4.1 Efecto Doppler

La causa de que un observador registre una frecuencia distinta de la que emite una fuente se debe al movimiento relativo, ya sea de la fuente, del observador o de ambos, a este fenómeno se le conoce como efecto Doppler.

Si v0 es la velocidad con la que se propaga una onda de frecuencia constante 𝜈 en un medio estacionario como el agua, el aire, etc., y v1 la velocidad de un observador que avanza hacia la fuente emisora considerada en reposo relativo con respecto a éste, la frecuencia ν' que medirá el observador será

En caso contrario, si el observador se aleja de la fuente registrará una frecuencia menor dada por

Considérense dos señales sinusoidales s₁(t) y s₂(t) de frecuencias f₁ y f₂ las cuales al ser completadas por su transformada de Hilbert se modelan de la forma siguiente

con i=1,2.

Usando la definición (1) para calcular la para este par de sinusoides, resulta

Esta integral se resuelve fácilmente usando la definición de la Delta de Dirac

y reparametrizando con t=2t queda

En general, con la expresión anterior es posible obtener información sobre que tanto difieren las frecuencias de las señales que entran a la transformada tomando el valor absoluto de la marginal t=0

En particular, para el caso en que las frecuencias de las señales difieran como en las Ecs. (21) y (22), tal que f1=v y f2=v', la expresión (26) toma la forma

donde el signo positivo corresponde al caso ν'>ν y el negativo a ν'<ν.

La posición y el signo de la delta de Dirac permiten conocer la velocidad y el sentido con los que se desplaza un objeto en movimiento sobre el cual incide una onda emitida por un emisor en reposo relativo, ver Fig. 2.

Figura 2 Posiciones de la delta para la marginal AF_S1S2 (0; v) de un objeto en movimiento que se acerca y que se aleja del emisor. N´otese que v ± (v¹=v₀)f₁ = 0. 

4.2 Superposición de armónicos

Considérese una función S:R→C dada por la suma de N_p funciones armónicas de frecuencias constantes y diferentes entre sí

Sustituyendo (28) en la Ec. (2) y dada la correspondencia Ec. (19), se obtiene en forma continua la AFs≡DAFs'

La primera sumatoria de la expresión anterior corresponde a los autotérminos y componen la traza sobre la recta ν=0 de la Fig. 4. Las siguientes generan los términos cruzados y producen trazas sobre las rectas ν=fi-fj con i,j=1,2,…,Np.

Figura 4 Proyección en el plano t - v del valor absoluto de la DAF para la se˜nal mostrada en la Fig. 3. 

Figura 3 Superposición de ondas armónicas de 20 Hz, 40 Hz, 60 Hz, 80 Hz y 100 Hz; muestreadas durante 0.8 s con una frecuencia de muestreo F_s = 640 Hz. 

De la expresión (29) es posible extraer las propiedades marginales dadas en (3) y (4), así, haciendo cero la frecuencia se obtiene la marginal temporal

Figura 5 Marginal DAFS (0; º) de la se˜nal de la Fig. 3, las deltas est´an centradas en ¨ 20 Hz, ¨ 40 Hz, ¨ 60 Hz y ¨ 80 Hz. 

alternativamente, si el tiempo se iguala a cero se resolverá para la marginal de frecuencia

La (31) contiene información sobre cómo se mapean las frecuencias contenidas en una superposición de armónicos bajo la transformada de ambigüedad, notamos que las δ(ν) se distribuyen en las diferencias fi - fj de la forma en que se muestra en la Tabla 1.

Tabla 1 Posiciones de las deltas de Dirac, ± (º), para la Mf correspondiente a la DAF de una superposición de armónicos, Ec. (28). 

4.3 Superposición de dos señales de frecuencia modulada linealmente

Las señales de frecuencias variables moduladas linealmente (FM), producen en el plano fase de ambigüedad trazas que cruzan por el origen con pendientes que definen la razón de cambio de las frecuencias.

Sea S(t) una señal compuesta de dos ondas cuyas frecuencias son moduladas con fi(t)=mit+bi, para mi y bi constantes

Figura 6 Suma de dos ondas de frecuencia modulada, muestreadas durante 0:0625 s, con una F_s = 4096 Hz. Las funciones de frecuencia son: f₁(t) = -4096t + 768 y f₂(t) = 4096t + 256. Ambas finalizan con 512 Hz. 

