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1. INTRODUÇÃO
Discussões sobre currículo têm ocupado o cenário mundial. Muitos países, cidades e regiões vêm estabelecendo reformas curriculares (Artigue, 2018; Li e Lapan, 2014; Shimizu e Vithal, 2018). Li e Lappan (2014) destacam que, apesar de, ao longo da história, amplas reformas educacionais terem alcançado o currículo de matemática, só recentemente o mesmo passou a ser objeto de pesquisa. Além disto, Rojano e Solares-Rojas (2018) explicam que “apesar do reconhecimento generalizado do papel decisivo do currículo no ensino, a literatura de pesquisa em educação matemática é notoriamente escassa neste tópico” (p. 475, tradução nossa).
Este estudo tem como objetivo elaborar e apresentar uma representação multidimensional - a trajetória curricular - que oferece um panorama do ensino de números segundo orientações curriculares de matemática para a educação básica do Brasil e do Canadá. Esses países, de atuação profissional das autoras, vêm passando pelos processos de revisão e de implementação de mudanças curriculares. A proposição de uma trajetória curricular tem como base a identificação de paridades e contrastes nos documentos do 1o ao 6o ano da educação básica. Pretende-se, assim, contribuir para discussões sobre currículo, apresentando uma potencial ferramenta para estudos analíticos sobre o ensino de números. Consonante com Li e Lappan (2014), entendemos que: “Aprender e compartilhar o currículo de matemática e suas mudanças em diferentes sistemas de educação deve fornecer uma lente única para avançar a pesquisa e a prática curriculares a partir de uma perspectiva internacional” (p. 3, tradução nossa). Em particular, a investigação sobre currículos contribui para o desenvolvimento do conhecimento de matemática para o ensino (Ball et al., 2008; Remillard, 2005).
A relação estabelecida na trajetória curricular não pretende oferecer juízo de valor entre o ensino de números no Brasil e no Canadá, apontando, por exemplo, qual país exerce as melhores escolhas curriculares. Entendemos que cada país tem suas particularidades e que, por razões diversas, o que é apropriado para um pode não ser adequado para o outro. Não questionamos as “raisons d’être” dos currículos nem o valor dos documentos orientadores, partimos do princípio de que estes documentos existem e têm um papel central na prática docente.
Suas raisons d’être situam-se em diferentes níveis, raisons d’être no que dizem respeito ao conteúdo de ensino, ao equilíbrio e às relações entre disciplinas escolares, aos métodos pedagógicos ou raisons d’être no que se refere mais geralmente ao contrato social entre uma sociedade e sua escola, que são, cada vez mais, a expressão de visões supranacionais. (Artigue, 2018, p. 43, tradução nossa)
Na seção a seguir, Números: Um Tema Elementar, apresenta-se uma breve discussão sobre o ensino de números. A terceira seção, Orientações Curriculares: A Base do Estudo, apresenta os documentos curriculares em que se fundam o estudo: a Base Nacional Comum Curricular (BNCC) (Brasil, 2018) e a Grade Comum Curricular3 (CCF) (Alberta Education, 2006). Estabelecemos ainda uma relação estrutural entre tais documentos. A quarta seção, O Estudo, visa à descrição da investigação realizada e constitui o cerne do documento: apresenta-se a trajetória curricular. A partir de uma abordagem qualitativa, são discutidos caminhos metodológicos e o processo de construção dos resultados. Para isso, estabelecemos uma metodologia de análise - a leitura combinada - que se estrutura a partir da identificação de quatro ênfases: panorama, aspectos elementares, paridades e contrastes, e trajetória curricular (Corrêa e Rangel, 2024). Por fim, nas Considerações Finais, destacamos potenciais desdobramentos da investigação.
2. NÚMEROS: UM TEMA ELEMENTAR
Qualquer que seja a subdivisão que oriente uma organização da matemática escolar, números certamente é uma das unidades distinguidas. A aprendizagem de números envolve conceitos, operações e processos essenciais para o conhe-cimento de matemática e para o engajamento e a atuação do indivíduo no mundo (Kilpatrick et al., 2001; Organisation for Economic Co-operation and Development [OECD], 2013). Tal reconhecimento não encerra hierarquia, o ensi-no de números não é mais importante do que o de geometria ou de álgebra, por exemplo. Ressaltamos, no entanto, seu valor elementar para o letramento matemático. Quantificar marca os primeiros contatos da criança com a matemática escolar e segue fundamental para os demais assuntos próprios da educação matemática. Números é, portanto, o tema foco desta investigação.
A centralidade de números como um conceito-chave em todas as outras áreas da matemática [...] e para o próprio raciocínio matemático, é inegável. A compreensão dos alunos sobre os princípios e propriedades algébricas experimentados pela primeira vez por meio do trabalho com números é fundamental para a compreensão sobre os conceitos de álgebra do ensino médio. (OECD, 2013, p.11, tradução nossa)
A centralidade do conceito é tão relevante quanto a sua complexidade. Há muito o que ensinar e aprender sobre números. Para Bass (2018), o ensino de números na educação escolar envolve dois aspectos fundamentais: o conceitual (o que são) e o nominal (como nomeá-los e representá-los). A autora entende que “antes de as crianças entrarem na escola, elas já adquiriram um senso de quantidade, de comparação primitiva de tamanho, bem como de contagem” (p.465, tradução nossa), uma familiarização inicial com os números naturais. No entanto, números vão além da noção inicial de quantidade; estão associados à medida, a verificar quanto uma unidade cabe no que se quer contar ou medir. É nesse contexto que emergem as frações, que “têm sua própria representação notacional, distinta do valor posicional de base dez dos números inteiros” (Bass, 2018, p. 465, tradução nossa). Chega-se, assim, ao universo dos números racio-nais. Além disto, Bass ressalta a relação direta entre a representação dos núme-ros e algoritmos próprios para efetuar as operações básicas.
