3.1. Tiempo externo y tiempo de eventos

En una serie de publicaciones Paul ^{Busch (1990a}, ^1990b, ²⁰⁰⁸) sistematiza diversos estudios realizados sobre el tiempo en mecánica cuántica. Este autor distingue entre un tiempo externo, un tiempo dinámico y un tiempo de eventos. En la presente publicación, se adopta una distinción de dos roles que asume el tiempo en cuántica. Por un lado, el tiempo es el parámetro t que se encuentra en la ley dinámica de la teoría, la ecuación de Schrödinger, y al que se denominará tiempo externo, ya que se corresponde con el tiempo que se mide en el laboratorio con un reloj externo e independiente del sistema bajo estudio. Por ejemplo, con este tiempo se mide el intervalo entre el instante de preparación y el instante de medición para especificar el parámetro t correspondiente a un arreglo experimental particular.⁴ Por otro lado, hay circunstancias donde cabe considerar al tiempo como un observable del sistema: imaginemos que lo que se pretende medir es precisamente el tiempo en que un sistema adquiere un determinado valor para un observable, por ejemplo, el tiempo en que se activa un detector cuando una partícula pasa por una región espacial determinada (^{Busch 2008, p. 96}). Se conoce como evento al hecho físico que consiste en la adquisición de un valor definido para cierto observable en un instante determinado. Se puede formalizar de la siguiente manera:

El evento QS:qkS,τ1 representa la adquisición, en el instante τ1, del valor definido qk para el observable Q de un sistema S.

Se llamará en adelante tiempo de eventos al tiempo definido a partir de la ocurrencia de una secuencia de eventos. A diferencia del tiempo externo, que en mecánica cuántica representa solamente un parámetro, el tiempo de eventos tiene especial relevancia física, ya que en la práctica todo reloj depende de una serie de eventos observables: sean las oscilaciones de un péndulo, de un cristal o de un átomo. Sin embargo, el tiempo de eventos no está bien definido en cuántica. Su ley dinámica solo asigna una probabilidad a cada evento posible. En general, no brinda información sobre el tiempo en que de hecho ocurren los eventos. La teoría no establece nexo alguno entre el tiempo externo y el tiempo de eventos y no es posible en todos los casos construir en el formalismo de la teoría un operador que represente al tiempo como un observable, punto que se tratará con detalle a continuación.

3.2. Tiempo y energía en mecánica cuántica

Otra peculiaridad del tiempo en mecánica cuántica es que si fuera definible un operador T que lo represente debería entrar en una relación de indeterminación con el operador Hamiltoniano (H), que representa la energía. En mecánica cuántica, en general, existe una relación de indeterminación entre observables incompatibles. Tomemos como ejemplo los observables posición y momento, representados respectivamente por los operadores Q y P. La relación de indeterminación entre ellos se expresa como una desigualdad

Significa que el producto de la desviación respecto del valor medio de Q y la desviación respecto del valor medio de P no puede ser menor a una constante. Como consecuencia, mientras menor sea la dispersión de los valores posibles para uno de los observables, mayor será la dispersión para el otro. En el límite en que uno de los observables adquiere valor definido, la desviación respecto al valor medio se reduce a cero y el valor del otro observable queda completamente indeterminado. Esta relación de incompatibilidad entre Q y P es en realidad un caso particular de la relación de indeterminación entre cualquier par de observables O1 y O2

En el caso de la indeterminación entre energía y tiempo hay algunas peculiaridades que es necesario mencionar. Estas magnitudes forman parte de la ley dinámica de la teoría, la ecuación de Schrödinger:

donde Ψ es el estado del sistema, ℏ es la constante reducida de Planck e i es la unidad imaginaria. Puede apreciarse que el operador Hamiltoniano (H), que representa la energía, determina el cambio de estado del sistema y con ello la evolución dinámica de la distribución de probabilidad para el resto de los observables. Si el sistema tiene un Hamiltoniano que no varía con el tiempo, como sucede en un sistema cerrado, se obtienen los autoestados de la energía a través de la ecuación de autoestados de 𝐻, también conocida como la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:

Las soluciones a esta ecuación son los estados en que la energía tiene un valor definido, es decir, los estados estacionarios o autoestados de la energía. En el límite en que el sistema se encuentra en un autoestado de la energía, la distribución de probabilidad para el resto de los observables no podrá variar dinámicamente. Esto significa que cuando un sistema tiene valor definido de energía su situación temporal queda indeterminada, elemento de particular importancia en el contexto de la interpretación modal-hamiltoniana que se presentará en la próxima sección. Este hecho puede llevar a plantear una relación de indeterminación entre energía y tiempo análoga a la anteriormente mencionada entre los observables posición y momento.

