INTRODUCCIÓN

De acuerdo con el Programa de Estudios 2011 Cuarto Grado de la Secretaría de Educación Pública de México (SEP), la formación matemática que reciba el niño en la escuela puede traer como consecuencias: “el gusto o rechazo, la creatividad para buscar soluciones o la pasividad para escucharlas y reproducirlas, la búsqueda de argumentos para validar resultados o la supeditación de éstos al criterio docente” (^{SEP, 2011, p. 65}), a los efectos del escenario planteado, las tendencias didácticas establecen que: es necesario utilizar situaciones problemáticas que impliquen los conocimientos y habilidades que se quieren desarrollar; presenten obstáculos, que su solución requiera de sus conocimientos previos para la reestructuración -ampliar, modificar, rechazar o reutilizar- de lo que se sabe. Ante tales consideraciones, toma especial relevancia el diseño de estrategias para la enseñanza de las sucesiones en el cuarto grado de educación primaria.

DESARROLLO

De acuerdo con ^{Merino, Cañadas y Molina (2013)} la generalización es la clave para la generación del conocimiento matemático, y al respecto Polya 1966 (citado por ^{Merino, Cañadas y Molina, 2013}) enfatiza que el reconocimiento de patrones es esencial en la habilidad para generalizar.

El estudio de patrones constituye una forma productiva para desarrollar el pensamiento algebraico en los grados elementales (Ferrini, Lappan y Phillips, 1997 citados por ^{Osorio 2012}); ^{Butto y Rojano (2010)} señalan que el trabajo con patrones en edades tempranas debe incluir:

La exploración de patrones y funciones que permitan al estudiante: descubrir, extender, analizar y crear diversos patrones; describir y representar relaciones con tablas, gráficas y reglas; analizar relaciones funcionales para explicar cómo un cambio en una cantidad provoca un cambio en la otra; y usar patrones y funciones para representar y resolver problemas (p.62-63).

Las tareas de generalización, implican la búsqueda de patrones y su solución demanda encontrar un elemento a partir de otro conocido (^{Merino, Cañadas y Molina, 2013}). Cuando los alumnos estudian patrones emplean el razonamiento inductivo, debido a que parten de situaciones particulares en las que se observan regularidades que tienden a generalizar (^{Osorio, 2012}) y en este sentido, cabe destacar lo señalado por ^{Cañadas, Castro y Castro (2008)} la inducción es un poderoso medio para realizar descubrimientos matemáticos.

Consecuentemente, las sucesiones forman parte de los contenidos de estudio de la educación primaria en México en el eje de contenidos llamado “Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico”. Este eje conlleva la exploración de propiedades aritméticas que en la secundaria podrán ser generalizadas con el álgebra. En lo que respecta al cuarto grado, las sucesiones no constituyen un tema en sí, se incluyen en el estudio del rubro números y sistemas de numeración; el concepto se trabaja de manera intuitiva y la secuencia de contenidos es gradual.

Primero, se abordan regularidades en sucesiones con progresiones aritméticas y se buscan términos faltantes. Posteriormente, se resuelven problemas que implican sucesiones compuestas y se determinan patrones en figuras compuestas hasta con dos variables. Finalmente, se identifican y aplican regularidades de sucesiones con figuras, es decir progresiones geométricas (^{SEP, 2011}).

Por otra parte, de acuerdo con Bruner (citado por ^{Rivas, Fajardo, y Villalba, 2011}) el juego es una forma de usar la inteligencia y, casi todo, puede permitir su existencia dentro de ciertos límites (^{Arana, y Sánchez-Navarro, 2009}). Tradicionalmente la matemática ha guardado una estrecha relación con el juego, por dos cuestiones primordiales: a) recrear el quehacer interno de la matemática y sus virtudes para su enseñanza; entre estas últimas destacan: motivar al alumno con situaciones atractivas y recreativas, desarrollar habilidades y destrezas, dejar atrás la rigurosidad tradicional (^{De Guzmán, 2007}).

