Local topology and universal unfolding of the energy surfaces at a crossing of unbound states

E. Hernández*, A. Jáuregui, A. Mondragón, and L. Nellen

*Instituto de Física, UNAM, Apdo. Postal 20–364, 01000 México D.F., México

Departamento de Física, Universidad de Sonora, Apdo. Postal 1626, Hermosillo, Sonora, México

Instituto de Ciencias Nucleares, UNAM, Apdo. Postal 70–543, 04510 México D.F, México.

Recibido el 19 de enero de 2005
Aceptado el 5 de marzo de 2005

Abstract

We show that when an isolated doublet of unbound states of a physical system becomes degenerate, the eigenenergy surfaces have an algebraic branch point of rank one and branch cuts in its real and imaginary parts starting at the same exceptional point but extending in opposite directions in parameter space. Associated with this singularity in parameter space, the scattering matrix, S (E), and the Green's function, G_l ⁽⁺⁾ (k; r, r'), have one double pole in the unphysical sheet of the complex energy plane. We characterize the universal unfolding or deformation of a typical degeneracy point of two unbound states in parameter space by means of a universal 2–parameter family of functions which is contact equivalent to the pole position function of the isolated doublet of resonances at the exceptional point and includes all small perturbations of the degeneracy condition up to contact equivalence. The rich phenomenology of crossings and anticrossings of energies and widths, as well as the sudden change in shape of the S(E)—matrix pole trajectories, observed in an isolated doublet of resonances when one control parameter is varied, is fully explained in terms of the topological properties of the energy hypersurfaces close to the degeneracy point.

Keywords: Resonances; nonrelativistic scattering theory; multiple resonances; Berry's phase.

Resumen

Demostramos que, cuando un doblete aislado de estados no–ligados de un sistema físico esta degenerado, las superfices de la autoenergía tienen un punto ramal de rango uno y cortes ramales en las partes real e imaginaria que empiezan en el mismo punto excepcional pero se extienden en direcciones opuestas en el espacio de parámetros. Asociado a esta singularidad en el espacio de parámetros, la matriz de dispersión, S(E), y la función de Green, G_l ⁽⁺⁾ (k; r, r'), tienen un polo doble en la hoja no física del plano complejo de la energía. Caracterizamos el despliegue universal o deformacion de un punto de degeneración de dos estados no ligados típico, en el espacio de los parámetros, por medio de una familia universal de funciones que depende de dos parámetros y que es equivalente por contacto a la función de posición del polo del doblete aislado de resonancias en el punto excepcional e incluye todas las perturbaciones pequeñas de las condiciones de degeneración, hasta equivalencia por contacto. La rica fenomenología de cruces y anticruces de energías y semianchuras, así como el cambio repentino de la forma de las trayectoria de los polos de la matriz S(E), que se observa en un doblete aislado de resonancias cuando un parámetro de control se hace variar, se explica completamente en términos de las propiedades topológicas de las hipersuperficies de la energía cerca del punto de la degeneración.

Descriptores: Resonancias; Teoría de la dispersión; Resonancias dobles; Fases geométricas y topológicas.

PACS: 25.70.Ef; 03.65.Nk; 33.40.+f; 03.65.Bz

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Acknowledgments

This work was partially supported by CONACyT Mexico under contract number 40162–F and by DGAPA–UNAM contract No. PAPIIT:IN1 16202

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