1. Valores globales y locales altos

Este trabajo considera dos tipos de valores altos: valores globales altos (VGA) y valores locales altos (VLA). Por un lado, los VGA se obtienen con estadística no espacial; son valores por encima de la media en distribuciones normales o superiores a la mediana en distribuciones asimétricas a la derecha (asimetría positiva). Son valores altos en términos del conjunto global de los datos. Por otro lado, los VLA son calificados sólo considerando los valores localizados dentro de cierta distancia, rango espacial o vecindad.² Dichos valores son identificados en estadística espacial mediante permutaciones.

Tal como se desglosa a detalle enseguida, los VGA se calculan tomando en cuenta el conjunto completo de datos, sin considerar la localización de los casos o unidades de observación. Por otro lado, los VLA se identifican teniendo como referencia algún criterio predefinido de contigüidad o vecindad. Como resultado, algunos (no todos) VGA pueden traslaparse con VLA. Ambos tipos de valores altos (VGA y VLA) representan procesos espaciales distintos que deberían integrarse analíticamente.

Mientas los VGA resultan del proceso de concentración general (concentración), los VLA son consecuencia de ese mismo proceso de concentración en áreas contiguas (aglomeración). Así presentado, parecería que la aglomeración es un subconjunto del proceso de concentración general. No es así. La georreferenciación (territorialización o espacialización) de la variable de interés muestra que el carácter local de la aglomeración genera una diferenciación espacial del proceso de concentración general que amerita ser atendida. Por ejemplo, la concentración general indica que la pobreza está altamente concentrada en unas cuantas áreas; el proceso de aglomeración, por otro lado, señala que algunas de esas áreas son contiguas en el espacio. Conviene advertir, sin embargo, que algunas áreas contiguas en el espacio que son altas desde el punto de vista local pueden ser bajas en el conjunto global de datos. Esta característica impide que el proceso de aglomeración sea simplemente el proceso de concentración en áreas contiguas.

Con base en pruebas empíricas preliminares, esta investigación sugiere y constata que hay valores globales altos no detectados localmente y hay valores locales altos inadvertidos globalmente (en la perspectiva nacional, en el estudio de caso). Esta situación demanda un procedimiento que simultáneamente considere valores globales y locales altos. Es una estrategia metodológica poco afortunada utilizar únicamente la estadística espacial o procedimientos no espaciales para identificar conglomerados de pobreza. Las líneas siguientes abordan la definición e identificación de VGA usando estadística no espacial (i. e., remuestreo, discontinuidades naturales o puntas y colas consecutivas). Enseguida se presenta la identificación de valores locales altos utilizando la estadística espacial (i. e., autocorrelación espacial). Finalmente, la sección sugiere la superposición de valores globales altos y valores locales altos para identificar conglomerados de pobreza.

a) Valores globales altos (VGA) en el proceso de concentración. Identificación de los VGA por remuestreo. Los VGA pueden identificarse de muchas maneras dependiendo del objetivo del estudio. Este trabajo aplica tres procedimientos con distinto fin: remuestreo, discontinuidades naturales y puntas y colas consecutivas. Se utiliza el remuestreo para la identificación de los VGA en el conjunto de datos e identificar las áreas que concentran la variable de interés, independientemente de su localización. Los dos procedimientos restantes, discontinuidades naturales y puntas y colas, se reservan para clasificar los casos dentro de los conglomerados que identifica esta investigación. Esta decisión no implica que estos dos procedimientos no se puedan utilizar como alternativas para identificar los VGA en vez del remuestreo, tal como se ilustra en ^{Pavlova, et al. (2014)} y ^{Jiang y Yin (2014)}. La decisión de utilizar el remuestreo para identificar los VGA que representan el proceso de concentración general radica, por un lado, en su carácter general y, por otro, en su rigor estadístico. Al compararse con el remuestreo, las discontinuidades naturales y puntas y colas generan resultados más desagregados y útiles para la identificación de estratos o clases de la variable (pobreza). La descripción del remuestreo y los pormenores de su aplicación al estudio de caso se presentan a continuación. La explicación y aplicación específica de los procedimientos mencionados se detallan en la clasificación de los conglomerados.

Remuestreo. Los valores globales altos son valores no espaciales que son mayores al límite superior del intervalo de confianza de la media obtenido por remuestreo, para una probabilidad determinada (e. g., p = 95%, con una cola).³ Los intervalos de confianza no son fiables si la distribución de los datos es asimétrica. Después de verificar los resultados de las pruebas usuales de normalidad (e. g., la significancia de la asimetría y la prueba de Kolmogorov-Smirnov), esta investigación aplica dos procedimientos robustos de remuestreo para lidiar con el problema de la asimetría: el remuestreo para intervalo de sesgo ajustado y acelerado (BCa, por sus siglas en inglés) y remuestreo para intervalo sesgado (Tilting) (^{Chihara y Hesterberg, 2011: 112} y ^{Hesterberg, et al., 2010: 16-19 y 16-32}).

El punto de partida en el remuestreo es una muestra original representativa de la población.⁴ El remuestreo con remplazo de la muestra original (no de la población) crea una distribución de muestras semejante a la que se obtendría si se tomaran varias muestras de la población original (distribución muestral). La forma y dispersión de la distribución remuestreada debería asemejarse a la distribución muestral. El remuestreo no resuelve los problemas de sesgo o asimetría en los datos originales. El remuestreo de intervalos para percentiles y el remuestreo de intervalos t no son confiables si la distribución del remuestreo no es normal. Por lo tanto, las dos opciones robustas en esta investigación son el remuestreo BCa y el remuestreo para intervalo sesgado (Tilting). La regla es muy simple: si nuestro programa de computadora proporciona estos remuestreos robustos y su muestra es representativa con más de 10 observaciones, siempre usaremos BCa o Tilting aplicando 10 000 o más remuestras.⁵ Ambos procedimientos generan resultados similares y mejoran la precisión de los intervalos de confianza ajustando los percentiles para corregir el sesgo y la asimetría (^{Hesterberg, et al., 2010: 16-32}). En las distribuciones normales, todos los procedimientos generan resultados similares: remuestreo para intervalos de percentiles, remuestreo de intervalos t, BCa y Tilting. En esta investigación, todos los valores mayores al límite superior con una probabilidad p = 95% con una cola, son considerados valores altos (de magnitud e intensidad). El remuestreo Tilting es utilizado en esta investigación para identificar los valores globales altos que caracterizan el proceso de concentración.

