The Casimir operator of SO(1,2) and the Pöschl-Teller potential: an AdS approach
R. da Rocha* and E. Capelas de Oliveira**
*Instituto de Física Gleb Wataghin (IFGW), Unicamp, CP 6165, 13083-970, Campinas (SP), Brazil, e-mail: roldao@ifi.unicamp.br.
**Depto. de Matematica Aplicada, IMECC, Unicamp, CP 6065, 13083-859, Campinas (SP), Brazil, e-mail: capelas@ime.unicamp.br.
]]> Recibido el 29 de marzo de 2004;
Abstract
We present and discuss some features of the anti-de Sitter spacetime, that is jointly with de Sitter and Minkowski is only, the unique maximal isotropic manifold. Among all possible lorentzian manifolds, we restrict our attention to the anti-de Sitter (AdS) spacetime, with metric diag(1,—1, —1). We start by presenting the conformal time metric on AdS and we then show how we can obtain the Schrödinger formalism [1]. The Lie algebra so(1,2) is introduced and used to construct spin and ladder operators. After presenting the unitary representations, the AdS(1,2) spacetime is suitably parametrized and a representation of SO(1,2) is obtained, from which the Schrödinger equation with Poschl-Teller potential is immediately deduced. Finally, we discuss some relations between the relativistic harmonic oscillator and the Klein-Gordon equation, using the AdS(1,2) static frame. Possible applications of the presented formalism are provided.
Keywords: Schrödinger equation; Pöschl-Teller potential; Casimir; spin and ladder operators; Cartan form; unitary representations; anti-de Sitter spacetime; hyperbolical coordinates; quantum mechanics.
Resumen
Presentamos el espacio-tiempo de anti-de Sitter, el cual junto con los espacio-tiempos de Minkowsky y de Sitter, es la única variedad isotrópica maximal. Dentro de todas las variedades lorentzianas, restringimos nuestra atención al espacio-tiempo AdS con una métrica diagonal (1, —1, —1). Después de presentar la métrica tiempo-conforme en AdS, usamos otro enfoque para mostrar como es posible obtener el formalismo de Schrödinger. Introducimos también el algebra de Lie so(1, 2) y construimos los operadores de spin y de escalera (ladder) a partir de los generadores de esta álgebra. Después de mostrar la representación unitaria, parametrizamos adecuadamente el espacio-tiempo AdS(1,2) y deducimos la construcción de una representación de SO(1,2), de la cual obtenemos la ecuación de Schrödinger associada al potencial de Pöschl-Teller. Finalmente discutimos algunas relaciones entre un oscilador armónico relativista y la ecuación de Klein-Gordon, usando el referencial estático AdS(1,2). Son presentadas posibles aplicaciones de este formalismo.
Descriptores: Ecuación de Schrödinger; potencial de Pöschl-Teller; operadores de Casimir, de spin y de escalera; representaciones unitarias; espacio-tiempo de anti-de Sitter; mecánica cuántica.
]]>PACS: 02.20.-a; 03.65.Fd; 04.20.-q
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References
1. E. Schrödinger, Expanding Universes, Cambridge Univ. Press, Cambridge (1957). [ Links ]
2. T. Kaluza, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. 33 (1921) 966. [ Links ]
]]>3. O. Klein, Z. Phys. 37 (1926) 895. [ Links ]
4. E. Witten, Nucl. Phys. B311 (1988) 46. [ Links ]
5. M.F. Sohnius, Phys. Rep. 128 (1985) 39. [ Links ]
6. S. Hawking, The Large Scale Structure of Space-Time, Cambridge Monographs on Mathematical Physics, Cambridge Univ. Press, Cambridge (1975). [ Links ]
7. W. de Sitter, Proc. Royal Acad. Amsterdam 19 (1917) 1217. [ Links ]
]]>8. E.A. Notte Cuello and E. Capelas de Oliveira, H. Journal 18 (1995) 181. [ Links ]
9. G. Arcidiacono, Relativita e Cosmologia, Di Renzo, Roma (2001). [ Links ]
10. G. Borner and H.P. Dürr, N. Cimento 64A (1969) 669. [ Links ]
11. M.R. Gaberdiel, Rept. Prog. Phys. 63 (2000) 607. [ Links ]
12. J. Baez, Gauge Fields, Knots, and Gravity (Series on Knots and Everything, Vol. 4), World Scientific Pub. Co. Inc. (1994). [ Links ]
]]>13. J. Zanelli, Chern-Simmons (super)-gravities, la Hechicera School, Merida, Venezuela (1999). [ Links ]
14. W. Greiner and B. Müller, Quantum Mechanics, Symmetries, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin (1994). [ Links ]
15. N. Jacobson, Lie Algebras, Dover, New York (1979). [ Links ]
16. G. Pöschl and E. Teller, Zeit. Phys. 83 (1933) 149. [ Links ]
17. I.I. Cotǎescu, Relativistic Poschl-Teller and Rosen-Morse problems, physics/9704007; Modern Physics Letters A 13 (1998) 2923; www.arxiv.org/physics/9705011. [ Links ]
]]>18. E. van Beveren, G. Rupp, T.A. Rijken, and C. Dullemond, Phys. Review D 27 (1983) 1527. [ Links ]
19. R. Troncoso and J. Zanelli, IJTP 38 (1999) 1181. [ Links ]
20. B. Zwiebach, A First Course in String Theory, Cambridge University Press, Cambridge (2004). [ Links ]
21. R. Rocha Jr. and E. Capelas de Oliveira, Dirac Equation in Riemannian Manifolds: An Explicit Analytical Solution in AdS(1,2) Spacetime, Technical Report 14/03, Unicamp, SP, Brazil (2003). [ Links ]
]]>