As noções iniciais que as crianças trazem ao chegar à escola, conceituais ou nominais, devem ser ampliadas e aprofundadas no ensino escolar, promo-vendo a aprendizagem necessária sobre o tema. Mas o que sobre números deve ser ensinado na escola? O que se espera que os alunos aprendam? Que distri-buição sequencial deve ser dada ao tema? Com que aprofundamento? Uma maneira de investigar e promover a reflexão sobre o ensino do assunto é a partir de documentos curriculares. Essa é a abordagem que sustenta a propos-ta deste trabalho.
3. ORIENTAÇÕES CURRICULARES: A BASE DO ESTUDO
De forma geral, um currículo pode ser visto como um documento que orienta ações e propõe parâmetros que têm por objetivo a promoção de educação de qualidade. Como destacado no glossário de terminologia curricular da Organização das Nações Unidas para a Educação, a Ciência e a Cultura [UNESCO] (2016), diferentes comunidades e instituições estão envolvidas na formulação de currículos, o que reflete uma variedade de interesses, que certamente alcançam a educação matemática do indivíduo e da sociedade como um todo. De forma simples, o glossário UNESCO define currículo como: “uma descrição do que, por quê, como e quão bem os estudantes devem aprender, sistemática e intencionalmente” (p. 30), destacando que “currículo não é um fim em si, mas um meio para fomentar uma aprendizagem de qualidade” (p. 30). O currículo é um registro do que se deve ensinar nas escolas, e serve de norteador e de suporte para professoras e professores e, portanto, pode ser um ponto de partida para investigar o ensino da matemática (Li e Lappan, 2014; Shimizu e Vithal, 2018). O presente estudo se concentra na descrição da distribuição dos conteúdos matemáticos a serem ensinados, ou seja, do que ensinar, e não explora porquê, como ou quão bem ensinar.
Distinguem-se diferentes dimensões de um mesmo currículo: pretendido, implementado, e aprendido (UNESCO, 2016; Valverde et al., 2002, Macedo, 2006). O objeto deste estudo é específico: a distribuição curricular de matemática em documentos oficiais, ou seja, o currículo pretendido. No entanto, consonantes com Macedo (2006), entendemos os currículos pretendido e implementado como não conflitantes, como partes inerentes e imbricadas do planejamento e da ação no ensino escolar, portanto, relativos à prática docente. Apesar de não explorarmos aspectos do currículo implementado, tais como, a prática de sala de aula e os livros didáticos, o estudo realizado envolve interpretação e análise, etapas que determinam a transformação do currículo pretendido em implementado. Nosso objetivo é, a partir de referências curriculares entendidas como currículos pretendidos, oferecer uma representação sintética e esquemática que contribua para o conhecimento de matemática para o ensino de professoras e professores, dando suporte à tomada de decisão na implementação de um currículo.
Para tanto, este estudo analisa orientações curriculares de dois países - a Base Nacional Comum Curricular (BNCC) do Brasil (Brasil, 2018), e a Grade Comum Curricular (CCF) das províncias do oeste e territórios do norte do Canadá (Alberta Education, 2006). Considerando a estrutura e o caráter desses documentos, as grades curriculares propostas decerto chegam às escolas e influenciam os processos de ensino e de aprendizagem da matemática. O documento canadense oferece uma orientação que alcança as províncias e territórios do oeste e do norte do país, configurando caráter regional e eletivo. Já o documento brasileiro constitui uma base curricular comum, de alcance nacional e de caráter obrigatório.
Em particular, investigamos o tema números nos anos escolares dirigidos a estudantes dos 6 (seis) aos 11 (onze) anos, o que equivale aos seis primeiros anos de educação escolar na BNCC e na CCF. Os documentos têm estruturas curriculares seriadas correspondentes que oferecem material organizado, claro e consistente, promovendo condições para o estudo. A análise realizada compõe um infográfico multidimensional que relaciona e destaca paridades e contrastes nos documentos curriculares analisados, respeitando a distribuição sequencial dos conteúdos nas grades da BNCC e da CCF. Chamamos esse infográfico de trajetória curricular.