El juego como contenido implica definir los modos, las intenciones, los espacios, los momentos y las intervenciones docentes, sin perder de vista su significado intrínseco, esparcimiento y recreación (^{Sarlé, 2013}).

Atendiendo a los planteamientos anteriores, surgió “un minuto para matemáticas”. En una primera fase se diseñó con el objeto de contribuir en el aprendizaje de sucesiones aritméticas; se implementó bajo la siguiente secuencia en un grupo de 4° grado de educación primaria en el ciclo escolar 2014-215.

De esta primera fase se puede inferir dos momentos bien diferenciados: la construcción y análisis. En referencia al primero, es posible señalar que los alumnos estaban motivados y trabajaron de manera colaborativa, ya que exploraron distintas formas de superar los retos y las dificultades que esto representó (establecimiento de roles, sortear con la resistencia, el equilibrio, entre otras); se observó un diálogo constante, ver Figura 1.

En el segundo momento, la indisponibilidad de los vasos obligó a los equipos a implementar diversas estrategias para pasar de la acción a la construcción de ideas. Los resultados muestran que sólo dos de los tres equipos completan la tabla, proporcionando un resultado correcto en los términos 1°, 2°, 3°, 4°, 5°, 6°, 7° y 8°; así mismo proporcionaron argumentos en sus hojas de trabajo.

Figura 1 Equipos trabajando de manera colaborativa. 

En relación a los primeros términos (1°, 2°, 3°, 4° y 5°) se observa en los tres equipos la experiencia previa de los niños, dado que no hubo necesidad de realizar alguna reconstrucción, mientras que en los términos restantes (6°, 7°, 8° y 9°) se presentaron dificultades y un trabajo singular en cada equipo.

Equipo 1: sostiene la realización de sumas para determinar cada término, a pesar de ello se aprecia error en el último término. No encontraron el patrón y justificaron su proceder con lenguaje común al señalar “contamos los vasos y supimos el resultado”.

Figura 2 Hoja de trabajo equipo 1. 

Equipo # 2: no completa la sucesión adecuadamente ni presenta planeamientos de estrategias.

Figura 3 Hoja de trabajo equipo 2. 

Equipo # 3: completa acertadamente 9 de los 10 términos de la sucesión, asume el uso de cálculos “multiplicación y suma” para determinar los términos faltantes. De la figura 4 (ver página siguiente) se puede inferir que en el término 10° el equipo falla, al relacionar 100 como múltiplo de 10 y como tal, aplicarle el mismo procedimiento que la multiplicación por 10, aumentarle un cero al número que se multiplicó, es decir, 55 × 10 = 550, aunque el resultado es incorrecto el equipo utilizó argumentos matemáticos.

De estos fragmentos podemos inferir que se parte de un conocimiento ya adquirido, que los errores cometidos están relacionados con asociaciones incorrectas y falta de validación del resultado.

Figura 4 Hoja de trabajo equipo 3. 

Simultáneamente a su desarrollo, la consigna causó gran interés en la comunidad escolar a tal grado que en el siguiente ciclo escolar 2015-2016 se implementó una segunda fase. Al comienzo el propósito persistía, contribuir en el aprendizaje de las sucesiones aritméticas, no obstante, la fase tomó un rumbo radical, transformar estos momentos de diversión y aprendizaje en una propuesta de divulgación de las matemáticas.

A partir del análisis de la primera fase “un minuto para matemáticas” cambia, se reconoce el peso de las matemáticas en contexto para su divulgación, se introducen actividades y se pone el acento en la incorporación de niños monitores para mostrar la matemática a través de su perspectiva. Y para tal efecto se llevaron a cabo los siguientes procesos:

Selección de los monitores. Se establecieron dos criterios, actitudes positivas y habilidades matemáticas.

