Introducción

La holografía, o visión gráfica real, es un proceso de impresión especial con el que es posible generar imágenes ópticas tridimensionales de objetos físicos, grabadas por medio de luz láser sobre emulsiones sensibles, que reciben el nombre de hologramas. En la impresión de un holograma se graban con alto grado de exactitud las características visibles de algún objeto real sobre una placa o película fotosensible (emulsión) mediante un proceso de interferencia con ondas de luz planas y un montaje óptico con espejos y lentes.

La tecnología involucrada en la realización de hologramas no solo es sofisticada por el equipo que se utiliza, sino por el dominio, conocimiento y experiencia necesarios en física, matemáticas e ingeniería. Debido al proceso y herramientas requeridos, los hologramas son difíciles de falsificar; por ello, son utilizados para evitar fraudes o adulteraciones en un gran número de aplicaciones. La holografía también está presente en actividades artísticas, decorativas, promocionales, entre otras. De hecho, se dice que los hologramas son un símbolo de originalidad y seguridad.

Esencialmente, existen dos tipos de hologramas: de transmisión, visibles en la película grabada al ser iluminados del lado opuesto a la observación, y de reflexión, que se reproducen con luz que proviene del mismo lado del observador. La imagen impresa, procesada e iluminada de forma adecuada, se reproduce con diferente perspectiva según sea la posición del espectador. La imagen observada conserva casi por completo las características externas del objeto “fotografiado” y a veces se sale del marco límite del holograma de una forma espectacular. En concreto, los hologramas guardan y reproducen de forma auténtica e impresionante la apariencia de configuraciones tridimensionales.

Los hologramas se pueden imprimir sobre diversos tipos de materiales, tales como películas delgadas, fotopolímeros, cristales, gelatinas dicromadas, telas poliéster, entre otros, con resultados tan hermosos y asombrosos que cuando se observan es difícil resistir la tentación de tocarlos. En particular, la matemática involucrada que permite llegar a una conclusión significativa del proceso holográfico básicamente es la aplicación de ecuaciones diferenciales parciales, métodos analíticos de integración y, en específico, conceptos y resultados de análisis complejo, lo cual tratamos de mostrar de la forma más simple posible en este escrito.

Física del problema

La elaboración de un holograma es compleja, por lo que, en general, en este escrito solo se presentan los aspectos más importantes de la etapa de producción y la atención se enfoca principalmente en la fase de reproducción de hologramas de transmisión. El planteamiento y desarrollo del problema consiste básicamente de tres etapas principales, que se describen a continuación.

Producción del holograma. En la Figura 1 se bosquejan los elementos básicos presentes en la etapa de elaboración.

Figura 1 Proceso holográfico simple (sin lente). 

En esta simplificación se consideran los puntos siguientes:

La fuente soporte (el láser) es luz monocromática, lo cual implica que

Donde v0x es el campo direccional del láser y vx es la señal con la información del objeto tridimensional alrededor del cual pasa el láser. Las funciones u0t,x y ut,x son soluciones con la misma frecuencia ω de la ecuación de onda clásica

que la transforman en la ecuación de Helmholtz,

donde k=ω/α es el número de onda.

- La onda soporte (luz láser) es una onda plana. Esto es, v0x=eikn0⋅x,  n0=1 donde n0 es la dirección de la onda láser y la onda señal vx , que contiene la información del objeto, también es una onda plana.

- Sin lente, la intensidad de la onda mezclada se fija directamente. En este caso, cv+v02 , con c una constante de proporcionalidad.

La elaboración puede hacerse lo suficientemente sofisticada, al usar montajes con lente, cuya diferencia principal, en tal caso, es la intensidad de la onda mezclada que incide sobre la placa fotosensible (en la Figura 2 se ilustra de forma simple este caso).

Figura 2 Proceso holográfico usual (con montaje).  

Revelación del holograma. Enseguida, se revela (trabajo en laboratorio) el negativo de la información transmitida del objeto (Figura 3).

Figura 3 Impresión del holograma. 

Reproducción del holograma. Por último, sigue la observación, sin duda la etapa más interesante y excitante. En la Figura 4 se bosqueja el proceso de transmisión.

Figura 4 Reproducción de un holograma por transmisión. 

De forma tangible, en la zona de reproducción se tienen las siguientes regiones principales de observación (Figura 4):

El fenómeno físico (experimentalmente observado en el holograma elaborado) que se tiene para la onda transmitida, v+ , se describe por

donde A y A0 son coeficientes de transmisividad que dependen del tipo de película utilizada para la elaboración del holograma y w representa el ruido de fondo. Esto es, de forma heurística, se tiene el siguiente resultado notable y fundamental.

Resultado I. En la zona de reproducción existen tres tipos de onda, que se separan en sus respectivas direcciones, donde solo una de estas es la observablemente importante.

Modelo matemático

Para el modelo matemático aplicado, el holograma se considera como una pantalla o superficie de integración apropiada. La difracción de la onda señal de referencia v sobre esta superficie se describe por el coeficiente de transmisividad (o coeficiente de reflexión, respectivamente).

En la fórmula de Kirchhoff, debida al físico prusiano Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887), el plano hipotético Σ se considera primeramente como una pantalla absolutamente transparente ^[1]. Es decir,

donde

con Gk la solución fundamental o función de Green de la ecuación de Helmholtz

En este caso, la onda señal se transmite directamente (Figura 5),

Figura 5 Observación directa de la onda señal.  

