Momentos L poblacionales y de la muestra

La teoría y aplicación de los momentos L, como sistema alternativo para describir las formas de las FDP, las expuso ^{Hosking (1990)}. Los momentos L son combinaciones lineales de los momentos de probabilidad pesada (MPP), desarrollados por ^{Greenwood et al. (1979)}, y se definen, para una variable aleatoria x con FDP acumulada F(x) y función de cuantiles x(F) como:

La expresión del momento: β_r = M_1,r,0 es:

La definición ordinaria de momentos es:

Al compararla con la ecuación anterior se deduce que la definición convencional de momentos involucra potencias sucesivas de la función de cuantiles x(F) y que los MPP implican potencias sucesivas de F, y por ello pueden considerarse como integrales de x(F) ponderadas por polinomios F^r , de ahí su nombre. Los MPP mejoran notablemente las propiedades del muestreo porque los valores extremos o dispersos no los influyen (^{Asquith, 2011}). Los primeros tres momentos L poblacionales corresponden a (^{Hosking, 1990}; ^{Hosking y Wallis, 1997}):

En una muestra de tamaño n, con sus elementos en orden ascendente (x₁ ≤ x₂ ≤ …≤ x_n) los estimadores insesgados de β_r son (^{Stedinger et al., 1993}; ^{Hosking y Wallis, 1997}):

Los estimadores muestrales de λ_r serán l_r y las ecuaciones 4 a 6 los definen.

Ajuste con momentos L de la distribución GVE₀

La distribución GVE ahora es el modelo probabilístico básico de los AHF de datos máximos y mínimos, como gastos, lluvias, niveles, temperaturas y vientos. ^{Hosking y Wallis (1997)} y ^{El Adlouni et al. (2008)} destacaron que la aceptación de la función GVE se debe a que cuando su parámetro de forma es negativo (k < 0) tiene su cola derecha más gruesa o densa que las otras FDP, que por lo común se utilizan en los AHF; además, tiene límite superior cuando k > 0 y define a la distribución Gumbel de dos parámetros, cuando k = 0. Por lo anterior, su intervalo de aplicación en x es: u + a/k ≤ x < ∞ si k < 0; - ∞ < x < ∞ si k = 0 y - ∞ < x ≤ u + a/k si k > 0.

La solución inversa x(F) de la distribución GVE₀ es la siguiente, con ella se estiman las predicciones que se asocian a una cierta probabilidad de no excedencia (F) y las ecuaciones que permiten estimar sus tres parámetros de ajuste (u, a, k) correspondientes a la ubicación, escala y forma, con el método de momentos L son:

donde:

Para estimar la función Gamma se utilizó la fórmula de Stirling (^{Davis, 1972}):

Verificación de la no estacionariedad del registro

Una serie cronológica de datos hidrológicos máximos es estacionaria si está libre de tendencias, saltos o periodicidad. Lo anterior implica que los parámetros estadísticos de esa serie, como la media y la varianza, son básicamente constantes a través del tiempo; de otra manera, la serie no será estacionaria (^{Cunderlik y Burn, 2003}; Khaliq et al., 2003). ^{Mudersbach y Jensen (2010 a)} indicaron que el estudio de los momentos de orden mayor, como la asimetría, es innecesario porque es poco probable que esa propiedad varíe con el tiempo, pero en un registro no estacionario los parámetros de ubicación y escala de una FDP seguramente cambiarán en el tiempo.

^{Campos-Aranda (2015)} estimó la tendencia lineal con varios métodos y verificó si es estadísticamente diferente de cero. El cambio en la varianza se probó con una versión simplificada del procedimiento sugerido por ^{Al Saji et al. (2015)}. Este consistente en restar a cada dato la tendencia lineal estimada y elevarlas al cuadrado, para observar si son relativamente constantes o presentan épocas con variabilidad alta y baja. Lo anterior permitió concluir que el registro no es estacionario en la varianza.

Ajuste con momentos L móviles de la distribución GVE₁₁

La distribución GVE no estacionaria, con sus parámetros de ubicación (u) y escala (a) variables en el tiempo (t), está indicada en registros amplios de datos máximos anuales con tendencia y variabilidad no constante (^{Cunderlik y Burn, 2003}). La variación lineal o exponencial de u y a se recomienda por su ajuste sencillo y la facilidad que brinda a la extrapolación, esto es (^{Mudersbach y Jensen, 2010 a}, ^b):

En el método de los momentos L móviles se emplea una ventana corrediza en el tiempo (sliding time window), con longitud en años n que se desliza año con año a través del registro de datos máximos de tamaño n_t . La anchura de la ventana (n) se seleccionará de manera que en esa amplitud del registro pueda considerarse estacionario y entonces el número de ventanas (nv) por procesar será:

Para cada tramo del registro de las nv ventanas móviles se calculan sus parámetros de ubicación y escala con base en las ecuaciones 11 a 15. Las dos series cronológicas que se obtengan serán funciones no paramétricas que no podrán extrapolarse al futuro y que se caracterizarán por sus valores promedio: u_m , a_m y k_m. Al ajustar a la serie cronológica de u los modelos definidos por las ecuaciones 16 y 18 y la serie de a, los de las ecuaciones 17 y 19, se definen descripciones paramétricas de los parámetros móviles, cuya calidad de ajuste se mide con el error estándar medio, expresado como:

En las expresiones anteriores, los valores estimados [u^t,a^t] se calculan con las ecuaciones 16 a 19, previa evaluación de sus coeficientes de ajuste obtenidos haciendo mínimos los cuadrados de los residuos. Para la variación lineal y exponencial del parámetro de ubicación [u (t)] se calculan con las expresiones siguientes:

En las expresiones anteriores “ln” es el logaritmo natural y “exp” la función exponencial, es decir, el número e elevado al valor del paréntesis. Cambiando en las ecuaciones 24 a 27, u_i por a_i y u_m por a_m se estiman los coeficientes β y δ de las ecuaciones 17 y 19.

Para las predicciones de cierto periodo de retorno de diseño (Tr) en años, estimadas en un cierto tiempo futuro, comúnmente los años 2025, 2050 y 2100, se aplica la ecuación 10, con k_m y los valores siguientes de la probabilidad de no excedencia (F) y del tiempo final (T_f), en los parámetros de ubicación y escala (ecuaciones 16 a 19), por lo que habrá predicciones con la extrapolación lineal y con la exponencial:

donde AFP y AFR son los años finales de la predicción (2025, 2050 ó 2100) y del registro.

Error estándar de ajuste

A mediados de la década de los años setenta se estableció al error estándar de ajuste (EEA) como indicador estadístico cuantitativo de la calidad del ajuste logrado entre los datos y las predicciones con la FDP que se prueba, ya que evalúa la desviación estándar de esas diferencias. En el presente estudio la FDP que se prueba es la distribución no estacionaria GVE₁₁ y su expresión es la siguiente (^{Kite, 1977}; ^{Pandey y Nguyen, 1999}):

donde n_t y np son el número de datos del registro y de parámetros de ajuste, en el caso estacionario tres (u, a, k) y en el no estacionario cinco (α₀, α₁, β₀, β₁, k _m , o bien, γ₀, γ₁, δ₀, δ₁, k_m ); X_i son los datos máximos ordenados de menor a mayor y X^i son los valores estimados con x(F) o función de cuantiles (ecuación 10) que utiliza los parámetros de ubicación y escala variables (lineal o exponencialmente), para una probabilidad de no excedencia estimada con la fórmula de Weibull (^{Benson, 1962}):

donde m es el número de orden del dato, con 1 para el menor y n_t para el mayor. La evaluación del EEA permite seleccionar entre el modelo lineal y el exponencial para realizar la extrapolación de las predicciones de diseño.

Ajuste de las distribuciones no estacionarias LOG₁₁ y PAG₁₁

FDP Logística Generalizada (LOG) y Pareto Generalizada (PAG) son modelos que se utilizan en los AHF (^{Stedinger et al., 1993}; ^{Kim et al., 2015}), que se pueden ajustar en sus versiones no estacionarias, con el método de los momentos L móviles, al cambiar las ecuaciones 11 a 14, para estimar sus parámetros de ubicación y escala y después realizar sus predicciones con la ecuación 10, que les corresponda. Las fórmulas para las distribuciones estacionarias LOG₀ y PAG₀ las documentó ^{Campos-Aranda (2016)}. El método de los momentos L móviles puede aplicarse usando los momentos L de orden mayor (^{Wang, 1997}; ^{Campos-Aranda, 2016}) y obteniendo el mejor ajuste en los tramos de registro, que definen las ventanas deslizables.

Registros de valores máximos anuales por procesar

Dos registros de la literatura especializada se seleccionaron para ilustrar la aplicación de la distribución no estacionaria GVE₁₁ ajustada con método de los momentos L móviles (^{Mudersbach y Jensen, 2010 a}, ^b). Los datos son aproximados a los que se presentan en las gráficas originales (Cuadro 1).

