INTRODUÇÃO

O desenvolvimento do raciocínio matemático dos alunos é uma prioridade para a aprendizagem da Matemática, claramente expressa em muitos currículos de Matemática escolar (^{Jeannotte e Kieran, 2017}). Este valor curricular relaciona-se, em parte, com um entendimento mais amplo de raciocínio matemático do que usualmente é considerado. De facto, distinguindo-se de um significado exclusivamente centrado em aspetos lógicos, tem vindo a afirmar-se uma visão de que o raciocínio matemático integra, igualmente, a formulação e teste de novas ideias (Mata-Pereira e Ponte, 2012). A valorização do raciocínio ancora-se, igualmente, na importância que hoje se reconhece a uma formação escolar fortemente marcada pela procura de respostas para situações novas que se colocam num mundo cada vez mais complexo e que exigem raciocínio para analisar novas questões e para interpretar e justificar afirmações que permitam chegar a novas conclusões e tomar decisões. O desenvolvimento do raciocínio matemático poderá dar um contributo importante para o desenvolvimento do raciocínio em geral.

Raciocinar matematicamente é fazer inferências justificadas (^{Mata-Pereira e Ponte, 2018a}) e envolve formulação de conjeturas, organização de testes e procura de justificações. O raciocínio matemático permite que os alunos vão além do uso de procedimentos rotineiros, dando sentido a conceitos e procedimentos matemáticos, relacionando e dando um significado coerente a diferentes aspetos da Matemática (^{Ball e Bass, 2003}; ^{Boaler, 2010}).

Apesar da relevância de desenvolver nos alunos o seu raciocínio matemático, a investigação mostra que os professores enfrentam vários desafios quando organizam e concretizam atividades de ensino que o visam trabalhar e consolidar (^{Stylianides et al., 2013}). De facto, os professores precisam de ter um entendimento aprofundado sobre o raciocínio matemático, quais as características dos seus principais processos, como adaptar e explorar tarefas e como conduzir discussões coletivas com os seus alunos para o promover (^{Ponte et al., 2013}; ^{Stein et al., 2008}).

A condução das discussões coletivas é um aspeto importante da prática do professor em que se completam as ideias dos alunos, transformando-as em ideias matemáticas mais precisas e poderosas (^{Stein et al., 2008}). A análise das discussões coletivas implica ter em atenção as ações do professor encaradas como uma intervenção ou conjunto de intervenções relacionadas entre si e realizadas com uma determinada intenção.

Este artigo visa contribuir para aprofundar o conhecimento sobre as ações do professor que incidem no desenvolvimento do raciocínio matemático dos alunos. Partimos do modelo das ações do professor na condução de discussões matemáticas proposto por ^{Ponte, Mata-Pereira e Quaresma (2013)} e ^{Mata-Pereira e Ponte (2017}; ^2018a; ^2018b) para caracterizar as ações de uma professora, Leonor, que ocorreram durante a discussão coletiva da tarefa “Quantas maçãs?” com uma turma de alunos de 5º ano (10-11anos). Destacamos e analisamos as características das ações da professora focando, em particular, as diretamente relacionadas com o desenvolvimento de processos de raciocínio matemático, propondo um modelo que caracteriza e integra as diferentes ações do professor sob a ótica das suas potencialidades para o desenvolvimento do raciocínio matemático e que avança características específicas destas ações. Mais especificamente, este estudo visa responder às questões: Quais as características das ações da professora que se focam no desenvolvimento do raciocínio matemático durante a condução da discussão coletiva de uma tarefa? Que relações se identificam entre as ações da professora e os processos de raciocínio matemático?

AÇÕES DO PROFESSOR NAS DISCUSSÕES COLETIVAS

A discussão coletiva na sala de aula decorrente da exploração de tarefas que visam promover o raciocínio e a resolução de problemas é fundamental para o desenvolvimento da compreensão de conceitos e para uma aprendizagem matemática com significado (^{NCTM, 2017}). Oferece aos alunos oportunidades para partilharem ideias matemáticas e elaborarem argumentos válidos que as sustentem e clarifiquem (^{NCTM, 2007}). À medida que os alunos tentam apresentar argumentos fundamentados para as suas ideias, esclarecem os seus próprios pensamentos e são capazes de (re)criar algumas das práticas que os matemáticos usam ao produzir argumentos e justificações (^{Brodie, 2010}).