3.1 A Base Curricular Brasileira
A Base Nacional Comum Curricular (BNCC) (Brasil, 2018) é um documento de caráter normativo que determina diretrizes curriculares gerais para a educação escolar em todo o território nacional brasileiro. A BNCC é específica sobre os objetivos de aprendizagem de cada ano escolar, definindo “o conjunto orgânico e progressivo de aprendizagens essenciais que todos os alunos devem desenvol-ver ao longo das etapas e modalidades da Educação Básica” (p. 7). O documento deve ser referência fundamental para a composição de currículos dos sistemas e das redes escolares locais e regionais do país, que devem integrar ao texto normativo aspectos sociais, culturais e metodológicos. A BNCC declara o compromisso com o desenvolvimento do letramento matemático, definido como:
as competências e habilidades de raciocinar, representar, comunicar e argumentar matematicamente, de modo a favorecer o estabelecimento de conjecturas, a formulação e a resolução de problemas em uma variedade de contextos, utilizando conceitos, procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas. É também o letramento matemático que assegura aos alunos reconhecer que os conhecimentos matemáti-cos são fundamentais para a compreensão e a atuação no mundo e perceber o caráter de jogo intelectual da matemática, como aspecto que favorece o desenvolvimento do raciocínio lógico e crítico, estimula a investigação e pode ser prazeroso (fruição) (Brasil, 2018, p. 266).
No documento, equivalência, ordem, proporcionalidade, interdependência, representação, variação e aproximação compõem um conjunto de ideias fundamentais que, segundo o documento, promovem a articulação entre os diferentes campos da matemática - Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade. Os diversos campos e as ideias fundamentais determinam a identificação de cinco unidades temáticas na distribuição curricular da BNCC: Números, Álgebra, Grandezas e Medidas, Geometria, e Estatística e Probabilidade. Objetos de conhecimento - que correspondem a conteúdos, conceitos e processos - e suas respectivas habilidades - aprendizagens essenciais que devem ser alcançadas pelos alunos - são organizados segundo essas unidades e anos escolares. Sendo assim, a distribuição curricular de matemática no Ensino Fundamental é marcada pela distinção de unidades, objetos de conhecimento e habilidades, como ilustra a figura I.
Figura I Unidade Temática Números - 2o Ano - Objetos de Conhecimento e Habilidades, BNCC (Brasil, 2018, pp. 282-283, adaptado).
3.2 A Grade Curricular Canadense
A Grade Comum Curricular (CCF) (Alberta Education, 2006) constitui uma base curricular comum de matemática adotada por sete das dez províncias e pelos três territórios canadenses (Simmt, 2018). O documento canadense, que contem-pla o ensino de matemática na etapa fundamental de escolaridade, afirma que a educação matemática tem como objetivo preparar os alunos para:
usar a matemática com confiança para solucionar problemas; se comunicar e raciocinar matematicamente; apreciar e valorizar a matemática; fazer conexões entre a matemática e suas aplicações; se comprometer com uma aprendizagem duradoura; se tornar adultos letrados em matemática, usando a matemática para contribuir para a sociedade (Alberta Education, 2006, p. 4, tradução nossa).
A organização do documento se dá em torno de quatro unidades temáticas - Números, Padrões e Relações, Forma e Espaço, e Estatística e Probabilidade; cada uma com seus respectivos objetivos gerais (general outcomes). Orientados pelos objetivos gerais, são determinados objetivos específicos (specific outcomes) - que identificam as habilidades, compreensões e conhecimentos que os alunos devem alcançar em um determinado ano (figura II). Para cada objetivo específico, a CCF estabelece ainda uma série de indicadores de aprendizagem, que ilustram o que pode ser esperado dos alunos em relação à aprendizagem de cada um dos objetivos curriculares. São balizadores que visam a orientar o professor, contribuindo para uma melhor compreensão dos objetivos específicos.
Figura II Unidade Temática Números - 2º Ano - Objetivo Geral e Objetivos Específicos, CCF (Alberta Education, 2006, pp. 18, 20, 22, 24, adaptado).
Duas ideias orientam a distribuição e a determinação dos objetivos específicos e dos indicadores de aprendizagem ao longo da escolaridade: natureza da matemática e processos matemáticos. Na CCF, natureza da matemática é explicada a partir da identificação de componentes intrínsecos: variação, conservação, senso numérico, padrões, relações, senso espacial, e incerteza. Já os processos matemáticos, precisam ser vivenciados pelos estudantes e devem, portanto, permear as aulas de matemática: comunicação, conexões, cálculo mental e estimativa, resolução de problemas, raciocínio, tecnologia, e visualização.
3.3 Correlação entre a BNCC e a CCF
A BNCC e a CCF orientam que os alunos sejam estimulados a, por exemplo, investigar, raciocinar, representar, argumentar, comunicar, resolver problemas e estimar; os documentos não encorajam memorização nem processos sem significado. Ambos propõem a abordagem a partir da resolução de problemas e o uso de calculadora e de recursos digitais. Além disto, as estruturas organizacionais dos dois documentos distinguem unidades temáticas, anos escolares e objetivos de aprendizagem, que permitem identificar a distribuição dos conteúdos a serem ensinados, estabelecendo progressivamente as metas de aprendizagem cognitiva ao longo da escolaridade. Identificam-se assim elementos estruturantes dos documentos: na BNCC, os objetos de conhecimento e as habilidades e, na CCF, os objetivos específicos e os indicadores de aprendizagem (tabela I).
Tabela I: Exemplo de Elementos Estruturantes
Fonte: BNCC (Brasil, 2018, p. 283) e CCF (Alberta Education, 2006, p. 64, tradução nossa).