Sin embargo, la relación de indeterminación entre energía y tiempo no puede establecerse en los mismos términos ni con el mismo grado de generalidad. Por un lado, Aharonov y Bohm (^{Busch 2008, p. 81}) probaron que en una medición de energía se pueden obtener resultados precisos en un intervalo arbitrariamente corto de tiempo externo. Por otro lado, un hipotético operador T que represente al tiempo de eventos conjugado con el Hamiltoniano permitiría establecer la relación de indeterminación como un caso particular de la expresión (2). Sin embargo, en 1933 Pauli probó que un operador tal es inconsistente con la existencia de un límite inferior para los valores posibles de la energía en los sistemas cuánticos. Solo es posible su formulación en casos específicos, dependiendo de la estructura del Hamiltoniano (^{Busch 2008, pp. 75-76}). Entonces, en general, el tiempo de eventos de la mecánica cuántica no puede tener lugar en el espacio de observables que define a un sistema cuántico. De este modo, no es posible construir el vínculo entre el tiempo externo y el de eventos ya que este último no está bien definido en esta teoría. El tiempo de eventos no puede referenciarse en general al tiempo externo, a diferencia de lo que ocurre en el ámbito clásico, en que la variación instantánea del estado de un sistema representa necesariamente la ocurrencia de un evento.

A pesar de la dificultad de construir un operador para el tiempo, sí es posible formular relaciones de indeterminación entre energía y otros observables incompatibles. En la práctica, se puede utilizar como un reloj la variación dinámica de la distribución de probabilidad de alguno de los observables incompatibles con la energía. A saber, si el observable elegido es R, se puede definir un tiempo característico τR y establecer una relación de indeterminación energía-tiempo de la forma τRΔE≥12ℏ (relación Mandelstam-Tamm).⁵ De todos modos, no se puede identificar el tiempo característico τR como un sustituto del tiempo externo t, ya que depende solamente de un observable particular (R) y puede a su vez variar respecto a t (^{Ballentine 1998, p. 345}).

3.3 Sustancialismo contra relacionalismo en mecánica cuántica

En esta subsección se retoma la discusión sustancialismo-relacionalismo respecto al tiempo en mecánica cuántica. El tiempo externo aparece en la ecuación de Schrödinger como un parámetro que debe medirse con un reloj externo, es decir, permite especificar cierta característica del arreglo experimental. Por un lado, asumir el enfoque sustancialista respecto al tiempo externo en cuántica resulta no problemático y hasta natural, habida cuenta de su carácter de parámetro que debe especificarse por medio de un dispositivo externo.

Por otro lado, si se considera que el enfoque sustancialista resulta metafísicamente inconveniente y se prefiere asumir el enfoque relacionalista se deben enfrentar las dos dificultades siguientes:

La no definibilidad del tiempo de eventos pareciera no dejar otro camino que el sustancialismo o un relacionalismo temporal que deje fuera precisamente al tiempo físicamente relevante: el tiempo de eventos. Sin embargo, si a la mecánica cuántica se añaden ciertos postulados interpretativos, será posible definir el tiempo de eventos, es decir, ubicar los instantes de ocurrencia de eventos en referencia a una de las variables dinámicas o a un tiempo externo. La interpretación a la que se hace mención es la modal-hamiltoniana, especialmente apta para este cometido ya que en ella la relación de indeterminación entre tiempo y energía cumple un papel central. En la siguiente sección se ofrecerá con cierto detalle una descripción de la interpretación. Finalmente, en la última sección, se propondrá una definición de tiempo de eventos acorde a la interpretación y se pondrá en evidencia su carácter relacional.

Corresponde mencionar que existen reformulaciones de la mecánica cuántica en las que se introducen modificaciones, con el resultado de que el tiempo de ocurrencia de eventos cuánticos queda definido por la dinámica de la teoría y resulta ser el mismo que el tiempo externo. Nos referimos a las reformulaciones de colapso espontáneo, por ejemplo, la propuesta por Ghirardi, Rimini, y Weber⁶ o a las teorías cuánticas de variables ocultas como la de Bohm. En este trabajo nos proponemos expandir los alcances de las interpretaciones modales, en particular los de la modal-hamiltoniana, por este motivo intentaremos establecer un vínculo entre el tiempo externo y el tiempo de eventos en los términos de trabajo que propone esta interpretación. Es decir, sin introducir ningún tipo de colapso ni trayectorias.

4.1. Postulados básicos

Las interpretaciones modales son una familia de interpretaciones que ponen el foco en las propiedades del sistema y en su tratamiento posibilista. Surgieron en la década de 1970 con los trabajos de ^{van Fraassen (1972)} y su desarrollo continúa hasta hoy (^{Vermaas 1999}, ^{Lombardi y Dieks 2021}). Un punto en común entre ellas es que son interpretaciones que adjudican propiedades definidas a los sistemas cuánticos en todo momento con independencia de que se realicen mediciones sobre ellos, es decir, son interpretaciones realistas. Por este motivo, consideran que la medición cuántica es una interacción como cualquier otra. El otro punto en común es la distinción entre la categoría ontológica de lo actual y de lo posible. Por un lado, los valores actuales, es decir, los valores que efectivamente adopta el sistema, son determinados por una regla de actualización que es diferente en cada interpretación. Por otro lado, el estado dinámico del sistema se limita a representar las probabilidades para los posibles valores de las propiedades del sistema. Desde el punto de vista ontológico, la novedad con respecto a otras interpretaciones es que se tiene en cuenta a la posibilidad como un elemento constituyente en la construcción del mundo cuántico.