O reconhecimento da importância de discussões coletivas na promoção do raciocínio matemático dos alunos desencadeou, a partir dos anos 90 do Séc. XX, a realização de estudos focados na preparação e condução destes momentos de exploração das tarefas (^{Fraivillig et al., 1999}; ^{Lampert, 2001}; ^{Stein et al., 2008}; ^{Wood, 1999}). Estes estudos realçam as ações do professor como um elemento-chave das discussões coletivas.

^{Fraivillig et al. (1999)} organizam essas ações em três categorias: (i) Incentivar (eliciting) os alunos a apresentar os seus métodos, (ii) Apoiar (supporting) a compreensão conceptual dos alunos, (iii) Ampliar (extending) o pensamento dos alunos. Os resultados deste estudo revelam que os dois primeiros tipos de ações ocorrem, sobretudo, quando os professores pretendem ter acesso ao pensamento matemático dos alunos ou apoiar esse pensamento. Revelam, ainda, que o terceiro tipo de ações é, simultaneamente, o que contribui para um maior desenvolvimento do pensamento dos alunos e o que constitui um maior desafio para os professores.

Apoiando-se no modelo de ^{Fraivillig et al. (1999)}, ^{Cengiz et al. (2011)} caracterizam de forma mais aprofundada as ações de Ampliar que ocorrem durante as discussões coletivas, analisando-as individualmente. Advertem, contudo, que as várias ações surgem muitas vezes de forma interligada e que, em alguns casos, as ações individuais a que os professores recorrem para atingir determinado fim são eficazes, mas noutros casos não o são, havendo a necessidade de desencadear uma sequência de ações. Este estudo reforça a ideia de que as ações de Ampliar, ou seja, de levar os alunos a compreender um fenómeno matemático, evoluindo para além das suas ideias iniciais, são complexas e constituem um desafio para o professor.

Ellis et al. (2013) acrescentam às três categorias de ações do professor apresentadas por ^{Fraivillig et al. (1999)}, uma quarta que designam por Responder a (responding to). Esta categoria inclui ações de reação ao que os alunos dizem ou fazem, como, por exemplo, redizer uma afirmação dos alunos ou solicitar a um aluno que rediga afirmações de outros. Neste modelo de análise das ações do professor, em cada categoria são considerados dois níveis (baixo e elevado), de acordo com o potencial das ações para apoiar o raciocínio matemático dos alunos. As quatro categorias de ações são assumidamente apresentadas sequencialmente, para evitar um entendimento hierárquico quanto à sua importância no desenvolvimento do raciocínio matemático. Esta opção distancia-se da perspetiva de ^{Fraivillig et al. (1999)} ao sugerir Ampliar (extending) como o conjunto de ações que mais contribui para o desenvolvimento do pensamento dos alunos.

Também com o objetivo de estudar a condução de discussões coletivas ^{Ponte et al. (2013)} propõem o modelo de análise para as ações do professor da figura 1, que posteriormente foi também usado por ^{Mata-Pereira e Ponte (2017}; ^2018a; ^2018b) para analisar processos de raciocínio matemático nesta fase da exploração de tarefas.

Figura 1 Modelo das ações do professor na condução de discussões matemáticas (^{Ponte et al., 2013}). 

Neste modelo, as ações do professor são organizadas em dois grupos distintos - as que se relacionam diretamente com os tópicos e processos matemáticos e as que se focam na gestão da aprendizagem (^{Ponte et al., 2013}). É dado especial relevo às ações do primeiro grupo, que os autores designam por Convidar, Apoiar/Guiar, Desafiar e Informar/Sugerir. As ações de Convidar promovem o envolvimento inicial dos alunos na discussão ou num seu segmento (^{Ponte et al., 2013}), incentivando os alunos a participar e a partilhar as suas resoluções (^{Mata-Pereira e Ponte, 2018a}). As ações de Apoiar/Guiar incentivam a continuação da participação dos alunos na discussão (^{Ponte et al., 2013}), conduzindo-os a apresentar informação (^{Mata-Pereira e Ponte, 2018a}). Informar/Sugerir corresponde a ações em que é o próprio professor que introduz informação, sugere argumentos, ou valida respostas dos alunos (^{Ponte et al., 2013}). Já nas ações de Desafiar, a intenção do professor é que sejam os alunos a assumir esse papel, incentivando-os a ir além do seu conhecimento prévio (^{Mata-Pereira e Ponte, 2018a}). Este tipo de ações “coloca o aluno na situação de ser ele próprio a avançar em terreno novo, seja em termos de representações, da interpretação de enunciados, do estabelecimento de conexões, ou de raciocinar, argumentar ou avaliar” (^{Ponte et al., 2013}, p. 59).

