandé aux enseignants de préciser l’importance qu’ils accordent aux contre-exemples dans leurs cours. Dans les programmes officiels de mathématiques, le contre-exemple n’est explicitement mentionné qu’une seule fois, à l’introduction du ^{programme du secondaire (2008)}. Cette brève mention reflète la place limitée que les concepteurs du programme accordent à cette notion. Cette situation semble être commune à d’autres pays. ^{Hitt (1998a)} et ^{Klymchuk (2012)} soulignent la rareté des situations didactiques intégrant des questions sur la production de contre-exemples dans les classes de mathématiques. Nos discussions informelles avec des enseignants tunisiens, qui n’ont pas participé à notre présente étude, confirment cette observation. Bien que ces enseignants reconnaissent l’importance du contre-exemple dans la pratique mathématique, son utilisation dans l’enseignement reste limitée.

Deuxième partie du questionnaire

Cette section du questionnaire comprend deux questions distinctes (n°2 et n°3). Chaque question présente une proposition mathématique universelle fausse, énoncée par un élève imaginaire. Les enseignants sont invités à expliquer comment ils exploitent et corrigent cette erreur en classe, en se situant dans une logique d’apprentissage et d’approfondissement des connaissances mathématiques. Nous avons délibérément évité de leur rappeler à nouveau que leurs réponses devaient s’inscrire dans cette logique afin de ne pas les influencer et de recueillir des réponses spontanées qui reflètent au mieux leurs pratiques de classe.

Présentation et analyse de la question n°2

Voici la question telle qu’elle a été proposée aux enseignants :

Dans cette question, la proposition mathématique est exprimée en langue naturelle, niveau collège, où l’écriture symbolique algébrique est encore naissante. Nous avons formulé cette proposition en français pour des enseignants maîtrisant cette langue.⁸ Elle peut être paraphrasée symboliquement ainsi : ≪∀x∈IR,x2≥x≫. Cette proposition est incorrecte car, par exemple, le nombre réel 0,5 constitue un contre-exemple. La fonction propositionnelle ≪x2≥x≫ devient vraie si l’on restreint le domaine à IN, les entiers naturels, ce qui explique l’origine de l’erreur de l’élève, pour qui les entiers naturels sont la référence (^{Hersant, 2013}).

La proposition contient des exemples et des contre-exemples, faciles à identifier et à caractériser. On peut construire deux propositions vraies à partir de la proposition fausse : ≪∀x∈-∞,0∪1,+∞,x2≥x≫ (1) et ≪∀x∈0,1,x2<x≫ (2). Selon ^{Durand-Guerrier (2005)}, cela correspond à la situation 2, où une proposition fausse permet de produire deux théorèmes si l’on peut catégoriser les exemples et les contre-exemples. Les propositions (1) et (2) restent des conjectures jusqu’à ce qu’elles soient prouvées.

Nous considérons que présenter des contre-exemples, expliquer pourquoi ils contredisent la proposition et montrer comment construire les théorèmes (1) et (2) à partir de l’affirmation fausse de l’élève inscrit le travail de l’enseignant dans une approche de réfutation par contre-exemple général. Se limiter à une réfutation par contre-exemple spécifique (indiquer un ou plusieurs contre-exemples dans l’intervalle ]0,1[ sans explication) ou semi-général (indiquer des contre-exemples dans ]0,1[ avec explications partielles) appauvrit la situation et ne permet pas à l’élève de réorganiser et d’enrichir ses connaissances mathématiques.

Présentation et analyse de la question n°3

Voici la question n°3 telle qu’elle a été présentée aux enseignants:

Le contenu mathématique de cette question se situe dans le domaine de l’analyse réelle, reliant la continuité et la dérivabilité en un point. Elle concerne la réciproque du théorème « si f est dérivable en a, alors f est continue en a ». La confusion entre une proposition et sa réciproque est fréquente en classe de mathématiques (^{Durand-Guerrier, 2005}; ^{Grenier, 2015}; ^{Tanguay et Mathieu-Sousy, 2015}). Pour montrer que la réciproque est fausse, on peut utiliser une représentation graphique comme celle-ci :

Figure 1 Graphique d’une fonction f continue avec un point anguleux indiquant une non dérivabilité en a. 

