Planteamiento del problema

Muchas veces la volatilidad no se puede determinar o identificar directamente en el activo financiero, por lo que se utilizan medidas proxy de esta (^{Danielson, 2011}). En este trabajo se considera la volatilidad bajo los modelos ARCH y GARCH, lo que lleva a definir la estacionariedad de las series financieras (^{Ruiz & Mosquera, 2021}). En los mercados de opciones, la valoración de los contratos necesita del conocimiento del comportamiento de unas variables, como los precios del activo subyacente, el de ejercicio, de la opción, la volatilidad del activo, la tasa de interés libre de riesgo y el plazo de vencimiento (^{Benavides, 2006}; ^{Hull, 2009}; ^{Blair, Poon y Taylor, 2001}). Un modelo de precios mal empleados está provocando los errores en las tendencias y se vuelve una medición no válida de las volatilidades (^{Harvey y Whaley, 1992}; ^{Benavides, 2006}).

En algunos mercados se encontró una alta volatilidad en sus precios¹¹. Los precios de los títulos se fijan por el valor nominal, que se determina al momento de hacerse su emisión, pero el valor se mueve en función de los pagos futuros (^{Campbell & Cochrane, 2000}; ^{Cochrane, 1999}), a descuento de una tasa aleatoria en el tiempo. Claro, esto va a depender del desempeño financiero de la empresa y la variabilidad de sus rendimientos no deja de ser parte de esa volatilidad.

Para formular el problema, primero, se reconoce que la volatilidad del mercado bursátil - a través del IPC- se vuelve realmente una variable explicativa. La naturaleza de la volatilidad¹² en el índice bursátil se transmite a los importes de los contratos de las opciones. La varianza condicional de cada perturbación u_i en las variables explicativas, no necesariamente sea constante, sino se mueven de modo disperso y le da la categoría de volátil (^{Maddala, 1994}). Ello altera la estabilidad del mercado financiero y las decisiones de inversión.

Las operaciones en contratos de opciones, más que un mecanismo de liquidez a un plazo futuro, surgió por la probabilidad de un rendimiento mayor. Eleva el riesgo y la volatilidad en los mercados. El contemplar el uso de un activo subyacente, cuyo precio de ejercicio¹³, involucra el derecho a ejercer o no, se vuelve motivo de una especulación alta frente a otros instrumentos. Desde el ^{Black and Sholes (1973)}, se ideó la forma de evaluar el precio de las opciones¹⁴, ante esta inestabilidad. A veces resulta incomprensible y no representativa por la alta volatilidad de los mercados; siendo alta y se intensifica en el caso de las opciones.

Desarrollo metodológico y series estadísticas

Para un análisis más profundo de la volatilidad se recurrió a series estadísticas mensuales de los importes de los contratos de opciones, del lapso de enero de 2010 a diciembre de 2018. Hay un total de 108 observaciones, cuya fuente de datos fue el Mercado Mexicano de Derivados S.A. (MexDer). Como activos subyacentes se tomó el Índice de Precios y Cotizaciones de la Bolsa.

Al utilizarse una serie temporal de 2010-2018, fue posible alejarse de comportamientos irregulares y hace factible el identificar los procesos estocásticos. No así las crisis 2008-2009 y ahora el 2017, que representaron un difícil contexto exterior y de mucha inestabilidad en los mercados internacionales; al asumir Donald Trump la presidencia de Estados Unidos (2017), se agravó la incertidumbre y lo resintieron los mercados con mayor volatilidad.