Com o intuito de contribuir para a construção de princípios orientadores para a promoção do raciocínio matemático dos alunos, ^{Mata-Pereira e Ponte (2018a)} recorrem a este modelo para analisar episódios de discussões coletivas e concluem que as ações do professor não surgem com uma ordem ou sequência pré-estabelecida, dependendo do que os alunos dizem ou fazem e das oportunidades que as intervenções destes geram para o desenvolvimento da aula.

RACIOCÍNIO E PROCESSOS DE RACIOCÍNIO

Sendo consensual que raciocinar é uma atividade comum a todos os seres humanos, já não é tão consensual o que se entende por raciocínio matemático. Diversos autores (^{Jeannotte e Kieran, 2017}, ^{Mata-Pereira e Ponte, 2018b}; ^{Oliveira, 2008}) caracterizam raciocínio matemático, enfatizando alguns dos seus aspetos. Para ^{Oliveira (2008)}, o raciocínio matemático refere-se a um conjunto de processos mentais complexos através dos quais se obtém conhecimento novo a partir de conhecimento prévio. Pelo seu lado, ^{Jeannotte e Kieran (2017)} associam o raciocínio matemático a um processo de comunicação que permite inferir enunciados matemáticos a partir de outros. Tendo em conta estas caracterizações de raciocínio matemático e a de ^{Mata-Pereira e Ponte (2018b)}, consideramos que raciocinar matematicamente é fazer inferências justificadas.

Indo além da ideia de que raciocinar matematicamente se restringe ao raciocínio dedutivo, a investigação tem mostrado que há diferentes modos de fazer inferências justificadas, o que remete para o que ^{Jeannotte e Kieran (2017)} denominam como o “aspeto estrutural” do raciocínio. Este diz respeito ao modo como os elementos discursivos se associam num sistema ordenado que descreve os seus elementos e a relação entre eles, incluindo os diferentes tipos de raciocínio: dedutivo, indutivo e abdutivo. As autoras identificam ainda no raciocínio matemático o seu “aspeto processual”, que diz respeito a processos “meta-discursivos, isto é, que derivam narrativas sobre objetos ou relações através da exploração de relações entre objetos” (^{Jeannotte e Kieran, 2017}, p. 9) e que estão associados a identificar padrões, procurar semelhanças e diferenças, comparar, classificar ou provar. Este aspeto processual está diretamente relacionado com o que se denomina comummente por processos de raciocínio, caracterizados por diversos autores (^{Lannin et al., 2011}; ^{Mata-Pereira e Ponte, 2017}; Rivera e Becker, 2019). Relacionando diretamente raciocínio matemático com alguns desses processos, ^{Lannin et al. (2011)} referem que o raciocínio integra processos como conjeturar, generalizar, investigar porquê, desenvolver e avaliar argumentos.

Sendo comum a todos os autores que investigam processos de raciocínio matemático a assunção da sua complexidade, variedade e inter-relação, há diferentes caracterizações destes processos. O projeto REASON destaca os seguintes processos: generalizar, justificar, classificar, conjeturar e exemplificar. Generalizar, um processo central do raciocínio matemático, consiste em afirmar que uma ideia, propriedade ou procedimento é válido para um determinado conjunto de objetos (Carraher et al., 2008; ^{Jeannotte e Kieran, 2017}) ou afirmar que uma propriedade é comum a um grupo de objetos (^{Jeannotte e Kieran, 2017}). Justificar, um outro processo central do raciocínio matemático, consiste em apresentar um argumento lógico baseado em ideias matemáticas para sustentar uma determinada afirmação ou refutá-la utilizando um contraexemplo (^{Jeannotte e Kieran, 2017}). Classificar é um processo de inferência sobre classes de objetos com base nas suas propriedades e definições, que pode ser desencadeado pela procura de semelhanças ou diferenças entre objetos matemáticos (^{Jeannotte e Kieran, 2017}) e pode corresponder, por vezes, a uma generalização. Conjeturar está associado à procura de regularidades, semelhanças ou diferenças, com o objetivo de estabelecer uma relação (^{Jeannotte e Kieran, 2017}), envolvendo a formulação de afirmações (conjeturas) que se espera que sejam verdadeiras, mas cuja veracidade é necessário validar (^{Lannin et al., 2011}). Finalmente, exemplificar consiste em encontrar exemplos que apoiam a procura de aspetos semelhantes e diferentes ou que apoiem a validação, sendo um processo que surge associado, e que apoia, outros processos (^{Jeannotte e Kieran, 2017}).

