INTRODUCCIÓN

Una aspiración en las carreras de ingeniería de la Universidad de Camagüey Ignacio Agramonte Loynaz es mejorar los indicadores globales de calidad del Ministerio de Educación Superior, reflejados en los objetivos de trabajo del curso 2016-2017 (^{colectivo de autores, 2014}). Un reciente análisis cuantitativo-cualitativo del proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas en nuestro departamento, demuestra que la calidad de los aprendizajes de los estudiantes no permite alcanzar tal propósito. En los informes de la asignatura Matemática I, donde se imparte el contenido básico de cálculo diferencial e integral de funciones reales de una variable real, ha quedado confirmado que: el trabajo con las funciones y su aprendizaje aún no responde a una sólida comprensión de su estructura y apropiación en todos los temas de matemáticas impartidos en las carreras de ingenierías, lo cual ha provocado el pobre desenvolvimiento en el trabajo con los conocimientos de función, tanto en los docentes como en los alumnos.

En la actualidad, el problema del aprendizaje de las funciones reales en la educación superior constituye una dificultad aún no resuelta. El estudio llevado a cabo por ^{Amaya, Pino-Fan & Medina (2016)} revela la persistencia en la falta de comprensión del concepto función y en su identificación; así se corrobora en otros estudios hechos por ^{Godino, Bencomo, Font & Wilhelmi (2006)}, donde se afirma que el conflicto epistémico más marcado en relación con el concepto de función, es el distanciamiento entre el reconocimiento del concepto a nivel escolar y su uso consciente en el ámbito social. Los significados asociados al trabajo con los conceptos matemáticos que se pretenden, impactan en la formación de ingenieros.

Se dice, que en los procesos de instrucción y aprendizaje del conocimiento matemático el tratamiento de los contenidos se hace de forma fragmentada y descontextualizada, sin que se revelen a los alumnos vínculos y relaciones entre ellos, así como de estos con las asignaturas de la profesión (^{Montes de Oca, Rubio & Núñez, 2016: 2}).

De manera particular, consideramos la fragmentación y la descontextualización en el tema de funciones reales de una variable real -vistas desde una arista intra-matemática- como el insuficiente apoyo que existe entre los diferentes registros semióticos del concepto de función, para el desarrollo de las diferentes actividades matemáticas que en la formación de ingenieros deben ser resueltas, lo que provoca la prevalencia del uso algebraico sobre los restantes, al igual que la aplicación de este concepto en los disímiles contextos en los cuales se presenta. Por tal motivo, nos inclinamos por estudiar los significados y sus vínculos, que son pretendidos en la enseñanza del concepto de función real de una variable real en las carreras de ingeniería en la Universidad de Camagüey.

El proceso de formación en la educación superior cubana tiene el objetivo de preparar integralmente al alumno en una determinada carrera universitaria. Supone brindar los conocimientos y las habilidades necesarias para el desempeño profesional, y también utilizarlos en la solución de los problemas que se le presenten como parte de su actividad laboral (^{Horruitiner, 2009}).

Existen estudios en cuanto a prácticas matemáticas en la enseñanza y el aprendizaje de las funciones reales de una variable real, entre los que se encuentran ^{Hitt (2003)}, ^{Godino, Bencomo, Font & Wilhelmi (2006)}, ^{Duval (2006)}, ^{Mendible & Ortiz (2007)}, ^{Godino, Batanero & Font (2007)} y ^{Amaya et al. (2016)}, entre otros. A manera de síntesis, estos autores han señalado que en profesores y alumnos con frecuencia se utiliza la manipulación de representaciones algebraicas, y esto produce limitaciones en su comprensión. Sin embargo, las actividades que involucran transformaciones ventajosas de tipo conversión y tipo tratamiento (^{Duval, 2006}) son minimizadas por los profesores al estudiar las funciones (^{Amaya et al. 2016}). Esto se verifica cuando existen otras tendencias que dan prioridad al estudio del concepto función, sobre la base del análisis gráfico (^{Berciano, Ortega del Rincón & Puerta, 2015}).

