2.1. EL Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemáticos

El EOS entiende las matemáticas como una actividad de las personas implicadas en la solución de cierta clase de situaciones e interpreta el significado pragmático de los objetos matemáticos en términos de los sistemas de prácticas operativas y discursivas que se ponen en juego en la solución de dichas situaciones (^{Godino et al., 2019}) por una persona (significado personal) o institución (significado institucional). El aprendizaje tiene como finalidad la apropiación por los estudiantes de los significados institucionales que le permitan afrontar la solución de determinados problemas y desarrollarse como persona.

Las dificultades y limitaciones de aprendizaje se interpretan en el EOS como disparidades o desajustes entre el significado manifestado por un sujeto y el significado institucional de referencia.

2.2. Demostración, argumentación y el modelo de Toulmin

Se proporcionan las definiciones adoptadas en este trabajo de argumentación y demostración y se decribe el modelo de Toulmin para el análisis de la actividad argumentativa.

Consideramos la argumentación como “un proceso colectivo o individual que, de acuerdo con reglas compartidas, apunta a una conclusión mutuamente aceptable acerca de la veracidad o falsedad de una aserción” (^{Molina et al., 2019, p. 95}). A partir de un proceso de argumentación se desarrollan acciones propias del quehacer matemático, tales como, inducir, proponer analogías, abducir propiedades de hechos empíricos para la formulación de conjeturas, proveer pruebas deductivas de hechos previamente conjeturados y comunicar los resultados obtenidos (^{Molina y Samper, 2019}).

En relación con la demostración, desde el punto de vista de la educación matemática, es fundamental adoptar una postura sobre la demostración que, además de respetar la integridad matemática, la concepción de demostración considere el papel de la comunidad del aula, pues las demostraciones deben tener sentido para los estudiantes en el contexto educativo en el que se insertan (^{Larios-Osorio et al., 2018}; ^{Stylianides et al., 2017}). Así, consideramos la demostración como un tipo de argumentación en matemáticas que tiene las siguientes características (^{Stylianides et al., 2017}):

Así, una demostración es una argumentación en matemáticas, pero no toda argumentación es una demostración. Además, ^{Stylianides et al. (2017)} distinguen entre la demostración entendida como producto, es decir, una secuencia conectada de afirmaciones, y como proceso que implica acciones en la búsqueda de una conclusión a favor o en contra de una afirmación matemática. En estas acciones pueden estar implicadas actividades precursoras de la demostración, tales como, conjeturar mediante el uso de ejemplos, analogías, inducción, abducción, entre otros, esenciales para el aprendizaje de los escolares (^{Larios-Osorio et al., 2018}; ^{Marmolejo y Moreno, 2021}; ^{Stylianides et al., 2022}).

Como hemos mencionado, diferentes autores han tomado el modelo de ^{Toulmin (2003)} para caracterizar las argumentaciones que se manifiestan en las clases de matemáticas, documentar las dificultades que encuentran los estudiantes con la demostración y analizar cómo progresa el aprendizaje (^{Arce y Conejo, 2019}; ^{Molina y Samper, 2019}; ^{Molina et al., 2019}; entre otros). Tanto ^{Arce y Conejo (2019)} como ^{Soler-Álvarez y Manrique (2014}) emplean la idea de razonamiento de Peirce, quien lo entiende como un proceso mediante el cual se llega a una conclusión a partir de unas premisas, y conduce a un conocimiento verdadero para quien razona. Teniendo en cuenta esa concepción, ^{Soler-Álvarez y Manrique (2014)} afirman que un razonamiento para Peirce se puede considerar un tipo de argumento según ^{Toulmin (2003)}. Por otro lado, desde la perspectiva pragmática del EOS se entiende el razonamiento como un sistema de acciones (prácticas operativas y discursivas) que involucran un proceso de argumentación.