A centralidade do raciocínio matemático e a importância de o desenvolver na sala de aula desde os primeiros anos é aceite por investigadores e professores, sendo essencial perceber como pode ser promovido o seu desenvolvimento. Um dos aspetos comuns às investigações sobre a temática é que o envolvimento dos alunos em discussões coletivas, em que elaboram e exprimem os seus argumentos e em que analisam a argumentação matemática de colegas e do professor, contribui para o desenvolvimento do seu raciocínio matemático (^{Oliveira, 2008}; ^{Stein et al., 2008}). A par deste envolvimento em discussões coletivas e com elas relacionadas, identificam-se a natureza das tarefas que são propostas aos alunos (^{Battista, 2017}; ^{Lannin et al., 2011}; ^{Lithner, 2017}) bem como ações específicas do professor durante as discussões coletivas (^{Ellis et al., 2018}; ^{Lannin et al., 2011}; ^{Mata-Pereira e Ponte, 2017}, ^2018a, ^2018b) que contribuem, igualmente, para o desenvolvimento do raciocínio matemático dos alunos.

METODOLOGIA

Esta investigação segue uma metodologia interpretativa (^{Erickson, 1986}). A recolha de dados é realizada numa turma de 5º ano de uma professora, Leonor, que participou numa oficina de formação integrada no projeto REASON. No âmbito deste projeto, que tem como objetivo geral estudar o conhecimento matemático e didático que os professores precisam para conduzir uma prática que promova o raciocínio matemático dos alunos, realizou-se esta oficina em que participaram 19 professores dos 1º e 2º ciclos do ensino básico.

A formação, orientada pelas três primeiras autoras deste artigo, incluiu seis sessões presenciais de 3 horas e dois momentos, designados por “Levar à prática”, em que cada professor explorou, na sua turma, uma tarefa por si selecionada ou adaptada e que considerava com potencialidades para desenvolver o raciocínio matemático dos seus alunos. O momento “Levar à prática I” ocorreu após a terceira sessão de formação e o “Levar à prática II” após a quinta sessão de formação. Cada um destes momentos englobou a planificação e exploração de uma tarefa na aula e a apresentação no grupo de formação que incidiu na análise dos processos de raciocínio usados pelos alunos e nas ações do professor para os desenvolver. As aulas em que foram exploradas as tarefas foram observadas e videogravadas por colegas da formação e pelas formadoras.

Leonor, com 36 anos de experiência profissional, trabalhou em grupo durante a formação com uma colega de escola, com quem partilhou as decisões sobre a escolha das tarefas e sobre a sua planificação, aspetos que o par igualmente discutiu com as formadoras. No “Levar à prática I” este par selecionou a tarefa Chupa-chupas⁵, analisada durante a oficina de formação, optando por substituir o contexto de distribuir chupa-chupas por distribuir maçãs (Figura 2).

Neste artigo analisamos a discussão coletiva desta tarefa ocorrida na aula de Leonor, que decorreu nos últimos 45 minutos de uma aula de 90 minutos.

Figura 2 Tarefa “Quantas maçãs?” 

A análise de dados foi realizada em três fases. Na primeira fase começou-se por garantir o rigor da transcrição, visionando a aula e introduzindo os necessários ajustamentos. Em seguida, produziu-se um relato da discussão coletiva que exclui da transcrição diálogos ou comentários não diretamente relacionados com a discussão da tarefa, como os que dizem respeito, por exemplo, a pontos de ordem relativamente a normas gerais a seguir (Professora: “Shiiiiu. Dedo no ar se quiserem contribuir ou fazer perguntas. Vá! Põem o dedo no ar. Já lá vamos”). Neste relato incluem-se notas explicativas sobre a sequência das apresentações realizadas pelos alunos e os registos realizados no quadro, de modo a traduzir o mais fielmente possível tudo o que respeita à discussão matemática da tarefa.