¿Por qué complicarse la vida con el remuestreo cuando es posible usar procedimientos no paramétricos convencionales para distribuciones asimétricas, tales como cajas de bigotes o valores z-MAD? Los métodos de remuestreo en la práctica funcionan significativamente mejor que los métodos alternativos. Además, el remuestreo permite inferencias sobre la población, mientras que los métodos alternativos se enfocan en (se reducen a) la muestra original. En el estudio de caso, el remuestreo identifica con bases estadísticas qué valor es significativamente alto. Esta sola característica no sólo justifica el remuestreo en esta investigación, sino en otros casos con tareas similares. Por ejemplo, ^{Tian (2013)}, en sus comentarios y correcciones a ^{O’ Donoghue y Gleave (2004)}, sugiere este procedimiento para determinar la significancia estadística del cociente de localización.

b) Valores locales altos (VLA) del proceso de aglomeración espacial. Identificación de los VLA por autocorrelación espacial local. La autocorrelación espacial es una técnica estadística que mide la presencia y fortaleza de la interdependencia de los valores de una variable específica con referencia a los valores de la misma variable en las áreas aledañas o contiguas. Es la autocorrelación de una variable consigo misma en el espacio, generalmente medida por el índice global (I) o local (Ii) de Moran (^{Burt, Barber y Rigby, 2009: 544}). Una variable está autocorrelacionada si presenta un patrón espacial sistemático. En el Índice de Moran (I o Ii), este patrón puede ser identificado con el cero o con valores positivos o negativos. La hipótesis nula (H₀) supone autocorrelación espacial cero y sugiere que el patrón espacial es aleatorio o que la variación espacial de los datos no tiene ninguna relación con su distribución espacial.

Una autocorrelación espacial positiva indica que los valores similares (altos o bajos) tienden a colocalizarse o a ser más similares que los más distantes. Existe autocorrelación espacial positiva si datos similares en intensidad (o magnitud) están cerca unos de otros. La autocorrelación espacial negativa, por otro lado, indica que las características o valores disímiles, como en un damero, tienden a estar cerca unos de otros: valores altos tienden a estar rodeados de valores bajos, y viceversa. Estas relaciones son la base del Diagrama de Dispersión de Moran (^{Anselin, 1995}; ¹⁹⁹⁶ y ^{Anselin, et al., 2004}). En el Diagrama de Moran, los valores en las abscisas están en unidades de desviación estándar, con media cero y varianza uno. En el eje de las ordenadas están los valores con rezago espacial (así se les llama a los valores de las áreas contiguas) de la variable estandarizada que aparece en el eje de las abscisas.

El Diagrama de Moran clasifica la autocorrelación espacial en dos categorías: aglomeraciones espaciales y casos espaciales atípicos (no deben confundirse con los casos atípicos globales superiores a las dos desviaciones estándar). Cada cuadrante en el diagrama corresponde a un tipo diferente de autocorrelación espacial (Diagrama 1).

Fuente: elaboración del autor con base en ^{Anselin (1995)}.

^a El título Margaritas para LISA busca asociar rápidamente el Diagrama de Dispersión Moran con los indicadores de autocorrelación espacial (LISA). Los centros y pétalos de las margaritas en HH y LL representan gráficamente casos que son estadísticamente significativos desde el punto de vista local: VLA en el cuadrante I y VLB en el cuadrante III. El Índice Local de Moran (Ii) es significativo para todas las observaciones que constituyen las margaritas en estos dos cuadrantes. En cambio, en LH y HL sólo el núcleo o centro es estadísticamente significativo. Los pétalos de las margaritas en los cuadrantes II y IV son VLA y VLB, respectivamente, no significativos estadísticamente. En estos valores periféricos el índice Ii no es estadísticamente significativo.

Diagrama 1: Margaritas para LISA. Taxonomía espacial de la pobreza: focos rojos, núcleos de bienestar e islas de pobreza y bienestar^a 

El cuadrante inferior a la izquierda (III) y el superior a la derecha (I) indican autocorrelación positiva, pero de distinto tipo. Mientras el cuadrante III contiene áreas con valores bajos rodeados de áreas con valores bajos (LL: Low-Low), el cuadrante I incluye áreas con valores altos rodeados por áreas con valores altos (HH: High-High).⁶

Estas diferencias entre los cuadrantes I y III muestran que las aglomeraciones identificadas por la autocorrelación espacial positiva pueden ser focos rojos (cuadrante I) o aglomeraciones de bienestar (cuadrante III). En contraste, las áreas del cuadrante superior izquierdo (II) y del inferior derecho (IV) sugieren autocorrelación espacial negativa. Los casos en los cuadrantes II y IV son casos espaciales atípicos. Mientras el cuadrante II contiene valores bajos rodeados por valores altos (islas de bienestar), el cuadrante IV contiene valores altos rodeados por valores locales bajos (islas de pobreza).

Esta descripción de la autocorrelación espacial muestra que los valores locales pueden ser casos atípicos espaciales (LH o HL), focos rojos (HH) o aglomeraciones de bienestar (LL). El índice local de Moran (Ii), un indicador de autocorrelación espacial local (LISA, por sus siglas en inglés), proporciona la significancia estadística de las observaciones individuales en el Diagrama de Dispersión de Moran. Ii no sólo proporciona la significancia estadística de los casos en las aglomeraciones espaciales (cuadrantes I y III) y los casos atípicos espaciales (cuadrantes II y III), sino que también identifica los casos que no son estadísticamente significativos.

La significancia estadística del índice global I y local Ii se confronta con la hipótesis nula (H₀) de ausencia de autocorrelación espacial (la variable sigue una distribución espacial aleatoria). H₀ puede rechazarse o aceptarse bajo el siguiente principio: no significativo, no se rechaza. Por ejemplo, un índice global I significativo para una probabilidad p< 0.05 indica que la ausencia de autocorrelación espacial (H₀) se rechaza. Se concluye que el patrón espacial de la variable es aglomerado en el espacio. El programa GeoDa (disponible gratuitamente) genera el Diagrama de Dispersión de Moran y proporciona los valores y la significancia del índice global (I) y local de Moran (Ii), los índices más utilizados para detectar los valores locales altos (^{Srinivasan, 2008: 615}).