Las discusiones sobre interpretación de la mecánica cuántica casi siempre se enmarcan en el formalismo del espacio de Hilbert, según el cual un sistema cuántico está representado por un vector de ese espacio. En este enfoque, el espacio de Hilbert es el elemento básico de la teoría: los estados, representados por vectores, son lógicamente previos; los observables son lógicamente posteriores ya que están representados por operadores que actúan sobre esos vectores previamente definidos. En general, esta prioridad lógica de los estados sobre los observables está implícitamente dotada de un contenido ontológico: los sistemas cuánticos pertenecen a la categoría ontológica de individuo y los observables pertenecen a la categoría ontológica de propiedad; y dada la prioridad metafísica de los individuos sobre las propiedades, la prioridad ontológica de los sistemas con sus estados sobre los observables resulta ser “natural”. Sin embargo, la interpretación modal-hamiltoniana adopta un enfoque distinto.

La MHI propone una aproximación al problema basada en el formalismo algebraico de la mecánica cuántica, que es la contraparte formal natural de una ontología de propiedades, desprovista de la categoría ontológica de individuo. El formalismo algebraico no hace uso a priori de los espacios de Hilbert,⁷ sino que desde este punto de vista un sistema cuántico está representado por una *-álgebra de observables. Estos observables no actúan en ningún espacio de Hilbert, es decir, no se definen como objetos matemáticos que se aplican a algo, sino que se los define en forma abstracta. Por su parte, los estados se definen como los funcionales que actúan sobre los observables para dar lugar al valor medio (^{Earman 2015}). Si la prioridad lógica de los observables sobre los estados se transfiere al dominio ontológico, el álgebra de los observables resulta encarnar la representación de las componentes elementales de la ontología. En la MHI se ha propuesto una ontología de propiedades para la mecánica cuántica en la que las contrapartes ontológicas de los observables son instancias de propiedades-tipo universales, cada una de las cuales tiene propiedades-caso posibles, representadas por los autovalores del observable correspondiente. A su vez, dada una instancia de una propiedad-tipo universal, solo una de sus posibles propiedades-caso se vuelve actual. La diferencia con la teoría del haz tradicional es que los haces de propiedades no se comportan en absoluto como individuos, ya que pertenecen a una categoría ontológica diferente. Ni el principio de Leibniz de la identidad de los indiscernibles ni la categoría kantiana de cantidad se aplican a ellos, ya que cuando se combinan, no pueden ser contados ni reidentificados en el paquete compuesto (^{Lombardi, Fortin, Ardenghi y Castagnino 2010, pp. 76-77}).

La MHI tiene una formulación extensa, pero se introducen aquí solo tres postulados interpretativos básicos, que serán suficientes para indicar luego el modo en que la MHI da cuenta de los problemas que se tratarán en este artículo.

Postulado de sistemas (SP, en inglés):

Un sistema cuántico S está representado por un par (O, H) tal que (i) O es el espacio de operadores autoadjuntos que representa los observables de un sistema, (ii) H∈O es el Hamiltoniano independiente del tiempo del sistema S, y (iii) si ρ0∈O' (donde O' es el espacio dual de O) es el estado inicial de S, este evoluciona de acuerdo con la ecuación de Schrödinger.

Postulado de sistemas compuestos (CSP, en inglés):

Un sistema cuántico representado por SS:(O, H), con estado inicial ρ0∈O', es compuesto cuando puede ser particionado en dos sistemas cuánticos S1:(O1,H1) y S2:(O2,H2) tal que (i) O=O1⊗O2, y (ii) H=H1⊗I2+I1⊗H2 (donde I1 e I2 son los operadores identidad en los correspondientes espacios producto tensorial). En este caso, decimos que S1 y S2 son subsistemas del sistema compuesto S=S1∪S2. Si el sistema no es compuesto, entonces es elemental.

Regla de actualización (AR, en inglés):

Dado un sistema cuántico elemental representado por S: (O, H), los observables de S que adquieren valores actuales son H y todos los observables que conmutan con H y tienen al menos las mismas simetrías que H.

Como puede apreciarse, la MHI adopta la perspectiva de los sistemas cerrados para la mecánica cuántica (^{Lombardi y Fortin 2015, p. 268}), y por ese motivo el Hamiltoniano independiente del tiempo es un elemento de su definición de sistema. La perspectiva de los sistemas cerrados propone el tratamiento de un conjunto de sistemas cuánticos a partir de la descripción del sistema total. Luego, por medio de su regla de actualización, se seleccionan los observables que adquieren un valor definido y por lo tanto las propiedades que adquieren valor actual. En esta interpretación, los sistemas tendrán valores definidos para H y otros observables compatibles desde su constitución hayan o no sido medidos.

