Momentos L poblacionales y de la muestra

Los momentos L son un sistema alternativo para describir las formas de las FDP. Históricamente aparecen como modificaciones de los momentos de probabilidad ponderada (MPP) desarrollados por ^{Greenwood et al. (1979)}. Los MPP de una variable aleatoria x con FDP acumulada F(x) los definieron las cantidades siguientes:

Un caso especial es el siguiente: β_r = M_1,r,0 . La ecuación 1, para una distribución con función de cuantiles x(F), conduce a:

Esta ecuación puede contrastarse con la definición ordinaria de momentos, que es:

La definición convencional de momentos involucra potencias sucesivas de la función de cuantiles x(F), mientras que los MPP implican potencias sucesivas de F y por ello pueden considerarse integrales de x(F) ponderadas por polinomios F^r ; de ahí su nombre. Los MPP mejoran sustancialmente las propiedades del muestreo, porque los valores dispersos no los influencian (^{Asquith, 2011}). Los momentos L son combinaciones lineales de los MPP, de la manera siguiente (^{Hosking y Wallis, 1997} son:

Además, los cocientes (τ) de momentos L se definen, iniciando con L-Cv, que es análogo a este coeficiente, y después los de similitud con los coeficientes de asimetría y de curtosis, estos son:

En una muestra de tamaño n, con sus elementos en orden ascendente (x₁ ≤ x₂ ≤… x_n), los estimadores insesgados de β_r son (^{Stedinger et al., 1993}; ^{Hosking y Wallis, 1997}):

con la siguiente expresión general:

Los estimadores muestrales de λ_r serán l_r , están definidos por las ecuaciones 4 a 7 y los de los cocientes de momentos L serán t, t₃ y t₄, según las ecuaciones 8 a 10.

Ajuste con momentos L de las distribuciones GVE, LOG y PAG

^{Hosking y Wallis (1997)} destacaron en su “Tabla 5.1”, que estas tres FDP, cuando su parámetro de forma es negativo (k < 0), tienen colas derechas más gruesas o densas que todas las otras FDP, comúnmente utilizadas en los AFC. Debido a esto, las FDP han ganado aceptación en los análisis de frecuencias de datos hidrológicos extremos (^{El Adlouni et al. 2008a}). Estas tres FDP también coinciden en tener un límite superior cuando k > 0 y definir funciones de dos parámetros de ajuste, conocidas como Gumbel, Logística y Exponencial, cuando k = 0.

La solución inversa x(F) de las distribuciones GVE, LOG y PAG se citan a continuación, con ella se estiman las predicciones que se asocian a una cierta probabilidad de no excedencia (F) y las ecuaciones que permiten estimar sus tres parámetros de ajuste (u, a, k) correspondientes a la ubicación, escala y forma, con el método de momentos L.

Distribución GVE (^{Hosking y Wallis, 1997}): intervalo de x: u + a/k ≤ x < ∞ si k < 0; -∞ < x < ∞ si k = 0; -∞ < x ≤ u + a/k si k > 0.

siendo:

Para evaluar la función gamma se utiliza la fórmula de Stirling (^{Davis, 1972}):

Para la distribución LOG (^{Hosking y Wallis, 1997}) el intervalo de x es idéntico al de la GVE.

Para la distribución PAG (^{Hosking y Wallis, 1997}) el intervalo de x es u ≤ x < ∞ si k ≤ 0; u ≤ x ≤ u + a/k si k > 0.

Ajuste con momentos L de las distribuciones GVE₁ y GVE₂

La generalización del método de momentos L propuesta por ^{El Adlouni y Ouarda (2008b)} para el ajuste de la FDP no estacionaria tipo GVE₁ comienza por analizar el valor esperado según la expresión:

De esta ecuación se deduce que un estimador δ^2 de δ₂ puede obtenerse mediante una regresión lineal simple entre la variable X y la covariable t. Después se define una nueva variable S₁ con la expresión:

De la ecuación 29 se deduce que la nueva variable se distribuye según una FDP tipo GVE₀ con parámetros δ₁, a y k que se estiman con las ecuaciones 16 a 19 del método de momentos L. Destaca que u (ecuación 19) es igual a δ₁, con lo cual quedan estimados los cuatro parámetros de ajuste del modelo GVE₁. La ecuación 30 corresponde a uno de los primeros enfoques simples, sugeridos para procesar registros hidrológicos con tendencia. Este consistente en retirar primero tal componente determinística (^{McCuen y Thomas, 1990}; ^{Campos-Aranda, 2012}). ^{Mudersbach y Jensen (2010)} indicaron que este enfoque es práctico pero los resultados de su AFC son válidos sólo en el presente y las obras hidráulicas deben ser seguras al término de su vida útil. Por lo que se requiere que la creciente de diseño sea estimada en una fecha futura predeterminada.

