La ley de Benford y su aplicabilidad en el análisis forense de resultados electorales

Benford's Law and its Applicability in the Forensic Analysis of Electoral Results

Gonzalo Castañeda*

Artículo recibido en julio de 2009 ]]> Aceptado para su publicación en octubre de 2010.

Resumen

En este artículo se analiza la viabilidad de la ley de Benford para el estudio forense de la detección de fraudes electorales. De acuerdo con esta ley, los dígitos iniciales de un conjunto de números siguen una distribución logarítmica cuando los datos no han sido perturbados. La generación de esta ley en datos socioeconómicos y de otra índole depende de la presencia de un doble proceso aleatorio: eventos de una distribución y distribuciones de probabilidad elegidas de un conjunto reducido. A partir de un modelo basado en agentes se muestra que esta ley no ofrece una prueba robusta para distinguir entre elecciones limpias y las que han sido manipuladas. En dicho modelo las preferencias partidistas se modifican a partir del contagio social, y los parámetros son calibrados con datos de las elecciones mexicanas de 2006.

Palabras clave: ley de Benford, análisis de fraude electoral, modelos basados en agentes, preferencias políticas, elecciones mexicanas de 2006.

Abstract: This article analyses the viability of Benford's Law in the forensic study of the detection of electoral frauds. According to this law, the initial digits of a set of numbers follow a logarithmic distribution as long as the data has not been disturbed. Implementation of this law in socioeconomic data —or in other types of data— depends on the presence of a two-fold randomized process: events of a distribution, and probability distributions selected from a reduced group. Through agent-based models, it is demonstrated that this law does not offer a robust test to distinguish between clean elections and elections that have been manipulated. In the model-in-question, partisan preferences are modified by means of social transmission and the parameters are calibrated with data from the Mexican 2006 elections.

Keywords: Benford's Law, analysis of electoral fraud, agent-based models, political preferences, Mexican 2006 elections.

Introducción

Una aplicación importante de la ley de Benford (o ley del primer dígito) se encuentra en la detección de fraudes fiscales (Nigrini, 1996; Durtschi et al, 2004), por lo que varios analistas han sugerido que esta prueba forense podría utilizarse para detectar la posibilidad de manipulación en otros tipos de datos socioeconómicos (Varían, 1972; Diekmann, 2004). La inclusión de datos falsos en un conjunto de números suele llevarse a cabo mediante una distribución uniforme y, por lo tanto, el comportamiento anómalo en este conjunto puede detectarse al comparar la frecuencia empírica de estos números con la distribución teórica asociada con la ley de Benford.

En años recientes algunos autores, liderados por Walter Mebane, han empleado esta metodología para detectar fraudes electorales. Por lo general, este procedimiento estudia el primer o segundo dígito inicial en la cuenta de votos recibidos por cada candidato, ya sea en la casilla o en las secciones electorales. Ejemplos de estos estudios forenses se presentan en Mebane (2006a, 2006b, 2007a, 2007b, 2007c y 2008), y Pericchi y Torres (2004).

En este artículo se cuestiona la aplicabilidad de la ley de Benford como prueba forense de los resultados electorales. Este cuestionamiento obedece a la dificultad de saber si, efectivamente, las decisiones de voto producen una distribución logarítmica en los primeros dígitos de las cuentas de las diferentes casillas o distritos. Para descifrar la naturaleza estocástica de las campañas electorales se utiliza un modelo basado en agentes (ABM, por sus siglas en inglés), ya que los procesos electorales son caracterizados como sistemas adaptables complejos. En otras palabras, el modelo computacional aquí descrito plantea que las preferencias partidistas se ven condicionadas por la información local y global, y que la interacción social de los individuos modifica, a su vez, los clústeres partidistas y los sondeos nacionales de opinión pública. De esta forma las campañas virtuales que se simulan con un ABM permiten generar datos artificiales para calcular las frecuencias relativas de los dígitos iniciales significativos y así contrastarlas con la ley de Benford.

Además de esta introducción, el artículo se divide en cuatro secciones. En la segunda se formaliza el concepto de la ley de Benford y se presentan estudios que aplican este tipo de análisis forense a datos electorales mexicanos. En la tercera sección se hace una breve síntesis de las premisas y los mecanismos del ABM utilizado, lo que de entrada es ya una contribución original para el estudio de preferencias partidistas durante una campaña electoral. En la cuarta sección se presentan simulaciones en las que la validación (rechazo) de la ley de Benford no es del todo consistente con la presencia de elecciones virtuales limpias (trucadas). En cambio, en las conclusiones se plantea que las simulaciones con ABM y sus patrones emergentes sí pueden ser empleados como una prueba forense alternativa en un análisis electoral.

La ley de Benford, sus limitaciones y aplicación en el caso mexicano

Resulta muy sencillo establecer la distribución teórica para el dígito ubicado en κ-ésima posición (de izquierda a derecha) de números generados de acuerdo con un cierto proceso estadístico. En particular, la frecuencia relativa que caracteriza la ley de Benford para el primer dígito significativo (1-BL) se describe de la siguiente manera:

de este modo, el dígito 1 tiene una probabilidad de 0.301 mientras que el dígito 9 tiene una probabilidad de sólo 0.0458. Las probabilidades restantes se presentan en el cuadro A.1 del apéndice A, en el que también se describen las distribuciones de la ley de Benford para diferentes dígitos.

cabe notar que para la distribución 2-BL existe una probabilidad positiva para el dígito 0, que es igual a 0.11968, dado que el cero sí puede presentarse en la segunda posición inicial de un número.