En este punto es conveniente aclarar que la MHI fue originalmente formulada para lidiar con distintos desafíos ontológicos que presenta la mecánica cuántica, pero no para dar cuenta del problema del tiempo aquí estudiado. Por esta razón, en las publicaciones previas siempre se supone un tiempo externo independiente de los sistemas y no hay una tematización del llamado tiempo de eventos. De aquí que los postulados introducidos, si bien hacen referencia a la actualización de ciertos observables, es decir, a la ocurrencia de eventos, deja sin especificar explícitamente el tiempo en el cual ocurren esos eventos. En la bibliografía se establece que al conmutar con el Hamiltoniano, todos los observables que se actualizan son constantes de movimiento. Por lo tanto, a pesar del hecho de que las probabilidades están evolucionando continuamente, el conjunto de observables actuales es independiente del tiempo. La actualización se produce solo una vez, con la constitución del sistema como tal, y desde entonces las propiedades de valor real son las mismas en cualquier momento, hasta el momento en que el sistema “desaparece” como ese sistema en particular al interactuar con otro (^{Lombardi et al. 2010}). Sin embargo, esta es una descripción superficial que no se articula con el resto de la interpretación. Si la modal-hamiltoniana es una interpretación holista que pone el foco en el sistema cerrado entonces no hay un momento en que se constituye el sistema ni un momento en que desaparece al interactuar con otro y la búsqueda de un tiempo definido en el que la actualización ocurre en un sistema cerrado se vuelve ambigua. Uno de los objetivos de este trabajo es dejar de lado esta ambigüedad y establecer un modo en el que pueda ser pensada la temporalidad dentro de la interpretación. En efecto, en la sección 5 se presenta una forma de incluir la temporalidad en la modal-hamiltoniana que podría llegar a constituir un nuevo postulado.

4.2. La MHI y la categoría ontológica de la posibilidad

Como se ha señalado anteriormente la interpretación modal-hamiltoniana apela a una interpretación posibilista del estado cuántico. El posibilismo es una tesis ontológica contraria al actualismo que pretende dar cuenta de las proposiciones modales por medio de una distinción en el dominio de lo real entre objetos actuales y otros meramente posibles. La distinción, bien definida en la metafísica contemporánea (^{Menzel 2020}), tiene en los conceptos aristotélicos de acto (energeia) y potencia (dunamis) su primer antecedente en la historia de la filosofía. Esta distinción permitía a Aristóteles dar cuenta del fenómeno del cambio (kinêsis) como actualización de potencialidades inherentes en la sustancia. La filosofía moderna, influenciada por el determinismo mecanicista, había eliminado la posibilidad como categoría ontológica, dando lugar al enfoque actualista que subyace en las interpretaciones habituales de las teorías físicas modernas. Resultaba natural interpretar de modo actualista a los estados clásicos, ya que en ellos todas las magnitudes de un sistema tienen valores definidos, pero dicho enfoque puede llevar a dificultades interpretativas cuando se aplica a los estados cuánticos. Recuperar entonces la categoría ontológica de la posibilidad es el principal recurso de las interpretaciones modales para proponer una interpretación del principio de superposición conceptualmente satisfactoria y a la vez dar cuenta del problema de la medición evitando el postulado de proyección.⁸

Las ventajas del posibilismo se ponen de manifiesto al ser comparado con la perspectiva ortodoxa basada en el actualismo, que solo admite una categoría ontológica para interpretar las propiedades de los sistemas cuánticos, la actualidad. Si se dejan de lado las propuestas que interpretan el estado cuántico en términos epistémicos,⁹ por ejemplo, el enfoque de ensemble, no queda otra opción que interpretar la superposición cuántica de estados como una condición ontológica de los sistemas cuánticos. Es decir, un sistema en superposición se corresponde ontológicamente con un sistema que tiene simultáneamente para una misma propiedad-tipo, múltiples propiedades-caso actuales diferentes, o, dicho de otro modo, para cada observable tiene diferentes valores simultáneos. Esta interpretación resulta problemática ya que parece ir en contra del principio de no contradicción. El experimento mental del gato de Schrödinger pretende ilustrar del modo más agudo esta paradoja, trasladando el fenómeno de la superposición cuántica a un objeto macroscópico. La contradicción estriba en que el gato está simultáneamente vivo y no vivo. Sin embargo, la contradicción solo surge cuando los estados que entran en la superposición se interpretan de modo rigurosamente actualista. Cuando se los interpreta como simples potencialidades, la paradoja se disuelve inmediatamente.¹⁰ Por otro lado, el actualismo ortodoxo admite el “vínculo autoestado-autovalor”, que establece que un sistema tiene un valor bien definido solamente si el sistema se encuentra en uno de sus autoestados, no en una superposición. Este “vínculo” se relaciona con el hecho de que mientras el estado del sistema anterior a una medición puede ser una superposición y evoluciona dinámicamente, el posterior ya no puede serlo. Debido a que la medición ha arrojado un resultado en particular, el nuevo estado del sistema debe ser aquel autoestado que se corresponde con el valor medido. Este hecho obliga a considerar a la medición como un caso especial de interacción en el que el estado deja de evolucionar según la ecuación de Schrödinger, dando paso a una evolución de otro tipo. En el caso del postulado del colapso se pasa a dar un salto proyectivo. Esto se debe a que como consecuencia de adoptar una ontología que no incluye la distinción entre lo actual y lo posible, no es posible trazar una distinción ontológica entre un estado del sistema independiente de la medición y otro que se pone en evidencia por medio de ella.

