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1. Introducción
En algunos casos una viga rectangular de concreto y simplemente reforzada puede no ser suficiente para resistir un momento determinado y por razones arquitectónicas no se debe cambiar la sección transversal de la viga y no se desea aumentar la resistencia del concreto, es decir, la sección transversal de la viga y la calidad del concreto se debe conservar. Bajo esta situación se debe incluir acero de refuerzo en la zona de compresión para aumentar la capacidad resistente de la viga a flexión. Al incrementar la cuantía de acero en tensión se puede presentar una viga sobrerreforzada, pero el acero de refuerzo incluido en la zona de compresión ayuda a que la viga tenga un comportamiento dúctil.
El diseño estructural es un proceso iterativo. El diseño inicial es el primer paso en el proceso. A pesar de los diversos aspectos del diseño estructural son controlados por muchos códigos y reglamentos, los ingenieros estructurales deben tener cuidado y usar su juicio, así como conseguir sus cálculos, si han de interpretar las diversas disposiciones del código de una manera que produce diseños eficientes y económicamente racionales.
Diseño estructural requiere de juicio, la intuición y la experiencia, además de la capacidad de diseñar estructuras que sean seguras, útiles y económicas.
Los códigos de diseño no necesariamente producen diseños que satisfacen todas estas condiciones.
La optimización estructural ha sido el tema de un gran número de trabajos presentados en el campo del diseño de estructuras. El objetivo de un diseñador es desarrollar una “solución óptima” para el diseño estructural bajo ciertas consideraciones. Esto normalmente implica la estructura más económica que no perjudique los efectos funcionales de la estructura para satisfacer las condiciones para las que se destina.
El objetivo del problema de optimización es minimizar el peso, el volumen o el costo de la estructura bajo ciertas restricciones de comportamiento determinístico.
Los modelos para diseño óptimo de estructuras despertaron gran interés entre los investigadores en el pasado hasta los más recientes.
Los modelos más importantes utilizando técnicas de optimización en el proceso de diseño y análisis estructural [1-14].
Este trabajo muestra el diseño de vigas rectangulares de concreto doblemente reforzadas utilizando las técnicas de optimización (caso general), es decir, vigas simplemente y doblemente reforzadas. La modelación matemática se desarrolla bajo los criterios de costo mínimo con un número reducido de variables. Los experimentos numéricos muestran la aplicación de las fórmulas del reglamento (ACI 318S-14), y el modelo considera dos casos: caso 1 se restringe el ancho de la viga b, y el caso 2 se restringe el peralte efectivo d.
2. Materiales y métodos
2.1. Técnicas de optimización
En los problemas de optimización el objetivo es minimizar el peso, el volumen o el costo de la estructura bajo ciertas restricciones de comportamiento determinístico. La formulación matemática de un problema de optimización estructural típico con respecto a las variables de diseño, las funciones objetivo y las restricciones pueden ser expresadas en términos matemáticos estándar como un problema de programación no lineal de la siguiente [15-17]:
donde u es el vector de las variables de diseño, F(u) es la función objetivo que se reduce al mínimo, h
j
(u) es la restricción del comportamiento,
El objetivo de la optimización es encontrar la mejor solución entre un conjunto de soluciones posibles, utilizando métodos cuantitativos eficientes. En el diseño de una viga, las variables de decisión representan las cantidades que se determinen, y un conjunto de valores de variables de decisión constituye una solución posible. Una función objetivo, que es ya sea maximizado o minimizado, expresa la meta, o criterio de comportamiento, en términos de variables de decisión. El conjunto de soluciones admisibles y, por lo tanto, el valor de la función objetivo, se ve limitada por factores que gobiernan el diseño de la viga.
2.2. Ecuaciones proporcionadas por el código ACI
La Figura 1, muestra la geometría de una sección rectangular de concreto doblemente reforzada típica con un bloque rectangular de tensiones simplificado, conforme a lo dispuesto en el Código ACI [18-20].