Desde un punto de vista cognitivo, las relaciones entre razonamiento y argumentación son las que se establecen entre un constructo y sus indicadores empíricos. [El razonamiento] como actividad intelectual que no puede reducirse meramente a la manipulación de informaciones, da origen a las prácticas argumentativas, personales o institucionales, que constituyen su dimensión ostensiva y comunicacional. Al mismo tiempo, el razonamiento se desarrolla por medio de dichas prácticas, de modo que el estudio del razonamiento está constitutivamente ligado al estudio de la argumentación. (^{Godino y Recio, 2001, p. 406})

^{Toulmin (2003)} estudió el funcionamiento de los argumentos a fin de comprobar cómo se relaciona su validez con su estructura, teniendo en cuenta la forma lógica involucrada en cada argumento. Siguiendo a este autor, entendemos por argumento un discurso oral o escrito producto de un proceso de argumentación compuesto por tres elementos básicos: conclusión (se manifiesta una afirmación u opinión cuyo valor se está tratando de establecer), datos (permiten apoyar la afirmación realizada, la conclusión) y garantía (posibilita que el paso de los datos a la conclusión sea legítimo, ya que, permite conectarlos mediante una justificación a partir de inferencias basadas en reglas generales, principios, enunciados). Toulmin también considera tres elementos auxiliares que permiten describir un argumento: respaldo (otras certezas que soportan la garantía), calificativo modal (grado de fuerza o de probabilidad conferida por la garantía que acompaña a la conclusión) y refutaciones (condiciones de excepción en las que la garantía se podría anular) (figura 1).

El objetivo de Toulmin fue proporcionar un modelo que sirviera para analizar argumentos en general y no solo deductivos (^{Pedemonte y Reid, 2011}), por lo que será de especial utilidad en este trabajo.

Figura 1 Esquema argumentativo según ^{Toulmin (2003, p. 141)}. 

A continuación, caracterizaremos con base en el modelo de Toulmin las argumentaciones más relevantes para este trabajo: abductiva, inductiva, deductiva, analógica y plausible.

En el argumento que surge en una argumentación abductiva, un hecho observado (conjetura) actúa como conclusión, y se propone una posible explicación que lo justifique a partir de posibles datos, una garantía y un respaldo (^{Arce y Conejo, 2019}). La garantía actúa como una regla hipotética que proviene de una exploración empírica o de una regla aceptada dentro de una exploración teórica (^{Molina y Samper, 2019}). Está respaldada por un enunciado o una teoría matemática de la cual podría derivarse la garantía.

La argumentación inductiva parte de la evidencia empírica sobre casos particulares para concluir una afirmación matemática general, por lo que, el proceso de generalización desempeña un papel fundamental. Siguiendo el modelo de ^{Toulmin (2003)}, en el argumento que surge, los datos corresponden a verificaciones en casos particulares de la conclusión y la garantía está respaldada por la verificación de la conclusión en esos casos concretos, aunque es insuficiente para inferir la validez de la conclusión. Por esto, se deriva de forma plausible y provisional un enunciado general (conclusión) (^{Arce y Conejo, 2019}; ^{Molina et al., 2019}).

La argumentación deductiva se produce generalmente en los procesos de demostración de conjeturas, siendo la única que permite validar conocimiento en matemáticas, irrefutable a excepción de que existan cambios en el sistema axiomático de partida. En el argumento emergente de esta argumentación se aplica una proposición general conocida (garantía) a unos datos dados para obtener la conclusión. A su vez, la garantía está respaldada por una teoría matemática que hace que la misma sea válida. (^{Arce y Conejo, 2019}; ^{Molina et al., 2019}).

^{Soler-Álvarez y Manrique (2014)} e ^{Inglis et al. (2007}) consideran el uso de contraejemplos como argumentaciones deductivas. ^{Soler-Álvarez y Manrique (2014)} los caracterizan a partir del modelo de ^{Toulmin (2003}), tomando como dato al caso no válido ∃y:(P(y)∧¬Q(y), como garantía la regla general ∀x:(P(x)→Q(x)), como respaldo la equivalencia lógica ∀x:(P(x)→Q(x))↔¬∃y:(P(y)∧¬Q(y)) y como conclusión, el no cumplimiento de la regla general.