Contrariamente, en la perspectiva del posibilismo se introduce la distinción ontológica actual/posible. En efecto, las interpretaciones modales desdoblan el estado de un sistema cuántico en (i) un estado dinámico que determina solamente propiedades-caso posibles con sus probabilidades y que siempre evoluciona unitariamente de acuerdo con la ecuación de Schrödinger, sin colapso ni evoluciones no unitarias; y (ii) un estado valor que determina cuáles de las anteriores propiedades-caso posibles son candidatas a propiedades-caso actuales. La regla de actualización de cada interpretación modal determina el estado valor de un modo particular. Este desdoblamiento disuelve el llamado “vínculo autoestado-autovalor” típico del actualismo. Para una interpretación modal fundada en el posibilismo, es perfectamente razonable suponer que, aunque se haya manifestado con cierta probabilidad una propiedad-caso actual, todas las demás propiedades-caso posibles que hubieran podido ocupar su lugar subsisten superpuestas, sin haber colapsado, precisamente como posibles, con sus correspondientes probabilidades de ser actualizadas codificadas en el estado dinámico del sistema. La categoría ontológica de la posibilidad dota a las propiedades-caso posibles, correspondientes con los autoestados que integran una superposición, con la suficiente realidad para dar cuenta del fenómeno de la interferencia cuántica, y al mismo tiempo, les permite coexistir en un mismo sistema sin lesionar el principio de no contradicción y ofreciendo un concepto más satisfactorio del principio de superposición. Adicionalmente, nos permite reducir a la medición cuántica a una interacción ordinaria entre sistemas y mantener así una dinámica completamente unitaria.

4.3 El problema de la medición

El problema de la medición es uno de los inconvenientes principales para la interpretación de la mecánica cuántica y tiene origen en la falta de claridad conceptual y ontológica que caracteriza al formalismo estándar de la teoría. La mayoría de las interpretaciones de la cuántica han sido concebidas para dar algún tipo de respuesta a este problema y es uno de los principales campos en los que las diferentes propuestas compiten entre sí. Por un lado, están las interpretaciones que consideran que el estado o función de onda solo codifica información estadística (ψ-epistemic), para las cuales el hecho de que las mediciones obtengan valores definidos no resulta problemático. Sin embargo, estas interpretaciones difícilmente pueden dar cuenta del fenómeno de interferencia cuántica (^{Maudlin 2019, p. 81}). Por otro lado, las interpretaciones que consideran de modo realista al estado o función de onda (ψ-ontic) deben dar cuenta del hecho de que estados en superposición arrojan valores definidos cuando son objeto de una medición. Esto comporta una seria dificultad conceptual, ya que se hace ingresar en la teoría a la medición cuántica como un término primitivo, cuando sería deseable que la teoría dé cuenta del proceso de medición como de cualquier otra interacción ordinaria.

El problema de la medición tiene múltiples ramificaciones y hay maneras muy generales de presentarlo. En este trabajo optamos por una presentación esquemática que ponga de manifiesto las características que nos serán útiles para alcanzar los objetivos que nos hemos propuesto. Analizar el problema de la medición supone entrar previamente en conocimiento del principio de superposición en cuántica. Este principio entraña una importante diferencia entre los estados clásicos y los estados cuánticos. Mientras que un estado clásico asigna a un sistema un valor definido para un observable dado, un estado cuántico puede estar en una superposición de estados. Por ejemplo, en el contexto de medición del observable A^S, el sistema S puede estar en la superposición:

Donde los a1 son los autoestados del observable AS con autovalores ai, y ci son números complejos tales que ci2 son las probabilidades correspondientes a cada valor definido. A la hora de realizar una medición el esquema de medición de von Neumann (^{Fortin y López 2016}) introduce al aparato de medición M como otro sistema cuántico con el que S interactúa. El observable de M macroscópicamente discernible (puntero) es PM; el estado del puntero cuando el aparato está listo para medir es p0 y los estados correspondientes a sus valores posibles son pi. Según este esquema, la medición supone llevar a cabo tres etapas:

El problema de la medición consiste en dar cuenta del hecho de la lectura de un valor definido. Es decir, explicar la lectura pk del puntero cuando el sistema total en la etapa II se encontraba en la superposición de estados Ψ(II). El autovalor pk se corresponde con el autoestado ak⊗pk del sistema total, sin embargo, dicho autoestado es solamente uno de los muchos estados que entraban en la superposición.

El mecanismo más elemental que da cuenta del problema de la medición consiste en la introducción del postulado de proyección (^{von Neumann 1932}), de acuerdo con el cual, cuando un sistema preparado en una superposición es objeto de una medición, su evolución dinámica se ve interrumpida y la superposición de estados “colapsa” hacia uno de los múltiples estados que integraban la superposición, obteniéndose así un valor definido para el observable. Es decir, se produce el siguiente salto

El postulado de proyección, característico de la llamada “interpretación ortodoxa” de la mecánica cuántica, ofrece una forma práctica de calcular el estado del sistema luego de una medición, pero genera diversos problemas interpretativos¹¹ entre los que se destaca el hecho de que se introduce de forma ad hoc. Es un añadido empíricamente adecuado, pero tiene el costo de introducir en la dinámica de la teoría saltos discontinuos e indeterministas. Además, no provee una explicación de cómo ni cuándo se produce el colapso, ni por qué se da en la base correspondiente al contexto de medición y no en otra. Por este motivo cada interpretación tiene una forma distinta de reemplazar este postulado por algún otro mecanismo.

En el caso de la interpretación modal-hamiltoniana, originalmente se ofrece una descripción de la medición cuántica que se monta sobre el esquema de tres pasos de von Neumann (^{Lombardi, Fortin, Ardenghi y Castagnino 2010, pp. 48-51}). Sea un sistema objeto S:(OS,HS) y un aparato de medición M:(OM,HM), el sistema S se encuentra en una superposición de estados ∑i=1n‍c1ai en el contexto de medición del observable AS. El observable “puntero” de M es PM y p0 es el estado en el que el aparato está listo para medir.