La fonction f est bien continue en a, mais elle n’est pas dérivable en ce point car sa représentation graphique n’admet pas de tangente, mais plutôt deux demi-tangentes. Cela signifie que la dérivée à droite de f en a est différente de la dérivée à gauche en a (fd'(a)≠fg'(a)). On dit alors que la courbe représentative de f admet en A un point anguleux. Les fonctions continues ayant des dérivées à droite et à gauche différentes en certains points constituent une classe de contre-exemples. Cependant, il existe aussi des fonctions continues sans points anguleux qui ne sont pas dérivables en certains points. Par exemple, la fonction f définie par fx=x3 en est bien un exemple. Elle n’est pas dérivable en 0:

Figure 2 Représentation graphique de la fonction fx=x3. 

En 0, la représentation graphique de cette fonction admet une tangente verticale. Le taux de variation de f entre 0 et h n’est pas un nombre fini lorsque h tend vers 0 : limh=0⁡f0+h-f(0)h=limh→0⁡h3h=∞. Ainsi, f est une fonction continue sur IR (et donc en 0), mais n’est pas dérivable en 0. Les fonctions continues qui admettent en certains points un nombre dérivé infini constituent une autre classe de contre-exemples.

Un autre type de contre-exemple concerne les fonctions continues en un point a, mais dont la limite lorsque h tend vers 0 de leur taux de variation entre a et a+h n’existe pas. Par exemple, la fonction fx=xsin1xsi x≠00si x=0 est continue en 0, mais n’est pas dérivable en 0. En effet, limh→0⁡f0+h-f(0)h=limh→0⁡hsin(1h)h=limh→0⁡sin(1h) n’existe pas du fait des oscillations de la fonction f autour de 0. Sa courbe repré-sentative ne possède donc pas de tangente fixe en 0. Voici la représentation graphique de cette fonction:

Figure 3 Représentation graphique de la fonction fx=xsin1xsi x≠00si x=0  

^{Hitt (2007)}, dans une expérimentation menée avec des étudiants mexicains de première année de maîtrise en didactique des mathématiques, a mis en évidence leurs difficultés à appréhender la notion de dérivabilité pour ce type de fonctions au point critique 0. Il souligne que ces difficultés révèlent la complexité liée à la construction du concept de dérivabilité et insiste sur l’importance de mettre en place des méthodes d’enseignement favorisant une réflexion approfondie et une articulation des différentes représentations mathématiques.

Les différentes classes de contre-exemples évoquées précédemment illustrent la situation 1 décrite plus haut.

Graphiquement, on peut reconnaître des classes entières de fonctions continues en un point et non dérivables en ce point. Les fonctions appartenant à ces classes représentent des contre-exemples caractérisables de la proposition fausse affirmée par l’élève. Caractériser ces classes de contre-exemples inscrit le travail didactico-mathématique dans une approche de réfutation par contre-exemple général.

Travailler en classe sur la proposition fausse affirmée par l’élève est très formateur. Cela permet aux élèves de reconsidérer et de mieux comprendre les interrelations et les différences entre la continuité et la dérivabilité d’une fonction en un point. Diversifier les types de contre-exemples offre aux élèves l’occasion de comprendre pourquoi une fonction continue en un point peut ne pas être dérivable en ce point. Se limiter à un seul type de contre-exemple, comme une fonction avec des points anguleux, risque de restreindre leur compréhension. Cela pourrait les empêcher de réaliser qu’une fonction continue et dont le gra-phique est lisse peut aussi ne pas être dérivable en un point, ou qu’une fonction continue avec des oscillations autour d’un point n’est pas dérivable en ce point.

Proposer uniquement une réfutation par contre-exemple spécifique sans discussions approfondies et sans diversifier et classer les types de contre-exemples prive l’élève d’une bonne occasion de mieux conceptualiser les notions de continuité, de dérivabilité et de leur lien. Il est essentiel de souligner que le travail mathématique et les discussions engendrées en classe par les affirmations fausses des élèves devrait sensibiliser ces derniers à la distinction entre une implication et sa réciproque. Cette démarche devrait les inciter à accorder une plus grande attention aux implications en mathématiques et à reconnaître que la validité d’une implication ne garantit pas automatiquement celle de sa réciproque. Le travail sur les contre-exemples sensibilise l’élève à l'importance de vérifier que les hypothèses et le domaine de validité d'un théorème sont respectés afin d'assurer la validité de la conclusion.