La de la Ec. (32) se deja escribir como

el primer término corresponde a las componentes de S(t) que generan las trazas de deltas de Dirac sobre las rectas 4mi - v, donde el signo de las pendientes mi define el aumento o disminución de la razón de cambio de las frecuencias. La función g(t,v) implica los términos cruzados, no dados explícitamente, que delinean las marcas entre los autotérminos de la Fig. 7. Para este ejemplo se definieron iguales amplitudes y modulaciones similares, razón por la cual las marcas de interferencia son simétricas en ambos ejes, cualquier diferencia entre sus definiciones producirá asimetría.

Figura 7 SAF del pulso dado en la Fig. 6. Las líneas diagonales sólidas trazadas sobre los auto términos corresponden a las rectas especificadas dentro de la imagen. 

5.1 Régimen Estable

Las señales generadas por las máquinas de rotación son habitualmente determinísticas y cuando trabajan en condiciones estacionarias, las vibraciones producidas pueden ser modeladas por sencillas expresiones matemáticas explícitas.

Durante un régimen de trabajo estable el eje de las máquinas de rotación gira a velocidad angular constante, por lo que se supondrá que las vibraciones de estos registros se comportan como funciones armónicas sinusoidales o como una superposición de ellas. Para probar lo antedicho en el apartado 4.2. se diseñó una función con la suma de armónicos, ahí se muestra y se describe la representación de la marginal para τ=0 que coincide con la correspondiente para el régimen (Ver Fig. 8).

Figura 8 Representación del proceso para obtener un estimador de máxima similitud empleando el registro de vibración a1) del Experimento L y las marginales para τ = 0 de las DAF involucradas. b) auto-DAF de a1); c) cruz-DAF de a1) con a2) diseñada con v = 0; d) cruz-DAF de a1) con a3) diseñada como suma de cosenos con las frecuencias resueltas en c). 

La ubicación y distribución de las máximas deltas de Dirac en la de la auto-DAF representan en forma simétrica la estructura conformacional de la señal, sin embargo, estos máximos no inciden en los valores de las frecuencias que realmente componen a la señal.

Figura 9 Registro de la señal diseñada a partir del estimador de máxima similitud de la Fig. 8d). 

La señal porque sus posiciones son las diferencias entre las frecuencias que la constituyen, como en la Tabla 1. Pero con el “performance” que provee la de la señal es posible generar un estimador de máxima similitud, buscando la posición de los máximos en la de una de la señal recibida del registro de vibración, con otra función diseñada con cualquier valor ν1∈(0,Fs/2). Resulta muy práctico que el valor a tomar sea ν1=0 ya que las ubicaciones de las deltas que se obtienen con la marginal de ésta cruzada corresponderán justamente a los valores buscados de frecuencia.

Del supuesto anterior, la señal del registro experimental tendrá la relación de suma de armónicos

y la función diseñada para v1 = 0, la forma

Consecuentemente la expresión de la marginal para τ=0 de la entre S1 y S2 será

lo que implica que podemos conocer las frecuencias fi mediante

Con la convención que en este estudio se ha adoptado, al respecto de que la señal de estudio sea la que entre a la correlación

como la conjugada compleja, la marginal de la resolverá un espacio antisimétrico con v1 = 0 y f1< 0. Para garantizar que las frecuencias que integran la señal son efectivamente las 𝑓 𝑖 buscadas, es preciso diseñar una función de suma de armónicos S3(t) con los valores de estas y efectuar una entre S1(t) y S3(t). El resultado final de esta operación constituye un estimador de máxima similitud si la resultante contiene, básicamente una delta en cero y deltas en las diferencias de frecuencias originarias de la del registro de estudio.

Al modelar una función que emule al registro de vibración, además de los valores de las frecuencias encontradas es necesario aproximar las contribuciones de las amplitudes de cada frecuencia en la de la original. Para ello deben proporcionare las amplitudes entre esta y las de la de la , tomando como factor de proporcionalidad a la razón entre la amplitud de la δ=0 de la primera y la amplitud de la max(δ≠0) de la segunda. Sin embargo, no es posible estipular un procedimiento porque la aproximación final podrá no contener a todas las frecuencias naturales del registro.