Entonces queda explicado que el puntero indique un valor determinado, pero esto no significa que el observable AS también se actualice. En efecto esto dependerá de su relación con el Hamiltoniano, si conmuta AS adquiere valor definido, pero si no conmuta entonces no lo hace. En cualquier caso, el puntero siempre muestra un valor definido.

La existencia de correlaciones exige que la descripción completa del sistema deba hacerse a partir del estado del sistema completo Ψ(III)=Ψ(II), sin embargo, si por razones prácticas resulta pertinente referirse a las propiedades de un solo sistema es posible utilizar los estados reducidos de S y M que resultan:

La MHI resuelve el problema de la medición sin generar los problemas interpretativos que presenta la interpretación ortodoxa:

4.4 Mediciones sucesivas

Según el postulado de proyección, luego de la medición el estado del sistema pasa de una superposición a ser un autoestado del observable que se mide. Como se ilustra en la expresión (8), si el resultado de la medición fue el estado pk, entonces el estado resulta ser ak⊗pk. Por lo tanto, si se mide el mismo observable por segunda vez hay que considerar al autoestado y no a la superposición original, por lo tanto, el resultado será el mismo que en la primera medición. Lo mismo sucede con las probabilidades de los otros observables, deben ser calculadas a partir del estado colapsado y no del estado original. Este resultado es empíricamente correcto y debe ser reproducido por las interpretaciones que descartan el colapso. Dado que las interpretaciones modales conservan la superposición original, reproducir el resultado puede resultar un desafío.

En el caso de la interpretación modal-hamiltoniana la cuestión de las mediciones sucesivas se resuelve por medio de la adopción del enfoque del sistema cerrado. En este enfoque se considera el estado de un sistema total que incluye los grados de libertad del sistema en cuestión y los de todos los aparatos de medición. Dicho estado total evoluciona según la ecuación de Schrödinger hasta el final. A diferencia de otros planteos en los que se utilizan estados reducidos, en este enfoque se conservan todas las correlaciones cuánticas hasta el final de proceso, lo que permite calcular las probabilidades conjuntas de que salga determinado valor en un aparato y cierto valor en otro. Los resultados son los mismos que se obtienen realizando el cálculo ortodoxo con base al colapso (^{Ardenghi, Lombardi y Narvaja 2013}). En el cálculo se evoluciona el estado total y eventualmente se utilizan los estados reducidos como meras herramientas de cálculo, la MHI no asigna estados que representen a los subsistemas. Esto se debe a que dos sistemas inicialmente independientes pierden su individualidad luego de haber interactuado y haberse entrelazado. En estas circunstancias las matrices densidad reducidas no representan los estados de los subsistemas, sino que son simples herramientas matemáticas que codifican información relativa al comportamiento de los subsistemas ante las mediciones realizadas (^{Okon y Sudarsky 2016, p. 10}).

Por simplicidad y a modo de ilustrar el mecanismo, a continuación se considera la medición consecutiva del mismo observable, no obstante es posible realizar la extensión a mediciones consecutivas de observables distintos con un poco más de complejidad matemática (^{Vanni y Laura 2005}). Sea un sistema objeto S:OS,HS y dos aparatos de medición M1:OM1,HM1 y M2:OM2,HM2, donde el sistema S se encuentra en una superposición de estados ∑i=1n‍ciai en el contexto de medición del observable AS. El observable “puntero” de M1 es PM1,p0M1, es el estado en que el aparato está listo para medir, el observable “puntero” de M2 es PM2 y p0M2 es el estado en que el aparato está listo para medir.

El espacio de observables asociado es O(II)=O(I) y su estado:

con espacio de observables asociado O(III)=O(I). Al constituirse este nuevo sistema, H(III) se actualiza adquiriendo un valor definido, y para que la lectura del puntero sea posible, el aparato de medición M1 debe estar construido de modo que PM1 conmute con el Hamiltoniano y no rompa sus simetrías. Antes de producirse la segunda interacción, el estado del sistema compuesto es:

El espacio de observables asociado es O(IV)=O(I) y su estado:

con espacio de observables asociado O(V):O(I) y estado

Al constituirse este nuevo sistema, H(V) se actualiza adquiriendo un valor definido, y para que la lectura del puntero sea posible, el aparato de medición M2 debe estar construido de modo que PM2 conmute con el Hamiltoniano y no rompa sus simetrías. A pesar de tratarse de aparatos independientes todo el proceso debe calcularse con base en el estado completo del sistema total, de lo contrario se perderían las correlaciones. Las correlaciones son las que aseguran la consistencia entre las mediciones de M1 y M2. Por ejemplo, en el caso donde los dos aparatos de medición miden la misma propiedad, se obtiene

que se corresponden con las correlaciones observadas.¹²

Este resultado puede generalizarse para cualquier tipo de observable y para cualquier cantidad de mediciones consecutivas.