A segunda fase de análise incidiu sobre o relato, que foi analisado tendo como base o modelo de ^{Ponte et al. (2013)} e ^{Mata-Pereira e Ponte (2017}, ^2018a, ^2018b) de modo a associar as intervenções da professora a um tipo de ações consideradas por estes autores. Deste modo, as intervenções da professora que integravam o relato foram associadas à ação que ela ilustra e foi incluída uma descrição que justifica a associação realizada. Diversos exemplos são apresentados no Quadro 1.

Na terceira fase de análise de dados, as ações da professora começaram por ser organizadas de acordo com o modelo proposto por ^{Ponte et al. (2013)} e ^{Mata-Pereira e Ponte (2017}, ^2018a, ^2018b) nos quatro tipos de ações centrados nos tópicos e processos matemáticos: (i) Convidar, (ii) Apoiar/Guiar, (iii) Desafiar e (iv) Informar/Sugerir. O conteúdo de cada um dos conjuntos de ações foi analisado em detalhe de modo a especificar as suas particularidades e a identificar e caracterizar as ações que diretamente se relacionam com o desenvolvimento do raciocínio matemático. Desta análise detalhada emergiu uma subdivisão de algumas das categorias inicialmente consideradas: (i) Convidar, (ii) Apoiar, (iii) Guiar, (iv) Desafiar, (v) Informar e (vi) Sugerir. As ações da professora incluídas em cada um dos tipos anteriores foram organizadas nas categorias relacionadas com processos de raciocínio (Quadro 2), que igualmente emergiram nesta fase de análise de dados.

Nesta fase de análise de dados foi também contabilizado o número de ações da professora incluídas em cada uma das categorias consideradas. Na secção relativa à análise de dados a ordem pela qual são apresentadas as ações da professora está associada à sua expressão nos processos de raciocínio que apoia e promove.

TIPOS DE AÇÕES DO PROFESSOR E PROCESSOS DE RACIOCÍNIO

INTER-RELAÇÃO E SEQUENCIALIDADE DAS AÇÕES DA PROFESSORA

Nas secções anteriores analisámos as ações de Leonor durante o momento de discussão coletiva, tanto as que se ligam diretamente a processos de raciocínio matemático como as que apenas têm como intenção a orquestração das inter-venções dos alunos. Embora esta análise tenha sido realizada ação a ação tendo como objetivo a apresentação de evidências associadas a cada uma, no momento de discussão coletiva foram identificados padrões entre elas, tanto no que se refere à sua relação como à sua sequencialidade.

Duas ações que se interligam no discurso da professora, no momento de discussão coletiva, são as de Apoiar e Guiar, tal como acontece neste episódio:

Esta interligação parece ter uma dupla intenção, por um lado, valida o que os alunos disseram (Apoiar) e, por outro, questiona-os, de modo a que estes explicitem algo na sua apresentação (Guiar), neste caso sobre o valor do resto que obtiveram quando efetuaram diversas divisões. Em todos os casos analisados desta associação de ações da professora, num total de quatro, identifica-se, também, esta sequencialidade - Leonor começa por apoiar o discurso dos alunos, colocando depois uma questão no sentido de os guiar na sua intervenção.

A ação Apoiar surge, ainda, num total de oito vezes, associada a Desafiar. Frequentemente, o apoio é verbalizado apenas pela expressão “OK” que valida o caminho seguido pelos alunos até aí, antes de lhes colocar o próximo desafio:

Neste excerto, Apoiar é seguido de um desafio associado à formulação de uma conjetura sobre as características dos números que são solução do problema.

AÇÕES DA PROFESSORA DURANTE A DISCUSSÃO COLETIVA

A análise de todas as ações de Leonor durante a discussão coletiva permite identificar a frequência observada em cada uma das categorias identificadas, distinguindo as ações em que foi observada uma associação a processos de raciocínio das que, pelas suas características, não o podem estar (tabela 5).

Desafiar e Guiar destacam-se como as ações mais focadas no raciocínio. Na ação de Desafiar há um claro predomínio de características ligadas ao raciocínio: só num caso é que a professora lança um desafio que não lhe está associado. É também na ação de Desafiar que se identificam quase todas as questões da professora com características não diretamente relacionadas com processos de raciocínio específicos (Meta-analisar), como acontece quando Leonor desafia os alunos a analisar as condições do problema, as estratégias usadas ou o que significa testar uma conjetura.