Finalmente, la ley del dígito-significativo con que se generaliza la ley de Benford en términos de una densidad conjunta de los dígitos en las primeras k posiciones iniciales se define de la siguiente manera (Hill, 1995):

por ejemplo, Prob (D₁ = 1, D₂ = 2, D₃ = 9) = log₁₀ [1 + (1 x 10^3-1 + 2 x 10^3-2+ 9 x 10^3-3)^-1 ] ≈ log₁₀ [1 + (129)⁴] « 0.00335.

También se puede demostrar que la distribución del i-ésimo dígito significativo (D_k) se aproxima muy rápidamente a una distribución uniforme cuando la κ-ésima posición se mueve hacia la derecha (Zhipeng, Ling y Huajia, 2004). Por medio de histogramas es fácil visualizar la presencia de distribuciones no-uniformes para la primera y segunda posición pero no así para las demás posiciones. De hecho, cuando k ≥ 3 las distribuciones asociadas tienen un valor medio muy cercano a 4.5 y una varianza cercana a 8.25, valores que coinciden con los de una distribución uniforme.

Limitaciones de la ley

Hill (1995) presenta una explicación bastante convincente de por qué es muy común observar la ley de Benford en tablas numéricas generadas con fenómenos muy diversos. De acuerdo con este autor, la distribución logarítmica se establece cuando el conjunto de números analizados proviene de un proceso aleatorio generado con una mezcla estadística. Es decir, una tabla de números sigue la ley de Benford cuando éstos son producidos a partir de realizaciones aleatorias de un conjunto pequeño de distribuciones diferentes que, a su vez, son elegidas aleatoriamente.¹ A manera de ejemplo, este escenario prevalece en una tabla recopilada con números que aparecen en un periódico, ya que estos números provienen de diferentes fuentes de datos: estadísticas deportivas, información financiera, fechas de eventos, precios de productos anunciados.

Algunos autores han sugerido que las leyes de dígitos-significativos no son relevantes para datos electorales. Por ejemplo, Taylor (2005), al igual que otros politólogos cuantitativos, plantea que la decisión de votar puede describirse a partir de un esquema de lotería. De esta manera, la probabilidad que tiene un individuo de votar por un candidato se define en términos de un modelo multinomial y, por ende, existen diferentes distribuciones dependiendo de variables sociodemográficas, ideología y otros elementos que ayudan a categorizar a la población de votantes; por lo tanto, la cuenta total de votos es la suma de una serie de realizaciones de eventos aleatorios. Para el caso de Venezuela, Taylor muestra que la distribución simulada de los dígitos-significativos a partir de un modelo multinomial que incluye exclusivamente variables que reflejan un proceso electoral limpio es similar a la distribución observada en el referéndum real bajo estudio, pero discrepa de la referencia teórica establecida por Benford.

Sin embargo, cabe resaltar que no es válido simular una elección limpia por medio de una multinomial en la que las regresiones no son controladas por variables que indican el efecto distorsionador de un fraude. La omisión de estas variables como factores explicativos puede sesgar los parámetros estimados y, por lógica, la simulación que procede de este modelo no refleja adecuadamente las condiciones que prevalecen en una elección nítida. Asimismo, dicho modelo probabilístico no incorpora la mezcla estadística que conduce a la ley de Benford. Como bien lo apunta Mebane (2006a), esta ley requiere un conjunto pequeño de distribuciones, en contraposición al enorme conjunto que se genera con una multinomial.

Una segunda limitante de la aplicabilidad de la ley de Benford para datos electorales tiene que ver con el hecho de que la frecuencia de ciertos dígitos se ve restringida por determinadas reglas institucionales, por lo que dichos datos violan la 1-BL por construcción. Por ejemplo, cuando una casilla tiene como mucho 750 boletas, como en el caso mexicano, las cuentas de votos para un candidato que inician con los dígitos 8 y 9 tienen menor probabilidad de aparición que aquellas cuentas que inician con los dígitos restantes; en otras palabras, las cuentas con 800 y 900 votos son descartados por definición.

Como sugiere Brady (2005), un artefacto similar se introduce cuando las secciones electorales se diseñan de tal forma que incluyen aproximadamente el mismo número de votantes potenciales. Este escenario permite, por ejemplo, que en una contienda bipartidista cerrada haya muchas secciones en las que las votaciones presenten participaciones de 50 por ciento. En consecuencia, con secciones electorales de tamaño similar existen muchas cuentas en las que cada candidato recibe un número de votos que empieza con un determinado dígito; por ejemplo, con 1 cuando el total de votos posibles es de 350 000 (=162 500 x 2). A raíz de estas dos complicaciones se aconseja usar la 2-BL como la referencia teórica comparable con las distribuciones empíricas.

Algunas aplicaciones para las elecciones mexicanas de 2006

Diferentes autores llevaron a cabo pruebas forenses con la metodología de Benford para detectar fraude en las elecciones que tuvieron lugar en México el 6 de julio de 2006.² Un ejemplo es Mansilla (s. f.), quien compara las distribuciones empíricas del primer dígito inicial para los votos obtenidos por Calderón y AMLO respecto a la distribución teórica de la 1-BL. Como se mencionó, esta prueba no es válida debido a los sesgos que surgen de determinadas reglas institucionales de la contienda. A pesar de ello el autor sostiene que, de acuerdo con los datos a nivel casilla que se obtuvieron de una muestra del conteo del prep (Programa de Resultados Electorales Preliminares), existe evidencia estadística que rechaza la validez de la ley de Benford para el caso mexicano, por lo que los resultados electorales quedan en entredicho.³