Dans le paragraphe suivant, nous exposons les analyses et les résultats découlant des réponses des enseignants ayant pris part à notre expérimentation.

Première partie du questionnaire

Première sous-question

Concernant le rôle du contre-exemple dans l’activité mathématique, vingt enseignants ont affirmé qu’il sert à réfuter une assertion fausse⁹. Trois autres enseignants ont ajouté que le contre-exemple permet aussi de préciser les « conditions nécessaires »¹⁰ pour qu’une proposition soit vraie, suggérant ainsi un rôle plus étendu. Bien que leur réponse manque de détails, il semble qu’ils se réfèrent au champ de validité et aux hypothèses de la proposition.

Certaines réponses étaient difficiles à interpréter de manière univoque. Par exemple, des expressions telles que « joue un rôle d’assimilation des notions délicates », « joue le rôle d’éclaircissement d’une notion mathématique », « joue le rôle de démonstration », « permet de convaincre qu’un résultat n’a pas de démonstration », ou « permet d’être vigilant » (réponses fournies par cinq ensei-gnants) ne fournissent pas suffisamment d’informations claires et précises.

Il convient également de noter qu’un des enseignants interrogés n’a pas répondu à cette question.

En résumé, parmi les vingt-neuf enseignants interrogés, vingt restreignent le rôle du contre-exemple à la simple réfutation d’une proposition universelle fausse. Trois enseignants semblent souligner que le contre-exemple aide à comprendre la nécessité des hypothèses et le champ de validité des propositions.

Cela montre que la majorité des enseignants réduisent le rôle du contre-exemple à la réfutation, tandis que trois enseignants abordent son rôle didactique et conceptuel. Cette perspective majoritaire semble alignée avec les recommanda-tions des concepteurs du programme officiel de 2008.

Deuxième sous-question

Concernant l’importance des contre-exemples dans leurs pratiques, dix-neuf enseignants soulignent qu’ils occupent soit « suffisamment de place » (10), soit « une place importante » (9). Un seul enseignant parmi eux a précisé que l’importance est donnée parce que « avant de faire une démonstration, on commence par chercher des exemples et des contre-exemples ». Cette approche est en accord avec ^{Barrier (2016)}, qui souligne l’importance du travail sur les exemples et contre-exemples pour comprendre les concepts mathématiques.

Dix enseignants indiquent que les contre-exemples occupent « peu de place » dans leurs enseignements. Les raisons avancées sont :

Ce dernier argument souligne la prédominance de la démonstration déductive dans l’enseignement des mathématiques, où axiomes, définitions et théorèmes sont utilisés pour prouver la validité d’une proposition par des raisonnements logiques (^{Hitt, 1998a}).

Les résultats révèlent que la majorité des enseignants (les deux tiers) considèrent le contre-exemple comme important dans leurs enseignements, contrastant avec les conclusions de ^{Hitt (1998a}) sur les enseignants mexicains qui ont participé à son étude. Le phénomène de «désirabilité sociale», étudié par ^{Fisher (1993)}, pourrait expliquer ce contraste. Les enseignants peuvent déclarer accorder une place importante aux contre-exemples pour éviter un jugement négatif et gagner en appréciation, bien que cela ne soit pas nécessairement vrai (^{Bressoux et al., 1999}). Il est donc nécessaire d’adopter une attitude prudente face à ce résultat.

Dans le paragraphe suivant, nous présentons les analyses et résultats relatifs à la deuxième partie du questionnaire. Cette section explore comment certains enseignants de mathématiques tunisiens déclarent exploiter et corriger, en classe, une assertion mathématique universelle fausse formulée par un élève imaginaire.

Analyses et résultats des réponses relatives à la deuxième partie du questionnaire

Cette section du questionnaire, composée des questions n°2 et n°3, vise à iden-tifier les types de réfutation par contre-exemple que les enseignants tunisiens interrogés déclarent employer en classe pour aider leurs élèves à surmonter leurs erreurs. Les enseignants ont été invités à inscrire leurs réponses dans le cadre de leurs pratiques pédagogiques habituelles, axées sur l’apprentissage et l’approfondissement des connaissances mathématiques.

