E. Hernández*, A. Jáuregui, A. Mondragón, and L. Nellen

*Instituto de Física, UNAM, Apdo. Postal 20–364, 01000 México D.F., México

Departamento de Física, Universidad de Sonora, Apdo. Postal 1626, Hermosillo, Sonora, México

Instituto de Ciencias Nucleares, UNAM, Apdo. Postal 70–543, 04510 México D.F, México.

Recibido el 19 de enero de 2005
Aceptado el 5 de marzo de 2005

Abstract

We show that when an isolated doublet of unbound states of a physical system becomes degenerate, the eigenenergy surfaces have an algebraic branch point of rank one and branch cuts in its real and imaginary parts starting at the same exceptional point but extending in opposite directions in parameter space. Associated with this singularity in parameter space, the scattering matrix, S (E), and the Green's function, G_l ⁽⁺⁾ (k; r, r'), have one double pole in the unphysical sheet of the complex energy plane. We characterize the universal unfolding or deformation of a typical degeneracy point of two unbound states in parameter space by means of a universal 2–parameter family of functions which is contact equivalent to the pole position function of the isolated doublet of resonances at the exceptional point and includes all small perturbations of the degeneracy condition up to contact equivalence. The rich phenomenology of crossings and anticrossings of energies and widths, as well as the sudden change in shape of the S(E)—matrix pole trajectories, observed in an isolated doublet of resonances when one control parameter is varied, is fully explained in terms of the topological properties of the energy hypersurfaces close to the degeneracy point.

Keywords: Resonances; nonrelativistic scattering theory; multiple resonances; Berry's phase.

Resumen

Demostramos que, cuando un doblete aislado de estados no–ligados de un sistema físico esta degenerado, las superfices de la autoenergía tienen un punto ramal de rango uno y cortes ramales en las partes real e imaginaria que empiezan en el mismo punto excepcional pero se extienden en direcciones opuestas en el espacio de parámetros. Asociado a esta singularidad en el espacio de parámetros, la matriz de dispersión, S(E), y la función de Green, G_l ⁽⁺⁾ (k; r, r'), tienen un polo doble en la hoja no física del plano complejo de la energía. Caracterizamos el despliegue universal o deformacion de un punto de degeneración de dos estados no ligados típico, en el espacio de los parámetros, por medio de una familia universal de funciones que depende de dos parámetros y que es equivalente por contacto a la función de posición del polo del doblete aislado de resonancias en el punto excepcional e incluye todas las perturbaciones pequeñas de las condiciones de degeneración, hasta equivalencia por contacto. La rica fenomenología de cruces y anticruces de energías y semianchuras, así como el cambio repentino de la forma de las trayectoria de los polos de la matriz S(E), que se observa en un doblete aislado de resonancias cuando un parámetro de control se hace variar, se explica completamente en términos de las propiedades topológicas de las hipersuperficies de la energía cerca del punto de la degeneración.

Descriptores: Resonancias; Teoría de la dispersión; Resonancias dobles; Fases geométricas y topológicas.

PACS: 25.70.Ef; 03.65.Nk; 33.40.+f; 03.65.Bz

DESCARGAR ARTÍCULO EN FORMATO PDF

Acknowledgments

This work was partially supported by CONACyT Mexico under contract number 40162–F and by DGAPA–UNAM contract No. PAPIIT:IN1 16202

References

1. E. Hernández, A. Jáuregui and A. Mondragón, Phys. Rev. A, 67 022721, (2003).        [ Links ]

2. J. von Neumann and E.P. Wigner, Physik Z. 30, (1929) 467.        [ Links ]

3. E. Teller, J. Phys. Chem. 41, (1937) 109.        [ Links ]

4. M. V. Berry, "Aspects of Degeneracy". In Chaotic Behaviour in Quantum Systems Casati, G. ed. NATO ASI Series B 120 Plenum, New York,(1985) pp 123.        [ Links ]