En un análisis mucho más riguroso, Mebane (2006a) pone a prueba la 2-BL para las elecciones presidenciales de México. Las cuentas de votos para los cinco partidos (o coaliciones) se definen, en este ejercicio, a nivel de la casilla y de la sección electoral. El autor presenta la bondad de ajuste de la distribución empírica para los 32 estados y para los datos globales (i.e. frecuencias observadas en el ámbito nacional). Con 95 por ciento de confianza, el autor encuentra que la ley de Benford se rechaza en los datos globales y en muchos de los estados.⁴

En otro artículo, Mebane (2007a) estudia los resultados de las elecciones de presidente, senadores y diputados de 2006 usando las cuentas por secciones. En su análisis encuentra muchas inconsistencias con la 2-BL en los votos para los candidatos del PAN y el PRD en municipalidades cuyo alcalde tiene la misma filiación política. Para este autor, dicho resultado pone en evidencia que la maquinaria política del partido localmente dominante operó en la fabricación de votos; no obstante, este patrón no se observa en municipalidades gobernadas por el PRI. Asimismo, Mebane sostiene que las anomalías detectadas en la prueba 2-BL para los partidos que no resultaron ser competitivos podrían ser producto de la intimidación o del voto estratégico. En un estudio más, Gutiérrez y Calderón (2006) presentan pruebas basadas en la 2-BL para resultados por sección analizados a nivel distrital. Los autores detectan 47 distritos con severas anomalías.

Metodología para la validación teórica de la ley de Benford en elecciones limpias

Con el propósito de corroborar que una competencia electoral nítida produce la 2-BL, Mebane (2006a) simula un proceso de votación en secciones electorales de igual tamaño en donde el resultado de los comicios se genera con un conjunto pequeño de distribuciones seleccionadas al azar. Para modelar el mecanismo de votación se suponen tres tipos de individuos (prefieren a la oposición, al gobierno establecido, seleccionan al azar), pero la decisión a favor de un candidato se efectúa con un cierto error cuya frecuencia varía de una sección a otra pero es constante al interior de las mismas. Aunque cada sección tiene el mismo número de votantes, la proporción de cada tipo varía entre secciones al definirse en términos de una distribución uniforme. En consecuencia, los votos recibidos por los distintos candidatos dependen de dos procesos aleatorios: 1) la selección del tipo de individuo que emite el voto en una sección en particular, y 2) la realización del voto efectuado por los individuos de cada tipo.

Por medio de una simulación de Monte-Cario este autor encuentra que a partir de este mecanismo sencillo de votación se producen resultados electorales que satisfacen la 2-BL para diferentes especificaciones de los parámetros. Sin embargo, en el citado artículo no se ofrece evidencia empírica alguna de que los supuestos planteados caracterizan adecuadamente un escenario real de formación de preferencias y votación. No basta con suponer que detrás de un proceso electoral prevalece una mezcla estadística que replica una 2-BL en los resultados del conteo de votos. En aras del realismo metodológico también es necesario validar que dicha mezcla es producto de un proceso estocástico de formación de opiniones como el que se observa a lo largo de una campaña real.

Por lo tanto, en este artículo se sugiere que una metodología más sólida para validar la relevancia de la ley de Benford en el análisis forense de datos electorales requiere simular una campaña a través de un modelo basado en agentes. Un primer paso en esta dirección consiste en construir un modelo computacional cuyos parámetros y condiciones iniciales sean calibrados directamente con datos reales o a partir de la bondad de ajuste de los datos artificiales a una serie de sondeos de opinión realizados a lo largo de la campaña. Posteriormente, en una segunda etapa, se calcula la distribución para el segundo dígito inicial de los datos electorales que se generan en una campaña simulada en donde el conteo final se lleva a cabo con transparencia. De esta forma, la relevancia de la ley de Benford no se rechaza cuando la distribución generada con las cuentas de los votos artificiales obtenidos por cada candidato es estadísticamente cercana a la 2-BL teórica. Se dice que la distribución logarítmica es robusta cuando se pude hacer crecer independientemente de las realizaciones que producen las distintas variables aleatorias incluidas en el modelo.

La descripción de las campañas electorales mediante un ABM

A partir de la evidencia empírica que indica que las redes de discusión política son muy importantes para explicar la formación de opiniones, Castañeda e Ibarra (2011) desarrollan un ABM para las elecciones presidenciales de 2006. En este modelo computacional se establece un mecanismo de contagio social en el que cada agente está sujeto a la influencia de información local y global. Simultáneamente, el modelo permite combinar diversos elementos institucionales de los procesos electorales, como debates, campañas negativas y sesgos inducidos por la televisión u otros medios masivos de comunicación, con los incentivos de los votantes, a través del voto estratégico y el costo-beneficio de la decisión de votar.