Cualquier serie temporal Z₁, Z₂,...Z_n, de activos subyacentes, como los índices bursátiles, no es fácil el distinguir la existencia de procesos estocásticos. La Z_t es una variable aleatoria, en un momento t. Cuando las N observaciones, cambian de un nivel a otro, sin un patrón visible, es posible afirmar que hay una tendencia estocástica o aleatoria, que se alcanza a definir una secuencia de valores en distintos momentos. El paseo aleatorio queda¹⁵:

Z_t = µ +γZ_t-1 + A_t Para todo t = 0, +1,+2...(1)

El coeficiente γ tiene condición de estricta estacionariedad, siempre que se cumpla |γ| < 1 (^{Gourieroux, 1997}; ^{Engle & Bollerslev, 1986}). El parámetro μ puede valer cero. El término A_t una variable aleatoria, que se describe como ruido blanco y varianza Var (U_t) = σ² (^{Engle, 1982}). A_t tiene media cero y varianza constante: A_t → (0, σ²). Cada A_t puede seguir una distribución normal, de ruido blanco normal o Gaussiano¹⁶.

Suele describirse la volatilidad como una varianza condicional¹⁷ de una variable aleatoria (índices o rendimientos de un activo), siendo un factor de riesgo. Ello, trae consigo el tener que medir la heterocedasticidad (^{Engle, 1982}), una condición y procedimiento para evaluar la calidad de los parámetros.

A un proceso estocástico (univariante), el componente Z_t sigue un modelo ARCH. La varianza condicional de los errores Z_t sigue una función de Z_t-1, sin tener autocorrelación, lo que resulta estadísticamente independiente. El proceso ARCH implica un problema al momento de su aplicación. A medida que crece el número de retardos y se tiene muchas iteraciones en el proceso de estimación (^{Abascal, 2016}). En ^{Bhattacharyya y Ritolia, (2008)}, se describe:

Z_t = σ A_t con σ² = a_o + a₁ Z²_t-1 (2)

La variable Z_t depende de σ, la volatilidad en el tiempo t, y A_t es la parte estocástica del modelo, que depende de los residuales. Donde a_o, a₁ > 0, con a₁ < 1. A_t → (0,1), es independiente de σ.

Para incorporar la volatilidad condicional se considera entonces el modelo GARCH, que hace más eficiente las estimaciones¹⁸, que las del modelo ARCH. Un proceso estocástico en torno a Z_t puede seguir un proceso GARCH, de este modo:

Z_t = σ A_t con σ² = a_o + a₁ Z²_{t-1 +} b₁ σ²_t-1 (3)

La varianza condicional de los errores Z_t se vuelve una constante. Los componentes de Z_t no están autocorrelacionados, por ser estadísticamente independientes y la varianza condicional de Z_t en función de Z_t-₁. Donde a_o, a₁ > 0, con b₁ > 0. Luego (a₁ + b₁) < 1_. Si A_t → (0,1), resulta independiente de σ. En un período amplio, σ es el coeficiente de volatilidad en el tiempo t, que depende de los residuales ε_t, lo que permite diseñar una estructura ARMA (Auto-regresivo de media móvil)¹⁹. Así, la volatilidad condicional depende de los residuales cuadrados ε²_t-1 (efecto ARCH) y la varianza condicional previa σ²_t-1.

Actualmente los trabajos incluyen y se mejora el modelo ARCH, por la incorporación de una varianza condicional rezagada (^{Nelson, 1990}; ^{Mora et al, 2014}). Esos valores recientes traen consigo alguna inercia del pasado. Un proceso que estima el grado de la volatilidad condicional de los rendimientos (z_t), a partir de una varianza rezagada o la volatilidad pasada, para luego asumir un mayor peso relativo en la volatilidad actual (^{Bollerslev, 1987}).

La valuación de la opción, en consecuencia, queda sujeta a los vaivenes o volatilidad del mercado y a los movimientos que registra su activo subyacente (^{Hull, 2017}). Si bien, la herramienta para detectar el grado de volatilidad sean más apropiados los modelos ARCH y GARCH, pues captan el comportamiento y la volatilidad. Suele reflejarse en los riesgos que se hallan los posibles rendimientos financieros.

Aplicación del método ARCH y GARCH: sus resultados

El análisis de la volatilidad fue con el método ARCH y GARCH, a 108 observaciones de las series de importes mensuales de los contratos de opciones en un periodo 2010 a 2018. La elección de este período cumple con la regularidad de las operaciones de este instrumento, posterior a la crisis 2008-2009. En particular, se examinaron los procesos estocásticos y la volatilidad condicional del índice bursátil (IPC), con base principalmente en el proceso GARCH.