El mismo enfoque se utiliza para introducir una dependencia cuadrática en el parámetro de ubicación u, por lo cual, las estimaciones δ^2 y δ^3 de δ₂ y δ₃ se obtienen mediante regresión lineal múltiple de la variable X contra t y t², o regresión polinomial de segundo grado de X contra t. La nueva variable S₂ será:

Con las ecuaciones 16 a 19 aplicadas a la muestra de datos corregidos S₂ se definen los parámetros restantes k, a y δ₁ del modelo GVE₂. ^{El Adlouni y Ouarda (2008b)} compararon por simulación numérica tres procedimientos para obtener los cuatro y cinco parámetros de ajuste de los modelos GVE₁ y GVE₂: el método de máxima verosimilitud (^{Coles, 2001}; ^{Nadarajah, 2005}; ^{Katz, 2013}), el de máxima verosimilitud generalizada (^{Martins y Stedinger, 2000}; ^{El Adlouni et al., 2007}) y su generalización de momentos L. Los autores concluyeron que el último es mejor que el primero, por su sesgo y error medio cuadrático menores, pero no supera al segundo, sobre todo en registros con asimetría importante.

Pendiente δ₂ según criterio de Pranab Kumar Sen

Para verificar numéricamente el valor de δ₂, con la ecuación 34, se usó el criterio de ^{Sen (1968)}. Este utiliza la fórmula de la tendencia establecida en el test de Kendall, para estimar su pendiente, que se define como el valor mediano (MED) de las pendientes parciales, es decir:

X_j y X_i son los datos en los tiempos j e i, que representan años: n es el número de datos, entonces se tienen n(n - 1)/2 pendientes parciales. δ₂ tiene unidades de X/año y su signo positivo define tendencias ascendentes y el negativo descendentes. ^{Machiwal y Jha (2012)} indicaron que este criterio es resistente o robusto a la presencia de valores dispersos (outliers).

Ecuaciones de la regresión cuadrática

El polinomio cuadrático o parabólico para la tendencia no lineal entre los datos X_i y los años del registro t_i es (^{Campos-Aranda, 2003}):

cuyo arreglo matricial de sus ecuaciones normales es:

con solución:

donde: T es una matriz cuadrada con inversa T^-1, δ es un vector columna de incógnitas y X es otro vector columna de términos independientes. El coeficiente de determinación R² cuantifica el grado de correlación del ajuste polinomial, su numerador mide la mejora o reducción del error debido a la regresión y su denominador es la dispersión de la variable dependiente, es decir:

siendo:

Como Se² siempre es menor que Sx², entonces R² varía de cero a la unidad (cuando Se² = 0) y su raíz cuadrada corresponde al coeficiente de correlación polinomial (^{Campos-Aranda, 2003}).

Ajuste con momentos L de las distribuciones LOG₁, LOG₂, PAG₁ y PAG₂

^{Rao y Hamed (2000)} presentaron las ecuaciones del valor esperado de las distribuciones Logística Generalizada (LOG) y Pareto Generalizada (PAG), similares a la expresión 29 de la función GVE. Esto implica que la generalización de ^{El Adlouni y Ouarda (2008b)} del método de momentos L para ajustar FDP no estacionarias con parámetro de ubicación variable en el tiempo, también es aplicable en los modelos LOG y PAG.

Error estándar de ajuste

A mediados de la década de 1960 se estableció al error estándar de ajuste (EEA) como un indicador estadístico cuantitativo, ya que evalúa la desviación estándar de las diferencias entre los valores observados y los estimados con la FDP que se prueba; en este estudio son los modelos: GVE₁, GVE₂, LOG₁, LOG₂, PAG₁ y PAG₂. Su expresión es la siguiente (^{Kite, 1977}; ^{Pandey y Nguyen, 1999}):

en la cual: n y np son el número de datos de la muestra y de parámetros de ajuste, en este caso cuatro y cinco, X_i son los datos ordenados de menor a mayor y X^i son los valores estimados con la solución inversa x(F) o función de cuantiles, que utiliza el parámetro de ubicación variable, para una probabilidad de no excedencia estimada con la fórmula de Weibull (^{Benson, 1962}):

donde: m es el número de orden del dato, con 1 para el menor y n para el mayor.