Una campaña electoral es considerada un sistema adaptable complejo, ya que las posiciones de individuos y partidos afectan las encuestas de opinión y éstas, a su vez, inciden en la formación de opiniones y estrategias partidistas. Estos sistemas son analizados a partir de modelos computacionales en los que es posible incorporar agentes heterogéneos y mecanismos de decisión condicionados por la interacción local y el contexto social. A diferencia de los modelos matemáticos tradicionales, la simulación mediante modelos basados en agentes permite explicar comportamientos agregados que provienen de dinámicas no lineales causadas por la retroalimentación entre agentes y entre éstos y el entorno de adaptación.⁵

Las preferencias políticas iniciales de los ciudadanos y la mayoría de los parámetros del modelo son calibrados con datos agregados de encuestas electorales y con datos panel que le dan seguimiento a los cambios en las preferencias políticas de los encuestados.⁷ En particular, el sembrado inicial de preferencias en las distintas regiones del país hace uso del Estudio Panel México 2006 organizado por MIT y el periódico Reforma, el cual ofrece tres oleadas de entrevistas (octubre 2005, abril-mayo 2006 y julio 2006) con 2 400 entrevistados y cerca de cien preguntas relacionadas con la intención del voto, información sociodemográfica y opiniones de temas económicos y políticos.⁸

La configuración del modelo computacional

La descripción detallada del modelo, bajo la premisa de un proceso electoral limpio, se presenta en el artículo antes referido. Sin embargo, en este apartado y en el apéndice B se hace una breve exposición del mismo de tal manera que el lector pueda entender cómo se simula la formación de preferencias políticas durante una campaña electoral. El ABM en cuestión está diseñado con módulos específicos que se activan en diferentes periodos según la cronología real de la campaña por la presidencia de México. Por ende, se plantea un proceso que dura 240 días (correspondiente a ocho meses, noviembre-junio); encuestas nacionales que se levantan mensualmente y en el día posterior a dos debates, éstos tienen una amplia cobertura y se efectúan en los periodos 180 y 220; un sesgo-TV que opera de manera continua hasta el día 200; escándalos políticos que son lanzados en 2 por ciento de los días que dura la campaña; un voto estratégico que es activado diez días antes de la elección y una decisión costo-beneficio sobre votar o abstenerse en el último día de cada corrida.

El entorno de interacción social se representa a través de una retícula 120 x 120 con fronteras y vecindades de tipo Moore (i.e. un agente tiene a lo más ocho vecinos con los que puede interactuar). El espacio geográfico está dividido en 16 zonas electorales, cada una de las cuales se identifica con un conjunto de estados de la república, de tal forma que todas las zonas corresponden, aproximadamente, a regiones del país que tienen el mismo número de votantes registrados en el padrón electoral real (véase el cuadro A.2 en el apéndice A). Por otra parte, las zonas tienen una dimensión 30 x 30 y están conformadas por nueve distritos electorales de igual tamaño (10x10). Cabe mencionar que es, precisamente, en estos distritos donde los agentes ejercen su voto.

Mientras que las preferencias políticas (Calderón, Madrazo, AMLO, otros e indecisos) de cada agente se siembran aleatoriamente de acuerdo con la participación partidaria a nivel estatal observada en los datos de la encuesta panel, los valores de otras variables se siembran al inicio de cada corrida a partir de criterios definidos en el ámbito nacional. Entre estas variables se encuentran las siguientes: compromiso ideológico (voto-duro, voto-débil e indecisos), exposición a la televisión (o proclividad a ser influido), atributos sociodemográficos (género, edad, escolaridad, ingreso y religión), confianza en la equidad del proceso electoral.⁹

Módulos de contagio local y global

Durante los primeros 30 días, la información local es la única fuente de contagio en el modelo. Éste es posible cuando un agente que ha sido activado en la simulación establece comunicación con uno de sus interlocutores políticos. Los interlocutores son parte de la red de discusión política si pertenecen a la vecindad del agente y superan un umbral de similitud, es decir, si comparten al menos un número determinado de atributos sociodemográficos. Una vez que la comunicación se produce, el interlocutor elegido al azar logra incidir en la opinión del agente activado cuando la opinión del primero coincide con la expresión mayoritaria de la vecindad.

Posteriormente, al hacerse pública la primera encuesta de opinión, el contagio se produce cuando el interlocutor elegido al azar entre los vecinos del agente tiene una preferencia política que coincide con la opinión mayoritaria reflejada en la encuesta nacional. Estas encuestas se levantan con 10 por ciento de los agentes de cada una de las zonas electorales, por lo que se puede afirmar que los sondeos son representativos del sentir nacional. El observador especifica en la interfaz del programa el porcentaje de individuos que pueden ser activados en cada periodo,¹⁰ aunque la influencia solamente es viable en la medida en que el agente activado no sea un votante duro.

En 2 por ciento de los días definidos al azar, el partido en el segundo lugar de la contienda, de acuerdo con las encuestas, lanza un escándalo político en contra del candidato que lidera las encuestas. Si el observador especifica en la interfaz que el partido atacante sigue una estrategia agresiva, el escándalo puede ser de gran repercusión (o de amplio espectro) y por ello el atacante puede hacerse de 6 por ciento de los adherentes no duros del líder con una probabilidad de 80 por ciento. No obstante, también existe el riesgo de alienar al mismo porcentaje de sus adherentes cuando éstos desacreditan el uso de dichas tácticas. En contraste, cuando la estrategia se define como moderada, la posibilidad de ganar/perder adeptos una vez propagado el escándalo disminuye a sólo 2 por ciento de los votantes.

Módulo de sesgo-TV

La imagen de un candidato puede ser promovida de manera sostenida a través de medios electrónicos por parte de figuras públicas, noticieros, grupos de cabildeo y gerentes de campaña. Por esta razón, el ABM incluye un módulo que especifica que un partido tiene la posibilidad de atraer por este mecanismo a nuevos adeptos cada día de la campaña hasta 40 días antes de la elección debido a la suspensión de este tipo de publicidad. Periodo que coincide con la fecha establecida en el acuerdo de neutralidad firmado por todos los partidos al inicio de la campaña. Este acuerdo también prohíbe la transmisión de spots promoviendo programas sociales y obras públicas.