En la Fig. 8 se revelan gráficamente los resultados obtenidos al llevar a cabo los cálculos sobre el registro del régimen estable balanceado del Experimento L, como se describió en los párrafos anteriores de ésta subsección. Conforme se proporcionen mejor las amplitudes entre b) y c) las marginales b) y d) se asemejaran mas. Compárese la Fig. 8b) con la simulación en la Fig. 10.

Figura 10 Mf de la auto-DAF de la señal diseñada de la Fig. 9. Las deltas están ubicadas en los valores ±59:9365 Hz y ±119:873 Hz que se indican en 8d) y que corresponden a las frecuencias que componen el registro de estudio 8a1). 

5.2 Régimen Transiente

Entre las normas del fabricante de máquinas de rotación se especifican la forma o las formas de aceleración y desaceleración angular constante para que el desempeño de los ejes de rotación sea óptimo en condiciones estándares de trabajo. Los experimentos que aquí se analizan se realizaron con aceleración angular lineal, por lo que se supondrá que las vibraciones del eje tendrán un comportamiento similar al de las señales de FM (Ver Subsec. 4.3). Pero a diferencia del caso de la Subsección, en los registros experimentales se tienen fenómenos de resonancia con amortiguamiento debidos a que los materiales al vibrar variando las frecuencias en un rango determinado, coinciden y resuenan en algún armónico natural del sistema. Justamente, lo que se pretende al fijar el ritmo de cambio de la aceleración de los ejes es que las frecuencias no permanezcan demasiado tiempo en aquellas que provoquen resonancia en el material, disminuyendo con esto el riesgo de fractura.

En la representación de la SAF de la auto-DAF del registro de un régimen transiente de la RK4, se puede observar que el comportamiento de la traza formada por los autotérminos coincide con la de una señal de frecuencia modulada linealmente. El valor de la pendiente m puede aproximarse con buena precisión mediante el cálculo de los máximos en alguno de los cuadrantes de la por los que pasa la traza. Del argumento de la 𝛿 en la Ec. (33) se observa que el valor de la pendiente recaerá en m0=m/4, con lo que la velocidad de cambio calculada para las frecuencias ajustará al valor del registro.

A diferencia de la pendiente, el valor b de la ordenada al origen no se desprende directamente de la superficie de ambigüedad. Para ello, debe calcularse un estimador de máxima similitud con un procedimiento similar el descrito para el caso estable, computando las entre la señal de entrada y las funciones diseñadas para el proceso.

En el entendido de que el registro de entrada Snn=1N puede escribirse como

con m0 y 𝑏 constantes, se diseña la función Znn=1N utilizando la pendiente m0

Se computa la entre ambas

cuya marginal de frecuencia Mf es

de donde se desprende que b = -v. Empleando los valores encontrados de las constantes, se compone la función f(t)=m0t+b con la que se formula una segunda función que al combinarla con S(t) en la producirá la que corresponderá al estimador de máxima similitud. Y será tal, solo si en su ∣DAF(0,ν)∣, v = 0. Esto es, implicará que las constantes calculadas corresponden a las que caracterizan la señal del registro analizado. ν0≠0 es un indicador de que no hay similitud entre el registro y la función diseñada.

La forma del estimador con amplitud A = 1 será:

con t>t0=∣b/m0∣ que indica el tiempo desde el cual el cálculo de la transformada arroja datos válidos, por debajo de este valor las frecuencias podrían ser negativas.

En la Fig. 11 se detalla gráficamente el proceso para especificar la dinámica de las vibraciones del eje de rotación generadas durante el arranque balanceado para el Experimento L, claramente se observa en b que evolucionan con una aceleración angular lineal de FM. La δ en la marginal  c se encuentra desplazada del origen en la magnitud que da el valor de la ordenada b. En la imagen d se ajusta a cero la δ máxima. Por consiguiente se tiene un estimador de los parámetros en la superficie τ-ν y con ello la posibilidad de escribir una función que simule la dinámica.