5.1 Medición única

Para reconstruir el caso de una medición única es necesario partir del sistema total U, donde no hay tiempo ni secuencias. En este punto la interpretación indica que su energía y todos los observables que conmutan con el Hamiltoniano sin romper sus simetrías han adquirido un valor definido. En el ámbito de las posibilidades el estado cambia según la ecuación de Schrödinger cuando el tiempo externo varía. En este sentido es posible concebir al tiempo externo como un parámetro vinculado con la configuración espacial del arreglo experimental. Para recuperar una temporalidad física, un camino es definir al tiempo de eventos y las secuencias como emergentes a partir del establecimiento de una separación entre sistema y aparato. Para esto es necesario separar el espacio de observables de manera que OU=OS⊗OM, la introducción de esta partición será la que permita la emergencia de un evento. En la interpretación modal-hamiltoniana la partición del espacio de observables no implica la existencia de subsistemas. Esto se debe a que los sistemas se definen a partir del espacio de observables y del Hamiltoniano. Si no hay interacción entre las partes entonces será posible definir a los sistemas elementales S y M formando parte de un sistema compuesto U, pero si hay interacción entonces U será un sistema elemental. Por este motivo, una vez realizada la partición OU=OS⊗OM se procede a separar al Hamiltoniano total HU en tres partes, una que incluye al Hamiltoniano HS que corresponde al subespacio OS definido por la partición, otra que incluye a HM que corresponde a OM y uno de interacción HS-Mint de tal modo que

El requerimiento para que esta interacción pueda ser una medición es que el Hamiltoniano de interacción tenga la forma

donde Θ(q,q1,q2) es una función doble escalón, cuya variable es q, definida como

La variable q es espacial y está vinculada a la disposición de los elementos del arreglo experimental, sustituye al parámetro t en el cometido de distinguir un “antes” y un “después” de la interacción.¹⁵ La función doble escalón permite que a pesar de tener un solo Hamiltoniano HS-Mint, sea posible separar al arreglo experimental en tres regiones, una donde la interacción es intensa y otras dos donde es nula. Desde el punto de vista de la MHI esto tiene una consecuencia importante. Dado que HS-Mint≠0, según el postulado de sistemas compuestos (CSP) U es un sistema elemental, no uno compuesto, por este motivo no se hace referencia a S o M como sistemas. Sin embargo, cuando el estado del sistema se pueda representar por medio de un paquete de ondas localizado y dicho paquete se encuentra en la región q<q1, entonces HS-M no desempeñará un papel importante y la evolución será como si HS-Mint=0, lo mismo sucede para la región q>q2. A partir de esta división espacial es posible reconstruir las tres etapas de la medición simple.

Sea un sistema objeto S:(OS,HS) y un aparato de medición M:(OM,HM), el sistema S se encuentra en una superposición de estados ∑i=1n‍ciai en el contexto de medición del observable AS. El observable “puntero” de M es PM y P0 es el estado en el que el aparato está listo para medir.

Donde el espacio de observables asociado es O(I)=OS⊗OM y los coeficientes ci, además de los requisitos habituales respecto de la normalización y positividad del estado, deben ser tales que: (i) el valor medio de la posición de S se encuentre en la región donde q<q1, y (ii) el valor medio del momento sea tal que la dirección de avance del paquete sea hacia la región de interacción.

De este modo, la condición (i) permite afirmar que para todos los fines prácticos ∑S-Mint‍=0, entonces desde un punto de vista pragmático, el Hamiltoniano del sistema completo resulta ser H(I)=HS⊗IM+IS⊗HM. Sin interacción S y M pueden considerarse sistemas elementales del sistema compuesto S(I). Por otro lado, la condición (ii) asegura que a S se le da un momento tal que pase por el aparato M.

La elección del “cero” del tiempo, como en la mecánica clásica, es completamente arbitraria y se puede optar por cualquier valor. Sin embargo, por cuestiones estéticas que permiten una consistencia con la forma en que se habla conviene definir el tiempo de referencia de eventos τ0 igual al tiempo de referencia externo t0

Este punto no corresponde a ningún evento, pero la elección permite que se pueda vincular τ0 con la creación del arreglo experimental y llamarlo tiempo inicial. Además, resulta consistente con la nomenclatura “condición inicial” para la especificación de este estado.

Nótese que la medición única interpretada por la MHI, junto a la elección de un tiempo de referencia, permite definir una secuencia temporal:

5.2. Mediciones sucesivas

Para reconstruir el caso de las mediciones consecutivas, nuevamente es necesario partir del sistema total U, donde no hay tiempo ni secuencias. Para recuperar una temporalidad física se define al tiempo de eventos y las secuencias como emergentes a partir del establecimiento de la separación del espacio de observables en tres subespacios que corresponden a los grados de libertad del objeto a ser medido y de cada uno de los aparatos M1 y aparato M2, de manera que OU=OS⊗OM1⊗OM2. Luego es posible separar al Hamiltoniano total HU en cinco partes donde cada una incluye, un Hamiltoniano HS que corresponde al subespacio OS, un HM1 propio de OM1, otro a HM2 propio de OM2, uno de interacción entre el sistema y el primer aparato HS-M1int, y uno de interacción entre el sistema y el segundo aparato HS-M2int de tal modo que

El requerimiento para que esta interacción pueda ser una medición es que los Hamiltonianos de interacción tengan la forma

donde Θ(q,q1,q2) y Θ(q,q3,q4) son funciones doble escalón, cuya variable es 𝑞, definidas como

donde q1<q2<q3<q4. Nuevamente la variable espacial q está vinculada a la disposición de los elementos del arreglo experimental y sustituye al parámetro t en el cometido de distinguir un “antes” y “después” de cada interacción. Las funciones doble escalón permiten separar al arreglo experimental en cinco regiones, dos donde la interacción es intensa y otras tres donde es nula. En las regiones donde hay interacción U debe pensarse como un sistema elemental, mientras que al igual que en el caso anterior, si el estado del sistema se pueda representar por medio de un paquete de ondas localizado y dicho paquete se encuentra en las regiones sin interacción, entonces U podrá pensarse como un sistema compuesto.