El modelo supone que el sesgo-TV favorece al PAN debido al apoyo indiscriminado dado por Fox a Calderón en sus discursos púbicos y a las acusaciones del PRD sobre la injerencia de las cámaras empresariales. El observador especifica en la interfaz el porcentaje de individuos que están sujetos a la influencia de los mensajes de los medios. Esta propensión se limita a los agentes que no son votantes duros y que tienen una exposición a la TV relativamente alta. A diferencia del módulo de interacción local, en el que el contagio se presenta dentro de las vecindades, el cambio de preferencias políticas a través de este módulo se produce de manera esparcida en el territorio nacional. De tal manera que el sesgo-TV permite introducir agentes con preferencias políticas antagónicas en clústeres de individuos que mantienen cierta afinidad política.

Módulo de debates

En cada uno de los debates existe un ganador con una probabilidad que es especificada por el observador. En el primer debate, el candidato victorioso se elige entre los dos contendientes principales (dado que AMLO no participó), y entre los tres candidatos importantes en el segundo debate. La victoria ofrece a los partidos la posibilidad de conseguir el apoyo de ciudadanos indecisos y votantes débiles. El porcentaje de individuos que pueden modificar su opinión en estas circunstancias también se especifica en la interfaz del programa.

Módulo de voto-estratégico

Cuando la primera opción política de un agente no corresponde a ninguno de los dos candidatos que van a la cabeza en la encuesta previa al día de las elecciones es posible que la intención de voto se modifique a favor de su segunda opción. Esta última se define, en el modelo, con el candidato que tiene las preferencias mayoritarias en la vecindad del agente. El ABM también incorpora la posibilidad de que los adherentes de Calderón vayan con Madrazo y viceversa en un escenario en que AMLO es considerado un riesgo para el país, mientras que los votantes indecisos activados en este módulo seleccionan al azar entre Calderón y Madrazo. De nueva cuenta el porcentaje de votantes tácticos se define en la interfaz del programa.

Módulo de participación

Método de calibración

El porcentaje de votantes duros para cada partido se obtiene de una encuesta preelectoral conducida por el periódico Reforma entre los meses de enero y junio de 2006.ⁿ De acuerdo con esta encuesta, 59 por ciento de los individuos entrevistados declaró una identidad partidaria; de este porcentaje, los votantes-duros se distribuyeron de la siguiente forma: PAN (38%), PRD (40%), PRI (48%). Por falta de información, el valor correspondiente de votantes duros para Otros (42%) es simplemente un promedio porcentual de los tres partidos principales.

Algunos parámetros que son definidos por el observador en la interfaz del programa también pueden ser calibrados indirectamente. Mediante un procedimiento de optimización no lineal (hill-climbing) se estiman los parámetros cuyos valores difícilmente se pueden obtener directamente de las encuestas. Con este propósito se especifica una función de adaptación que mide el ajuste de los datos simulados a los datos reales. Esta función se define como un error cuadrático medio, en el que cada error se calcula con la diferencia relativa entre la participación de la intención de voto de cada partido según las encuestas de opinión reales y la participación estimada con los datos que se generan artificialmente.¹²

Mecanismos de fraude electoral

En los módulos previos del modelo se representa un proceso electoral limpio dado que la decisión individual de voto es respetada; es decir, la votación por un candidato en específico no es inducida con amenazas o premios otorgados por autoridades o partidos, ni el conteo final de votos es alterado por funcionarios electorales. En contraste, en un ABM que simula un proceso fraudulento se supone que las decisiones de los agentes son manipuladas el día de la elección. En particular, el módulo de fraude plantea que existen varios distritos electorales controlados por la maquinaria panista. En estos distritos los operadores de Calderón pueden modificar a discreción cierto porcentaje de votos por medio de diversos mecanismos, porcentaje que el observador determina en la interfaz del modelo. Por lo tanto, el conteo final anunciado por las autoridades electorales oculta el hecho de que algunos de los votos obtenidos por el PAN fueron inducidos con regalos o alterados por funcionarios distritales o federales.

Los mecanismos de fraude implementados en el modelo consideran diferentes procedimientos para especificar en qué zonas electorales el voto puede ser manipulado a favor de Calderón: 1) "autoridades": cuando en la zona electoral existe al menos un gobernador panista en el momento de la elección; 2) "enclaves": cuando el PAN tiene una mayoría relativa en las preferencias políticas de la zona de acuerdo con los sondeos levantados al inicio de la campaña; 3) "inconsistencias": cuando, en los datos reales, los distritos electorales de la zona tienen un gran número de actas que presentan irregularidades. De acuerdo con estos criterios, el cuadro A.4 del apéndice A muestra las zonas electorales que tienen el potencial de producir un escenario fraudulento.

Asimismo, el modelo supone que en los procedimientos de autoridades y enclaves la posibilidad de un fraude por parte de los operadores del PAN requiere superar dos filtros. En primer término, la zona electoral tiene que estar dominada por el PAN (ya sea por la presencia de gobernantes afiliados al partido o por la mayoría relativa de las preferencias panistas). En segundo término, las preferencias iniciales por Calderón tienen que superar un umbral de relevancia partidista. En otras palabras, para que una zona electoral pueda ser considerada como un reducto del PAN se requiere que el apoyo partidista no esté muy pulverizado.

¿Es válida la 2-BL en los datos artificiales de una campaña electoral simulada?