Os elementos estruturantes marcam as grades curriculares da BNCC e da CCF, listam o quê ensinar apontando objetivos de aprendizagem e habilidades a serem desenvolvidas. Têm foco no conteúdo, sem intenção específica na orien-tação pedagógica, ou seja, no que se refere ao como ensinar. A centralização na aprendizagem e não no ensino se manifesta na redação das habilidades (na BNCC) e dos objetivos específicos (na CCF), cujos verbos apontam para o que se espera que o aluno aprenda. Os elementos estruturantes identificados nas orientações curriculares brasileira e canadense fundamentam este estudo.
4. O ESTUDO
Estudos comparativos entre currículos têm abordagens diversas: identificar aspectos comuns e especificidades (e.g. Pires, 2013; Wang e McDougall, 2019, Cerqueria e Silva, 2020; Acar e Serçe, 2021); buscar dados que evidenciem a adesão ou a rejeição de professoras e professores (e.g. Charalambous e Philippou, 2010); investigar como os currículos se efetivam nas salas de aula (e.g. Wang e Fan, 2021; Lui e Leung, 2013); pesquisar melhores práticas (e.g. Villalobos Torres e Trejo Sánchez, 2015); analisar bases sociais, culturais, econômicas e políticas (e.g. Bickmore et al., 2017), fazer uma análise histórica comparativa (e.g. Bessot e Comiti, 2006), entre outros (e.g. Son et. al, 2017).
Nossa proposta é, a partir da metodologia leitura combinada (Corrêa e Rangel, 2024), elaborar e apresentar a trajetória curricular, uma representação multidimensional que, de forma esquemática, oferece uma visão combinada da organização sequencial do ensino de números segundo as orientações curriculares de matemática para a educação básica do Brasil e do Canadá. Para isso, são considerados os elementos estruturantes da distribuição sequencial dos conteúdos na BNCC e na CCF. Acreditamos que a composição da trajetória curricular, que permite a leitura concomitante das duas grades analisadas, pode ser em si uma contribuição para estudos sobre currículo. A trajetória curricular pode, por exemplo, (i) ser referência para comparações pontuais entre os documentos analisados e propostas curriculares, (ii) ser ampliada a partir da inclusão da distribuição curricular de outros documentos, e (iii) ser adaptada para contemplar outros assuntos além do ensino de números ou outros anos escolares.
A metodologia leitura combinada funda-se em uma abordagem qualitativa baseada na análise documental, no caso, da BNCC e da CCF. Segundo Sharma (2013), a análise documental é uma metodologia de pesquisa que se fundamenta em publicações originais ou primárias visando a um objetivo ou a uma questão de pesquisa. Para Zanette (2017), na pesquisa qualitativa, “o pesquisador depara-se constantemente com a necessidade de conhecer e discutir sobre o caminho a percorrer a fim de elaborar de que forma transformar o fenômeno de investigação em um objeto de pesquisa” (p.150). Este estudo (i) coleta informações diretamente nos documentos indicados, (ii) realiza uma análise qualitativa dos dados obtidos, e (iii) propõe uma trajetória curricular, que reflete a abordagem de números nos seis primeiros anos do ensino escolar nos documentos analisados.
A figura III ilustra a leitura combinada, o processo metodológico do estudo. O caráter qualitativo da metodologia determinou que a análise fosse realizada de forma dinâmica, levando à identificação de quatro ênfases interdependentes, sem relação hierárquica entre elas: (i) panorama - caracterizada por uma leitura concomitante dos documentos, ponto de partida da análise; (ii) aspectos elementares - caracterizada pela identificação, nas referências curriculares, de aspectos elementares no ensino de números; (iii) paridades e contrastes - caracterizada pela identificação de equivalências, similaridades e diferenças emergentes dos elementos estruturantes dos documentos; e (iv) trajetória curricular - caracterizada pelo mapeamento simultâneo das duas propostas curriculares. Apesar das quatro ênfases terem focos diferentes, o processo de análise e construção da trajetória curricular se caracterizou pela interposição das mesmas, em particular das ênfases panorama, aspectos elementares, e paridades e contrastes. A ênfase trajetória curricular tem natureza conclusiva. Cada uma destas ênfases será detalhada nas subseções que seguem.
4.1 Panorama
A ênfase panorama tem caráter inicial, é marcada por uma leitura concomitante dos documentos, e visou à obtenção de uma perspectiva geral da proposta de construção do conceito de número evidenciada em cada um dos documentos curriculares analisados. Nesse processo de leitura, buscou-se relacionar os elementos estruturantes dos documentos. Tal exercício evidenciou que, na maioria dos casos, não era possível estabelecer equivalência (o que já era esperado). Assim, estabelecemos que a análise deveria acomodar similaridades e diferenças entre os elementos estruturantes. Por exemplo, observando a tabela I, tem-se, para o mesmo ano escolar - 2o ano, “comparar e ordenar números naturais (até a ordem de centenas) pela compreensão de características do sistema de numeração decimal (valor posicional e função do zero)” (Brasil, 2018, p. 283, realce nosso) como uma habilidade da BNCC e “comparar e ordenar números até 100” (Alberta Education, 2006, p. 64, tradução nossa, realce nosso) como um objetivo específico da CCF. As indicações de considerar até a ordem das centenas, no documento brasileiro, ou números menores do que 100, no documento canadense, caracterizam uma diferença entre os elementos estruturantes de cada documento. Entretanto, existe uma relação entre eles, ambos se referem à comparação e à ordenação de números naturais. Outro exemplo em que não há equivalência é na orientação de abordagem de números inteiros no 6o ano da CCF, tema que não aparece antes do 7o ano na BNCC. O desenvolvimento da ênfase panorama fez emergir a necessidade de duas categorias de análise: uma que distinguisse aspectos elementares nos elementos estruturantes e outra que obser-vasse paridades e contrastes entre os elementos estruturantes.