Los municipios que repiten la misma letra en esta clasificación son focos (HH-foco rojo) o núcleos de baja pobreza (LL-alto bienestar). Los municipios que mezclan letras (HL o LH) son áreas individuales diferentes a sus vecinos (casos atípicos espaciales). Hay una quinta categoría que debe considerarse en esta clasificación: los municipios que no son estadísticamente significativos. Como el interés central en este estudio es determinar los distintos grados de prioridad de las áreas de pobreza, la investigación se concentra en los focos rojos (HH) y las islas de pobreza (HL), localizados en el cuadrante I y IV, respectivamente.

c) Identificación de conglomerados de intensidad o magnitud. Pensamiento fuera de la caja: superposición de VGA con VLA. El análisis de superposición ya ha sido utilizado para integrar distintas variables de intensidad (e. g., educación y pobreza en ^{Choudhury y Räder, 2014}), pero, hasta donde sabemos, no ha sido utilizado para integrar simultáneamente la concentración y aglomeración de valores absolutos y relativos. Esta integración es muy importante considerando el hecho de que algunos VGA detectados por el análisis de concentración (por remuestreo o estadística descriptiva) pueden pasar desapercibidos en el análisis de aglomeración que identifica los VLA (por Ii en la autocorrelación espacial), y viceversa. Los VLA no son necesariamente valores altos desde el punto de la perspectiva nacional o global (Diagrama 2).⁷

Fuente: elaboración del autor.

^a Caso A: Valor local bajo a) en un grupo de valores globales altos. No todos los valores globales altos son valores locales altos. Esto ocurre cuando el valor local es inferior al valor promedio de las áreas circundantes. Éste es el caso aun cuando los valores locales y globales sobrepasan el valor crítico obtenido por remuestreo de la media. Caso B: Valor local alto c) en un grupo de valores globales bajos.

Diagrama 2: Empates y discrepancias en la superposición de valores globales altos y valores locales altos^a 

Una crítica reciente a la estadística espacial, usando la famosa metáfora del elefante y los cinco ciegos, ilustra las limitaciones del conocimiento local en estos términos: “La imagen mental del elefante en la mente de los ciegos … refleja las verdades locales, que de hecho son parcialmente correctas, pero no muestran al elefante en su totalidad” (^{Jiang, 2015: 10}). Esta crítica olvida la segunda parte del ejemplo clásico sobre los árboles y el bosque: es cierto que la atención en los árboles impide ver el bosque, pero también es cierto que la observación del bosque sacrifica la visión de los árboles. En el contexto de este trabajo, es cierto que los valores locales no muestran la perspectiva global, pero también es cierto que los valores globales ocultan la problemática local.

Estas observaciones manifiestan las limitaciones metodológicas de procedimientos que sólo utilizan estadística espacial o estadística no espacial en la identificación de clusters o jerarquización de una variable en el espacio. Algunos ejemplos son el uso único de la estadística espacial en la identificación de centros o subcentros urbanos −^{Baumont, Ertur y Le Gallo (2004: 153)} y ^{Arribas-Bel y Sanz-Gracia (2014)}− o sólo la estadística descriptiva para la ubicación de clusters industriales (^{Ketels y Sölvell, 2005}). Conviene anotar dos observaciones prácticas en estadística espacial: i) el recurso metodológico de relajar o restringir el nivel de significancia −mencionado en ^{Baumont, Ertur y Le Gallo (2004)}− no resuelve necesariamente la omisión de VGA, puesto que sólo incrementa la probabilidad de incluir más áreas aledañas (Diagrama 3). Si se utilizara este procedimiento para identificar los núcleos y periferias de pobreza, el número de áreas contiguas incluidas sólo se expandiría horizontalmente (sería mayor), pero algunos VGA dentro de estos anillos de tolerancia pudieran omitirse porque no son localmente significativos. En esta opción, la inclusión potencial de valores globales altos que se hayan omitido no es segura y, de darse el caso, sería por azar; y ii) la ausencia de valores (valor cero) en algunas observaciones abre la posibilidad para que valores locales bajos sean considerados valores locales altos. El “salto” desde cero lleva a que un valor local bajo parezca alto cuando en realidad es bajo en el contexto del resto de valores aledaños (Diagrama 4). Esta situación no existe en el estudio de caso pero conviene tenerla presente para posibles adaptaciones del procedimiento. Estas limitaciones justifican la necesidad de integrar la estadística no espacial (remuestreo) y estadística espacial (autocorrelación espacial) para medir y articular la magnitud e intensidad de dos procesos geográficos diferentes (concentración y aglomeración).

Fuente: elaboración del autor.

^a La línea vertical negra gruesa señala el área de referencia. Las líneas verticales delgadas representan los valores de las áreas vecinas. Las flechas circulares indican las áreas contiguas incluidas en un foco rojo (valores HH) bajo el criterio liberal o restrictivo.

Diagrama 3: Efecto de los criterios liberal o restrictivo en la detección de valores locales altos y posible omisión de valores globales altos^a 

Fuente: elaboración del autor.

^a La línea vertical negra y gruesa señala el área de referencia. Las líneas verticales delgadas representan los valores de las áreas vecinas. El inciso a) es el valor mínimo identificado como valor alto por la presencia de cedros en las áreas circundantes y el b) representa una base de datos sin ceros, valor mínimo identificado como valor bajo por la presencia de valores mayores en las áreas circundantes.

Diagrama 4: Efecto de polígonos con valor cero en la identificación de valores locales altos^a 

En suma, esta investigación sostiene que no todos los VLA coinciden con VGA, ni estos últimos concuerdan con los primeros. Por un lado, los VGA, identificados por remuestreo, tienen un límite estadísticamente definido (el límite superior del intervalo de la media remuestreada, generalmente con una probabilidad de 95% con una cola). Por otro lado, los VLA, identificados mediante autocorrelación espacial, pueden existir si el valor del área de referencia es mayor que el promedio de los valores en las áreas aledañas, aunque estén por debajo del umbral que define a los valores globales altos −opción c) en el Diagrama 2−. La autocorrelación local también podría omitir valores globales altos si el área de referencia está rodeada por valores globales que en promedio son aún más altos −opción a) en el Diagrama 2 −.