Resulta indudable que los individuos emiten su voto en cada uno de los distritos electorales en función de la ubicación espacial de las preferencias e ideologías. De igual forma, la heterogeneidad en el voto se debe a la aleatoriedad inherente a las diferentes fuentes de influencia que inciden en el individuo (debates, contagio local y global, sesgo-TV) y a los incentivos geográficamente diferenciados que condicionan sus decisiones (costo-beneficio de la participación, voto estratégico). En consecuencia, es razonable pensar que la cuenta de votos a favor de un candidato en los diferentes distritos electorales sea el resultado de una mezcla de estadísticas, aunque no es evidente que dicha mezcla tenga los atributos necesarios para producir la 2-BL. Debido a la complejidad de la interacción entre las diferentes variables aleatorias del modelo y a la dificultad de caracterizar matemáticamente el proceso estocástico, en esta sección se emplea un ABM de campañas electorales para simular la distribución del segundo dígito inicial.

La ley de Benford en una campaña virtual limpia

Una vez calibrado el modelo computacional con datos de la campaña presidencial mexicana de 2006 se llevan a cabo diez corridas suponiendo un proceso electoral limpio y, en cada caso, se compara la distribución simulada con la 2-BL teórica. En el cuadro 1 se presentan las diferentes Ji-cuadradas de Pearson con nueve grados de libertad que se calcularon para cada una de las diez simulaciones. Esta estadística se obtiene para los votos recibidos por cada uno de los principales candidatos de la contienda a nivel del distrito electoral (cien agentes) y las frecuencias relativas correspondientes se estiman de los datos artificiales generados en los 144 distritos de la retícula del ABM, como se indica en la siguiente expresión:

De acuerdo con los resultados presentados en el cuadro 1 existen tres corridas en donde los votos obtenidos para uno de los candidatos no obedece la ley de Benford dado que el valor crítico para la Ji-cuadrada es de 16.9 en una prueba con un nivel de confianza de 95 por ciento. Por lo tanto, la ley de Benford no parece ser un fenómeno que siempre está presente en los resultados de procesos electorales limpios. La gráfica 1 describe la 2-BL teórica (línea Benford) y las frecuencias relativas empíricas para los tres contendientes principales de la elección presidencial (PAN = Calderón, PRD = AMLO, PRI = Madrazo) en un contexto en el que se suponen elecciones nítidas.

La ley de Benford en el caso de un ABM con fraude en el conteo de votos

Una prueba forense que utiliza la ley de Benford es válida cuando la ley es robusta, es decir, cuando la ley se mantiene en ciertas condiciones (i.e. una elección nítida) pero no en otras (i.e. elecciones fraudulentas). En el apartado anterior se mostró que la 2-BL no siempre se presenta en una elección limpia, el siguiente paso consiste en analizar si este tipo de distribución se rechaza la mayoría de las veces en elecciones en las que un porcentaje de los votos son fabricados. Por esta razón, se simulan elecciones fraudulentas a través de un ABM que utiliza el procedimiento de autoridades para determinar los distritos capturados por la maquinaria panista y el mecanismo de cambio devotos para alterar las actas.

Se corren diez simulaciones con las que se estiman las distribuciones artificiales del segundo dígito inicial, las cuales se comparan con la distribución de la 2-BL teórica. El cuadro 2 presenta los promedios de fraude que se simulan (6.41,14.40, 20.52 y 11.93%). En los dos primeros casos la fabricación de votos se produce sólo en las zonas con gobierno panista que tienen un control regional mayor de 20 por ciento, mientras que en los dos últimos casos el fraude se esparce por toda la retícula.

Cabe notar que la 2-BL se rechaza para las cuentas de un candidato en sólo cuatro corridas cuando el fraude es de alrededor de 6.41 por ciento de los votos emitidos, y para una sola corrida cuando el nivel de fraude es de 14.40 por ciento. En consecuencia, el grado de rechazo no es muy diferente al encontrado en los resultados del cuadro 1, en donde las elecciones son limpias por construcción. Estas simulaciones indican que una prueba forense para la detección de fraude basada en la 2-BL no es muy poderosa y, por ende, el rechazo de la 2-BL que se encontró en los diferentes estudios de los datos electorales mexicanos dista de ser una evidencia concluyente sobre la manipulación del voto.

Sin embargo, se podría argumentar que esta prueba se desempeña mejor cuando se aplica a un nivel menos agregado, de tal forma que los datos analizados no mezclan zonas electorales con datos fabricados con aquellos que reflejan las decisiones verdaderas de los individuos. Esto se puede observar en el cuadro 2, cuando el fraude se esparce en toda la retícula y alrededor de 20.52 por ciento de los votos ha sido alterado. En este escenario, ocho de diez corridas rechazan la 2-BL para al menos un candidato; asimismo, este número de rechazos se incrementa cuando el grado de fraude es aún mayor (los resultados no se presentan aquí). En particular, en la gráfica 2 se presenta una desviación significativa de la frecuencia simulada respecto a la 2-BL teórica para el caso de Madrazo (PRI).

A pesar de que existen algunos escenarios en los que la 2-BL se rechaza, la mayoría de las veces cuando opera el fraude, pero no cuando se trata de elecciones limpias, la confiabilidad de esta prueba es limitada. Para que se pueda detectar la fabricación de votos, el fraude tiene que ser masivo y concentrado en regiones muy específicas, de tal forma que distritos nítidos (secciones electorales o casillas) no se mezclen con distritos sucios. Por ejemplo, en un escenario en donde el promedio de fraude es de alrededor de 11.93 por ciento de los votos emitidos, la prueba es muy débil ya que sólo en cuatro de diez corridas la 2-BL se rechaza aun cuando por construcción todas las zonas electorales presentan fraude.