4.2 Aspectos Elementares
Klein identificava como matemática elementar as partes essenciais que encerram a capacidade de sustentar e de estruturar a Matemática (Kilpatrick, 2008; Schubring, 2014). Assim, na concepção de Klein, matemática elementar não é sinônimo de uma matemática facilitada, tampouco se refere a uma matemática simples ou fácil. O conceito de número é um bom exemplo: envolve em sua essência abstração e as noções de correspondência biunívoca, unidade, representação, além de encerrar diferentes propriedades e características, determinando os diversos universos numéricos. A história do conceito de número até sua concepção atual revela que não se trata de algo fácil, nem que possa ser facilitado. No entanto, ninguém discute seu valor elementar para a Matemática.
Por aspectos elementares, tendo como referência a concepção de matemática elementar de Klein, nos referimos a conceitos e compreensões que sustentam a aprendizagem de um novo tópico. Por exemplo, visando à aprendizagem de números naturais, comparação e ordenação são aspectos elementares. Outro aspecto elementar da compreensão de números naturais é representação. Portanto, na análise dos documentos, comparação, ordenação e representação foram distinguidos como aspectos elementares. No processo de distinção de aspectos elementares a partir dos documentos analisados, deu-se protagonismo ao conteúdo e à respectiva distribuição sequencial, e não a orientações pontuais que compõem os elementos estruturantes. É, por exemplo, o caso de distinguir comparação e ordenação como aspectos elementares e não distinguir a limitação da ordem dos números envolvidos (tabela I). Os aspectos elementares que emergiram neste estudo não esgotam os concernentes à construção do conceito de números. Não pretendemos propor uma lista básica de aspectos elementares sobre o tema, apenas destacamos aqueles evidenciados em nossa análise nos currículos analisados.
A distinção dos aspectos elementares é um pilar para a construção da trajetória curricular. Não é trivial associar dois elementos estruturantes a partir da íntegra de suas redações. Consideremos os elementos estruturantes destacados na tabela II, que se referem à abordagem inicial de frações. Nossa análise permite distinguir aspectos elementares em suas redações: ideias de metade, terça, quarta, quinta e décima partes, conceitos de frações unitárias e de frações em geral, conceitos de frações próprias e impróprias, construtos parte/todo e quociente, equivalência, comparação e ordenação. A trajetória curricular não traz a redação completa dos elementos estruturantes. Nela distinguem-se os aspectos elementares observados, visando a uma percepção sintética e panorâmica, como em um efeito zoom out. Por exemplo, nos elementos estruturantes do 5º ano dos dois referenciais curriculares identificamos os aspectos elementares equivalência e comparação e ordenação de frações, que são destacados e associados aos dois países na trajetória curricular (figura IV). No entanto, no 6º ano, apenas o documento brasileiro volta a tratar de tais aspectos elementares. A trajetória não registra, então, esses aspectos elementares na dimensão canadense nesse ano escolar. Pode-se observar ainda que apenas o documento canadense propõe a abordagem de comparação de frações no 3º ano, ano que marca o início do início de frações em ambos os documentos.
Tabela II Elementos Estruturantes - Abordagem Inicial de Frações
| BNCC | CCF | |
|---|---|---|
| 3º Ano | (EF03MA09) Associar o quociente de uma divisão com resto zero de um número natural por 2, 3, 4, 5 e 10 às ideias de metade, terça, quarta, quinta e décima partes. (p. 287) |
13) Demonstrar entendimento de frações:
|
| 4º Ano | (EF04MA09) Reconhecer as frações unitárias mais usuais (1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/10 e 1/100) como unidades de medida menores do que uma unidade, utilizando a reta numérica como recurso. (p. 291) |
8) Demonstrar entendimento de frações menores que ou iguais a um usando representações concretas e pictóricas para: |
| 5º Ano | (EF05MA03) Identificar e representar frações (menores e maiores que a unidade), associando-as ao resultado de uma divisão ou à ideia de parte de um todo, utilizando a reta numérica como recurso. (EF05MA04) Identificar frações equivalentes. (EF05MA05) Comparar e ordenar números racionais positivos (representações fracionária e decimal), relacionando-os a pontos na reta numérica. (p. 295) |
7) Demonstrar entendimento de frações usando representações concretas e pictóricas para:
|
| 6º Ano | (EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes. (EF06MA09) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fração de uma quantidade e cujo resultado seja um número natural, com e sem uso de calculadora. (p. 301) |
4) Relacionar frações impróprias e números mistos. (p. 110) |
Fonte: BNCC (Brasil, 2018) e CCF (Alberta Education, 2006, tradução nossa)
Figura IV Aspectos Elementares referentes à Abordagem Inicial de Frações - recorte da Trajetória Curricular (Adaptado de Corrêa e Rangel, 2021, p. 4478, tradução nossa).