Diseño. Se reflexionó y analizó con los monitores la presencia de las matemáticas en la consigna y como mostrarlas a la comunidad de manera sencilla; se realizaron adecuaciones y se estableció validarla a partir de la percepción de los participantes y sus producciones (ver anexo 2).

Implementación. Se llevó a cabo con los grupos de cuarto grado en el patio escolar, los participantes y monitores se mostraron entusiastas en todo momento.

Figura 5 Los grupos de 4° realizando retos con orientación de los monitores 

Validación. Se establecieron dos unidades de análisis para validar la propuesta: identificación de términos faltantes y relevancia. La primera de ellas se determinó a partir del análisis de la hoja de trabajo y la segunda mediante una encuesta de percepción (anexo 2).

De acuerdo a las producciones de los equipos, para ninguno de ellos resultó evidente la regularidad numérica, esto puede deberse a la familiaridad que tenían los niños con las sucesiones aritméticas, no entendieron el cuestionamiento.

En el análisis realizado a los términos de las sucesiones, se encontró que 62% de los equipos completó acertadamente la serie, el resto incurrió en errores. Los errores fueron principalmente de cálculo (23%) y aplicación de reglas (15%).

Se puede notar que en los casos 1, 2 y 3 los resultados provienen de errores al sumar y la falta de verificación.

Figura 6 Caso 1. 

Figura 7 Caso 2. 

Figura 8 Caso 3 

Por su parte en los casos 4 y 5, el error se produce por la deformación de la regla. Se encontró que en el primer caso el equipo definió como patrón (n+1), mientras que en el último, el hecho fue duplicar, del tal forma que la regla se determinó como 2n

Figura 9 Caso 4. 

Figura 10 Caso 5. 

Paralelamente se determinó la motivación y el trabajo en equipo, sobre estos se encontró que todos los participantes gustaron de la actividad y sólo 7% no volvería a hacerlo (anexo 3).

Finalmente, la última fase se desarrolló fuera del contexto escolar, en el marco del concurso Expociencias Nayarit 2015 que se llevó a cabo el día 15 de octubre de 2015 en el Museo Interactivo de Ciencias e Innovación de Nayarit.

Figura 11 Participación en el concurso Expociencias. 

Esta etapa se caracterizó por la divulgación, los niños dieron a conocer la propuesta, sus resultados, así como los aprendizajes que se promueven. Derivado de la presentación, la participación fue muy nutrida y atrajo el interés de grandes y chicos, fue sin duda una actividad muy enriquecedora tanto para ponentes como asistentes.

En cuanto a los asistentes, podemos señalar que vivieron una experiencia recreativa que les causó grandes expectativas, superar sus propias marcas y las de otros; en esta etapa se consideraron retos individuales diferenciados para niños y adultos, inicialmente se invitaba a cada jugador a superar el reto, sí el jugador lo deseaba podía hacerlo varias veces, posteriormente se analizaban los tiempos y se determinaba si podía formar parte del tablero de records; seguidamente se les entregaba una hoja para completar la sucesión. Finalmente, se utilizaban los resultados planteados para exponer cómo en el juego estaban presentes las matemáticas.

Figura 12 Participación de los espectadores. 

Por su parte los ponentes tuvieron la oportunidad de divertirse divulgando la ciencia y a la vez, desarrollar habilidades para transitar del lenguaje común al lenguaje matemático.

CONCLUSIONES

Los resultados aquí registrados muestran la factibilidad del juego para iniciar a los niños en las tareas de generalización, esto en vista de la experiencia que desarrollaron al explorar patrones numéricos, la cual permitió identificar qué sucedía con la cantidad de vasos al variar el nivel de la pirámide; esta práctica didáctica constituye un escenario para el análisis de la construcción del conocimiento, para el trabajo colaborativo y la divulgación de la ciencia de manera divertida y con materiales cotidianos. No obstante, los resultados obtenidos, conviene señalar que estos no dependen propiamente del juego, sino de la posibilidad de propiciar un ambiente de reflexión y participación activa.