Varios autores (^{Vinner, 1991}; ^{Dubinsky & Harel, 1992}; ^{Stewart, 2006} y ^{Berciano et al., 2015}) recomiendan y asumen la representación de las relaciones funcionales de forma verbal, algebraica (analítica y por secciones), tabular y gráfica, en tareas fundamentalmente de traducción. Sin embargo, según ^{Berciano et al. (2015)}, la representación gráfica facilita ver las características globales de la función, y la ecuación permite determinar con precisión valores de ambas variables. Si bien son ciertas estas conclusiones, a la vez provocan que prevalezca el uso de un registro sobre otros, por lo que los vínculos operacionales y procedimentales en la realización de conversiones y tratamientos, dificultan la comprensión y apropiación del concepto de función.

El aprendizaje del concepto de función no se desliga de su componente semiótico, como se ha visto anteriormente, componente que se refiere a un significado numérico, algebraico, geométrico y verbal, pero que también interviene en las prácticas de enseñanza influenciadas por documentos rectores y directivos; y estas, a su vez, configuran un significado institucional que es llevado de forma planificada al discurso en nuestras aulas. Debido a la manera en que este significado institucional o pretendido del concepto de función es implementado, se hace necesario caracterizarlo, pues tendrá lugar inmediatamente en las prácticas operatorias de nuestros estudiantes que se forman como ingenieros.

Estos motivos generan el problema: ¿cuáles son los significados concretos del concepto de función real de una variable real que deben enseñarse a los ingenieros? y tiene la intención de contribuir al perfeccionamiento de la enseñanza de las matemáticas en el nivel superior, para la formación integral de la cantera de futuros científicos en diferentes ramas de la ciencia, del Proyecto Nacional 2016-2020 “Perfeccionamiento de la enseñanza de la matemática”.

El objetivo de nuestra investigación es identificar los significados institucionales (prácticas institucionales) pretendidos con criterios de mejora para la enseñanza del concepto de función que podemos encontrar en los planes y programas de estudio de matemáticas, así como en los libros de texto básicos de las carreras de ingeniería. Estas prácticas serán caracterizadas y analizadas a través del complemento didáctico-matemático del Enfoque Onto-Semiótico (EOS) del Conocimiento y la Instrucción Matemática (^{Godino & Batanero, 1994}; ^{Godino et al. 2007}), la idoneidad didáctica (^{Godino, Font, Contreras & Wilhelmi, 2006}) del proceso de enseñanza del concepto función real de una variable real, de manera que solo se tome la dimensión epistémica y los criterios dados por ^{Pino-Fan, Castro, Godino & Font (2013)}, que se da en este proceso instructivo en la actualidad.

NOCIONES TEÓRICAS

ASPECTOS METODOLÓGICOS

CRITERIOS PARA EL ANÁLISIS DE LA DIMENSIÓN EPISTÉMICA EN EL ESTUDIO DE LAS FUNCIONES

El significado del concepto de función, analizado desde sus orígenes hasta la actualidad permite establecer un significado de referencia. Los significados parciales, institucionales o pretendidos, subordinados a estos referentes, serán elementos de análisis en la caracterización de la idoneidad epistémica del concepto estudiado. “La idoneidad epistémica, se refiere al grado de representatividad de los significados institucionales implementados (o previstos), respecto de un significado de referencia” (^{Godino, Bencomo, Font & Wilhelmi, 2006: 4}).

Por considerar que los criterios dados por ^{Pino-Fan et al. (2013)} en el análisis epistémico de la derivada son generales, los tomaremos en cuenta para el análisis de los significados pretendidos del concepto abordado, y realizaremos algunos ajustes en ellos, debido a la evolución de las exigencias del proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en la actualidad.