Las ecuaciones proporcionadas por el código ACI son [18]:
donde M u es el momento máximo ultimo (momento máximo factorizado), Ø f es el factor de reducción de resistencia por flexión y su valor es 0.90, A st es el área de refuerzo longitudinal a tensión, A sc es el área de refuerzo longitudinal a compresión, d es la distancia desde la fibra extrema en compresión hasta el centroide del refuerzo longitudinal a tensión, a es la profundidad del bloque rectangular equivalente de esfuerzos, d c es la distancia desde la fibra extrema en compresión al centroide del refuerzo longitudinal en compresión, d t es la distancia desde la fibra extrema en tensión al centroide del refuerzo longitudinal en tensión, c es la distancia medida desde la fibra extrema en compresión al eje neutro, f y es la resistencia especificada a la fluencia del refuerzo, f´ c es la resistencia especificada a la compresión del concreto, ρ es la cuantía del refuerzo A s (A st −A sc ), evaluada sobre el área bd, β 1 es el factor que relaciona la profundidad de bloque rectangular equivalente de esfuerzos de compresión con la profundidad del eje neutro, ρ b es la cuantía del refuerzo A s evaluada sobre el área bd que produce condiciones balanceadas de deformación unitaria, ρ max es la cuantía del refuerzo máximo, ρ min es la cuantía del refuerzo mínimo.
2.3. Función objetivo: costo mínimo
El costo total de la viga doblemente reforzada “C t ” es igual a la suma de los costos del acero de refuerzo “C s ” y el concreto “C c ”. Estos costos incluyen el costo de los materiales utilizados y el costo de fabricación. Los costos se refieren a los costos unitarios del acero de refuerzo y del concreto por una unidad de volumen. El costo de la viga de una unidad de longitud es:
donde: V s es el volumen de acero de refuerzo y V c es el volumen de concreto por unidad de longitud de la viga. Estas ecuaciones son:
Sustituyendo las ecuaciones (14 y 15), en la ecuación (13), se presenta la siguiente ecuación:
Si se asume que α = C s /C c y posteriormente se sustituye en la ecuación (16), se obtiene la función objetivo:
Un caso particular es cuando no se acepta acero de refuerzo por compresión (A sc = 0) y se presenta la viga rectangular simplemente reforzada. Entonces la ecuación (17), se presenta como sigue:
2.3.1. Caso general (Viga rectangular doblemente reforzada)
La función objetivo para minimizar el costo es:
Las restricciones son:
2.3.2. Caso particular (Viga rectangular simplemente reforzada)
La función objetivo para minimizar el costo es [14]:
Las restricciones son [14]:
El problema de optimización se resuelve usando el software MAPLE 15, para evaluar el diseño óptimo con respecto al costo mínimo de una viga rectangular de concreto doblemente reforzada.
2.4. Problemas numéricos
Para realizar los experimentos numéricos con el modelo para el diseño óptimo de vigas rectangulares de concreto doblemente reforzadas se consideran dos casos: Caso 1, el ancho de la viga b se fija en un solo valor y el peralte efectivo d se restringe para ciertos valores. Caso 2, el peralte efectivo d se restringe para un solo valor y el ancho de la viga b se fija para varios valores.
2.4.1. Caso 1
Una viga de sección rectangular se restringe para b = 25 cm, d c = d t = 4 cm y d = 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, 130, 140 cm. Se desea obtener la cuantía del acero de refuerzo ρ, el área de acero de refuerzo longitudinal a tensión A st , el área de acero de refuerzo longitudinal a compresión A sc , y la profundidad del bloque rectangular equivalente de esfuerzos a, para M u = 1000 kN-m, f´ c = 28 MPa y f y = 420 MPa. La relación del costo del acero de refuerzo al costo del concreto es: α = 90. Sustituyendo los valores correspondientes en la ecuación (19), para encontrar la función objetivo y en las ecuaciones (20 a 24) para obtener las restricciones, estas se muestran enseguida:
La función objetivo para minimizar el costo es:
Las restricciones son:
Los resultados del problema numérico para el caso 1 se muestran en la Tabla 1.