Por otra parte, la debilidad de esta prueba se agudiza en un ABM que introduce un módulo que produce errores aritméticos neutrales en el conteo de votos. El cuadro 3 muestra un escenario con alrededor de 25.52 por ciento errores de conteo esparcidos en toda la retícula. En este escenario tres corridas rechazan la 2-BL aun cuando el proceso electoral sea limpio. Cabe también notar que con errores que rondan alrededor de 86 por ciento de los votos emitidos, la distribución de preferencias políticas es más cercana a la distribución uniforme y, por ello, el rechazo de la 2-BL ocurre en 50 por ciento de las corridas.

Conclusiones

La presunción de fraude aparece recurrentemente en las contiendas electorales de países democráticos. El poder en disputa, los intereses en juego y las formas diferentes de concebir el mundo dan pauta a que determinados grupos y partidos intenten, en ocasiones, asegurar el triunfo por medio de la manipulación del voto. La existencia de fraude, o al menos la percepción de que éste ha ocurrido, es más común en países cuyos sistemas democráticos no están del todo consolidados. Si bien los actores políticos en estas sociedades han aceptado dirimir sus disputas a través de organismos gubernamentales elegidos por las mayorías, su compromiso con la democracia suele ser débil y la desconfianza hacia los grupos antagónicos es profunda. Dicho entorno hace que los triunfos electorales de un partido sean, con frecuencia, cuestionados por los otros partidos argumentando la presencia de fraude en los comicios.

Las acusaciones de fraude son, por lo general, expresadas al calor de la contienda y utilizando argumentos poco fundamentados. De aquí la necesidad de desarrollar nuevas pruebas forenses de análisis electoral que permitan a los partidos y a los tribunales electorales tener criterios más objetivos para exponer alegatos y dirimir disputas. Tradicionalmente, las pruebas forenses se basan en el análisis estadístico de los resultados numéricos, ya sea a través de la detección de patrones anómalos en la distribución de los votos (o errores registrados) y en el comportamiento dinámico del conteo de actas, o bien mediante el establecimiento de asociaciones con variables que no deberían incidir en la decisión del voto en una contienda limpia.

Por otra parte, el ABM de campañas virtuales utilizado en este artículo, en el que las preferencias partidistas se modifican a partir del contagio social, parece ser una herramienta más atractiva para los estudios forenses. Este tipo de ejercicio se lleva a cabo en Castañeda e Ibarra (2010), quienes comparan las distribuciones de datos artificiales y datos reales a través de una estadística no paramétrica. En este trabajo se observa que la distribución artificial generada a través de una contienda limpia replica mucho mejor la distribución real de las participaciones de los tres partidos principales que la distribución artificial obtenida en un escenario en el que un porcentaje de los votos han sido manipulados en el conteo final. Aunque los resultados del estudio sólo pueden descartar la presencia de un fraude masivo del orden de 5-6 por ciento de los votos emitidos, la técnica es promisoria para detectar fraudes más refinados a partir de modelos que presenten un mayor detalle y niveles de calibración más precisos.

Referencias bibliográficas

AC Nielsen (2006), "¿La Ley de Benford se puede aplicar a los votos en las casillas?", presentación en power point.         [ Links ]

Brady, Henry (2005), "Comments on Benford's Law and the Venezuelan Election", manuscrito, Berkeley, University of California.         [ Links ]

Castañeda, Gonzalo (2009), "Sociomática: El estudio de los sistemas adaptables complejos en el entorno socioeconómico", El Trimestre Económico, 76(1), pp. 5-64.         [ Links ]

Castañeda, Gonzalo e Ignacio Ibarra (2010), "Detección de fraude con modelos basados en agentes: Las elecciones mexicanas de 2006", Perfiles Latinoamericanos, 18 (36), julio-diciembre, pp. 43-69.         [ Links ]

---------- (2011), "Campañas, redes de discusión y volatilidad de las preferencias políticas: Un análisis de las elecciones mexicanas de 2006", Foro Internacional 203 (LI), enero-marzo.         [ Links ]

Diekmann, Andreas (2004), "Not the First Digit! Using Benford's Law to Detect Fraudulent Scientific Data", working paper, Swiss Federal Institute of Technology.         [ Links ]

Durtschi, Cindy, William Hillison y Carl Pacini (2004), "The Effective Use of Benford's Law to Assist in Detecting Fraud in Accounting Data", Journal of Forensic Accounting, 5, pp. 17-34.         [ Links ]

Gutiérrez, Luis H. y Emiliano Calderón (2006), "La Ley de Benford para el segundo dígito y los resultados electorales en México", UAM-Iztapalapa/ Facultad de Ciencias-UNAM.         [ Links ]

Hill, Theodore P. (1995), "A Statistical Derivation of the Significant-Digit Law", Statistical Science, 10 (4), pp. 354-363.         [ Links ]

---------- (1998), "The First Digit Phenomenon", American Scientist, 86 (4), julio-agosto.         [ Links ]

Mansilla, R. (s.f.), "Análisis de los resultados electorales a partir de la Ley de Benford", Centro de Investigaciones Interdisciplinarias en Ciencias y Humanidades (CEIICH)-UNAM.         [ Links ]

Mebane, Walter Jr. (2006a), "Election Forensics: Vote Counts and Benford's Law", working paper, Department of Political Science, University of Michigan.         [ Links ]

---------- (2006b), "Election Forensics: The Second-digit Benford's LawTest and Recent American Presidential Elections", working paper, Department of Political Science, University of Michigan.         [ Links ]

---------- (2007a), "Election Forensics: Statistics, Recounts and Fraud", working paper, Department of Political Science, University of Michigan.         [ Links ]

----------(2007b), "Statistics for Digits", working paper, Department of Political Science, University of Michigan.         [ Links ]