II. Procesos de representación activos en el planteamiento y solución de las tareas

Durante el proceso de análisis de la idoneidad epistémica es necesario considerar los distintos tipos de representaciones (lenguaje matemático) utilizados para referirse a los diferentes objetos matemáticos, así como los tratamientos y conversiones entre ellos.

De acuerdo con ^{Berciano et al. (2015)}, existen cuatro formas fundamentales de representar una función: tabular, verbal, gráfica y analítica, aunque deben considerarse otras formas de ilustrar correspondencias unívocas entre dos conjuntos numéricos. Tal es el caso de los diagramas de Venn o de flechas, de máquinas, sagitales, entre otras que también forman parte de la actividad matemática en el desempeño profesional del ingeniero. La figura 1, muestra algunos de estos ejemplos, que son poco usados en la formación matemática del ingeniero debido a la prevalencia de lo analítico y gráfico en el trabajo con funciones, y que tienen una alta significación en el desarrollo del concepto de función en la actualidad.

1. Traducción o conversión de situaciones de la vida.

2. Conversión y tratamiento en las distintas formas de representación.

3. Traducciones y conversiones entre las distintas formas de representación.

4. Visualización de las formas de representación.

Figura 1 Ilustra un diagrama de máquina y otro de flecha para una función. 

SIGNIFICADO EPISTÉMICO (PRETENDIDO) DEL CONCEPTO FUNCIÓN EN LOS PLANES Y PROGRAMAS DE ESTUDIO DE MATEMÁTICA

De los significados histórico-didácticos sobre la construcción del concepto función y su implementación en el proceso de formación de los ingenieros, que aparecen en los planes y programas de estudio para el análisis de las configuraciones epistémicas, se tienen en cuenta los aspectos siguientes:

En el plan de estudio y los programas de matemáticas en la formación de ingenieros se pueden constatar los significados pretendidos. La Tabla 1 resume los componentes epistémicos-didácticos (conjugación de un componente epistémico con uno del proceso de enseñanza y aprendizaje) y su contenido (conocimiento, acciones, habilidades y problemas, entre otros), que conforman un significado pretendido para la enseñanza y el aprendizaje del concepto de función en las carreras de ingeniería.

En cuanto al trabajo con funciones, el plan de estudios que contiene las orientaciones establecidas por el Ministerio de Educación Superior respecto al diseño curricular de cada carrera, donde aparecen la disciplina Matemática y sus asignaturas por semestre y años, se dirige a satisfacer las demandas actuales y futuras a nivel nacional de los Organismos de la Administración Central del Estado (OACE) y los programas de estudio de las asignaturas, y propone: 1) “analizar desde variadas formas de representación, disímiles relaciones que se establecen entre magnitudes, lo que permitirá dar soluciones a tareas y problemas de la vida práctica y profesional del estudiante al facilitarle la formulación de modelos matemáticos de problemas financieros, químicos, ecológicos, físicos y geométricos”; 2) “el estudio de funciones reales de mayor complejidad”. Para esto, son determinadas las propiedades generales y particulares de las funciones, al igual que las clasificaciones de las funciones reales, lo cual permite solucionar distintas tareas con relación al tema de funciones. 3) “el uso de los asistentes matemáticos para el análisis y la representación de funciones reales de cualquier clasificación”. Aquí se determinan los asistentes más usados en la formación de ingenieros, como es el Derive, Matlab y Maple, entre otros, lo cual permite la exploración, la interacción con nuevos tipos de funciones, para así poder resolver tareas de gran envergadura en el proceso de instrucción.

Respecto a los conceptos/definiciones, el plan de estudios y los programas resaltan algunos, tales como los de función (polinómica, racional, algebraica, trascendente, por parte o secciones).