Registros de valores máximos anuales por procesar

Cuatro registros de la literatura especializada se seleccionaron para ilustrar la aplicación de las FDP no estacionarias GVE, LOG y PAG con el método de generalización de los momentos L (^{El Adlouni y Ouarda, 2008b}); sus valores se exponen en el Cuadro 1. Estos registros tienen datos aproximados, leídos en las gráficas donde fueron expuestos. El primer registro lo mostró ^{Leclerc y Ouarda (2007)} como ejemplo de una serie de gastos (m³·s^-1) con tendencia descendente en una estación hidrométrica del Río Dartmouth en Canadá, con 630 km² de área de cuenca. El segundo registro es de precipitación máxima diaria (PMD) anual en milímetros, corresponde a la estación pluviométrica Andong de Corea del Sur (^{Park et al., 2011}) y fue seleccionado por su tendencia ascendente robusta.

El tercer registro procede de ^{El Adlouni y Ouarda (2008b)} y son datos generados aleatoriamente con una distribución GVE₂, los valores en sus parámetros de ajuste fueron: δ₁ = 10, δ₂ = -0.10, δ₃ = 0.005, a = 1.0 y k = -0.10 y corresponde a una serie de PMD con tendencia no lineal. El cuarto registro también procede de la referencia anterior, ^{El Adlouni et al. (2007)}, ^{Aissaoui-Fqayeh et al. (2009)} y ^{Ouarda y El Adlouni (2011)} la ha utilizado y corresponde a la PMD registrada en el periodo de 1952 a 2000 en la estación pluviométrica Tehachapi del sur de California, EUA. Estos valores guardan relación con SOI (Southern Oscillation Index) y por ello se emplearon como covariable.

Planteamiento general para los análisis probabilísticos

La relación de los valores de los datos (X_i ) en función del tiempo (t_i ) permite definir si existe tendencia lineal o cuadrática. Cuando la tendencia es lineal, se estiman los parámetros de ajuste (δ₂, δ₁, a, k) de las FDP no estacionarias GVE₁, LOG₁ y PAG₁, se cuantifica su EEA con la ecuación 48, para seleccionar la FDP que conduce al valor menor de tal indicador. Cuando la tendencia es curva se prueban las FDP no estacionarias GVE₂, LOG₂ y PAG₂; para ello, se estiman sus parámetros de ajuste (δ₂, δ₃, δ₁, a, k), se cuantifica su EEA, adoptando la que aportó el valor menor. En este proceso, puede adoptarse una FDP no estacionaria, con base en juicios de conveniencia; por ejemplo, las predicciones más desfavorables o críticas. Lo anterior se ilustra en la primera aplicación numérica.

En los análisis que usan el tiempo (t) como covariable, con base en las soluciones inversas (ecuaciones 15, ²¹ y ²⁵) de las distribuciones GVE, LOG y PAG, se calcularon predicciones con periodos de retorno (Tr) de 2, 25, 50 y 100 años, a través del periodo de registro, se aplicó variable el parámetro de ubicación u. La primera predicción corresponde a la mediana, ya que su probabilidad de no excedencia (F) es de 50 % y las tres siguientes se calcularon para probabilidades complementarias, y definir su valor superior e inferior (^{Park et al., 2011}); es decir, para los valores siguientes: F = 0.96 y F = 0.04 para el Tr de 25 años; F = 0.98 y F = 0.02 para el Tr de 50 años y F = 0.99 y F = 0.01 para el Tr de 100 años. Además, en estos análisis se hicieron predicciones para los años 2020, 2050 y 2100. Las predicciones correspondientes a Tr de 2, 25, 50 y 100 años, cuando la covariable es SOI, fluctúan según su magnitud y entonces sus valores máximos se indican en la magnitud extrema de SOI. En este caso, las predicciones para el futuro son posibles si se utilizan valores pronosticados de SOI.