Ao contrário do que acontece com Desafiar, a maioria das ações de Guiar (35 em 49) não incidem diretamente no raciocínio matemático. Guiar envolve levar os alunos a esclarecer, explicitar ou justificar algo, seja a escolha de um exemplo, o significado de uma expressão, a explicitação de justificações, generalizações e conjeturas ou a opção por uma estratégia de resolução. Guiar tem ainda características de desafiar em diferido, quando se concretiza via um pedido de explicitação de um desafio colocado pela professora a um ou vários grupos, na fase de exploração autónoma da tarefa.

Informar assume a forma de uma afirmação ou esclarecimento que visa descrever ou recordar um determinado caminho de exploração da tarefa, salientar ou validar uma ideia, relacionada ou não com o raciocínio matemático. Assim, pode ter características associadas aos processos de raciocínio, revelando-se como a ação em que o professor inclui aspetos importantes destes processos, concretizando-os para a tarefa em discussão.

A ação de Sugerir assume a forma de um comentário ou recomendação e envolve a análise de explicações ou justificações e a apreciação crítica de uma estratégia, podendo ou não focar o raciocínio matemático. Distingue-se da ação de Informar por visar diretamente a participação do aluno.

Ao Convidar podem ou não estar subjacentes aspetos relacionados com Matemática uma vez que a organização das intervenções dos alunos pode assentar no conhecimento que o professor tem das conclusões a que chegou durante o trabalho autónomo ou das características das suas participações habituais. As “ações de Convidar que têm subjacente uma intenção relacionada com a Matemática” estão muito associadas ao início de segmentos de discussão coletiva, em que se solicita a alunos ou grupos que apresentem o que fizeram, evidenciando-se um planeamento da sequência de apresentações baseado no trabalho por eles previamente realizado. Podem, igualmente, ocorrer na sequência de um momento de discussão em que a professora parece sentir importante introduzir um contributo com determinadas características. Convidar pode estar associado à explicitação de processos de raciocínio, embora esta relação não tenha sido identificada na análise efetuada.

Apoiar é uma ação que se distingue de Guiar uma vez que corresponde a enfatizar uma opção, uma resposta ou observação dos alunos, sem ter a intenção de lhes solicitar alguma resposta, mas que visa encorajá-los a prosseguir a apresentação de uma ideia ou argumentação.

CARACTERÍSTICAS DAS AÇÕES ASSOCIADAS AO RACIOCÍNIO MATEMÁTICO

A análise de dados permite destacar uma categoria de processos matemáticos que designamos por Meta-analisar, não associada a um determinado processo de raciocínio, mas claramente focada no raciocínio matemático. Esta categoría é identificada, sobretudo, na ação de Desafiar, mas também ocorre em Sugerir. Envolve a reflexão sobre estratégias gerais de resolver um problema ou de con-duzir uma investigação matemática (Quadro 8).

As ações da professora associadas a Justificar (Quadro 9) centram-se, no caso da tarefa analisada, na justificação de porque é que alguns exemplos ‘funcionam’ e outros não e na fundamentação dos exemplos usados.

Associado a Generalizar (Quadro 10) salientamos o desafio para reformular ou avançar com uma generalização e a sugestão de análise de um padrão.

As ações da professora focadas em Exemplificar (Quadro 11) visam a análise crítica do uso de exemplos, quer provocando instabilidade sobre se eles podem ou não ser considerados exemplos, quer procurando a explicitação de mais exemplos e o seu uso para avançar na resolução do problema. Este último aspeto é fundamental pois é nele que reside a essência de considerar a exemplificação como um processo (auxiliar) de raciocínio.

A tarefa analisada ilustra como focar a atenção no tipo de números que obedecem a uma ou mais condições é uma ação que pode levar os alunos a Classificar (Quadro 12).

Finalmente, conjeturar (Quadro 13), embora seja um processo de raciocínio pouco presente na discussão coletiva, é um processo para o qual a professora consegue guiar os alunos.

RELAÇÕES ENTRE AÇÕES E PROCESSOS DE RACIOCÍNIO

As características das ações identificadas têm diferentes níveis de generalidade, com as mais específicas, naturalmente, muito associadas à tarefa discutida com os alunos. No entanto, sugerem um menu de características que o professor pode ter em conta na preparação da discussão coletiva.

Na Figura 3 apresentamos um modelo com génese no proposto por ^{Ponte et al. (2013)} e ^{Mata-Pereira e Ponte (2017}, ^2018a, ^2018b), que traduz as relações e ações observadas e que reflete (i) a individualização de ações que possuem características próprias, tal como fundamentado anteriormente, (ii) as potencialidades de cada tipo de ação para desenvolver o raciocínio matemático, e (iii) a inter-relação e sequencialidade das ações.