Analyses des réponses relatives à la question n°2

Dans la question n°2, nous avons demandé aux enseignants de proposer une explication pédagogique pour exploiter en classe de mathématiques une erreur commise par un élève affirmant que « Le carré de tout nombre réel est supérieur ou égal à ce nombre ».

Bien que le questionnaire porte sur la notion de contre-exemple, seulement dix-sept enseignants sur vingt-neuf ont explicitement mentionné le terme «contre-exemple » dans leurs réponses. Parmi eux, quinze n’ont pas expliqué ce qu’est un contre-exemple. Ils semblent considérer cette notion comme évidente pour les apprenants, ce qui n’est souvent pas le cas (^{Durand-Guerrier, 2005}; ^{Klymchuk, 2012}). Cette omission peut rendre leurs explications moins accessibles, privant ainsi les élèves d’une compréhension approfondie de la manière dont les contre-exemples servent à réfuter des propositions mathématiques.

Vingt-trois enseignants ont proposé un unique nombre réel appartenant à l’intervalle ]0,1[ pour réfuter l’affirmation générale sans spécifier clairement le rôle de ce nombre. Leurs justifications, brèves et peu explicatives, ne fournissaient pas suffisamment d’informations pour convaincre un élève en difficulté et ne clarifiaient pas la conclusion, la laissant à la charge de l’élève. En raison de ces insuffisances, nous avons classé les réfutations proposées par ces vingt-trois enseignants parmi les réfutations par contre-exemple spécifique. Voici deux exemples de réponses qui illustrent fidèlement la majorité des réponses fournies par ces enseignants :

Figure 4 Deux exemples de réfutation par contre-exemple spécifique. 

Quatre enseignants ont proposé un contre-exemple unique avec une stratégie. L’un d’eux l’a bien exposée: « rendre un réel- effectuer son carré- les comparer-puis comparer les inverses ». Ces enseignants semblent utiliser de manière implicite la propriété (P) suivante: Pour tout couple de réels (a, b) positifs¹¹ non nuls, si a<b alors 1b<1a ¹². Trois enseignants parmi les quatre ont choisi le même nombre à savoir a=22 et par conséquent le b=2. Ainsi, comme 22>2 alors 122<12, ce qui conduit à dire que (12)2<12. Nous pensons que cette stratégie n’est pas didactiquement pertinente par rapport à l’objectif recherché. Comparer (12)2 et 12 pourrait se faire aisément de manière directe. Cette stratégie, bien que correcte, est complexe et peu didactiquement pertinente. Voici un exemple de réponse:

Figure 5 Un exemple de réfutation par contre-exemple semi-général que nous qualifions de non pertinente. 

Sans nous attarder sur la réfutation mentionnée ci-dessus, voici trois observations essentielles pour en comprendre pleinement le sens :

Dans l’ensemble, cette réponse met en lumière des lacunes tant sur le plan linguistique que logique dans l’argumentation de l’enseignant. Elle illustre également comment une situation didactique peut être rendue plus complexe que nécessaire. Il est important de noter que lors de la préparation de cette question nous n’avons pas anticipé la stratégie adoptée par ces quatre enseignants.

Malgré la complexité didactique et mathématique de ces quatre réponses, elles peuvent être catégorisées comme relevant d’une réfutation par contre-exemple semi-général. En effet, bien qu’elles contiennent des éléments de justi-fication, celles-ci sont complexes, peu pertinentes et peu explicites par rapport à la situation proposée.

Deux enseignants ont tenté une réfutation plus générale. Voici leur réponse:

Figure 6 Les deux réfutations par contre-exemple général. 

Concernant la première, l’enseignant écrit que tout nombre réel, compris entre 0 et 1, est strictement plus grand que son carré - ce qui est faux d’ailleurs - et ajoute l’exemple de 0,2. Nous estimons que cette réponse soulève un questionnement par rapport au rôle de cet exemple. Un élève pourrait penser que 0,2 est un nombre qui vérifie la proposition qui le précède, sans réaliser qu’il constitue en fait un contre-exemple à la proposition énoncée. Un élève qui lirait ces explications risquerait de ne pas comprendre clairement que l’énoncé est faux. Ensuite, l’ensei-gnant utilise une stratégie similaire en affirmant que tout nombre réel supérieur ou égal à 1 est strictement plus petit que son carré, et ajoute l’exemple de 3. Bien que cette affirmation soit également incorrecte, l’enseignant propose ici une classe entière d’exemples, illustrant la proposition pour les réels supérieurs ou égaux à 1. Dans ce cas, 3 est un réel qui réconforte aussi bien la proposition qui le précède que l’énoncé faux en jeu dans la question. Il faut noter que dans sa réponse l’enseignant a considéré l’affirmation fausse de l’élève uniquement sous le domaine de validité des nombres réels positifs.