La superposición de VGA y VLA agranda los focos rojos o las islas de pobreza en dos situaciones posibles: i) cuando los VGA sean aledaños al foco rojo HH, o ii) cuando los VGA se traslapen con los valores bajos en los pétalos de las islas HL (cuadrante Ia y cuadrante IVb identificadas con un óvalo en el Diagrama 5). En todos los demás casos la aglomeración inicial HH o HL identificada con autocorrelación espacial, después de la superposición de capas, es igual al conglomerado final porque los VGA y VLA se traslapan (Ib, Ic y IVa en el Diagrama 5) o los VGA están distantes del núcleo −c) y d) en el Diagrama 6−.

Fuente: elaboración del autor.

^a La formación de conglomerados es indicada con un óvalo (Ia y IVb). VGA: valores mayores al límite superior del intervalo de la media remuestreada en distribuciones con asimetría positiva. VLA: casos identificados por el índice local de Moran (Ii) con significancia estadística determinada mediante permutaciones condicionadas.

Diagrama 5: Identificación de conglomerados combinando los procesos de aglomeración y concentración^a 

Fuente: elaboración del autor.

Diagrama 6: VGA que forman y no forman parte de un conglomerado 

En la superposición de capas conviene destacar los siguientes criterios prácticos adicionales:

Desde el punto de vista de los conglomerados de pobreza, tiene sentido que la política social incluya áreas localmente importantes aunque no sean globalmente significativos. Sin embargo, sería absurdo que tal política incluyera sólo áreas importantes desde el punto de vista local al tiempo que excluyera áreas aledañas que sólo son relevantes desde la perspectiva nacional por no contener valores locales altos. Ejemplo de esta omisión importante son los valores globales altos no significativos localmente que constituyen los conglomerados que se forman a partir de los focos rojos e islas de pobreza.

En suma, la identificación de conglomerados de intensidad, por un lado, y de magnitud, por otro, es posible mediante la superposición de valores globales altos y valores locales altos (HH y HL). El análisis de superposición en los Sistemas de Análisis Geográfico integra matemáticamente (e. g., por unión o intersección) las capas de concentración y aglomeración para crear una nueva capa que contenga el conglomerado resultante. Los núcleos (focos rojos HH o casos atípicos espaciales HL) añaden a su periferia valores globales altos contiguos para formar conglomerados. Este procedimiento se aplica primero a valores relativos. Después, como una tarea independiente y separada, el análisis se repite para valores absolutos.

d) Identificación de áreas prioritarias por superposición de conglomerados de magnitud e intensidad. En este paso se aplican diagramas de Venn para representar los conglomerados de intensidad y magnitud. Los casos de mayor prioridad se localizan en la intersección de estos dos subconjuntos. Esta intersección contiene conglomerados de valores altos tanto de magnitud como de intensidad. Por esta razón, ellas reciben la prioridad mayor (prioridad uno).

e) Relevancia espacial de las áreas que no se intersectan y que se localizan al interior de los conglomerados. Una vez identificados los municipios localizados en la intersección, las áreas remanentes al interior de cada conglomerado pueden estratificarse. Esta estratificación proporciona una clasificación de áreas que complementa a los municipios de mayor prioridad. La identificación de las áreas de mayor prioridad y la estratificación de las áreas que no se intersectan proporcionan una jerarquía espacial que puede guiar la asignación de recursos sociales, la toma de decisiones en política pública o estudios futuros sobre el patrón espacial de la pobreza. Entre las alternativas para estratificar o asignar prioridad a los conglomerados fuera de la intersección sobresalen dos procedimientos de clasificación: discontinuidades naturales y puntas y colas.

Discontinuidades naturales o clasificación de Jenks. Este procedimiento busca quiebres o saltos en los datos observados para agrupar casos en clases. Con base en interacciones estadísticas (optimización de Jenks), este método identifica la mejor opción definida como la clasificación que minimiza la distancia entre los valores similares al interior de cada clase y maximiza la distancia entre ellas. Aunque este método requiere de una distribución normal, generalmente se aplica a información asimétrica previamente estandarizada manipulando temporalmente los casos extremos, como en ^{Crews y Peralvo (2008: 70)}.

Puntas y colas consecutivas con base en ^{Jiang (2015)}. Los principales pasos en este método especialmente diseñado para distribuciones muy asimétricas son:

Fuente: elaboración del autor con base en ^{Jiang (2015)}. Nótese que la punta en esta gráfica corresponde a la cola en la distribución gaussiana.

Gráfica 1: Puntas y colas en el procedimiento de clasificación de puntas/colas de una distribución paretiana con asimetría a la derecha 

Como regla de dedo, “los porcentajes [de casos] en las puntas deben ser menores a 40%. Esta condición puede extenderse para muchos aspectos geográficos hasta 50% o más si la punta retiene menos de 40% en niveles jerárquicos posteriores” (^{Jiang y Yin, 2013: 8}).

e) Relevancia espacial de las áreas que se localizan fuera de los conglomerados. Las áreas fuera de los conglomerados tienen una importancia espacialmente diferenciada porque contienen valores globales altos. Estos valores globales altos, si fuera necesario, también pueden clasificarse por los métodos sugeridos para las áreas que no se intersectan dentro de los conglomerados, dependiendo de la simetría o asimetría de su distribución −véase punto d) previo−.

En suma, un enfoque que diferencie y combine los procesos de concentración y aglomeración de valores relativos y absolutos tiene varias alternativas para asignar un orden espacial a la variable de interés. La opción sugerida en este trabajo puede confrontarse con los procedimientos que utilizan valores críticos, como el utilizado por ^{Sedesol (2013)}, o criterios mixtos (^{Graw y Husmann, 2014}). Los resultados también podrían compararse con variaciones del procedimiento propuesto. Por ejemplo, si se utilizan datos estandarizados de magnitud, el número de áreas en los núcleos correspondientes podría incrementarse.

El Diagrama 7 sintetiza de manera gráfica los principales pasos metodológicos descritos en esta sección.

Fuente: elaboración del autor.

Diagrama 7: Esquema metodológico para identificar la jerarquía espacial de la pobreza 

1. Valores críticos

Es un método muy controvertido y tiene muchas versiones en la literatura actual. En particular, dos características definen el enfoque del valor crítico e identifican sus problemas principales:

2. Identificación de valores locales altos según áreas contiguas

Este enfoque utiliza la autocorrelación espacial para explorar las áreas aledañas a cada observación con el fin de identificar VLA. Este procedimiento puede registrar VLA que no alcancen un umbral global predefinido pero puede omitir VGA en las circunstancias que se revisan en este escrito. Limitaciones: aunque en autocorrelación espacial pueden utilizarse valores absolutos, los estudios generalmente emplean sólo variables relativas (i. e., ^{Riguelle, Thomas y Verhetsel, 2007}). También existe la posibilidad de que algunos VGA no sean detectados por el escrutinio estadístico que detecta los valores locales altos.