Ahora, si la superficie Σ no es absolutamente transparente, entonces la difracción sobre la emulsión se describe por

donde σ=σy es un coeficiente de transmisión, con 0≤σy≤1, de forma que σy=1 corresponde a lugares absolutamente transparentes sobre Σ, mientras que σy=0 corresponde a lugares absolutamente opacos sobre Σ.

La expresión (8) se conoce como primer axioma de la holografía ^[2], ^[3]. El segundo axioma de la holografía se refiere a lo siguiente: después de hacer la impresión positiva del holograma, el coeficiente de transmisión obtenido sobre la pantalla es proporcional a la intensidad de la onda mezclada que incide sobre esta. En el caso más simple, la onda mezclada que incide sobre la emulsión es proporcional a la magnitud al cuadrado de ambas señales, v+v0 y, por lo tanto,

donde c es la constante de proporcionalidad de la incidencia de las dos ondas sobre la emulsión.

Los axiomas (8) y (9) proporcionan la fórmula para v+ , la onda transmitida que pasa a través del holograma. Esto es,

donde vs+ (la onda señal impresa), v0+ (la onda soporte transmitida) y w (el ruido presente)

son separadas por sus direcciones de propagación. La notación con barra sobre v0 y v indica conjugado complejo.

Luego, surge la pregunta de rigor: ¿la onda impresa vs+ reproduce exactamente a la onda señal original v ? A continuación, se presenta la respuesta.

Aproximación de la solución

La solución se aproxima con el método de ondas cortas, a saber, se supone que la longitud de onda λ= 1/k es mucho menor que el tamaño característico del sistema de referencia. Es decir, el tamaño de la placa del holograma l≫λ y la distancia de observación L≫λ , donde el símbolo “ ≫ ” denota mucho mayor que.

La Figura 6 ilustra la comparación del resultado matemático respecto a la física del problema (establecida en el Resultado 1).

Figura 6 Aproximación matemática de la onda señal reproducida 

Formalmente, la aproximación por ondas cortas significa tomar k suficientemente grande en la expresión (10) o equivalentemente, k→∞ y, por consiguiente, se obtiene la aproximación asintótica correspondiente:

Por lo tanto, como v0=1 , de la expresión (8) se tiene

Análogamente, si la onda señal es una combinación de ondas planas, que se propagan con diferentes direcciones nα ,

por superposición se combinan y se obtiene un resultado similar.

Por otra parte, al utilizar (11) y (13), la porción de la onda soporte que se transmite directamente es

donde, a partir del integrando en la fórmula (11), el término Aα,β proporciona el efecto en cada dirección de la expansión de ondas planas, llamado espectro angular en las direcciones dadas por nα y nβ que conforman la información completa del objeto.

Figura 7 Efecto y rango observable de la onda señal 

Al suponer que todos los ángulos de incidencia entre el eje del sistema y las componentes de la onda soporte, nα , satisfacen - ψ≤ψα≤ψ (Figura 7), que la zona observable también está dentro del mismo rango para ψ y que la onda soporte v0=eikn0⋅x tiene un ángulo ψ0 tal que sen ψ0>2 sen ψ , entonces el método de la fase estacionaria implica:

La integral en (14) no tiene puntos estacionarios, ya que el gradiente de la fase no se anula para x≠y Al aplicar el teorema de la función implícita ^[4] y ^[5] y el teorema de cambio de variable ^[6], para determinar una cota superior de la integral oscilatoria tipo Fourier (14), esta decae cuando k→∞ y, por lo tanto,

La integral que representa al ruido, wx , aproximada por

tampoco tiene puntos estacionarios en el rango considerado, así que wx=Ok-1.

De esta forma, finalmente se puede establecer el resultado más importante, objetivo del presente trabajo, que muestra la congruencia física-matemática para este problema.

Teorema 1. En la zona observable la onda transmitida que pasa a través del holograma es

Este resultado significa que existe una zona en la que la señal observada reproduce con precisión la señal original. Es decir, las características externas del objeto tridimensional impresas son conservadas en la zona observable.

Nota. Adicionalmente, utilizando la aproximación obtenida, se realizó una animación en PHYTON del proceso de reproducción de un holograma por transmisión para un objeto tridimensional particular, para efectos de mostrar un “holograma sintético digital” como complemento y motivación de una ponencia presentada en un evento académico de matemáticas aplicadas o para participar en futuros eventos académicos o minicursos.

Conclusiones

Físicamente, al reproducirlo y observarlo, un holograma muestra cuatro regiones principales (descritas en la Figura 4), en las que se tiene lo siguiente: una imagen caótica (deformación total o mezcla de la señal original), una imagen de fondo (contaminación por ruido), un rastro de la luz original (transmisión directa desde la fuente) y, lo más importante, una copia fiel del objeto analizado (Resultado 1), lo cual se corrobora matemáticamente de forma aproximada con el Teorema 1. Esto es, física y teóricamente existe un lugar en la zona de observación donde se reproducen con precisión las características visibles originales del objeto expuesto en el proceso holográfico por medio del modelo matemático utilizado.

El presente trabajo es un primer paso en la descripción del proceso físico de la holografía con un enfoque matemático, con el fin de destacar la importancia de los métodos matemáticos analíticos y la aproximación asintótica en el estudio de ciertos problemas reales. El siguiente paso es analizar el proceso de reproducción de hologramas de reflexión de una forma similar.

En particular, para el caso estudiado, la utilización del método de la fase estacionaria, como parte aplicada importante del análisis complejo, establece de forma clara la importancia de estudiar este tipo de problemas analíticamente. En otras palabras, los métodos analíticos son una herramienta fundamental y poderosa para la obtención de resultados y conclusiones de muchos procesos reales de distintas disciplinas.