Conservative nonlinear oscillators in Abel's mechanical problem

R. Muñoz, G. Fernández–Anaya

Universidad Autónoma de la Ciudad de México, Centro Histórico, Fray Servando Teresa de Mier 92 y 99, Col. Obrera, Del. Cuauhtemoc, México, D.F. 06080, México, e–mail:rodrigo.munoz@uacm.edu.mx.

Universidad Iberoamericana, Departamento de Física y Matemáticas, Av. Prolongación Paseo de la Reforma 880, Col. Lomas de Santa Fe, Del. Alvaro Obregon, México D.F., 01219, México, e–mail: guillermo.fernandez@uia.mx

Abstract

We study a family of conservative, truly nonlinear, oscillators, arising from particular solutions of Abel's mechanical problem. An exact period–to–amplitude relation is produced for each instance. The lagrangian and hamiltonian formulations of such systems are discussed, along with their relations with the harmonic oscillator.

Keywords: Nonlinear oscillators; analytical mechanics; Abel's mechanical problem.

Resumen

Se estudia una familia de osciladores no lineales, intrínsecamente no analíticos, que surgen como soluciones particulares del problema mecánico de Abel. Se incluye en cada caso la expresión exacta del periodo en función de la amplitud de las oscilaciones. Las formulaciones lagrangiana y hamiltoniana son discutidas, así como la relación que los mencionados sistemas guardan con el oscilador armónico.

Descriptores: Osciladores no lineales; mecánica analítica; problema mecánico de Abel.

PACS: 01.55.+b; 02.30.Xx; 02.30.Hq; 02.30.Em

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Acknowledgments

The support of SNI–CONACYT (Mexico) is duly acknowledged.

References

1. Z.K. Peng, Z.Q. Lang, S.A. Billings, and G.R. Tomlinson, J. of Sound and Vibration 311 (2008) 56.         [ Links ]

2. J.J. Collins and I.N. Stewart, J. Math. Biol. 30 (1992) 827.         [ Links ]

3. R. Sisto, A. Moleti, J. Acoust. Soc. Am. 106 (1999) 1893.         [ Links ]

4. W. Leon–acuteski, Phys. Rev. A 55 (1997) 3874.         [ Links ]

5. D.P. Gregg, Solar Physics 90 (1984) 1185.         [ Links ]

6. T. Mausbach, T. Klinger, and A. Piel Phys. Plasmas 6 (1999) 3817.         [ Links ]

7. V. Marinca and N. Herisanu, Chaos, Solitons and Fractals 37 (2008) 144.         [ Links ]

8. M. Bruschi, F. Calogero, and R. Droghei, J. Math Phys. 50 (2009) 122701.         [ Links ]

9. A. Beléndez, A. Hernández, T. Beléndez, C. Neipp, and A. Márquez, Eur. J. Phys. 28 (2007) 93.         [ Links ]

10. A. Beléndez, J.J. Rodes, T. Beléndez, and A. Hernández Eur. J. Phys. 30 (2009) L25.         [ Links ]

11. A. Beléndez, M.L. Álvarez, E. Fernández, and I. Pascual, Eur. J. Phys. 30 (2009) 259.         [ Links ]

12. A. Beléndez, M.L. Álvarez, E. Fernández, and I. Pascual, Eur. J. Phys. 30 (2009) 973.         [ Links ]

13. P. Amore and F.M. Fernández, Eur. J. Phys. 30 (2009) L65.         [ Links ]

14. L. Geng, Eur. J. Phys. 28 (2007) 923.         [ Links ]

15. C.G. Carvalhaes and P. Suppes, Am. J. Phys. 76 (2008) 1150.         [ Links ]

16. J. Landy and R. Sari, Eur. J. Phys. 28 (2007) 1051.         [ Links ]

17. M.J. O'Shea, Eur. J. Phys. 30 (2009) 549.         [ Links ]

18. G.F. Simmons and J.S. Robertson, Differential Equations with Applications and Historical Notes. (Mc Graw–Hill, N.Y. 1972).         [ Links ]

19. R.E. Mickens, Truly nonlinear oscillators (Harmonic Balance, Parameter Expansions, Iteration and Averaging Methods) (World Scientific, Singapore, 2010).         [ Links ]

20. G.B. Arfken, and H.J. Weber Mathematical Methods for Physicists. 6th edition (Elsevier, Amsterdam, 2005).         [ Links ]