3. Identificación de valores globales altos para variables relativas y absolutas en polígonos contiguos o aislados

Este procedimiento es una variación reciente del enfoque de valor crítico con técnicas estadísticas (^{Van Den Heuvel, et al., 2012}). El procedimiento sólo incluye las áreas donde existe la variable y se resume en dos pasos consecutivos:

Limitaciones: el método sólo aplica criterios globales aunque se combinen áreas contiguas. Por esta razón, el procedimiento detecta aglomeraciones de VGA, no de VLA. Esto puede llevar a que se omita la selección de áreas importantes en el ámbito local que no alcanzan el umbral global predefinido.

4. Superposición de VGA y VLA de variables absolutas y relativas, propios de esta investigación

Ningún estudio revisado combina simultáneamente los procesos de concentración y aglomeración en variables absolutas y relativas. Hay versiones mixtas en estudios previos que aplican parcialmente el enfoque propuesto en esta investigación. La reseña y evaluación de la bibliografía ilustrativa muestra que no hay un procedimiento que combine todo a la vez (Cuadro 1). Los procedimientos que sólo utilizan estadística no espacial, como ^{Ketels y Sölvell (2005)}, omiten el efecto de la autocorrelación espacial, relevante en el ámbito local. Los procedimientos que sólo utilizan estadística espacial, como ^{Riguelle, Thomas y Verhetsel (2007)}, corren el riesgo de omitir VGA que son relevantes en una política nacional.

Fuente: elaboración del autor.

^a Una vez establecidos los criterios de evaluación, el término “bibliografía ilustrativa” es preferido al de “bibliografía representativa” en la perspectiva metodológica de este trabajo y en una época de información abundante.

Cuadro 1: Comparación de procedimientos sobre la elaboración de conglomerados en bibliografía ilustrativa^a 

Los procedimientos que utilizan tablas cruzadas para incluir tanto el proceso de concentración espacial como de aglomeración espacial, como ^{Carroll, Reid y Smith (2008)}, omiten la magnitud o la intensidad en uno de los dos procesos. Estos autores identifican clusters regionales potenciales para la industria combinando valores absolutos y relativos en tablas de doble entrada. Al efecto cruzan VGA del cociente de localización (LQ, una medida local expresada en términos globales) y VLA de magnitud (número de empleados). La tipificación de ^{Carroll, Reid y Smith (2008)} omite el proceso de aglomeración en la variable relativa y el proceso de concentración en la variable absoluta.

Las investigaciones que combinan magnitud e intensidad sólo consideran la concentración y omiten la aglomeración (^{Chainey y Desyllas, 2008}; ^{Van Den Heuvel, et al., 2012} y ^{Graw y Husmann, 2014}). Por una lado, en un estudio sobre el proceso de concentración de la criminalidad, ^{Chainey y Desyllas (2008)} combinan valores relativos (niveles alto, medio y bajo de la tasa de robos) y absolutos (niveles alto, medio y bajo del número de robos). Esta clasificación de la criminalidad omite el proceso de aglomeración tanto en la magnitud como en la intensidad. El trabajo de ^{Graw y Husmann (2014)}, por otro lado, utiliza técnicas de los sistemas de información geográfica, juicio de experto y criterios estadísticamente definidos para clasificar variables de magnitud e intensidad. Esta investigación, sin embargo, también pasa por alto el proceso de aglomeración. Finalmente, la metodología propuesta por ^{Van Den Heuvel, et al. (2012)}, descrita previamente, también omite el proceso de la aglomeración espacial.

Los estudios que analizan la concentración y la aglomeración simultáneamente en variables de intensidad (LQ) mediante técnicas estadísticas tradicionales y autocorrelación espacial, omiten la magnitud, como ^{De Dominicis, Arbia y De Groot (2013)}. Una tabla de doble entrada facilita la interpretación de estas omisiones, sintetiza la bibliografía ilustrativa de esta reseña y muestra comparativamente las bondades de la metodología propuesta (Cuadro 1).

La metodología sugerida en esta investigación incorpora tanto el proceso de concentración como el de aglomeración en variables absolutas y relativas. El procedimiento sugerido registra las deficiencias y evita las omisiones en la bibliografía revisada mediante la superposición de capas, al tiempo que incorpora ideas y técnicas estadísticas de temas diversos para identificar conglomerados y establecer una jerarquía espacial de la pobreza. Las limitaciones del procedimiento se presentan en las conclusiones del estudio de caso.

1. Preguntas de investigación e hipótesis de trabajo

En un escrito sobre métodos, la estructura lógica, las aportaciones, bondades y desventajas del procedimiento demandan la atención principal. Lo que importa es la sustancia del contenido y, en este caso, la novedad que se presume. En este trabajo, se plantean preguntas de investigación e hipótesis de trabajo asociadas para facilitar el proceso de investigación, la organización del escrito y la comunicación de sus resultados. En realidad el uso de preguntas de investigación e hipótesis de trabajo agrega poco al valor de la investigación y es más un asunto de preferencia del investigador y del estilo de redacción (^{Yeager, 2008: 52}). Las preguntas de investigación y la especificación de las hipótesis correspondientes en este estudio no son muy distintas a las planteadas por estudios similares para una variable georeferenciada, aunque con procedimientos e inquietudes distintos (Anselin, Murray y Rey, 2007):

2. Resultados y prueba de hipótesis

Esta sección reporta los resultados obtenidos con el procedimiento esbozado en la sección metodológica. Tiene tres partes principales. Siguiendo los pasos sugeridos en el Diagrama 8, la intensidad se aborda primero. Se mide con el cociente de localización. Se aplica el remuestreo para determinar los valores globales de intensidad que son significativamente altos. Este procedimiento estadístico identifica los valores globales altos independientemente de su localización, como resultado del proceso de concentración de la pobreza. Se remuestrean las 2 456 observaciones, como lo sugiere ^{Tian (2013)} en su opción alternativa al cociente de localización estandarizado (SLQ, Standardized Location Quotient) de ^{O’Donoghue y Gleave (2004)}.⁸ En el caso del LQ, no tiene sentido considerar como “valor alto” un cociente menor a uno. Esta investigación verifica que el valor crítico definido por el límite superior de la media remuestreada siempre sea igual o mayor a uno. Todos los LQ remuestreados reportados como valores altos deben ser igual o mayor a uno.