Entre las proposiciones se consideran: las propiedades generales y particulares de las funciones; las reglas o leyes (las formas posibles de representar una función); las propiedades o teoremas fundamentales para el análisis y la interpretación de funciones o modelos funcionales vinculados con situaciones de la vida práctica. Los procedimientos presentados están indicados para el desarrollo de las habilidades de cálculo con valores funcionales, análisis de propiedades generales y particulares, interpretación de modelos funcionales, representación de funciones en forma analítica y gráfica (fundamentalmente de aquellas elementales y no elementales que sean posibles) resolución de problemas de la vida práctica, al igual que así como para el uso de asistentes matemáticos en el cálculo, la representación y validación de propiedades.

Entre los argumentos principales que se pretenden para comenzar el estudio de las funciones está la determinación de relaciones funcionales entre magnitudes, la observancia de la variación de una con respecto a otra entre magnitudes físicas, químicas, financieras y geométricas, entre otras. Esto se articula con representaciones de modelos funcionales de variadas formas, para apoyar el análisis y la resolución de problemas con funciones reales de una variable real. Hasta este momento se puede ver que el concepto de función en las matemáticas superiores es retomado de las enseñanzas precedentes y tratado en nuevas extensiones (polinómicas, racionales, algebraicas, trascendentes y por partes o secciones) de este concepto. Son ampliadas las formas de representaciones y se profundiza en el análisis de las funciones. La finalidad del trabajo con funciones es interpretar, modelar y resolver problemas en la vida práctica y profesional del estudiante.

SIGNIFICADO EPISTÉMICO (PRETENDIDO) DEL CONCEPTO FUNCIÓN EN LOS LIBROS DE TEXTOS

En la búsqueda de configuraciones epistémicas, nuestro estudio analiza una muestra de libros de textos básicos y complementarios que tradicionalmente han sido usados en la asignatura Matemática I en las carreras de ingeniería, los cuales presentamos en la Tabla 2. Sin embargo, analizamos el libro 1 por considerar que su uso es general en todas las carreras de ingeniería, además de que presenta novedosas representaciones, aplicaciones y problemas e introduce el uso de los asistentes matemáticos. Nos centramos en el análisis de las prácticas matemáticas propuestas en dichos libros de texto, en los capítulos dedicados al estudio del concepto función real de una variable real.

Para comparar los significados globales del concepto de función con los que se pretenden en las carreras de ingeniería, utilizamos la noción de configuración epistémica dada por ^{Godino, Bencomo, Font & Wilhelmi (2006)}, representada en la Figura II. Esta configuración muestra los principales componentes epistémicos históricos, así como sus contenidos y relaciones, que se utilizan en la construcción del concepto función real de una variable real, en el proceso de enseñanza y aprendizaje. Solo que se reconfigura, debido al nivel de enseñanza y a la introducción del uso de computadoras en la actualidad, que permiten la introducción y el uso del lenguaje, procedimientos, entre otros elementos computacionales. Esta noción permite identificar y describir sistemáticamente los objetos matemáticos primarios (problemas, elementos lingüísticos, conceptos, proposiciones, procedimientos y argumentos) puestos en juego durante la solución de las prácticas matemáticas propuestas.

Configuraciones epistémicas

Figura 2 Representación de la configuración epistémica históricamente utilizada por textos y programas de matemáticas en la enseñanza del concepto de función real de una variable real. 

El libro Cálculo con trascendentes tempranas, considera dos aspectos didácticos principales para el estudio de las funciones reales de una variable real. El primero va dedicado a los tipos de definiciones y representaciones que se orientan. El segundo trata la resolución de problemas con el uso de las representaciones y definiciones propuestas.

