1. Introducción

La leche provee compuestos importantes (proteína, grasa, etc.) que permiten balancear requerimientos nutricionales de las personas en todas las edades (^{Fadul et al., 2013}; ^{Rebollar et al., 2016}; ^{Salas et al., 2015}). Sin embargo, es en la producción donde intervienen una serie de factores como la cantidad y calidad de insumos, tipo de materia prima, sistema de producción, combinación de factores de producción, comercialización, distribución, cercanía a grandes mercados consumidores, apoyos gubernamentales a este sector, etc. (^{Rebollar et al., 2016}, que influyen en forma conjunta en el resultado, que puede ser un producto de calidad y de un costo mínimo.

En México, la producción nacional de leche ha sido creciente; por ejemplo, durante 1990-2000, la tasa de crecimiento media anual (TCMA) alcanzó 4.31%, al pasar de 6.10 a 9.30 mil millones de litros; para 2001-2012 fue de 1.30% (de 9.50 a 10.90 mil millones de litros); con una ligera disminución en 2013 (10.83 mil millones de litros) y en 2014 la cantidad producida alcanzó 11 130 millones de litros. Se observó que, aunque la TCMA fue menor en el último periodo con relación al de 1990-2000, no fue así con la cantidad absoluta obtenida. En sí, de 1990 a 2012, la producción nacional mantuvo un crecimiento relativo cercano a 2.67% (SIAP, 2014).

En 2014, la producción nacional se incrementó en 300 millones de litros (2.7%), con relación a 2013. Por entidad, destacaron Guanajuato (8.30%), Chihuahua (2.70%), Coahuila (2.60%), Durango (1.90%) y Jalisco (0.4%). Por el contrario, las entidades que disminuyeron su producción fueron: Veracruz (1.80%), México (1.70%) e Hidalgo (3.40%). En 2014, el Estado de México ocupó la posición siete, solo después de Veracruz (^{SIAP, 2015}).

México posee el primer lugar mundial en compra de leche en polvo, con 8.60% de las importaciones globales, 94.60% de estas provienen de Estados Unidos. En 2014 las importaciones se ubicaron en 207 111 toneladas de leche en polvo, principalmente en los meses de agosto y octubre (^{SIAP, 2015}).

En esta actividad están presentes distintas modalidades de producción según su sistema tecnológico. Así, se tiene al sistema especializado, semiespecializado, doble propósito y el familiar o de traspatio (^{Yamamoto et al., 2006}; ^{Posadas et al., 2013}). Al primero corresponde 50.60% de la producción total de leche, proveniente de las razas Holstein, Pardo-suizo y Jersey, en un sistema completamente estabulado y con alimentación basada en dietas de forraje de corte y alimento concentrado; la leche se destina a plantas industrializadoras.

El segundo contribuye con 21.30%, predomina el ganado Holstein y Pardo-suizo en condiciones de semiestabulación, pequeñas extensiones de terreno, nivel medio de tecnología, ordeña mecánica o manual y se dispone, en ocasiones, de sistema de enfriamiento; los niveles de producción son menores al sistema tecnificado.

El tercer sistema participa con 18.30% y se caracteriza por la predominancia de razas cebuinas y sus cruzas, en este sistema el ganado sirve tanto para la producción de carne como de leche (^{Albarrán et al., 2015}). El manejo del hato se da en forma extensiva, confinándose en corrales solo durante la noche, su alimentación se basa en el pastoreo y con un mínimo de complementos en alimentos balanceados y la ordeña es manual.

Finalmente, el de traspatio o familiar participa con 9.80% y se limita a pequeñas extensiones de terreno, cuando se ubica cerca de la vivienda se denomina de traspatio. Las razas varían desde Holstein hasta Suizo-americano y sus cruzas; la alimentación se basa en el pastoreo o suministro de forrajes y esquilmos provenientes de los que se producen en la misma granja. Independientemente del sistema de producción del cual provenga la leche, la actividad requerirá siempre de insumos fijos y variables en diferentes grados de uso, según el tipo de sistema de producción de que se trate (^{Rebollar et al., 2016}).

Las diferentes combinaciones en que se utilicen insumos conllevarán a la eficiencia técnica y eficiencia económica; la primera se refiere a un proceso de producción que no utilice más insumos de los necesarios para obtener un nivel dado de producción, en base a la tecnología existente; la segunda cuando una empresa (agropecuaria) emplea recursos en una proporción tal que el costo por unidad de producción es el mínimo posible (^{Leroy y Meiners, 1990}), donde el productor podría elegir entre obtener la máxima producción, la máxima ganancia en dinero o continuar de forma tradicional.