Tabla 1 Resultados del problema numérico caso 1
| Peralte efectivo d (cm) | Area de refuerzo longitudinal a tensión Ast (cm 2 ) | Area de refuerzo longitudinal a compresión Asc (cm 2 ) | Cuantía del acero de refuerzo ρ | Profundidad del bloque rectangular equivalente de esfuerzos a (cm) | Costo total ($/m) |
|---|---|---|---|---|---|
| 50.000 | 60.6147 | 34.0522 | 0.02125 | 18.7500 | 0.97754Cc |
| 60.000 | 51.3678 | 19.4928 | 0.02125 | 22.5000 | 0.79066Cc |
| 70.000 | 45.2248 | 8.0373 | 0.02125 | 26.2500 | 0.65903Cc |
| 80.000 | 40.1975 | 0.0000 | 0.02010 | 28.3747 | 0.56776Cc |
| 90.000 | 33.9016 | 0.0000 | 0.01507 | 23.9305 | 0.53672Cc |
| 100.000 | 29.5335 | 0.0000 | 0.01181 | 20.8472 | 0.52285Cc |
| 110.000 | 26.2631 | 0.0000 | 0.09550 | 18.5387 | 0.51874Cc |
| 110.920 | 26.0017 | 0.0000 | 0.00938 | 18.3542 | 0.51872Cc |
| 120.000 | 23.6975 | 0.0000 | 0.00790 | 16.7277 | 0.52091Cc |
| 130.000 | 21.6189 | 0.0000 | 0.00665 | 15.2604 | 0.52741Cc |
| 140.000 | 19.8942 | 0.0000 | 0.00568 | 14.0430 | 0.53706Cc |
| 150.000 | 18.4365 | 0.0000 | 0.00492 | 13.0140 | 0.54908Cc |
2.4.2. Caso 2
Una viga de sección rectangular se restringe para d = 26 cm, d c = d t = 4 cm y b = 100, 120, 140, 160, 180, 200, 220, 230, 250, 270 cm.
Se desea obtener la cuantía del acero de refuerzo ρ, el área de acero de refuerzo longitudinal a tensión A st , el área de acero de refuerzo longitudinal a compresión A sc , y la profundidad del bloque rectangular equivalente de esfuerzos a, para M u = 1000 kN-m, f´ c = 28 MPa y f y = 420 MPa. La relación del costo del acero de refuerzo al costo del concreto es: α = 90.
Sustituyendo los valores correspondientes en la ecuación (19), para encontrar la función objetivo y en las ecuaciones (20 a 24), para obtener las restricciones, estas se muestran enseguida:
La función objetivo para minimizar el costo es:
Las restricciones son:
Los resultados del problema numérico para el caso 2 se muestran en la Tabla 2.
Tabla 2 Resultados del problema numérico caso 2
| Ancho de la viga b (cm) | Área de refuerzo longitudinal a tensión Ast (cm 2 ) | Área de refuerzo longitudinal a compresión Asc (cm 2 ) | Cuantía del acero de refuerzo ρ | Profundidad del bloque rectangular equivalente de esfuerzos a (cm) | Costo total ($/m) |
|---|---|---|---|---|---|
| 100.000 | 122.4476 | 67.1976 | 0.02125 | 9.7500 | 1.98784Cc |
| 120.000 | 122.8871 | 56.5871 | 0.02125 | 9.7500 | 1.95732Cc |
| 140.000 | 123.3265 | 45.9765 | 0.02125 | 9.7500 | 1.92680Cc |
| 160.000 | 123.7660 | 35.3660 | 0.02125 | 9.7500 | 1.89628Cc |
| 180.000 | 124.2055 | 24.7555 | 0.02125 | 9.7500 | 1.86575Cc |
| 200.000 | 124.6450 | 14.1450 | 0.02125 | 9.7500 | 1.83523Cc |
| 220.000 | 126.0845 | 3.5345 | 0.02125 | 9.7500 | 1.80471Cc |
| 226.662 | 125.2309 | 0.0000 | 0.02125 | 9.7500 | 1.79454Cc |
| 230.000 | 124.6911 | 0.0000 | 0.02085 | 9.5671 | 1.79975Cc |
| 250.000 | 121.9322 | 0.0000 | 0.01876 | 8.6070 | 1.83520Cc |
| 270.000 | 119.7848 | 0.0000 | 0.01706 | 7.8291 | 1.87608Cc |
| 290.000 | 192.0746 | 0.0000 | 0.01566 | 7.1843 | 1.92075Cc |
3. Resultados
Tabla 1, presenta los resultados para el Caso 1 utilizando las técnicas de optimización. Los parámetros constantes (conocidos) son: M u , Ø f , β 1 , d c , d t , b, f y , f´ c , ρ max , ρ min y d. Las variables de diseño (incógnitas) son: A st , A sc , ρ y a. El costo mínimo del material total es C t = 0.51872C c $/m (en términos del costo de concreto por unidad de volumen), el área de refuerzo longitudinal a tensión es A st = 26.0017 cm 2, el área de refuerzo longitudinal a compresión es A sc = 0.00 cm 2, la cuantía del acero de refuerzo es ρ = 0.00938, el peralte efectivo es d = 110.920 cm y la profundidad del bloque rectangular equivalente de esfuerzos es a = 18.3542 cm. También se investigaron otros valores de d para validar el modelo propuesto, y se observa que al disminuir o aumentar el peralte optimo se incrementan los costos totales.