En el argumento analógico producto de una argumentación analógica se obtiene una conclusión a partir de premisas en las que se establece una analogía o comparación entre elementos o conjuntos de elementos distintos (^{Cañadas, 2007}). Para ^{Juthe (2005)} un buen argumento por analogía es aquel en el que: el contenido de los datos y la conclusión están adecuadamente relacionados; los datos son verdaderos, probables o fiables; la prueba adecuada de la conclusión es una analogía correcta enunciada en uno o varios datos.

En estas argumentaciones, la garantía corresponde a la relación entre un hecho conocido y el caso que se está estudiando (^{Soler-Álvarez y Manrique, 2014}). El respaldo hace referencia a la analogía entre los dominios donde se desarrolla la argumentación, aunque no proporciona ciertamente un respaldo para las garantías pues no las justifica (^{Marraud, 2007}). Se infiere de manera plausible la conclusión (conjetura).

Las argumentaciones plausibles son definidas por ^{Polya (1954)} como aquellas que permiten observar, relacionar, buscar regularidades, elaborar conjeturas que parecen acertadas, examinar su validez, contrastarlas y reformularlas para obtener nuevas hipótesis susceptibles de ser puestas a prueba. Como asegura este autor, una buena parte de nuestra confianza en las demostraciones puede proceder de estos argumentos. Si bien pretenden guiar hacia lo que probablemente es verdad -sin que necesariamente se haya terminado o sea cierto- no permiten probar la validez del conocimiento matemático en cuestión (^{Cañadas, 2007}).

De acuerdo con ^{Inglis y Mejía-Ramos (2005)}, entenderemos al argumento que da lugar una argumentación plausible como aquel en el que, a partir de considerar la evidencia, la garantía, el respaldo y la conclusión se intenta decidir por uno mismo el calificativo modal (específica la fuerza de la aserción, expresando el grado de confianza en la tesis) con el cual uno completaría el argumento.

En la práctica escolar, el modelo de ^{Toulmin (2003)} usado por autores como ^{Soler-Álvarez y Manrique (2014)} o ^{Arce y Conejo (2019)} permite esclarecer las partes en las que se puede descomponer una práctica argumentativa, poniendo al descubierto las relaciones lógicas y, por ende, la estructura (^{Soler-Alvarez y Manrique, 2014}). Una vez reconocida la estructura de dicha práctica (el tipo de estrategia argumentativa), el análisis de los niveles de algebrización, permite tomar conciencia de la naturaleza de los objetos y procesos emergentes.

3.1. CONTEXTO Y PARTICIPANTES

Los participantes del estudio fueron un grupo de 31 estudiantes de ingreso en el primer curso universitario de las carreras de grado Profesorado y Licenciatura en Matemáticas y Licenciatura en Física en la Universidad Nacional de Río Cuarto (Argentina) en el año 2023. El nivel de desempeño en matemáticas de estos estudiantes era estándar según los resultados de los cursos de nivel secundario.

La implementación se llevó a cabo durante la primera clase de las actividades del ingreso en la asignatura Matemática Discreta que comparten estos estudiantes (actividades desarrolladas a lo largo de un mes para iniciar al alumnado en los contenidos de la asignatura), por lo que no hubo un proceso formativo previo (los conocimientos disponibles de los estudiantes fueron los estudiados en educación secundaria). La docente a cargo de la asignatura proporcionó el problema a los estudiantes para que lo resolvieran de forma individual. Cuando los estudiantes manifestaron haberlo finalizado, se llevó a cabo la puesta en común de la solución a los tres primeros ítems, con la intención de discutir las estrategias argumentativas empleadas y su adecuación para validar de manera general el conocimiento implicado.