Fuente: elaboración del autor.

Diagrama 8: Superposición de los conglomerados de intensidad y magnitud 

La autocorrelación espacial identifica la aglomeración espacial de los VLA (núcleos reconocidos como valores HH y HL). Los VGA y VLA representan el proceso de concentración y aglomeración, respectivamente. Los valores para estos dos procesos son sobrepuestos para identificar los conglomerados de intensidad. La segunda parte sigue los mismos pasos descritos para la intensidad a fin de identificar los conglomerados de magnitud. La sección final sobrepone los conglomerados de intensidad y magnitud creando una jerarquía espacial. Las áreas de pobreza con prioridad más alta se localizan en la intersección de estos dos conglomerados. Las áreas remanentes dentro de los conglomerados (fuera de la intersección) son estratificadas siguiendo el procedimiento de “puntas y colas” sugerido recientemente por ^{Jiang (2015)}. El producto final es un orden territorial integrado resultante de la combinación simultánea de la concentración y aglomeración de los valores absolutos y relativos de la pobreza.

a) Magnitud e intensidad. La mayoría de las personas pobres vive en áreas con baja intensidad de pobreza (Gráfica 2). Por lo tanto, se espera que en su mayoría los conglomerados de intensidad sean distintos de los conglomerados de magnitud. Los valores altos de intensidad están en municipios de baja magnitud. En contraste, un gran número de personas pobres vive en áreas de intensidad baja o moderada. Las áreas de alta intensidad de la pobreza contienen sólo un pequeño número de pobres. Tal como lo notó ^{Visvalingam (1983)} hace tres décadas, estas líneas muestran que las políticas espacialmente orientadas que se basan solamente en intensidad (capturada por medidas relativas, tales como porcentajes, proporciones o tasas) exageran el problema en asentamientos pequeños y lo minimizan en áreas con una gran masa de pobres. Por otro lado, las políticas de combate a la pobreza solamente basadas en magnitud (expresada en números absolutos) discriminan contra la gran proporción de pobres en asentamientos pequeños. Por lo tanto, los valores absolutos y relativos deben combinarse simultáneamente en una sola clasificación o jerarquía territorial para sustentar políticas espacialmente focalizadas.

Fuente: elaboración del autor.

Gráfica 2: Pobreza. Intensidad (LQ-pobres) vs magnitud 

b) Intensidad (LQ). Proceso de aglomeración y núcleos. Autocorrelación espacial. El índice global de Moran (I) para intensidad (LQ), utilizando una matriz de contigüidad del tipo reina, rechaza la hipótesis nula de aleatoriedad. El índice global I indica que la intensidad de la pobreza está espacialmente concentrada en el país (I = 0.6796, p = 0.0001; para 9 999 permutaciones). El índice local de Moran (Ii), con una probabilidad p<5%, identifica 565 núcleos de intensidad (HH) y 20 islas de pobreza (HL). Aunque los municipios del tipo HH y HL son distintos, por razones prácticas, esta investigación considera los dos tipos como núcleos de conglomerados potenciales de pobreza.

La mayoría de los núcleos de intensidad se localiza en el sur de México, la Sierra de Puebla y algunos municipios del sureste del país (Gráfica 2). Estas áreas son la semilla o punto de partida para la identificación de los conglomerados de intensidad. La periferia de estos núcleos la constituyen los valores globales altos del proceso de concentración, que se obtienen por el remuestreo de la media de los LQ.

Proceso de concentración. Remuestreo. Los procedimientos robustos más directos para encontrar el límite superior del intervalo de confianza de la media son el bca o el de distribuciones sesgadas (Tilting). Como los resultados de ambos procedimientos son similares, el estudio de caso toma de los resultados del Tilting la opción más refinada. En el caso de incidencia, el valor obtenido por el Tilting con 95% en la cola derecha, para 10 000 réplicas de la media inicial de los 2 456 casos, es LQ = 1.4705. Hay 1 303 municipios por encima de este valor (el Mapa 1 muestra su ubicación geográfica). Algunos de los VGA empatan con los núcleos, otros son su periferia o son meramente áreas no aglomeradas de alta concentración localizadas en el resto del país.

Fuente: elaboración del autor.

^a Núcleos (HH y HL en gris oscuro) y periferias (en color gris claro). Los municipios cuadriculados se localizan en el área de intersección de los conglomerados de intensidad y magnitud (prioridad 1, en el Cuadro 2). Las áreas fuera de la intersección son estratificadas conforme a los límites de clase en el Cuadro 3 (no respresentados en el mapa). La magnitud se refiere al número de pobres en el 2010 tal como lo reporta el Coneval.

Mapa 1: Conglomerados de intensidad identificados por superposición de capas^a 

Todos los 2 456 casos son incluidos. Si sólo se consideraran los casos con LQ ≥ 1, el valor crítico sería 1.59 para 95% de confianza en la cola derecha utilizando la opción Tilting. Como el promedio nacional (el denominador) en LQ se obtiene con base en todos los casos, se considera conveniente tomar el resultado del remuestreo para el conjunto completo de datos en vez de asumir sólo los valores donde LQ ≥ 1.

Superposición de la concentración y aglomeración. El análisis de superposición integra los núcleos (VLA: HH y HL de LQ) con VGA (LQ ≥ 1.4705) para generar conglomerados de intensidad. La superposición identifica los conglomerados de intensidad en dos pasos:

c) Magnitud. Proceso de aglomeración y núcleos. Autocorrelación espacial. Aunque los pasos metodológicos para la magnitud e intensidad son los mismos, los resultados a nivel local son distintos. El índice global de Moran (I) para magnitud (número de pobres), utilizando una matriz de contigüidad del tipo reina, rechaza la hipótesis nula de aleatoriedad. El índice global I indica que la magnitud de la pobreza está espacialmente concentrada en el país (I = 0.279; p = 0.0001; para 9 999 permutaciones). El índice local de Moran (Ii), con una probabilidad p<5%, identifica 146 núcleos de magnitud (HH) y 12 islas de pobreza (HL) (Mapa 1).