Hay diferencias en los modelos ARCH y GARCH que se aplican en esquemas de cambios de régimen, persistente en la volatilidad y toma diferentes valores, con altos y bajos niveles de volatilidad. El proceso GARCH llega a caracterizarse por una caída exponencial en la auto-correlación de su varianza condicional. Ocurre por los rendimientos absolutos y cuando los activos financieros han tenido una correlación serial, lenta y decreciente en series largas (^{Poon & Granger, 2003}).

Cuando se observan los importes de los contratos de opciones, entre 2010 y 2018, se tuvo una media µ de 190.98 millones de dólares mensuales en el periodo (Tabla 3). Los importes pasaron de un mínimo de 25.07 millones a un nivel máximo de 851.11 millones de dólares mensuales. La mediana fue de 155.04 millones de dólares. El coeficiente de curtosis fue de 7.65, siendo mayor a 3, lo que representa una distribución leptocúrtica, con gran apuntamiento hacia un lado. La asimetría fue de 2.43. Hay las condiciones de un proceso estocástico y condicional de Gauss, por el registro de una curtosis (C) bastante alta.

En este período analizado, por las estimaciones de los parámetros con GARCH (1,1) en los distintos casos, de Distribución Normal, T-Student y la Función del Error Generalizado (GED), fue posible verificar que se cumplen al menos tres reglas (Tabla 4):

Por la estimación de los parámetros α₀, α₁ y β₁ se están cumpliendo con la no negatividad de sus valores, además de que la suma de α₁ y β₁ es menor a la unidad. Ello implica que los resultados obtenidos con el proceso GARCH son válidos, toda vez que se empleó el método de cuasi-máxima verosimilitud, por ser un proceso iterativo y de mayor eficiencia. La obtención de errores estándar indica que son robustos, además que se infiere que la varianza condicional posee una distribución casi homocedástica, a lo largo del periodo.

Al evaluar la pertinencia de la hipótesis nula, las distintas pruebas de ruido blanco y de distribución normal, dado el P-Valor, nos arroja resultados no válidos ni significativos, a un margen del 95%. En este caso, los rendimientos no explican necesariamente los importes de los contratos (Tabla 5). Para constatar que si existe heterocedasticidad condicional, el efecto Arch (que incluye períodos rezagados t-1) y un P-Valor de 8.38 siendo un valor alto, a pesar de ello nos da un resultado algo satisfactorio. Por ello, se infiere que los rezagos en los residuales no determinan el proceso de volatilidad condicional en los precios de las opciones al tiempo actual.

En las pruebas de normalidad de los datos, los valores de los estadísticos de Jarque-Bera (JB), de Shapiro-Wilk (SW) y Doornik & Hansen (Chi-Square) muestran resultados que finalmente son falsos o no se toman como válidos, a un nivel de significancia del 95% (Tabla 6). En los tres casos, el P-Valor no son mayores a 0.050, por lo que no es correcta la suposición de distribución normal para el conjunto de datos de la muestra. El estadístico Shapiro-Wilk fue muy bajo, el ajuste es malo y se rechaza la normalidad. Para una prueba bivariada de variables, el valor Doornik & Hansen (Chi-Square) de 136.11 también rechaza la normalidad de los datos, por lo que los parámetros estimados no son tan confiables.

Los contratos de opciones tomando estrictamente como activos subyacentes el índice bursátil (IPC)

Dentro de los contratos de opciones, el activo subyacente que se está utilizando más, corresponde al Índice de Precios y Cotizaciones (IPC). Este índice refleja el comportamiento de las acciones en Bolsa Mexicana de Valores, que a su vez representa el avance de la actividad económica. Hay una relación entre variables de producción e inversión con los rendimientos del mercado financiero (^{Alonso-Rivera et al, 2017}). Las inversiones en sectores productivos y el crecimiento de la producción industrial, como parte del sector real, tiene incidencia positiva en los precios de las acciones y en el IPC²².