Por lo anterior, el objetivo de este trabajo es determinar el nivel óptimo técnico (not) de una función de producción tipo Cobb-Douglas bivariada seudocuadrática, mediante el uso de dos métodos matemáticos alternativos que maximizan la ganancia en dinero. En las condiciones planteadas, la hipótesis principal supone que la máxima producción de leche se logra con el valor estimado de los dos insumos variables, y que la estimación del modelo con los dos métodos conduce al mismo valor de los insumos.

2. Materiales y métodos

Para este trabajo, los datos de campo se obtuvieron de agosto a septiembre de 2015, proveniente de diez vacas de la raza Pardo-suizo, propiedad de un rancho lechero que se ubica en la comunidad de Telpintla, perteneciente al municipio de Temascaltepec, ubicado en el sur del Estado de México. La altitud promedio es de 1 740 msnm, clima templado subhúmedo, temperatura media anual entre 18 y 22 °C y precipitación de 800 a 1 600 mm (^{Borboa, 1999}). Las vacas estaban en producción, diferentes número de partos, tiempos de lactancia y un peso vivo (PV) de≤ 628 ± 72 kg.

Al momento de la toma de datos, las instalaciones eran del tipo semitecnificado, con corral de alojamiento y pavimento, bebederos de pileta, comederos de canoa, sala de ordeña para seis vacas y ordeñadora portátil capaz de ordeñar dos vacas en forma simultánea. La ordeña diaria se realizó de forma mecánica, colocándose en cubetas de plástico y pesándose en una báscula de reloj. El precio de venta que se consideró fue 5.00 pesos por litro ($/L).

La dieta de las vacas se basó en asignaciones diarias de concentrado y forraje, durante cinco periodos de 15 días (quincenas). El forraje se ofreció por las mañanas, con asignaciones de 3.90 kg/vaca de maíz (planta completa y 90% de materia seca) y 4.20 kg/vaca de heno de alfalfa. Por la tarde, se asignó 4.00 kg/ vaca de materia seca (MS) de Rye grass verde. Diariamente se registró el volumen producido de leche y las cantidades de forraje y concentrado; al final de cada periodo se contabilizaron los acumulados. A partir del segundo periodo y hasta el quinto, se sustituyó un kilogramo de heno de alfalfa por un kilogramo de concentrado (Cuadro 1). Es importante mencionar que los datos obtenidos en campo no provinieron de un diseño o trabajo experimental, sólo fue información que se generó con base en la alimentación que el mismo productor de leche proporcionó a sus animales.

La información del Cuadro 1 permite apreciar que, de acuerdo a la teoría y bajo el sistema de producción que se menciona, se mantiene, en promedio, una relación 60/40% de forraje-concentrado (^{Shimada, 2003: 341}) en la asignación diaria de alimento.

Al momento de la investigación, el precio de adquisición del concentrado y forraje fue de 4.12 y 3.00 $/kg, respectivamente. La composición del concentrado y su aporte estimado se aprecian en el Cuadro 2.

Los datos de volumen producido de leche y las cantidades de forraje y concentrado utilizadas (Cuadro 1) se modelaron a través de una función de producción tipo Cobb-Douglas bivariada (^{Felipe y Adams, 2005}) de respuesta cuadrática o seudocuadrática por ser un ecuación de regresión no lineal (^{Castellanos et al., 2006}; ^{Cobb y Douglas, 1928: 151}; ^{Douglas, 1976}; ^{Bellado, 2011}). El modelo matemático propuesto fue:

Donde Y representa el volumen de leche registrado en campo; β₀, β₁ y β₂ los coeficientes puntuales de los parámetros del modelo; β₀ es la tecnología, X ₁ la cantidad de concentrado consumida por periodo y X ₂ la cantidad de forraje consumido por periodo. Además, β₁ y β₂ representan las elasticidades económicas de la función (^{Nicholson, 2007}).

3. Modelo estadístico

Con los datos obtenidos por vaca, referentes a consumo de concentrado, consumo de forraje y volumen de leche durante el periodo de análisis para obtener el mejor ajuste de la función de producción tipo Cobb-Douglas bivariada (^{Bellado, 2011}), se utilizó un modelo de regresión no lineal con error multiplicativo (^{Castellanos et al., 2006}), que describe la relación funcional de (variable dependiente) respecto a (variable independiente) (^{Gujarati y Porter, 2009: 526}; ^{Wooldridge, 2010}). El segundo modelo que se utilizó para ajustar los datos fue del tipo Cobb-Douglas estocástico:

Donde Y representa el volumen de leche, β₀ la ordenada al origen (tecnología), β₁ el coeficiente de regresión del insumo alimento concentrado, β₂ el coeficiente de regresión del insumo forraje, X ₁ la cantidad de alimento concentrado consumido por periodo, X ₂ la cantidad de forraje consumido por periodo y u _i el error aleatorio. Los errores (u _i ) se suponen no correlacionados, con media cero y varianza desconocida (^{Gujarati y Porter, 2009}; ^{Wooldridge, 2010}).