Se abordan cuatro tipos de situaciones/problemas: 1) Situaciones/problemas que plantean alguna relación conjuntistas entre magnitudes de naturaleza geométrica, física, etc., que buscan establecer correspondencias; 2) Situaciones/problemas (resueltos) que ejemplifican, sistematizan y profundizan el uso de las representaciones y definiciones de las funciones, sus propiedades generales y particulares y la aplicación de modelos analíticos; 3) Situaciones/problemas que analizan gráficas (curvas) de mayor composición y comportamientos diversos para determinar propiedades generales y particulares, al igual que a la interpretación de magnitudes. 4) Situaciones/problemas que utilizan principalmente tablas para realizar análisis e interpretaciones, como también conversiones entre las representaciones funcionales. Se introducen conceptos/definiciones relacionados con las clasificaciones de funciones polinómicas, racionales, algebraicas, trascendentes, y el concepto de función por parte y/o por secciones. Se tiene en cuenta que tal concepto de función es utilizado para introducir otros como función continua y derivable. Además de tales definiciones, se dedican tópicos al análisis de estas funciones, con ejemplos variados y argumentaciones que proporcionan un análisis sólido para la solución de tareas y problemas con funciones.

Entre las propiedades/proposiciones que se introducen podemos señalar las propiedades sobre las operaciones con funciones, las transformaciones sobre las funciones, nociones del comportamiento asintótico de una función, el estudio de propiedades particulares y generales de funciones no elementales, por ejemplo su forma gráfica. Son ampliadas las propiedades y proposiciones sobre las funciones compuestas, en cuanto a su determinación y su análisis. Hacemos distintivo en cuanto a los conceptos, propiedades y proposiciones que estos elementos del conocimiento matemático guardan gran relación en el tema de funciones, pues son la base de los procedimientos para el análisis y la interpretación de las mismas.

El análisis y la interpretación de funciones requieren, en este caso, el uso de procedimientos tanto algorítmicos como heurísticos, apoyándose frecuentemente las operaciones con funciones con el uso de asistentes matemáticos. Tal es el caso del cálculo de valores funcionales, de inversas y la representación gráfica, entre otras. Por tal razón involucramos el trabajo con funciones en este tema dentro de la resolución de problemas, pues para graficar a lápiz y papel una función cuadrática basta con conocer un algoritmo, pero para graficar una función g(x) =x2-254 se requiere de varias propiedades; sin embargo, con el uso de asistentes matemáticos el análisis de funciones es mejor.

El principal argumento que podemos señalar radica en las justificaciones dadas a la inclusión de conceptos/definiciones o proposiciones, ejemplificación y explicaciones de técnicas a seguir, y el uso de conceptos/definiciones y proposiciones. Además, en la resolución de los distintos problemas son necesarias argumentaciones deductivas y visuales.

Dentro de las características fundamentales de este texto se encuentra la extensión del estudio del concepto de función, la variedad de representaciones funcionales, donde algunas son sistematizadas, se profundizan y otras son ampliadas, como es el caso de las funciones por partes. La propuesta de tareas con el uso de asistentes matemáticos es mucho más eficaz para la comprensión de los conceptos y propiedades, y la realización de tareas con tales elementos cognitivos del aprendizaje.

La Tabla 3 muestra el tipo de conversión que se activa (significados pretendidos y personales) entre las representaciones de una función, en la resolución de los campos de problemas que hemos considerado en este libro de texto, tanto en el planteamiento del problema, como en su solución, así vamos a interpretar la información que nos brinda. Por ejemplo, la celda marcada con una x indica que el libro de texto considera problemas que requieren la conversión entre los distintos registros semióticos que se mencionan en la tabla por cada campo de problemas. Si un problema plantea representar gráficamente una función algebraica dada su ecuación, es un problema que requiere la conversión de analítica a gráfica. Las celdas que poseen color indican que el proceso de conversión no se aplica por una razón lógica, es la misma representación y solo se ejecuta un tratamiento. Las celdas sin selección ni color nos muestran pocos ejemplos y tareas dirigidas en este sentido.