Tabla 2 muestra los resultados para el Caso 2 utilizando las técnicas de optimización. Los parámetros constantes (conocidos), son: M u , Ø f , β 1 , d c , d t , d, f y , f´ c , ρ max , ρ min y b. Las variables de diseño (incógnitas) son: A st , A sc , ρ y a. El costo mínimo del material total es C t = 1.79454C c $/m (en términos del costo de concreto por unidad de volumen), el área de refuerzo longitudinal a tensión es A st = 125.2309 cm 2, el área de refuerzo longitudinal a compresión es A sc = 0.00 cm 2, la cuantía del acero de refuerzo es ρ = 0.02125, el ancho de la viga es b = 226.662 cm y la profundidad del bloque rectangular equivalente de esfuerzos es a = 9.7500 cm. También se investigaron otros valores de b para validar el modelo propuesto, y se observa que al disminuir o aumentar el ancho de la viga se incrementan los costos totales.
En los dos casos se verifica que las vigas más económicas se presentan en secciones simplemente reforzadas, es decir, no se requiere acero de refuerzo por compresión.
4. Conclusiones
Este estudio aborda el diseño de costo mínimo (casos 1 y 2), para vigas rectangulares de concreto doblemente reforzados. El caso 1 asume que los parámetros constantes son: M u , Ø f , β 1 , d c , d t , f y , f´ c , ρ max , ρ min y b, y que las variables de diseño son: A st , A sc , ρ, d y a. El caso 2 considera que los parámetros constantes son: M u , Ø f , β 1 , d c , d t , f y , f´ c , ρ max , ρ min y d, y que las variables de diseño son: A st , A sc , ρ, b y a.
La aplicación significativa de la base b restringida y el peralte efectivo d se limita (caso 1), cuando se desea menor peso y menor volumen de los miembros estructurales. El peralte efectivo d restringido y la base b se limita (caso 2), cuando se desea mantener oculta la viga dentro la losa, se presenta lo que se llama una viga ancha.
La investigación presentada en este documento concluye de la siguiente manera:
Las vigas más económicas se presentan en secciones simplemente reforzadas, cuando no existen limitaciones en cuanto a dimensiones de las vigas.
Las vigas doblemente reforzadas se vuelven necesarias cuando por razones de espacio o arquitectónicas no es posible modificar la sección transversal, y no es posible o no se desea aumentar la calidad del concreto. La sección no es capaz de resistir el momento aplicado aunque se le provee de la cuantía máxima permitida.
El procedimiento desarrollado como resultado de esta investigación puede servir como base para el diseño de vigas de concreto reforzado, mientras que una estructura diseñada utilizando la sección óptima no necesariamente proporcionar un diseño óptimo para toda la estructura en términos de costos del material.
Las sugerencias para investigaciones futuras son: 1) El diseño óptimo de otros tipos de miembros estructurales de concreto reforzado y acero estructural; 2) El diseño óptimo de estructuras enteras.