5. D.R. Yarkoni, Rev. Mod. Phys. 68, (1996) 985.        [ Links ]

6. H. Friedrich and D. Wintgen, Phys Rev. A 32, (1985) 3231.        [ Links ]

7. A. Mondragón and E. Hernández, J. Phys. A: Math. and Gen. 26,(1993) 5595.        [ Links ]

8. E. Hernández and A. Mondragón, Phys. Lett. B 326, (1994) 1.        [ Links ]

9. P. von Brentano, Phys. Lett. B 238 (1990) 1.        [ Links ]

10. P. von Brentano, Phys. Rep. 264, (1996) 57.        [ Links ]

11. K.E. Lassila, V. Ruuskanen, Phys. Rev. Lett. 17, (1966) 490.        [ Links ]

12. P.L. Knight, Phys. Lett. A 72, (1979) 309.        [ Links ]

13. N. J. Kylstra and C. J. Joachain, Europhys. Lett. 36, (1996) 657.        [ Links ]

14. N J. Kylstra, and C.J. Joachain, Phys. Rev. A 57, (1998) 412.        [ Links ]

15. P. von Brentano and M. Philipp, Phys. Lett. B 454, (1999) 171.        [ Links ]

16. M. Philipp, P. von Brentano, G. Pascovici and A. Richter, Phys. Rev. E 62, (2000) 1922.        [ Links ]

17. P. von Brentano, Rev. Mex. Fis. 48, Suppl 2, (2000) 1.        [ Links ]

18. W. Vanroose, P. Van Leuven, F. Arickx and J. Broeckhove, J. Phys. A: Math. Gen. 30 (1997) 5543.        [ Links ]

19. E. Hernández, A. Jáuregui and A. Mondragón, J. Phys. A: Math. and Gen. 33, (2000) 4507.        [ Links ]

20. W. Vanroose, Phys. Rev. A 64, 062708, (2001).        [ Links ]

21. E. Hernández, A. Jáuregui and A. Mondragón, Rev. Mex. Fis. 38, Suppl 2, (1992) 128.        [ Links ]

22. A. Mondragón and E. Hernández, J. Phys. A: Math. and Gen. 29,(1996) 2567.        [ Links ]

23. A. Mondragón and E. Hernández, in Irreversibility and Causality: Semigroup and Rigged Hilbert Space, edited by A. Bohm, D.–H. Doebner, and P. Kielanowski, Lecture Notes in Physics. Vol. 504 (Springer–Verlag Berlin, 1998) pp 257.        [ Links ]

24. W. D. Heiss, Eur. Phys. D 7, (1999) 1.        [ Links ]

25. C. Dembowski C, et al., Phys. Rev. Lett. 86, (2001) 787.        [ Links ]

26. C. Dembowski et al., Phys. Rev. Lett. 90, 034-101, (2003).        [ Links ]

27. E. Hernández, A. Jáuregui and A. Mondragón, Rev. Mex. Fis. 49, Suppl. 4, (2003) 60.        [ Links ]

28. H.J. Korsch, and S. Mossmann, J. Phys. A: Math. Gen. 36, (2003) 2139.        [ Links ]

29. F. Keck, H.J. Korsch, S. and Mossmann, J. Phys. A: Math. Gen. 36, (2003) 2125.        [ Links ]

30. I. Antoniou, M. Gadella and G. Pronko, J. Math. Phys. 39, (1998) 2429.        [ Links ]

31. A. Bohm, M. Loewe and S. Maxson, J. Math. Phys. 38, (1997) 6072.        [ Links ]

32. R.G. Newton, Scattering Theory of Waves and Particles, 2nd. ed. (Springer–Verlag, New York, 1982) Chap. 12.        [ Links ]

33. S.G. Krantz and H. R. Parks, The Implicit Function Theorem, ed. (Birkhauser, Boston, 2002) Chap. 5.        [ Links ]

34. R. Seydel, Practical Bifurcation and Stability Analysis. IAM5, ed. (Springer–Verlag, New York 1991) Chap. 8.        [ Links ]

35. T. Kato, Perturbation Theory for Linear Operators, ed. (Springer–Verlag, Berlin, 1980) pp 65        [ Links ]

36. T. Poston and I. Stewart, Catastrophe Theory and its Applications (Pitman, Boston, 1978) Chap. 8.        [ Links ]

37. E. Hernández, A. Jáuregui, A. Mondragón and L. Nellen, Int. J. Theor. Phys. (submitted)        [ Links ]

38. E. Hernández, A. Jáuregui and A. Mondragón, Int. J. Theor. Phys. (submitted).        [ Links ] ]]> 1 2003 67 67 022721 2 1929 30 30 467 3 1937 41 41 109 4 1985 123 5 1996 68 68 985 6 1985 32 32 3231 7 1993 26 26 5595 8 1994 326 326 1 9 1990 238 238 1 10 1996 264 264 57 11 1966 17 17 490 12 1979 72 72 309 13 1996 36 36 657 14 1998 57 57 412 15 1999 454 454 171 16 2000 62 62 1922 17 2000 48^s2 48^s2 2 1 18 1997 30 30 5543 19 2000 33 33 4507 20 2001 64 64 062708 21 1992 38^s2 38^s2 2 128 22 1996 29 29 2567 23 1998 504 257 24 1999 7 7 1 25 2001 86 86 787 26 2003 90 90 034-101 27 2003 49^s4 49^s4 4 60 28 2003 36 36 2139 29 2003 36 36 2125 30 1998 39 39 2429 31 1997 38 38 6072 32 1982 2 33 2002 34 1991 35 1980 65 36 1978 37 38