Ejemplos de los significados que se pretenden en este libro de texto por campos de problemas

CP1:Determinación de relación entre magnitudes (establecer reglas o leyes).
1. Al abrir un grifo de agua caliente, la temperatura T del agua depende de cuánto tiempo ha estado saliendo el agua. Dibuje un esbozo de gráfica de T como una función del tiempo t que ha transcurrido desde que fue abierto el grifo.
Ejemplo 1. Conversión de la representación verbal a la gráfica.
CP1: Determinación de relación entre magnitudes (establecer reglas o leyes).
2. La tabla muestra el nivel promedio de dióxido de carbono en la atmósfera, medido en partes por millón en el Observatorio Mauna Loa, desde 1980 hasta el 2008. Utilice los datos de la tabla para encontrar un modelo para el nivel de dióxido de carbono.
Ejemplo 2. Conversión de la representación verbal-tabular a la analítica.
CP1: Determinación de relación entre magnitudes (establecer reglas o leyes).
3. Se tiene que C(w) es el costo de enviar por correo paquetes con peso w. Se puede definir una función por secciones y otra por una gráfica a partir de la tabla dada.
Ejemplo 3. Conversión de la representación tabular a secciones y luego a gráfica
CP2: Cálculo y estimación de valores funcionales.
4. Una función f está definida por f(x)=1-x si x ≤ -1x2  si x > -1 Evalúe f(-2), f(-1) y f(0) grafique la función.
Ejemplo 4. No requiere necesariamente de su conversión si se comprende el tratamiento algorítmico que lleva este cálculo.
CP3: Representación de funciones en situaciones intramatemáticas.
5. Encuentre el dominio y grafique cada una de las siguientes funciones.
𝑓 (𝑥) = 2 - 0.4𝑥 𝑓 (𝑡) = 2𝑡 + 𝑡² g (x) =√x-5 G x =3x+xx F(x) = x² ⎯ 2x + 1 H(t)=4-t22-t F(x) =|2x+1| g(x) =|x| - x
Ejemplo 5. Conversión de la representación analítica a la gráfica.
CP4: Modelación de situaciones prácticas mediante funciones.
6. Un contenedor rectangular sin tapa tiene un volumen de 10m3. La longitud de su base es dos veces su ancho. El material para la base cuesta $10 por metro cuadrado, y el material para los lados cuesta $6 por metro cuadrado. Exprese el costo de los materiales, como una función del ancho de la base.
C(w) = 2w2 +180W
Ejemplo 6. Conversión de la representación verbal a la analítica, requiere de un tratamiento más complejo que la identificación de una ley por una simple inspección.
CP5: Representación de funciones en computadoras u otros dispositivos electrónicos.
7. Determine una pantalla de visualización apropiada para la función f(x) =8+b2
Ejemplo 7. Conversión de la representación analítica a la gráfica, requiere del uso de asistentes matemáticos por su complejidad y la exigencia de la tarea.

Después de observar las entradas en la Tabla 3, según la interpretación que le hemos dado luego de la revisión del libro de texto, apreciamos cómo las entradas en dicha tabla están distribuidas en tan solo algunas casillas. Si bien es cierto que los libros estudiados proponen varios sistemas de representación, también lo es el vínculo entre ellos, y el tratamiento específico que lleva la actividad de aprendizaje que se realiza en forma de tareas o ejercicios como caso particular de esta.

Observemos que no siempre se logra tener una matriz simétrica de entrada de valores en cada cuadrante de colores diferentes asociados a cada campo de problemas, lo que refleja que la conversión entre registros semióticos en el texto sobre el tema de funciones reales de una variable real no es bidireccional, lo que puede ser una alerta de que los docentes deben dirigir el dominio de los significados institucionales que los planes de estudio y programas proponen. Se reconoce la dificultad de diseñar actividades matemáticas que, en conjunto, utilicen todas las posibles conversiones semióticas exhibidas en la tabla; el énfasis en solamente algunas, como la relación analítica-gráfica o viceversa puede afectar la atribución de significados, de manera que algunos sean olvidados y se refuercen otros.