Não se espera uma correspondência um a um entre elementos estruturantes e aspectos elementares. Um mesmo elemento estruturante pode estar associado a mais do que um aspecto elementar, assim como um aspecto elementar pode ser observado em mais do que um elemento estruturante. Por exemplo, no único elemento estruturante do 4o ano no documento canadense, que corresponde à introdução do conceito de frações, identificamos os seguintes aspectos elementares: frações próprias, construto parte/todo, e comparação e ordenação. Anos escolares também não são restritivos: anos escolares diferentes podem tratar de um mesmo aspecto elementar. É o caso, por exemplo, da comparação de frações. O documento canadense trata desse aspecto elementar do 3º ao 5º ano escolar. Já o documento brasileiro, no 5º e no 6º ano.
4.3 Paridades e Contrastes
Esta ênfase, tendo como balizadores os aspectos elementares, é caracterizada pelo processo de identificação de equivalências, similaridades e diferenças nos elementos estruturantes dos documentos, determinado as categorias de análise: paridades e contrastes. As paridades são identificadas a partir de elementos estruturantes de anos escolares correspondentes que sejam equivalentes, que tenham grande semelhança, ou que tratem, ainda que com alguma diferença de abordagem, de um mesmo aspecto elementar. Já os contrastes correspondem à identificação de elementos estruturantes que revelem diferenças fundamentais ou que se baseiem em princípios ou anos escolares distintos.
Por exemplo, como destacado na tabela III, a multiplicação de números naturais, considerada como um aspecto elementar, é objeto de conhecimento no documento brasileiro desde o 2o ano escolar. A multiplicação de números naturais também é objetivo específico do documento canadense e aparece pela primeira vez no 3o ano escolar. A análise desses elementos estruturantes revela paridades e contrastes. Como paridade, identificamos que a multiplicação é objeto de ensino de números naturais presente nos dois documentos curricula-res e que ambos iniciam a abordagem limitando os fatores a números menores ou iguais a 5. Já o início da abordagem em anos escolares diferentes revela um contraste: 2º ano escolar no documento brasileiro e 3º no canadense. Esse não é o único contraste que pode ser observado a partir dos elementos estruturantes destacados. O currículo canadense traz a orientação de que a multiplicação e a divisão sejam relacionadas. Estabelecer essa relação não aparece como uma determinação explícita nas habilidades que compõem a grade do 3o ano da BNCC, o que indica um contraste.
Tabela III Elementos Estruturantes - Multiplicação de Números Naturais
Fonte: BNCC (Brasil, 2018, realce nosso) e CCF (Alberta Education, 2006, tradução nossa, realce nosso)
Neste estudo, não visamos a refinar ou a aprofundar a discussão sobre paridades ou contrastes relativos a um tópico ou aspecto elementar específico. Por exemplo, não investigamos ou questionamos as razões para a limitação a números menores ou iguais a 5 na abordagem inicial de multiplicação. Também não questionamos as possíveis implicações de estar explícito ou não a necessidade de relacionar as operações de multiplicação e de divisão. Reconhecemos o valor desses questionamentos como uma investigação legítima e natural, que podem (e talvez devam) ser desdobramentos deste estudo. Uma discussão nesse sentido, é apresentada em Corrêa e Rangel (2021). Nesse trabalho, analisamos duas propostas curriculares relacionadas ao mesmo conteúdo matemático - o ensino de frações do 1o ao 6o ano. A análise sugere questionamentos tais como: Por que (ou por que não) diferenciar frações próprias e impróprias no ensino de frações? Qual a potencial contribuição ou limitação do ensino da comparação e ordenação de frações associadas à equivalência de frações? Aspectos dessa investigação serão apresentados na subseção a seguir.
4.4 Trajetória Curricular
A necessidade de sistematizar e organizar paridades e contrastes, considerando os aspectos elementares identificados nos documentos, determinou a ênfase trajetória curricular. Essa ênfase é marcada pela elaboração de um instrumento gráfico multidimensional que evidencia e reflete aspectos conclusivos da análise do estudo: a trajetória curricular (figura V). Tal instrumento tem ainda o potencial de fazer emergir novas questões de investigação, apontando desdo-bramentos para este estudo. O caráter visual da trajetória curricular sintetiza e articula as análises correspondentes às três ênfases distinguidas, oferecendo um panorama que apresenta aspectos elementares e permite evidenciar paridades e contrastes. A trajetória curricular constitui um infográfico quadrimensional que relaciona: (i) a progressão dos anos escolares, registrada no eixo horizontal, (ii) os universos numéricos tratados (naturais, racionais e inteiros), distribuídos verticalmente e diferenciados por cores, (iii) aspectos elementares que emergiram da análise dos documentos, evidenciados na parte central do sistema cartesiano que sustenta a representação, e (iv) os países de referência, identificados a partir das respectivas bandeiras.