A partir de esta división espacial es posible reconstruir la temporalidad de las mediciones consecutivas.

Sea un sistema objeto S:(OS,HS), un aparato de medición M1:(OM1,HM1) y otro aparato de medición M2:(OM2,HM2), el sistema S se encuentra en una superposición de estados ∑i=1n‍ciai en el contexto de medición del observable AS. El observable “puntero” de M1 es PM1 y p0M1 es el estado en el que el aparato está listo para medir, y “puntero” de M2 es PM2 con estado listo para medir p0M2:

Donde el espacio de observables asociado es O(I)=OS⊗OM1⊗OM2 y los coeficientes c_i, deben ser tales que el valor medio de la posición de S se encuentre en la región donde q<q1, y el valor medio del momento sea tal que la dirección de avance de la partícula sea hacia la región de las interacciones. Dado que en esta región HS-M1int=HS-M2int=0, resulta que

Y los tres sistemas S, M1 y M2 pueden considerarse sistemas elementales del sistema compuesto S(I). Al igual que en el caso de la medición simple se puede definir el tiempo de referencia de eventos τ0 igual al tiempo de referencia externo t0

Como este cambio en la descripción se produce para q=q1 y esto corresponde con cierto valor t1 del tiempo externo, y teniendo en cuenta que H(II) se actualiza

Al finalizar esta etapa los sistemas S y M1 quedan correlacionados, y el estado se escribe como

Adicionalmente se recuperan S y M1 como sistemas elementales. Al constituirse este nuevo sistema, H(III) y PM1 se actualizan. Como este cambio en la descripción se produce para q=q2 y esto corresponde con cierto valor t2 del tiempo externo, es posible establecer dos eventos

Como este cambio en la descripción se produce para q=q3 y esto corresponde con cierto valor t3 del tiempo externo, teniendo en cuenta que H(IV) se actualiza, es posible establecer un evento

Al finalizar esta etapa los sistemas S y M2 quedan correlacionados, y el estado se escribe como

Al constituirse este nuevo sistema, H(V) y PM2 se actualizan. Como este cambio en la descripción se produce para q=q4 y esto corresponde con cierto valor t4 del tiempo externo, es posible establecer dos eventos

En el caso en que M1 y M2 midan la misma propiedad física, a partir de Ψ(V)=Ψ(IV) se pueden calcular las probabilidades:

que se corresponden con las correlaciones observadas.

Entonces en dos mediciones sucesivas interpretadas por la MHI se producen varios eventos que junto a la elección de un tiempo de referencia permite definir una secuencia temporal de cuatro puntos:

Este resultado puede generalizarse para cualquier tipo de observable y para cualquier cantidad de mediciones consecutivas. Cada nueva medición agrega al proceso una nueva interacción con la consiguiente constitución de un nuevo sistema, lo que equivale a afirmar que cada nueva medición constituye un evento adicional en un instante temporal posterior.

En la MHI el tiempo externo mantiene su condición de absoluto en el sentido de ser siempre igual a sí mismo y homogéneo respecto a los sistemas que afecta del modo expresado en la ecuación de Schrödinger. Contrariamente, la definición de tiempo de eventos que se acaba de presentar, dependiente de los postulados interpretativos de la MHI, tiene carácter relacional ya que se obtiene a partir de la adopción de la perspectiva secuencial frente a un sistema cerrado. Aunque en sí mismos los sistemas cerrados concebidos como un todo, según la MHI, tienen naturaleza intemporal, la perspectiva secuencial permite reconstruir una serie de eventos que se corresponden de modo bien definido con ciertos valores medios críticos de alguna variable dinámica relevante (en la reconstrucción presentada aquí se hizo uso del valor medio de la variable posición). A su vez, esta serie de eventos es relativa al modo en que se particiona el espacio de observables. Aunque en atención a fines prácticos el modo habitual de particionar el espacio de observables es en un sistema objeto y uno o varios aparatos de medición, se sabe que existen múltiples maneras de dividir el espacio de observables, todas en principio igualmente legítimas. La perspectiva holista de la mecánica cuántica prescribe la inclusión de todos los aparatos de medición en un sistema total, incluyendo los relojes. De este modo, el tiempo externo no es el tiempo físico que miden los relojes y puede considerarse un parámetro. Entonces cada “tic tac” del reloj se corresponde con el tiempo de eventos definido a partir de los eventos de interacción dentro de su mecanismo. Más aún, si se atiende exclusivamente al tiempo de eventos, cada evento constituye un instante en una línea de tiempo relativo que, teniendo en cuenta la multitud de interacciones que se producen entre las partículas constituyentes de un sistema macroscópico, puede ser concebida como un continuo.