El primer registro, tomado de ^{Vogel et al. (2011)}, incluyó 69 datos de gasto máximo anual (1940 a 2008), en una estación hidrométrica del Río Aberjona, cerca de la ciudad de Boston, Massachusetts, EUA, y cuya cuenca de drenaje ha estado impactada por el desarrollo urbano. Esta serie tuvo comportamiento con tendencia lineal ascendente y variabilidad creciente al final del registro (Figura 1).

El segundo registro, tomado de ^{Katz (2013)}, es ejemplo de la reducción drástica de la precipitación máxima diaria (PMD) de invierno (mayo a octubre) que registró la estación Manjimup del extremo suroeste de Australia. El registro incluyó 75 valores anuales (1930 a 2004), con tendencia descendente y variabilidad mayor en el inicio del registro (Figura 2).

Predicciones de Q en una estación del río Aberjona, EUA

Los datos (Cuadro 1) tuvieron tendencia lineal ascendente y significativa, con estadística de la distribución Student de 3.850 y valor crítico de 1.996 (p ≤ 0.05). El diagrama de diferencias al cuadrado, entre cada dato y la tendencia lineal calculada, mostró que la variabilidad fue mayor hacia el final del registro (Figura 3).

El modelo lineal con el tiempo t de los parámetros de ajuste u y a, conduce a errores estándar de ajuste (EEA) menores en comparación con los del modelo exponencial (Cuadro 2). Con anchura de ventana móvil de 20 datos se obtuvo el EEA menor, por lo que, esos resultados se adoptaron para obtener las predicciones para el futuro (Figura 4).

Con las ecuaciones 11 a 15 se obtuvieron los parámetros de ajuste del modelo estacionario (GVE₀): u = 8.407, a = 4.481 y k = -0.3034, con un EEA = 1.556 m³· s^-1, y con la ecuación 10 las predicciones (Cuadro 3). La distribución no estacionaria GVE₁₁ aportó predicciones mayores, en todos los periodos de retorno e incluso al término del registro histórico (Cuadro 3). En los periodos de retorno extremos (500 y 1000 años) y hacia el año 2100 las predicciones del modelo no estacionario fueron el doble de las del modelo estacionario que no tomó en cuenta la tendencia ascendente, ni la variabilidad mayor hacia el final del registro.

Predicciones de PMD en la estación Manjimup de Australia

Los datos de precipitación máxima diaria (PMD) anual (Cuadro 1) tienen tendencia lineal descendente (Figura 2) y significativa, con estadística de la distribución Student de -4.085 y valor crítico de 1.993 con p ≤ 0.05. En el diagrama de diferencias al cuadrado, entre cada dato y la tendencia lineal, la variabilidad fue notablemente mayor al inicio del registro (Figura 5).

El modelo exponencial con el tiempo t de los parámetros de ajuste u y a, conduce a errores estándar de ajuste (EEA) menores comparados con los del modelo lineal (Cuadro 4). Conforme crece el tamaño de la ventana móvil se obtienen menores EEA, por lo cual se adoptan los del valor máximo probado de n = 30 (Figura 6).

Con base en las ecuaciones 11 a 15 se obtuvieron los parámetros de ajuste del modelo GVE₀ estacionario: u = 35.488, a = 8.431 y k = -0.1846, con un EEA =2.881 mm. Las predicciones respectivas, obtenidas con la ecuación 10, mostraron que la distribución no estacionaria GVE₁₁ aportó predicciones menores, desde el final del registro histórico y en todos los periodos de retorno analizados (Cuadro 5). En los periodos de retorno extremos analizados (500 y 1000 años) y hacia el año 2100 las predicciones de PMD tendieron a estabilizarse alrededor de los 21 mm.

Aplicabilidad del método de los momentos L móviles

La representación lineal de ambos parámetros y sensiblemente mejor del parámetro de ubicación (u) es aceptable para el río Aberjona, EUA (Figura 4). En la estación Manjimup, Australia (Figura 6) la representación del parámetro de escala (a) puede ser aceptable, pero la relativa al de ubicación u no.

La calidad estadística mayor del ajuste con el método de los momentos L móviles se destaca numéricamente por la similitud que muestran los errores estándar de ajuste (EEA) de los modelos estacionario (GVE₀) y no estacionario (GVE₁₁). En el caso del río Aberjona, EUA, los EEA de la GVE estacionaria y no estacionaria fueron 1.556 y 2.136 m³·s^-1; es decir, con orden de magnitud similar. En cambio, en la estación Manjimup, Australia, los EEA de ambos modelos (2.881 y 11.199 mm) fueron diferentes y bastante mayor el de la distribución GVE11, por lo cual, no es aceptable al grupo de datos de PMD.