Figura V Trajetória Curricular - Números, 1o ano ao 6o ano (Corrêa e Rangel, 2021, p. 4478, tradução nossa)
A visão panorâmica oferecida pela trajetória curricular permite observar a introdução e o desenvolvimento da abordagem de aspectos elementares identificados no estudo, ainda que não distinga questões particulares. Por exemplo, a partir do instrumento gráfico, observa-se que tanto a BNCC quanto a CCF propõem a abordagem das operações de adição e subtração de números natu-rais do 1o ao 6o ano de escolaridade. Identifica-se assim uma paridade entre os documentos analisados. No caso das operações de multiplicação e de divisão de números naturais, é possível observar que ambos os documentos curriculares abordam o assunto do 3o ao 6o ano de escolaridade, o que evidencia uma paridade. É possível observar também que o documento brasileiro propõe explorar a multiplicação de números naturais já no 2o ano, o que revela um contraste. A seção do infográfico correspondente a números racionais revela que ambos os documentos propõem o início da sua abordagem por frações e no 3o ano escolar. Uma paridade certamente. No entanto, a trajetória curricular evidencia que as orientações curriculares brasileiras determinam tal abordagem inicial a partir de frações unitárias (metade, terça parte e demais frações com numerador igual a 1), ao passo que o documento canadense não se restringe a essas frações, trata de frações próprias em geral (aquelas cujo numerador é menor do que o denominador). Um contraste.
A construção da trajetória curricular, que organiza resultados das ênfases panorama, aspectos elementares e paridades e contrastes, também exigiu análise. A organização dos números racionais a partir de frações, números decimais e porcentagem é um exemplo. A decisão de distribuir e categorizar os dados segundo tais assuntos foi uma necessidade que emergiu da própria construção da trajetória curricular. Nos documentos curriculares analisados, frações, repre-sentação decimal e porcentagem têm percursos próprios no desenvolvimento do conceito de número racional, ou seja, até que a abstração necessária seja alcançada. Tal separação permitiu observar que os dois países iniciam a aborda-gem por frações no 3o ano e também que ambos tratam inicialmente de representação dos racionais em expansão decimal no ano escolar seguinte. Por outro lado, o documento brasileiro propõe a abordagem de potenciação com números racionais em expansão decimal no 6o ano, o que sequer aparece no documento canadense. Além do mais, é possível identificar que a potenciação de números racionais em representação fracionária não é proposta no documento brasileiro até o 6o ano, o que está em consonância com o fato de a multiplicação de frações também não ser um objeto de estudo recomendado até tal ano escolar. Cabe observar que contrastes como o da abordagem de potenciação - um aspecto elementar identificado em apenas um dos documentos, é destacado na trajetória curricular em letras vermelhas. O mesmo recurso visual é utilizado, por exemplo, para destacar a representação, comparação e ordenação de números inteiros, aspectos elementares observados apenas no documento canadense.
A trajetória curricular, apesar de ter emergido como recurso necessário para sintetizar o estudo, revela limitação para evidenciar questões específicas. Por exemplo, para além do fato de tanto a BNCC como a CCF proporem a abordagem das operações de adição e subtração de números naturais do 1o ao 6o ano de escolaridade, tratado como paridade, a análise revelou contrastes e paridades que não são diretamente distinguidos na trajetória curricular. É esperado que os alunos e as alunas brasileiras alcancem, no 2o ano escolar, a habilidade de “[r]esolver e elaborar problemas de adição e de subtração, envolvendo números de até três ordens, com os significados de juntar, acrescentar, separar, retirar, utilizando estratégias pessoais” (Brasil, 2018, p.283, realce nosso). Já o documento canadense, para a mesma etapa escolar, espera que os estudantes possam “demonstrar entendimento de adições (limitado a numerais de 1 e 2 dígitos) com respostas até 100 e das subtrações correspondentes” (Alberta Education, 2006, p. 65, realce nosso) (tabela IV). Os realces nas citações destacam um con-traste não explícito na trajetória: a limitação do conjunto numérico. A leitura combinada dos documentos também revelou que ambos incentivam o cálculo mental, o que entendemos como uma paridade não explícita na trajetória.
Tabela IV Elementos Estruturantes - Adição e Subtração de Números Naturais
Fonte: BNCC (Brasil, 2018, p. 283, realce nosso) e CCF (Alberta Education, 2006, p. 65, tradução nossa, realce nosso).
Contrapondo a limitação descrita, entendemos que a trajetória curricular oferece reflexões pontuais importantes. Uma delas se refere à reta numérica, que é considerada como um aspecto elementar que perpassa os diferentes universos numéricos. A reta numérica é contínua e consistentemente abordada no documento canadense ao longo dos seis anos escolares analisados, sustentando a ampliação do universo numérico. Entendemos que tal consistência reforça a sua relevância na aprendizagem de números no contexto canadense. Já ao observar a dimensão referente ao documento brasileiro na trajetória curricular, nota-se que existe uma interrupção na recomendação de abordagem da reta numérica no 2o ano. Entendemos que a ausência da orientação explícita merece investigação: a reta numérica, intencionalmente ou não, pode não ser tratada neste ano escolar.