Para transformar el modelo estadístico ^{Cobb-Douglas (Cobb y Douglas, 1928}; ^{Douglas, 1976)} a un modelo econométrico, bivariado y seudocuadrático (^{Gujarati y Porter, 2009: 526}) y obtener los coeficientes de regresión, se linealizó el modelo, tomando el logaritmo en ambos lados de la ecuación, quedando como sigue:

Log(y) = Log(β₀) + β₁ Log(x ₁) + β₂ Log(x ₂) + Log(u _i )

Este modelo es lineal en los parámetros, por lo que el modelo de regresión lineal múltiple fue el siguiente:

Lo que supone errores multiplicativos al ser el anterior un modelo econométrico. β ₀ se obtuvo como el antilogaritmo de β₀ o 10^β0 (^{Castellanos et al., 2006}).

Con base en ^{Henderson y Quandt (1995)} y ^{Frank (2009)}, se propusieron dos métodos de solución al modelo, que permitieron llegar a los mismos resultados, con el fin de ampliar el conocimiento sobre ello. El primero es el método del multiplicador de Lagrange (^{Frank, 2009}), pues una vez que se ha estimado el modelo Cobb-Douglas, se construye una función matemática restringida, en términos de maximización de esa función, esto es:

Donde f (X,Y) es la función Cobb-Douglas (^{Bellado, 2011}), esto es, αX1β1αX2β2; es el multiplicador de Lagrange (L) (^{Henderson y Quandt, 1995}); los precios de los insumos variables y M el precio del producto (precio por litro de leche). El proceso algebraico consistió en derivar parcialmente a L con relación a x₁,x₂ y γ; después, se consideró la regla de maximización de la función al igualar el cociente de las derivadas parciales al de los precios (Henderson y Quandt, 1995; ^{Frank, 2009}), esto significa que las pendientes de volumen obtenido y precio deberán ser iguales.

Donde f ₁, es la derivada de la función respecto a x ₁ y f ₂ la derivada de la función respecto a x ₂. Posteriormente, se despeja y se obtienen los valores de las x ₁ y se sustituyen en la función Cobb-Douglas para conocer el valor de Y (volumen obtenido de leche).

Al segundo procedimiento se le dio el nombre de método simplificado y es más sencillo o menos amplio que el primero (^{Frank, 2009}) y consiste en maximizar a Y =αx1β1x2β2, sujeta a la restricción M = Px ₁ + Px ₂. Posteriormente, se utilizó el punto óptimo, conocido como equilibrio del productor (^{Nicholson, 2007}; Frank, 2010), en el que se igualó la tasa marginal de sustitución técnica (TMgST) con la relación de precios de los insumos:

Sujeta a:

M = Px ₁ + Px ₂

Esto es:

Pero:

Donde PMg ₁ es el producto marginal del primer insumo y PMg ₂ el producto marginal del segundo insumo. El sistema se soluciona en términos del valor calculado de las X (insumos variables). Los insumos x ₁ (alimento concentrado) y x ₂ (forraje) caracterizan a una isocuanta (^{Nicholson, 2007}; ^{Rebollar et al., 2016}).

Los resultados del modelo se obtuvieron mediante el método de mínimos cuadrados a través del procedimiento glm (General Linear Model) utilizando el programa estadístico SAS® 9.2. Las pruebas estadísticas para la validación del modelo fueron el coeficiente de determinación o bondad de ajuste (R ²) ajustado, el valor p < 0.05, y la F de Fisher como significancia estadística del modelo estimado, pues la Fc es una prueba conjunta.

4. Resultados y discusión

Los resultados del modelo lineal estimado muestran que existe una relación positiva entre el volumen obtenido de leche y el insumo variable asociado al alimento concentrado; así mismo, una relación negativa con respecto al insumo forraje. Al considerar como criterio de ajuste del modelo R ² ajustado, los insumos alimento concentrado y forraje explicaron 82.4% del volumen de leche que se obtuvo; así mismo, de los dos coeficientes de regresión respecto del promedio del volumen obtenido de leche, sólo el coeficiente asociado al insumo alimento concentrado fue, estadísticamente, significativos (p < 0.05), el del forraje, no (p > 0.27); La F-calculada fue 29.15 (p < 0.001) (El modelo lineal estimado fue el siguiente:

Al aplicar el antilogaritmo a los coeficientes de la función anterior se obtuvo la función no lineal Cobb-Douglas:

Dado que β¹ + β² es menor a 1, la función presenta rendimientos decrecientes a escala. El valor 407.30, significa la tecnología dada en el periodo de tiempo considerado en el análisis, asociado al comportamiento productivo de los insumos variables y su efecto en la función de la respuesta productiva, que es el rendimiento en leche.