La volatilidad condicional de las opciones advierte un proceso estocástico e inestable, cuando se toma el Índice Bursátil. Para estas series financieras, ^{Aguirre et al (2013)} halló frecuentes correlaciones entre las opciones y los índices bursátiles. Para lograr buenas estimaciones en los rendimientos de las acciones, que reporta el IPC como un activo subyacente en las opciones, se hizo el uso de residuales. El empleo del modelo GARCH (1,1) fue un recurso y prueba de la volatilidad, lo que hizo más eficientes las estimaciones, frente a las obtenidas con el ARCH.

De acuerdo con datos de la Bolsa Mexicana de Valores, el IPC reportó una media µ de 42 206.06 puntos, con una desviación estándar de 5 151.24 en el lapso 2010-2018 (Tabla 7). Se observó una baja volatilidad del Índice bursátil, con un coeficiente de variación de 12.2% respecto a la media. En este sentido, hubo menor el riesgo por unidad del rendimiento. Una asimetría de -0.4 y un coeficiente de curtosis de -0.6, siendo estas negativas y menor a la unidad. Ello representó una distribución menos apuntada (platicúrtica), con colas más gruesas.

Cuando se observan los movimientos del Índice de Precios, este osciló en un rango amplio desde 20 818.87 puntos, hasta alcanzar un nivel máximo de 51 210.48 puntos en este periodo.

El modelo GARCH siempre ha sido efectivo y es una herramienta útil en la detección de la varianza condicional y el grado de volatilidad (^{Engle, 2001}). Por las estimaciones de los parámetros con GARCH (1,1), para los casos de distribución normal, t-Student y la función de error generalizado, fue posible verificar que se cumplen las tres reglas:

Fuente: Elaboración con datos de la Bolsa Mexicana de Valores.

Figura 1 Distribución de datos a lo largo del periodo, 2010-2018 

Por la obtención de valores de los parámetros estimados α y β₁, si bien cumplen con la no negatividad de sus valores, además se observa que la suma de α₁ y β₁ fue menor a la unidad. Ello hace que los resultados obtenidos por el proceso GARCH sean válidos, con base en el método de cuasi-máxima verosimilitud. Los errores estándar son robustos y se infiere que la varianza condicional tenga una distribución homocedástica, en todo el periodo analizado.

Al realizarse las pruebas de normalidad, se obtuvo que los estadísticos de Jarque-Bera (JB) y de Shapiro-Wilk (SW) arrojan resultados verdaderos y estos sean significativos, a un nivel del 95% (Tabla 9). En estos dos casos, considerando los residuales y el P-Valor son mayores a 0.050, lo que son bastantes altos. Tiene validez la normalidad de la distribución de datos. No obstante, que los estadísticos Jarque-Bera y Shapiro-Wilk sean bajos, los ajustes y la normalidad son tomados como buenos. En cambio, la prueba Doornik & Hansen (Chi-Square) de 7.34, da lugar a no aceptar la normalidad de estos datos, por consecuencia, los valores obtenidos no alcanzan a ser significativos.

Posibilidades en las predicciones de mercados, el uso de backtesting

El uso de algoritmos en los mercados financieros por los avances en la informática están ganando popularidad en los últimos años (^{Kostiainen, 2016}). La conveniencia de aplicar backtesting no sólo se trata de probar que hubiera pasado con cierta estrategia en los casos en que se utilizan series históricas; sino el comparar una estrategia frente a otra²³, a través de distinguir los márgenes a favor y en contra (^{Lopez, 2022}). La predicción de resultados nos lleva a encontrar las mejores estrategias, en tales situaciones y condiciones de riesgo en el mercado.