La mayoría de los núcleos de magnitud se localiza en áreas densamente pobladas, tales como las ciudades capital. La periferia de estos núcleos la constituyen los VGA que tipifican el proceso de concentración; éstos son obtenidos por remuestreo de la media de la magnitud.

Proceso de concentración. Remuestreo. Patrón espacial de la magnitud en municipios con población igual o mayor a 23 232 pobres. En el caso de la magnitud, el remuestreo por Tilting a 95% en la cola derecha, para 10000 muestras, es 23 232 pobres. Como en LQ, el remuestreo utiliza todos los 2 456 casos. Hay 534 municipios por encima de este valor (Mapa 2). Como es de esperar, los VGA de magnitud se localizan en las áreas más pobladas. Resultados similares se esperarían para la venta de Coca-Cola o de cualquier otra variable relacionada directamente con la población. Un patrón similar se confirma para el proceso de aglomeración de los valores absolutos de la pobreza.

Fuente: elaboración del autor.

a Núcleos (HH y HL en gris oscuro) y periferias (en color gris claro). Los municipios cuadriculados se localizan en el área de intersección de los conglomerados de intensidad y magnitud (prioridad 1, en el Cuadro 2). Las áreas fuera de la intersección son estratificadas conforme a los límites de clase en el Cuadro 3 (no respresentados en el mapa). La magnitud se refiere al número de pobres en el 2010 tal como lo reporta el Coneval.

Mapa 2: Conglomerados de magnitud identificados por superposición de capas^a 

Superposición de concentración y aglomeración de la magnitud. La superposición integra los núcleos (HH y HL) con los VGA para identificar los conglomerados de magnitud (Mapa 2). La superposición identifica los conglomerados de magnitud en dos pasos (Mapa 2):

d) Áreas de mayor prioridad. Superposición de los conglomerados de intensidad y magnitud. Una vez identificados los conglomerados de magnitud e intensidad, es posible identificar y ordenar las áreas de pobreza en términos de ambas características. Esta sección superpone los conglomerados de datos relativos (Mapa 1) y absolutos (Mapa 2) para identificar las áreas de pobreza con la prioridad más alta. El procedimiento completo es esbozado en el Diagrama 8. Los resultados registran 44 áreas de mayor prioridad (prioridad 1), localizadas en nueve estados: Oaxaca, Chihuahua, Veracruz, Guerrero, Guanajuato, Puebla, México, Tabasco y Chiapas (Diagrama 8 y Cuadro 2). De estos 44 municipios de mayor prioridad 28 están en Chiapas (65%). Estas 28 áreas contienen 70% (1 874 943) de los pobres localizados en las áreas de mayor prioridad (2 678 769).

Fuente: elaboración del autor.

Cuadro 2: Lista de las cuarenta y cuatro áreas donde se intersectan la magnitud e intensidad de la pobreza en México 

Municipios fuera del área de intersección. En este trabajo, los conglomerados de intensidad o magnitud, según corresponda, son resultado de la superposición de las capas de concentración y aglomeración. Estos conglomerados per se son áreas importantes de pobreza relativa o absoluta. Es razonable asignar la prioridad espacial mayor para fines de política social a la intersección de ambos conglomerados (áreas urgentes o de prioridad uno). Los municipios fuera (a la vez que dentro) de la intersección de los conglomerados de intensidad y magnitud, por ser también importantes en términos relativos o absolutos, son estratificados para sugerir una jerarquía espacial para la toma de decisiones.

Discontinuidades naturales (Jenks) y puntas y colas. El uso de estos procedimientos requiere de algunas observaciones previas. En presencia de asimetría y valores atípicos extremos, el procedimiento de discontinuidades naturales, también conocido como método de bondad de ajuste de la varianza (GVF, por sus siglas en inglés) o de Jenks (por su autor), demanda modificaciones. Los casos extremos deben ser excluidos temporalmente para aplicar las discontinuidades naturales a datos previamente transformados (e. g., logaritmos, raíces cuadradas o valores inversos). Una vez que la clasificación es obtenida, los valores extremos son reintegrados al estrato menor o mayor, según corresponda. Además, si la distribución es asimétrica, la bondad de ajuste de la desviación absoluta (GADF por sus siglas en inglés) en vez de la GVF debería utilizarse para evaluar la estratificación.

La estadística descriptiva muestra que la distribución de los valores en las áreas fuera de la intersección es asimétrica, lo mismo para los conglomerados de magnitud que intensidad. Las cajas de bigotes (box-plot) en ArcGis 10.2 y la estandarización z-MAD registran casos extremos en la distribución de la magnitud. El valor crítico para casos extremos (límite superior) es 241 325 y 191 029 pobres para las cajas de bigotes y los valores z-MAD, respectivamente. La prueba K-S rechaza la hipótesis de normalidad a 5%. La sección del conglomerado de magnitud que está fuera de la intersección es asimétrica y presenta casos extremos.

Por otro lado, hay 902 casos en el conglomerado de intensidad que están fuera del área de intersección, con una asimetría de −0.290 y un error estándar de asimetría de 0.081. El valor z resultante es −3.58, menor a −1.96, el valor requerido para ser estadísticamente significativo a 5% en una prueba de dos colas. La prueba K-S rechaza la hipótesis de normalidad a 5%. Las gráficas de bigotes y los valores z-MAD no reportan casos extremos. La sección del conglomerado de intensidad que está fuera de la intersección es asimétrica sin casos extremos.

El método de puntas y colas está especialmente diseñado para distribuciones asimétricas. Es un procedimiento robusto para distribuciones estadísticas no normales con casos extremos. El número de estratos en el procedimiento de puntas y colas puede identificarse por una regla empírica o una condición metodológica (^{Jiang y Yin, 2013: 8}). Aplicando la regla empírica de que “las puntas deben contener menos de 40% de los casos”, la magnitud tiene tres estratos. Si se aplica la condición de que la mayoría (aunque no necesariamente todas) de las clases jerárquicas cumple con el principio de “mucho más cosas pequeñas que las más grandes”, hay cinco estratos (Cuadro 3). Las siguientes líneas se basan en la clasificación de tres estratos obtenida por la regla de 40% del procedimiento de puntas y colas (Cuadro 4). Un número similar de estratos se obtiene con discontinuidades naturales para fines comparativos, incluyendo y excluyendo los casos extremos de la magnitud (Cuadro 3).