Dans la deuxième réponse, l’enseignant utilise un tableau de signes pour identifier, implicitement, des classes d’exemples et de contre-exemples. Cependant, les résultats à retenir ne sont pas clairement établis. Bien que cette réponse puisse être considérée comme une réfutation par contre-exemple général, elle nécessite davantage d’explications pour être véritablement explicative et enrichissante en termes de connaissances mathématiques. Les élèves en difficulté pourraient ne pas saisir clairement que la proposition en question est fausse. Cependant, avec les explications de l’enseignant, cette réponse pourrait les inci-ter à réévaluer la proposition et à formuler deux théorèmes utiles sur le plan mathématique et didactique.

L’accompagnement oral des réponses écrites de ces deux enseignants pourrait compenser les lacunes observées, en aidant les élèves à comprendre pourquoi l’affirmation de l’élève est fausse et comment, en explorant le domaine de validité, cette affirmation pourrait conduire à la formulation de nouveaux théorèmes. Ainsi, ces deux réponses peuvent être classées parmi les réfutations par contre-exemple général, malgré les manquements observés.

Le tableau suivant récapitule les résultats des analyses des réponses des vingt-neuf enseignants à la question n°2 :

Ce tableau montre que la majorité des enseignants ont choisi une réfutation par contre-exemple spécifique. Bien que cela démontre la fausseté de la proposition, cette approche ne suffit pas à approfondir la compréhension des concepts mathématiques ni à enrichir les connaissances des élèves. Une réfutation par contre-exemple général permettrait non seulement de démontrer la fausseté de la proposition, mais aussi de formuler de nouveaux théorèmes utiles, enrichissant ainsi les connaissances mathématiques des élèves.

Analyses des réponses relatives à la question n°3

Dans la question n°3, nous avons demandé aux enseignants de proposer une explication pédagogique pour exploiter en classe de mathématiques une erreur commise par un élève affirmant que « puisque f est continue en a, alors f est dérivable en a ». Bien que le questionnaire porte sur la notion de contre-exemple, seulement huit des vingt-neuf enseignants ont employé le terme «contre-exemple» dans leurs réponses. Parmi les vingt-et-un autres, dix ont utilisé le terme «exemple » à la place de « contre-exemple », révélant une confusion ou une simplification inappropriée de la terminologie. Cette observation met en lumière une lacune dans la précision du vocabulaire utilisé par certains enseignants, ce qui pourrait nuire à la clarté des explications données aux élèves et à leur compréhension de la notion de contre-exemple dans l’apprentissage des mathématiques.

Les analyses des réponses des enseignants ont révélé, également, que dix-huit des vingt-neuf enseignants ont proposé une unique fonction continue en 0 sans être dérivable en 0. Bien que cette fonction représente un contre-exemple à l’affirmation de l’élève, les enseignants n’ont pas enrichi leur réponse par des explications explicites montrant pourquoi la fonction choisie est continue en 0, non dérivable en ce point, et pourquoi elle représente un contre-exemple.

Ces réponses, accompagnées d’un discours oral explicatif probable, peuvent convaincre les élèves de la fausseté de l’affirmation. Cependant, elles ne contribuent pas suffisamment à la compréhension des phénomènes mathématiques en jeu et à la conceptualisation de la dérivabilité en un point. La manière dont les enseignants ont exploité le contre-exemple ne permet pas aux élèves d’enrichir leurs connaissances au point de générer des classes entières de contre-exemples, ce qui aurait pu mener à une meilleure compréhension des notions de continuité et de dérivabilité.