Figura 3 Modelo das ações da professora na condução de discussões coletivas que pro-movem o raciocínio matemático. 

A parte mais sombreada destaca as relações entre as ações do professor e o foco no raciocínio matemático. As ligações ‘diretas’ entre cada ação e os diferentes processos de raciocínio traduzem os dados analisados e permitem assinalar as potencialidades identificadas. Desafiar é a ação mais associada ao raciocínio matemático, incidindo diretamente sobre Classificar, Justificar, Exemplificar, Generalizar e sobre os processos Meta-analisar, associados à análise de estratégias gerais de resolução de problemas e de exploração de investigações matemáticas. As ligações mais ‘grossas’ traduzem a maior incidência nos processos Justificar e Meta-analisar.

A parte mais escura da seta dupla que liga Guiar a Desafiar traduz uma característica importante da ação de Guiar, quando assume a forma de desafio em diferido, em que a professora solicita que os alunos explicitem desafios que colocou durante a fase de exploração da tarefa em pequenos grupos.

Não foi identificada nenhuma ação de Convidar ou Apoiar que incidisse diretamente sobre o raciocínio matemático. No entanto, é possível que isso aconteça quando, por exemplo, se seleciona um aluno ou grupo a participar, ou se enfatiza o que disseram, tendo como critério, um exemplo, uma justificação, uma classificação que a professora identificou durante a exploração autónoma da tarefa. Por isso, no modelo da Figura 3 estas ações estão parcialmente incluídas na parte sombreada mais clara. Apoiar está colocado entre Guiar e Desafiar, evidenciando a interligação e sequencialidade identificadas: (1) começar por Apoiar validando o que os alunos disseram e solicitando de seguida que precisem aspetos ligados ao que estavam a apresentar (Guiar) e (2) começar por Apoiar antes de Desafiar os alunos.

O modelo apresentado avança seis categorias para as ações do professor durante a discussão coletiva, diretamente relacionadas com tópicos e processos matemáticos, explicita as suas relações com o raciocínio matemático e salienta a interligação entre elas. A opção de análise foi focar cada ação e não sequências de ações. No entanto, uma vez que a sequencialidade entre Apoiar e Guiar e Apoiar e Desafiar se evidenciou, ela é igualmente assinalada no modelo.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

O modelo das ações do professor na condução de discussões coletivas que promovem o raciocínio matemático que propomos (Figura 3), evidencia, tal como o de ^{Ponte et al. (2013)} e ^{Mata-Pereira e Ponte (2017}, ^2018a, ^2018b), a importância das ações do professor para que nas discussões coletivas possa emergir o raciocínio matemático. Avança, ainda, com a especificação das potencialidades de cada um dos tipos de ações para promover os processos de raciocínio matemático considerados.

Este estudo, embora focando cada tipo de ação do professor per si, identifica a inter-relação entre ações de Apoiar e Guiar e um sentido de Guiar associado a Desafiar, Desafiar em diferido. Estes resultados estão na linha do que ^{Cengiz et al. (2011)} afirmam sobre a combinação de sequências de ações para efetivamente desenvolver o pensamento dos alunos e sugerem, igualmente, a pertinência de desenvolver um modelo que possa incluir o impacto de um conjunto de ações e não apenas o de ações isoladas.

Identificamos um processo de raciocínio não referido na literatura, Meta-analisar, que corresponde a um nível de pensamento em que os objetos são os processos de raciocínio e sobre o qual importa que o professor foque algumas das suas ações. Meta-analisar corresponde a fazer uma abstração e pensar sobre características, por exemplo, de conjeturar ou generalizar.

Reconhecemos potencialidades do modelo das ações do professor na condução de discussões coletivas que promovem o raciocínio matemático (Figura 3) e das características das ações do professor identificadas, nomeadamente na fase de planificação quando o professor prepara as questões que pode colocar aos alunos e antecipa os processos e representações que eles poderão usar. No entanto, esta será uma vertente que importa aprofundar em futuras investigações. Finalmente, salientamos que o modelo proposto é hipotético e necessita ser precisado em futuros estudos que incidam na análise da exploração de outras tarefas, focadas no desenvolvimento do raciocínio matemático, conduzidas por diferentes professores.