----------(2007c), "Evaluating Voting Systems to Improve and Verify Accuracy", working paper, Department of Political Science, University of Michigan.         [ Links ]

---------- (2008), "Election Forensics: Outlier and Digit Tests in America and Russia", working paper, Department of Political Science, University of Michigan.         [ Links ]

Moreno, Alejandro y Patricia Méndez (2007), "La identificación partidista en las elecciones presidenciales de 2000 y 2006 en México", Política y Gobierno XIV (1), pp. 43-75.         [ Links ]

Nigrini, Mark (1996), "A Taxpayer Compliance Application of Benford's Law", Journal of the American Taxation Association, 18, pp. 72-91.         [ Links ]

Pericchi, Luis Raúl y David Torres (2004), "La Ley de Newcomb-Benford y sus aplicaciones al referéndum revocatorio en Venezuela", Reporte técnico no-definitivo, 2ª versión, octubre, manuscrito, Universidad de Puerto Rico y Universidad Simón Bolívar.         [ Links ]

Pietronero, E., E. Tossati, V Tossati y A. Vespignani (2001), "Explaining the Uneven Distribution of Numbers in Nature: The Laws of Benford and Zipf", Physica A 293, pp. 297-304.         [ Links ]

Pliego, Fernando (2007), "El mito del fraude electoral en México", México, Editorial Pax.         [ Links ]

Taylor, Jonathan (2005), "Too Many Ties? An Empirical Analysis of the Venezuelan Referendum Counts", manuscrito, Stanford University.         [ Links ]

Varían, Hall (1972), "Benford's Law", American Statistics, 23, pp. 65-66.         [ Links ]

Zhipeng, Li, Cong Ling y Wang Huajia (2004), "Discussion on Benford's Law and its Applications"; http://arxiv.org/abs/math/0408057.         [ Links ]

Notas

¹ Para la explicación de un proceso estocástico alternativo véase Pietronero et al. (2001).

² Los partidos registrados para esta contienda electoral fueron los siguientes: Partido Acción Nacional (PAN), cuyo candidato era Felipe Calderón; Alianza por México, una coalición entre el Partido Revolucionario Institucional (PRI) y el Partido Verde Ecologista de México y cuyo candidato era Roberto Madrazo; la Coalición por el Bien de Todos que unió al Partido de la Revolución Democrática (PRD) con el Partido del Trabajo y Convergencia Democrática a través de la nominación de Andrés Manuel López-Obrador (AMLO); el Partido Nueva Alianza (Panal) que tenía como candidato a Roberto Campa y el Partido Alternativo Socialdemócrata (PAS) que postuló a Patricia Mercado

³ Un estudio similar fue realizado por la compañía consultora AC Nielsen (2006), aunque en este caso se consideraron las 128 771 casillas procesadas en el PREP y también se calculó la distribución de los votos recibidos por Madrazo, de nueva cuenta la 1-BL es rechazada.

⁴Mebane sostiene que la prueba 2-BL no es válida a nivel de la casilla cuando existe un problema de "división aproximadamente similar con remanentes" (REDWL, por sus siglas en inglés). Esto es, la mayoría de los votos son emitidos en un número específico de casillas y se distribuyen equitativamente, mientras que los votos remanentes se esparcen en las urnas restantes. Este factor introduce un sesgo en la 2-BL empírica.

⁶ El ABM fue construido con NetLogo versión 4.0.3 autorizado por Uri Wilensky en 1999, http://ccl.northwestern.edu/netlogo/. Center for Connected Learning and Computer-Based Modeling, Northwestern University, Evanston, IL.), el cual puede solicitarse en la siguiente dirección de correo electrónico: sociomatica@hotmail.com.

⁷ Para la serie de preferencias agregadas se empleó la encuesta sobre encuestas calculada por el Centro de Investigación para el Desarrollo A.C. (CIDAC), que utiliza un conjunto de encuestas periódicas realizadas por diferentes compañías (Mitofsky y Gea-Isa) y periódicos nacionales (Reforma, El Universal y Milenio): http://www.cidac.org/es/modules.php?name=Content&pa=showpage&pid=98. [Consultado el 15 de febrero de 2008].

⁸ Los cuestionarios para cada oleada, el conjunto de datos, la metodología y algunos estudios relacionados se encuentran disponibles en el portal de la 2006-mps: http://web.mit.edu/polisci/research/mexico06 Proyecto dirigido por las siguientes personas (en orden alfabético): Andy Baker, Kathleen Bruhn, Roderic Camp, Wayne Cornelius, Jorge Domínguez, Kenneth Green, Joseph Klesner, Chappell Lawson (investigador principal), Beatriz Magaloni, James McCann, Alejandro Moreno, Alejandro Poiré y David Shirk; bajo el apoyo financiero de la National Science Foundation (SES-0517971) y el periódico Reforma; el trabajo de campo fue llevado a cabo por el equipo de investigación y encuestas del periódico bajo la dirección de Alejandro Moreno.

⁹ De estas variables, el compromiso ideológico se obtiene de datos de encuestas, la percepción de equidad se calibra mediante un método indirecto y las demás son definidas por el observador en la interfaz del programa.

¹⁰ Este porcentaje y otros que se describen a continuación son calibrados indirectamente.

¹¹ Más detalles en Moreno y Méndez (2007, cuadro 1).

¹² En el cuadro A.3 del apéndice A se presentan los valores de parámetros calibrados a partir de este criterio, los cuales son utilizados para llevar a cabo las corridas en los escenarios de elecciones limpias y trucadas.

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