Les analyses de ces dix-huit réponses montrent qu’elles peuvent être classées dans le cadre d’une réfutation par contre-exemple spécifique. Voici les types de réponses proposées¹²:

Ces réponses révèlent une approche limitée de l’utilisation des contre-exemples dans l’enseignement des mathématiques, souvent sans fournir les explications nécessaires pour une compréhension approfondie des notions de continuité et de dérivabilité.

Parmi les onze autres réponses, dix enseignants ont proposé une fonction unique, continue mais non dérivable en 0, avec quelques explications. Ces explications permettent de comprendre, dans une certaine mesure, pourquoi la fonction choisie constitue un contre-exemple. Toutefois, elles peuvent ne pas être suffisantes pour expliquer en détail aux élèves pourquoi la fonction est un contre-exemple. Nous supposons que l’enseignant pourra combler ces lacunes par un discours oral.

Cependant, dans ces dix réponses, les enseignants n’ont pas essayé de couvrir plusieurs classes de contre-exemples ni d’expliquer les conditions générales pour qu’une fonction continue en un point ne soit pas dérivable en ce point. Ces réponses peuvent être classées comme des réfutations par contre-exemple semi-général. En effet, les enseignants n’ont pas seulement fourni un seul contre-exemple, mais ont aussi justifié, bien que parfois de manière insuffisamment explicite, pourquoi ce contre-exemple contredit l’affirmation.

Voici les types de réponses proposées par ces dix enseignants, avec quelques exemples :

Figure 7 Exemples de réfutation par contre-exemple semi-général s’appuyant sur la fonction 𝑓 définie par fx=x. 

Figure 8 Exemple de réfutation par contre-exemple semi-général s’appuyant sur la fonction 𝑓 définie par fx=x  

Deux enseignants n’ont pas précisé la fonction utilisée, mais ont donné des explications générales accompagnée par des éléments explicatifs qui ne sont pas assez explicites. Voici un exemple:

Figure 9 Exemple de réfutation par contre-exemple semi-général sans fonction spécifique. 

Dans cette réponse, l’enseignant n’a pas explicité comment il appliquerait les concepts de la continuité et de la dérivabilité spécifiquement en relation avec le contre-exemple utilisé pour invalider l’affirmation de l’élève. Bien qu’il semble viser à aider les élèves à comprendre l’erreur et qu’il esquisse un plan pour sa classe, sa réponse demeure trop générale. Il aurait été préférable qu’il détaille davantage son approche en expliquant concrètement comment il utiliserait ce contre-exemple spécifique pour clarifier aux élèves pourquoi l’affirmation est fausse.

Il convient de noter qu’un autre enseignant a fourni la réponse suivante : « contre-exemple¹⁴ Définition de la dérivabilité, Dérivabilité à droite et dérivabilité à gauche ». À notre avis, cette réponse est si vague et imprécise qu'il nous a été difficile de la considérer comme une réfutation.

Dans le tableau ci-dessous, nous récapitulons les résultats des analyses des réponses des 28 enseignants¹⁵ qui ont répondu à la question n°3 :

L’analyse des réponses des enseignants à la question n°3 montre qu’ils ont mobilisé des réfutations par contre-exemple spécifique et des réfutations par contre-exemple semi-général, qui ont un pouvoir explicatif limité à modéré. Aucun enseignant n’a proposé de contre-exemple général, qui aurait permis une explication plus approfondie.

L’affirmation erronée de l’élève, « puisque f est continue en a, alors f est dérivable en a », aurait pu être exploitée pour mettre en place une réfutation par contre-exemple général. Cette approche ne vise pas seulement à traiter la question du vrai et du faux, mais aussi à créer des classes entières de contre-exemples de fonctions continues en un point mais non dérivables en ce point, conduisant à une compréhension avancée des notions de continuité et de dérivabilité. Les réponses des enseignants interrogés montrent une tendance à se concentrer sur la simple véracité de l’affirmation, bien que certains aient fourni quelques explications avec les contre-exemples choisis. Cette préoccupation excessive pour la véracité de l’affirmation a probablement limité leur perception de l’opportunité d’approfondir les concepts de continuité et de dérivabilité à travers un travail didactique plus substantiel. Cette tendance reflète les recommandations du programme officiel de mathématiques du secondaire de 2008, qui accordent peu d’importance au rôle crucial des contre-exemples dans la compréhension des domaines de validité et des hypothèses des énoncés mathématiques.