Figura 11 a1) Registro de datos de un arranque balanceado del experimento L. b) SAF de la auto-DAF del registro, donde se calcula la velocidad de cambio experimental de las frecuencias, m=4 = m₀ = 1:9016. a2) Función de cambio de frecuencias diseñada por f(t) = m₀t. c) Mf de la cruz-DAF entre la función a2) y el registro a1), el desplazamiento fuera del origen marca el valor de la ordenada b = 5:0794. a3) Gráfico de la función diseñada con f(t) = m₀t+b. d) Marginal de frecuencia de la cruz-DAF entre las señales a3) y a1), la delta en cero confirma que la señal FM caracterizada por a3) aproxima los valores de los parámetros que definen el comportamiento de a1). Para una simulación con los datos obtenidos es preciso sumarle al tiempo t de la función a modelar, el tiempo t₀, que indica el tiempo a partir del cual el cálculo de la transformada arroja datos válidos, esto es, t > t₀ =j b=m₀ j= 2:6711. Por debajo de este valor las frecuencias serán negativas. 

5.3 Registros Compuestos

El monitoreo del desempeño en los diferentes regímenes de trabajo de los ejes de las máquinas de rotación para diagnosticar las condiciones físicas y dinámicas en las que se encuentran las barras, es indispensable para dar el mantenimiento preventivo necesario a los equipos. Los desbalances, que van desde los casi imperceptibles hasta aquellos que hacen oscilar al eje cerca de sus valores elásticos críticos, no pueden ser caracterizados con solo la función de ambigüedad, ya que un factor importante en el desbalace es la forma en la que se distribuye la energía en el plano fase tiempo-frecuencia. Sin embargo resulta interesante analizar, del Experimento A, el caso desbalanceado del régimen estable que se efectuó con el máximo desbalance controlado que permite la RK4 . El análisis del registro de la Fig. 12 produce la marginal de la Fig. 13 que muestra una composición diferente a la de las marginales para los casos estables porque no despliega una distribución de diferencias de frecuencias, sino que se dibuja una sola delta en el origen como en las señales de FM, y al representar la en la Fig. 14 se revela una señal compuesta por los dos regímenes transientes a dos diferentes tiempos, como tal, se hace necesario analizarlos por separado.

Figura 12 Registro de las vibraciones del eje bajo régimen estable para el Experimento A, con el máximo desbalance controlado que permite la RK4 . 

Figura 13 AF(0,v) del registro 12. Esta marginal, como se puede observar, no pertenece al tipo de representaciones que producen las vibraciones de un eje que gira con velocidad angular constante como en la Fig. 8b). Pero si coincide con las de las marginales auto-DAF de las señales de FM. 

Figura 14 Proyección en la superficie t - v de la auto-DAF de las vibraciones mostradas en las Fig. 12. Con trazas de auto términos diagonales similares a las dibujadas por las señales de FM. 

El análisis para aproximadamente la mitad izquierda del registro procede de manera similar al caso mostrado en la Fig. 11, la marginal de frecuencia para esta primera parte, equivalente a 11c), manifiesta menor número de perturbaciones y mayor amplitud que la de la mitad derecha del registro. Gráficos que no se publican en el presente trabajo.

Al calcular las pendientes y ordenadas al origen se encuentra que las vibraciones inicialmente evolucionan frenando y en la segunda mitad del tiempo de muestreo lo hacen acelerando. Esto lleva a suponer que aunque el régimen es estable, el gran desbalance provoca deslizamientos de la barra en las chumaceras, por lo cual el comportamiento puede considerarse estrictamente inercial. La proyección sobre el plano t-ν en la Fig. 14 presenta trazas similares a las obtenidas en la Fig. 7, sin embargo es notoria la diferencia de distribución de los términos cruzados debido a que la señal diseñada de la Fig. 6 es una suma de frecuencias moduladas, en tanto que en este caso se trata de una señal compuesta, por lo cual solo se tienen perturbaciones entre los cruces horizontales de los autotérminos.

Con las pendientes y las ordenadas al origen obtenidas del procesado del registro completo, la de la Fig. 15 es generada con la siguiente función diseñada para la simulación:

Figura 15 Proyección en la superficie t - v de la auto-DAF de la simulación SC(t). Como señal compuesta, las perturbaciones únicamente se delinean entre los cruces horizontales de los auto términos.