RESULTADOS Y CRITERIOS OBTENIDOS

Los ejemplos mostrados en cada campo de problemas han sido objeto de evaluación en los alumnos que cursan las carreras de ingeniería industrial, mecánica y ciencias alimentarias, que conforman una muestra de 128 estudiantes. El propósito de la evaluación en cada uno de estos problemas consistió en valorar la obtención de la conversión y la ejecución del tratamiento, de manera que se tenga en cuenta que son dos procesos paralelos y verticales que ejecuta el sujeto que aprende cuando se enfrenta a los problemas que hemos descrito. De manera general, pudimos determinar que los resultados de los problemas no son favorables cuando se centran en la obtención de registros de forma gráfica y analítica a partir de otros, pues solo 48% de los estudiantes logra resultados satisfactorios en este sentido. Sin embargo, la motivación por realizar tareas de este tipo mejora, pues constituye algo novedoso en el conocimiento de las funciones para el quehacer del ingeniero. Los mejores resultados, 62%, se obtienen cuando los alumnos realizan tareas donde interactúa el registro analítico con el gráfico, o viceversa.

De manera global, en este análisis sobre las prácticas operativas de los estudiantes se manifiesta que los algoritmos utilizados en el tratamiento son usados de forma eficiente, pero después de que el profesor ofrece niveles de ayuda, con baja efectividad para el desarrollo cognitivo del estudiante. Por tal motivo, es necesario que en las tareas que realicen los alumnos evidencien el trabajo eficiente con los componentes epistémicos, sobre sus interpretaciones y justificaciones en el conocimiento de las funciones reales de una variable real.

CONCLUSIONES

Hemos presentado un análisis didáctico de los principales significados epistémicos que se pretenden en los planes y programas de estudio, al igual que en libros de texto, para la enseñanza de las matemáticas en las carreras de ingeniería. Los significados epistémicos que están presentes de manera frecuente en el trabajo con funciones son los 6 expresados en la Tabla 3, aunque existen otros significados como los diagramas de flechas y de máquinas, que son solamente ilustrativos para comprender el concepto de función. También se presentan algunos resultados en el orden cognitivo, que desarrollan los estudiantes. El análisis estuvo apoyado en los componentes que brinda y que caracterizan la idoneidad epistémica en el trabajo con funciones. De este análisis resultó descrito un campo de problemas que involucra a cada uno de los componentes de la idoneidad epistémica, los cuales -relacionados con dichos componentes-, conforman un sistema de prácticas que se manifiestan en la enseñanza y el aprendizaje del concepto de función.

Como aspecto importante a tener en cuenta desde la perspectiva de nuestro análisis, está que los registros semióticos asociados al concepto de función articulan con el objeto y con los diferentes tipos de problemas; además de que profundizan el trabajo en la conversión y el tratamiento entre variadas formas de representaciones. Esta articulación forma parte de las prácticas pretendidas y operativas en el proceso de enseñanza y aprendizaje. Cuando los campos de problemas que involucran a los componentes y sus significados pretendidos - relativos al concepto de función en nuestro caso- se relacionan con las representaciones (verbal, numérica, analítica, gráfica, entre otras), es posible evidenciar el comportamiento de las conversiones entre representaciones.

Los campos de problemas que han sido determinados no solo constituyen sistemas de prácticas que se trabajan desde el proceso de enseñanza de las matemáticas en las carreras de ingenierías, forman también la actividad matemática que llevan a cabo dichos estudiantes cuando se enfrentan a las tareas con el concepto de función y donde, a su vez, encuentran las mayores dificultades. A modo de resumen, se tiene que en la enseñanza y el aprendizaje del concepto de función en las carreras de ingenierías, los docentes y alumnos encuentran un aumento de:

De modo general, consideramos que la elección de tareas matemáticas que articulen los campos de problemas y los significados matemáticos es crucial para promover la idoneidad epistémica y cognitiva del aprendizaje significativo del concepto función real de una variable real.