Fuente: elaboración del autor con el programa ArcGis 10.2.

^a Puntas = Valores ≥ media; Colas = Valores < media. Cálculos verificados con el programa de Puntas y Colas disponible en https://www.dropbox.com/sh/k2aaoip1y888r45/AAACV2jsvP8s0y8a5reRgrda

^b Los casos extremos son los valores-z modificados (z-MAD)>|3.5|. Estos casos son excluidos temporalmente y reintegrados en el estrato superior para aplicar la estratificación de Jenks. Los límites de clase no cambian si se utilizan los valores absolutos originales o su z-MAD equivalente.

Cuadro 3: Sección del conglomerado de magnitud que está fuera del área de intersección. Clasificación de puntas y colas y discontinuidades naturales^a 

Fuente: elaboración del autor con base en el procedimiento explicado en el texto.

Cuadro 4: Prioridades de política espacial considerando simultáneamente la magnitud e intensidad de la pobreza en los municipios de México, 2010 

Como el procedimiento de puntas y colas sugerido por ^{Jiang y Yin (2013)} es muy reciente, las discontinuidades naturales resultan ser el procedimiento más común para clasificar (con algunas adaptaciones) distribuciones asimétricas con casos extremos. La adaptación básica del procedimiento sugiere una estandarización de datos para cumplir con el requisito de normalidad e identificar casos extremos potenciales.⁹ Después de la estandarización, los casos extremos son temporalmente excluidos para aplicar la estratificación de Jenks y reintegrados posteriormente al estrato mayor o menor, según corresponda. En la opción de discontinuidades naturales para la sección del conglomerado de magnitud que está fuera del área de intersección, la investigación estandariza los datos brutos en valores z-MAD para remediar la asimetría y excluye temporalmente los casos extremos. Esta opción, sin embargo, no genera estratos de amplitud similar a los obtenidos con el procedimiento de puntas y colas (Cuadro 4).

La evaluación GVF no se aplica para el procedimiento de puntas y colas porque esta última no está basada en la distribución normal de los valores. Los valores GADF, la alternativa robusta a la GVF para evaluar distribuciones asimétricas, son 0.55 y 0.48 para valores con y sin casos extremos, respectivamente. Estos valores GADF sugieren que el número de clases en magnitud identificadas por el método puntas y colas debería incrementarse (hasta alcanzar un GADF de 0.8, al menos) (Cuadro 3). Teniendo en mente la superioridad de este método sobre las discontinuidades naturales para clasificar distribuciones asimétricas (^{Jiang y Yin, 2013}), estos resultados muestran que el GADF no parece apropiado para comparar la eficiencia de ambos procedimientos.

Por otro lado, bajo la regla de 40% para las puntas, el procedimiento puntas y colas clasifica los valores de intensidad fuera de la intersección en un estrato único. Por lo tanto, en la sección del conglomerado de intensidad que está fuera del área de intersección no se utiliza la clasificación por discontinuidades naturales para fines comparativos. Todos los valores del conglomerado de intensidad fuera del área de intersección tienen prioridad 2 (Cuadro 4 y diagrama de Venn en el Diagrama 8).¹⁰

La estratificación de puntas y colas es la mejor opción para distribuciones asimétricas, como en la pobreza. Una vez que el método de las discontinuidades naturales es reemplazado por el procedimiento de puntas y colas, la jerarquía espacial de los conglomerados de magnitud e intensidad está lista para orientar la política pública que se interese en los conglomerados de valores altos, sin importar si son globales o locales. La jerarquía espacial de la pobreza sugerida en esta investigación se sintetiza de la siguiente manera:

3. Recuento para las hipótesis de trabajo

En ningún caso se acepta la hipótesis nula (H₀) que da cauce empírico a cada una de las tres preguntas de investigación.

Primera hipótesis. H₀: La pobreza está distribuida aleatoriamente entre los municipios de México. H₁: No se acepta H₀.

La política contra la pobreza espacialmente focalizada tiene sentido puesto que no se acepta H₀. El remuestreo indica que la pobreza no sólo se concentra en algunos municipios del país sino que su distribución geográfica no es aleatoria, tal como lo muestra el Índice Global de Moran (I). Los argumentos sobre concentración y aglomeración son válidos lo mismo para la intensidad como para la magnitud de la pobreza.

Segunda hipótesis. H₀: No hay aglomeraciones de municipios pobres. H₁: Hay municipios con altos niveles de pobreza rodeados por municipios igualmente pobres.

No se acepta H₀ porque existen aglomeraciones de municipios pobres. Es necesario focalizar geográficamente la política social. El Índice Local de Moran (Ii) no sólo confirma la existencia de focos rojos, sino que al combinarse con VGA identificados por remuestreo evidencia que esas aglomeraciones se extienden a su periferia para formar conglomerados de intensidad o magnitud de pobreza. La combinación de VGA y VLA no sólo muestra que la pobreza no está aleatoriamente distribuida en el espacio, sino que se aglomera en algunas áreas que son más extendidas que lo que sugiere la estadística espacial (Ii).

Tercera hipótesis. H₀: No es posible una metodología que articule simultáneamente los valores globales altos y valores locales altos de variables en términos relativos y absolutos. H₁: No se acepta H₀.

No se acepta H₀. La ausencia de una metodología como la descrita sólo es señal de la evolución incompleta del pensamiento espacial que puede mejorar. Esta investigación muestra que es posible elaborar una jerarquía espacial que combine simultáneamente valores absolutos y relativos del proceso de concentración y aglomeración. El método seleccionado depende del objetivo del estudio y las características de los datos. Si el interés es tener una jerarquía espacial de todos los municipios, el método de Jenks o el de puntas y colas pueden ser útiles, con las precauciones estadísticas del caso. Estas precauciones están directamente vinculadas a las características de los datos. Si la distribución de los datos es asimétrica, con casos atípicos, el procedimiento paretiano de puntas y colas es apropiado. Si la distribución es simétrica sin datos atípicos, el procedimiento de Jenks puede ser útil. Si existieran casos atípicos en una distribución simétrica, el procedimiento de Jenks puede aplicarse excluyendo temporalmente los valores extremos. Estos valores se reintegran después al extremo más alto o más bajo, según corresponda.