Extrapolando seu caráter conclusivo e limitações latentes, a trajetória curricular tem o potencial de suscitar questões e desdobramentos do estudo, como no traba-lho mencionado anteriormente, Corrêa e Rangel (2021). Nesse estudo, as autoras problematizam a introdução do conceito de frações, amparadas pela observação de que a trajetória curricular sugere diferenças significativas nas abordagens ini-ciais de frações nos dois países, que se dá a partir do 3º ano escolar. A dimensão brasileira do recurso gráfico indica o tratamento de frações unitárias e em seguida de frações em geral. Já a dimensão canadense indica o início por frações próprias e na sequência impróprias; diferenciação essa que sequer é destacada no documento brasileiro. Em ambos os documentos, o construto parte/todo está fortemente associado ao ensino de frações. A análise da trajetória curricular revela que a BNCC propõe essa discussão no 5º ano, dois anos após o início do ensino das frações. Já a CCF traz o construto parte/todo no ano inicial do ensino de frações. Equivalência é certamente outro tema elementar na construção do conceito de frações. A trajetória curricular indica que as diretrizes curriculares dos dois países propõem a introdução do tema no 5º ano escolar e o associam à comparação e à ordenação de frações. Se destaca ainda a introdução das operações básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão) envolvendo frações. A BNCC determina que a adição e a subtração sejam tratadas no 6º ano, enquanto a CCF não trata dessas operações no período analisado. Os dois documentos não propõem o ensino da multiplicação e divisão das frações no período considerado.
Outro aspecto que pode inspirar novas investigações é o início da abordagem de números naturais. A trajetória curricular revela que, em ambos os documen-tos, tal início se dá a partir de contagem, representação no sistema decimal, comparação, adição e subtração, e representação na reta numérica. Revela ainda que os três primeiros anos da escolaridade dos dois países são pratica-mente dedicados à abordagem de números naturais. No entanto, não revela particularidades dessas abordagens, como a proposta didática de valorizar a resolução de problemas, observada nos dois documentos, ou os algoritmos explorados para efetuar as operações. Acreditamos que particularidades como as destacadas podem ser alcançadas por refinamentos da trajetória curricular. Além disto, investigar e compreender os fundamentos por trás de abordagens distintas são formas potenciais de promover novas reflexões, estudos e aprofun-damentos sobre o ensino de números naturais a partir da trajetória curricular.
Acreditamos que análises que evidenciem convergências e discrepâncias podem contribuir para a discussão sobre currículo no contexto da educação matemática, aprofundando questões como as elencadas e fomentando, inclusive, discussões didático-pedagógicas. Entendemos que a trajetória curricular permite “olhar através”, buscando aprofundar demandas diversas que não ficam evidenciadas na leitura direta do infográfico nem são aqui investigadas. As questões não evidentes no infográfico são potencialmente visíveis na elaboração da trajetória curricular. Assim, a trajetória curricular revela-se valiosa tanto em sua forma final quanto no processo analítico que conduz à sua elaboração. Portanto, salientamos não só o potencial da trajetória curricular aqui apresentada, mas também a possibilidade de elaboração de refinamentos da trajetória curricular à luz da metodologia proposta.
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Com foco nos seis primeiros anos escolares, este estudo apresenta uma representação esquemática multidimensional sobre o ensino de números segundo orientações curriculares oficiais de matemática dos sistemas educacionais do Brasil e do Canadá - a trajetória curricular. A elaboração da trajetória curricular resulta de uma metodologia de análise relacional entre documentos curriculares: a leitura combinada (Corrêa e Rangel, 2024). Tal metodologia permite evidenciar a organização de sequências curriculares e apontar paridades e contrastes entre os documentos analisados. O processo se funda na identificação de aspectos elementares do conteúdo, observados nos elementos estruturantes das grades curriculares. A trajetória curricular é o instrumento gráfico que emerge do estudo, sendo parte e produto da análise.
A investigação de currículos escolares de matemática com base em documentos curriculares de diferentes países tem o potencial de promover a reflexão sobre os processos de ensino, oferecer subsídios para a prática docente e contribuir para o desenvolvimento do conhecimento próprio do professor, o conhecimento da matemática para o ensino (Ball et al, 2008). Entendemos que, a partir da trajetória curricular apresentada neste estudo, professoras e professores podem perceber aspectos relacionados ao ensino de números que não necessariamente seriam notados na leitura ou implementação direta de um currículo. Reconhecemos que, de acordo com Remillard (2005), “ainda há muito a aprender sobre se [o] uso de materiais curriculares não familiares pode ser visto como uma forma de desenvolvimento docente” (p. 239, tradução nossa).
Evoluções naturais e subsequentes da trajetória curricular incluem investigações das diferentes abordagens identificadas com o intuito de promover novas reflexões, estudos e aprofundamentos sobre o ensino de números, assistindo, assim, o desenvolvimento profissional de professoras e professores de matemática e a transformação do currículo pretendido em currículo implementado. Por fim, acreditamos que a investigação aqui apresentada oferece também uma contribuição substancial para iniciativas relacionadas à formação docente, inicial e continuada, a materiais didáticos, e mesmo a estudos análogos com foco em outros países ou em outras unidades temáticas de matemática (geometria, estatística e probabilidade, álgebra, grandezas e medidas).