5. Método de Lagrange

La optimización de la función Cobb-Douglas comenzó con el proceso algebraico, de restar a la función objetivo la restricción, denominada Multiplicador de Lagrange (^{Henderson y Quandt, 1995}; ^{Frank, 2009: 90}). Esta función también se le llama función de producción tipo Cobb-Douglas seudocuadrática no lineal:

Sujeta a:

La función lagrangeana:

La derivada parcial de L (condición de primer orden) respecto a x ₁, se le llama producto marginal restringido:

La derivada parcial de L (condición de primer orden) respecto a x ₂ (f ₂), también se le llama producto marginal restringido:

Por lo que:

De aquí:

La condición de maximización (^{Nicholson, 2007}; ^{Frank, 2009: 93}) consiste en igualar la relación de las primeras derivadas o productos marginales restringidos a la relación de precios de los insumos:

Sustituyendo (3) y (4):

Al sustituir (8) en (7):

Al despejar x ₁ se obtiene la cantidad óptima

Al sustituir x₁, en (8):

Al sustituir los valores de y en la función Cobb-Douglas se obtiene la cantidad de leche óptima producida (y = 353.80 L), o bien la combinación de los insumos que maximizan la isocuanta.

El Gráfico 1 es la forma clásica de representar a una isocuanta con dos insumos variables, que cumple con características según la teoría de la producción (^{Henderson y Quandt, 1995}; ^{Nicholson, 2007}); tiene pendiente negativa, todos los puntos a lo largo de la misma son distintas combinaciones de los dos insumos que dan el mismo nivel de producto, la pendiente de la curva es la tasa marginal de sustitución técnica (TMgST), el punto óptimo se encuentra en donde se cruza con la línea de isocosto (equilibrio del productor).

Fuente: Elaboración propia.

Gráfico 1 Punto óptimo de producción de la función Cobb-Douglas 

6. Método simplificado

El segundo procedimiento, método simplificado, consiste en obtener la TMgST (^{Nicholson, 2007}), que bajo la teoría de la producción (^{Henderson y Quandt, 1995}), en especial la que tiene que ver con isocuantas (relación técnica insumo-insumo), se expresa como:

La derivada parcial de Y (condición de primer orden) respecto a x ₁ (Pmg ₁) es:

La derivada parcial de (condición de primer orden) respecto a x₂ (PMg ₂) es:

Por tanto:

7. Método de optimización restringida

El objetivo consiste en maximizar Y = f(x ₁, x ₂), cuya función objetivo es:

Sujeta a la restricción:

Donde Px ₁ es el precio del insumo x ₁ referido al concentrado, Px ₂ el precio del insumo x ₂ referido al forraje y M el ingreso disponible, en este caso, el precio por litro de leche (precio del producto). Así mismo, en la isocuanta, representa la tasa marginal de sustitución técnica: TMgST.

La pendiente de la restricción presupuestaria, en la teoría del consumidor, es línea de presupuesto, en la teoría de la producción, se conoce como línea de isocosto. La pendiente de la restricción, dada por:

Al igualar la pendiente de la isocuanta con la pendiente de la restricción, se genera un punto de equilibrio, llamado equilibrio del productor.

Así, al reemplazar el valor de la TMgST, bajo equilibrio:

Al despejar se obtiene la cantidad óptima del insumo concentrado

Al sustituir (2) en (1):

Al despejar x ₂ de la expresión de M:

Al sustituir (11) en (10):

Para obtener el valor de la función de producción tipo Cobb-Douglas, se utilizó 4.12 $/kg de concentrado (Px ₁), 3.00 $/kg de forraje (Px ₂) y 5.00 $/L de leche (M). Con esos datos, las cantidades óptimas de los insumos fueron:

Al sustituir los valores que se obtuvieron de los insumos variables x ₁ = 0.60 kg y el de x ₂ = 0.84 kg en la función de producción tipo Cobb-Douglas seudocuadrática (^{Castellanos et al., 2006: 18}; ^{Frank, 2009: 90}):

Finalmente,

y = 353.80

Este valor (y=353.80) representa la cantidad óptima de leche, dadas las cantidades óptimas de insumos, que proviene de la función de producción tipo Cobb-Douglas bivariada seudocuadrática. Es seudocuadrática porque es no lineal (^{Castellanos et al., 2006}).

Conclusiones

La utilización de la función de producción tipo Cobb-Douglas continúa siendo útil en el análisis de la producción para medir el uso de los factores productivos, desde el punto de vista de las relaciones de la eficiencia técnica y económica. Los dos procedimientos algebraicos, simplemente corroboraron el mismo resultado óptimo para los insumos variables y el rendimiento que se analizaron en la solución del modelo.