Predicciones en una estación de aforos del río Dartmouth

Los datos mostraron tendencia lineal descendente y significativa, ya que DS = -2.2931 y DSc = 2.0484 (Figura 1). En el registro, EEA de las FDP no estacionarias GVE₁, LOG₁ y PAG₁ fueron 42.0, 43.1 y 41.6 m³·s^-1. Debido a la semejanza numérica de los EEA, los resultados de la función LOG₁ se adoptaron por conducir a las predicciones más grandes o críticas. Sus parámetros de ajuste fueron: δ₂ = -3.125, δ₁ = 227.919, a = 33.318 y k = -0.144; con coeficiente de correlación lineal de -0.3976 y pendiente de -2.8182, según criterio de Sen. El registro de 30 datos concluyó en 2003 (Cuadro 2) y el valor del tiempo t en 2020, 2050 y 2100 fue 47, 77 y 127.

Predicciones en la estación pluviométrica Andong

Este registro de PMD tuvo tendencia lineal ascendente y significativa, debido a que DS = 2.1568 y DSc = 2.0452 (Figura 2). El ajuste de FDP no estacionarias GVE₁, LOG₁ y PAG₁ condujo a EEA, en milímetros, de 9.8, 8.8 y 11.9. Para este registro se adoptó la función LOG₁, por lograr el menor EEA, sus parámetros de ajuste fueron: δ₂ = 1.1101, δ₁ = 73.805, a = 13.740 y k = -0.113, el coeficiente de correlación lineal fue 0.3718 y la pendiente 1.100, de acuerdo son el criterio de Sen. El registro de las predicciones abarcó 31 datos (Cuadro 3) y concluyó en el año 2007, la magnitud del tiempo t en 2020, 2050 y 2100 fue 44, 74 y 124.

Predicciones en una estación pluviométrica ficticia

El registro PMD tuvo tendencia curva ascendente (Figura 3). El ajuste de las FDP no estacionarias GVE₂, LOG₂ y PAG₂ condujo a EEA, en milímetros, de 2.4, 2.3 y 2.5. La función LOG₂ se adoptó, por lograr el EEA menor; sus parámetros de ajuste fueron: δ₂ = -0.3367, δ₃ = 0.0109, δ₁ = 12.828, a = 1.618 y k = -0.264, con coeficiente de correlación polinomial de 0.7415. En él se muestra una parte de las predicciones dentro del registro y a futuro en tres fechas prefijadas. El registro de 50 datos concluyó en 2010 (Cuadro 4), entonces la magnitud del tiempo t en 2020, 2050 y 2100 fue 60, 90 y 140.

Predicciones en la estación pluviométrica Tehachapi

El registro PMD anual en función de SOI (Figura 4) indica que no es posible seleccionar entre una tendencia descendente lineal o una curva, por lo que se aplicaron los dos ajustes. Las FDP no estacionarias GVE₁, LOG₁ y PAG₁ condujeron a valores del EEA, en milímetros, de 11.6, 11.4 y 12.2. Para este ajuste lineal se adoptó la función LOG₁, por obtener el EEA menor; sus parámetros de ajuste fueron: δ₂ = -10.2657, δ₁ = 28.376, a = 7.570 y k = -0.104, con coeficiente de correlación lineal de -0.5680. Parte de las predicciones dentro del registro se incluyen en el Cuadro 5.

Las FDP no estacionarias GVE₂, LOG₂ y PAG₂ condujeron a EEA en milímetros de 12.8, 12.7 y 13.3. Para este ajuste no lineal se adoptó la función LOG₂, por alcanzar el valor menor de EEA, sus parámetros de ajuste fueron: δ₂ = -8.7385, δ₃ = 2.8432, δ₁ = 25.936, a = 6.942 y k = -0.127 y coeficiente de correlación polinomial de 0.6279. Parte de las predicciones dentro de registro se incluyeron en el Cuadro 6.

La selección entre las dos FDP no estacionarias LOG₁ o LOG₂ no debe basarse en el EEA, sino en el mejor ajuste logrado con las parejas de datos de X_i y SOI_i , lo cual se alcanzó con un parámetro de ubicación con variación cuadrática con respecto a SOI, con 0.6274 como coeficiente de correlación polinomial. Además, el ajuste condujo a predicciones superiores en el valor extremo histórico de SOI de -3.2, relativo al año 1986.