Dentro de la predicción de precios en los mercados financieros, Ke ^{Li (2022)} sostiene que se han desarrollado muchas técnicas de análisis para la identificación de patrones, pero siempre se están explorando nuevas técnicas, a través de la ejecución automática de algoritmos, como el modelo machine learning, para ver predicciones en el movimiento de las acciones en los mercados (^{Estupiñan, 2022}).

En particular, la técnica de backtesting permite la validación de resultados en las series de tiempo, en la que para ello se pueden buscar los hiperparámetros. Un procedimiento de separación de datos en períodos de tiempo y de esta forma se realizan los procesos de iteracción (^{Estupiñan, 2022}); dando lugar a localizar el mejor ajuste de los datos. No obstante, se percibe limitaciones en la capacidad de encontrar una estrategia, que puede funcionar correctamente con las series de tiempo del pasado, pero no ser tan correcta para el futuro.

De este modo, los importes de los contratos advierten de una percepción de los inversionistas, a que sí hay una tendencia a que a medida que crece el IPC, los importes de los contratos registran una baja importante (Figura 2). Existe una relación negativa o inversa entre los importes de las opciones y el IPC. Ello se atribuye a que la percepción de riesgo y rentabilidad, se pone en juego al subir el IPC; lo que impulsa a los operadores a mover sus estrategias.

Fuente: Elaboración con datos del MexDer y la BMV.

Figura 2 Tendencia de los Contratos de Opciones por IPC, 2010-2018 

No hay duda, en consecuencia, que la utilidad del backtesting es un proceso de simulación y comprobación del desempeño de un modelo de predicción, con series de tiempo y ver las posibles fallas hacia adelante (^{Sobrepere Delgado, 2015}; citado por ^{López & Piedrahita, 2022}). Sin embargo, dicha técnica pudiera reflejar situaciones no controladas y también nos puede llevar a la sobreestimación de una estrategia, que en ocasiones esto ocurre con frecuente facilidad.

Implicaciones de la política de inversiones en opciones

Hay una preferencia por tener activos líquidos y destinar riqueza hacia el sector financiero, pero implica el anticipar el cómo superar la crisis actual y los efectos de la política económica en el sector real (^{Rodríguez & Venegas, 2012}). Es importante que las inversiones en valores y deuda, de modo extraordinario, vean la posibilidad de enfrentar los riesgos mediante los contratos en opciones. Ello lleva a que los recursos líquidos se resguarden con el atractivo de un contrato de opciones, pues involucra implícitamente un activo subyacente, ofreciendo más rendimientos frente a la volatilidad esperada.

Las opciones pueden fungir como una transferencia de riesgos, dando un premio por asumir el riesgo y la volatilidad, frente a un comportamiento aleatorio del tipo “Random Walk” (^{Caro et al, 1995: 163}). Existen momentos de alta volatilidad que no se resuelve con un portafolio único para enfrentar los riesgos. Para ^{Bookstaber (1991)}, los inversionistas cuentan con una gama de instrumentos que les permite definir sus portafolios, a fin de cubrir el riesgo y las contingencias de mercado.

Suele ser importante el definir una estrategia para especular, máxime cuando se hace con opciones. El diseño de la estrategia nos lleva a ser flexibles, por consiguiente, ello depende de los requerimientos del pago de margen, comisiones, costos e impuestos. Una estrategia se vuelve relevante ante la variedad de tipos de opciones, puts, calls, precios de ejercicios y vencimientos (^{Mansell, 1992}). Se trata de las expectativas de una volatilidad futura de precios, o bien, de cómo se vayan a mover los activos de referencia.

De acuerdo con los resultados y la especificación econométrica, las estimaciones arrojan algunos comportamientos de los contratos de opciones respecto al IPC:

En el mercado no hay una variedad amplia de opciones que se ofrezca a los clientes. Estos contratos están ligados a activos de referencia, cómo el índice bursátil, ante su fuerte volatilidad. Se admite por algunos autores, en ^{Moretti (2015)}, que en ocasiones el sector empresarial desconoce el aprovechamiento de estos instrumentos y las oportunidades ocurren al ingresar a este mercado.