Enseñanza

 

Mathieu functions revisited: matrix evaluation and generating functions

 

L. Chaos-Cador¹ and E. Ley-Koo²

 

Instituto de Física, Universidad Nacional Autónoma de México. Apartado postal 20-364, 01000 México, D.F., México. e-mail: ¹ lorea@fisica.unam.mx, ² eleykoo@fisica.unam.mx

 

Recibido el 24 de octubre de 2001.
Aceptado el 13 de noviembre de 2001.

 

Abstract

An updated didactical approach to Mathieu functions is presented as an alternative to the orthodox treatment. The matrix evaluation of the angular Mathieu functions is not only pertinent, but long over due, after seventy five years of matrix quantum mechanics and with the availability of computing tools. Plane waves are identified as generating functions of the Mathieu functions, showing their explicit expansions. Some mathematical and physical applications are illustrated.

Keywords: Mathieu functions; matrix evaluation; generating functions.

 

Resumen

Se presenta un enfoque actualizado y didáctico para las funciones de Mathieu como una alternativa a la presentación ortodoxa. La evaluación matricial de las funciones de Mathieu angulares es no solamente pertinente sino retrasada después de setenta y cinco años de mecánica cuántica matricial y con la disponibilidad de herramientas computacionales. Se identifican las ondas planas como funciones generadoras de las funciones de Mathieu, mostrando sus desarrollos explícitos. Se ilustran algunas aplicaciones matemáticas y físicas.

Palabras clave: Funciones de Mathieu; evaluación matricial; funciones generadoras.

 

PACS: 02.30.Jr; 02.30.Hq; 02.30.Gp

 

DESCARGAR ARTÍCULO EN FORMATO PDF

 

References

1. E. Mathieu, J. Math. Pures Appl. 13 (1868) 137.         [ Links ]

2. E. Heine, Handbuch der Kugelfunktionen, (1878/1881), Vols. 1,2.         [ Links ]

3. G. Floquet, Ann. Ecole Norm. Sup. 12 (1883) 47.         [ Links ]

4. G.W. Hill, Acta Math. 8 (1886) 1.         [ Links ]

5. M. Abranowitz and I.A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (Dover, New York, 1965).         [ Links ]

6. E.L. Ince, Ordinary Differential Equations, (Dover, New York, 1956).         [ Links ]

7. E.T. Whittaker and G. N.Watson, A Course of Modern Analysis, (Cambridge Univ. Press, 1927).         [ Links ]

8. A. Erdelyi, W. Manus, F. Oberhettinger, and F.G. Tricomi, Higher Transcendental Functions, (McGraw Hill, New York, 1955), Vol. 3.         [ Links ]

9. P.M. Morse and H. Feshbach, Methods of Theoretical Physics, (McGraw Hill, New York, 1953).         [ Links ]

10. J. Mathews and R.L. Walker, Mathematical Methods of Physics, (Benjamin, New York, 1965).         [ Links ]

11. P. Humbert, Functions de Mathieu et de Lame; (Paris) (1926).         [ Links ]

12. S.C. Dhar, Mathieu Functions, (Calcutta Univ. Press, Calcutta, 1928).         [ Links ]

13. M.J.O. Strutt, Lamesche, Mathieusche, und verwandte Funktio-nen in Physik und Technik (1932).         [ Links ]

14. J.A. Stratton, P.M. Morse, L.J. Chu, and R.A. Hutner, Elliptic Cylinder and Spheroidal Wave Functions, (Wiley, New York, 1941).         [ Links ]

15 . N.W. McLachlan, Theory and Application of Mathieu Functions, (Clarendon Press, Oxford, 1947).         [ Links ]

16. J. Meixner and F.W. Schafke, Mathieusche Functionen and Spharoid Funktionen, (Springer-Verlag, Berlin, 1954).         [ Links ]

17. L. Ruby, Amer. J. Phys. 64 (1996)39.         [ Links ]

18. J.C. Gutierrez Vega, Ph.D. Thesis, Instituto Nacional de Astrofísica (Óptica y Electrónica (2000).

19. L. Chaos-Cador and E. Ley-Koo, "Átomo e Ion Molecular de Hidrogeno Bidimensionales Confinados en Elipses," XLIV Congreso Nacional de Física, 1SE3, 2001.         [ Links ]

20. E.L. Ince, Proc. Roy. Soc. (Edimburgh) 52 (1932) 355.         [ Links ]