3.2. Instrumento de recogida de datos y análisis a priori

En este trabajo mostramos el análisis de los resultados obtenidos en uno de los problemas propuestos (figura 2) que involucra la demostración de diversas propiedades matemáticas, en un contexto aritmético-algebraico cercano a los conocimientos esperados de los estudiantes. Escogimos este problema teniendo en cuenta, por un lado, los contenidos expuestos en las directrices curriculares de los últimos cursos de educación secundaria, considerando que los estudian-tes acababan de ingresar al nivel universitario. Por otro lado, acordamos con la profesora que impartía la asignatura Matemática Discreta el contexto matemático del problema, teniendo en cuenta los contenidos que se abordarían en la misma.

Figura 2 Problema propuesto. Fuente: ítems a y b tomados de ^{Sessa (2005, p. 113)}, ítem c adaptado de ^{Sessa (2005, p. 113)}, ítem d adaptado de ^{Quercia et al. (2014, p.752)}  

La tarea perseguía la puesta en juego de diversos objetos matemáticos (números naturales consecutivos, múltiplos, números impares, propiedades de la suma y multiplicación en ℕ, propiedades de la división entre naturales y del resto de la división) y de procesos como la exploración de diferentes ejemplos, la búsqueda de contraejemplos, el planteamiento de conjeturas y la propuesta de alguna demostración que permita validar dichas conjeturas. En el caso del ítem c), si bien no se esperaba una excesiva formalidad en la demostración de la doble generalización involucrada distinguida en ^{Sessa (2005)} (comienzo de la suma por cualquier número natural y cualquier cantidad de sumandos implicados), si era previsible que desarrollen algún tipo de argumentación menos sofisticada. A continuación, se presentan las soluciones expertas a los diferentes apartados del problema, identificando potenciales conflictos semióticos por parte de los estudiantes.

En la tabla 1 se incluye la configuración ontosemiótica de la solución al primer apartado, como ejemplo del tipo de análisis realizado de las prácticas esperadas. Por limitaciones de espacio, en las siguientes consignas solo se incluyen las prácticas matemáticas que conducen a la solución experta.

El análisis ontosemiótico permite identificar como conflictos semióticos potenciales: traducir la expresión “suma de tres naturales consecutivos cualesquiera” de manera simbólica; evocar con un ostensivo como m un natural concreto pero arbitrario; considerar los objetos como sistémicos para interpretar que 3×(m+1) es un múltiplo de 3 y m+1 es un natural; considerar el carácter general de la regla por haber tomado como natural, aunque arbitrario pero concreto; entre otros.

En la figura 3 presentamos el esquema argumentativo según Toulmin para la solución experta del primer apartado del problema.

Figura 3 Modelo de Toulmin para la solución experta apartado a). 

En la solución experta del apartado c) (Figura 4) los conflictos semióticos que anticipamos se reflejan en dificultades para traducir de manera simbólica ciertas expresiones como, “si se suman k naturales consecutivos, el resultado es múltiplo de k si y sólo si k es un natural impar”; reconocer, por ejemplo, en el ostensivo ∑i=0k−1(m+i)k×k' que la suma de k naturales consecutivos es múltiplo de k; tratar los objetos presentes en la demostración de la ida de la implicación como sistémicos para poder interpretar que k es un número impar; reconocer que, a partir de un natural cualesquiera k y dos números naturales cualesquiera siendo el primero mayor que el segundo (k′ym), la regla se generaliza para todo natural con dichas condiciones, entre otros.

Figura 4 Solución experta apartado c). 

El análisis de las prácticas que llevan a la solución del ítem d) (figura 5) nos lleva a considerar como potenciales conflictos traducir expresiones de manera simbólica, por ejemplo “la suma de cinco naturales que tienen distinto resto al dividirlos por 5”; interpretar y evocar con el ostensivo 5k+(5m)+(5n+2)+(5p+3)+(5q+4) la suma de cinco naturales que tienen distinto resto al dividirlos por 5 o con 5×(k+m+n+p+q+2) un múltiplo de 5. También son previsibles dificultades asociadas al cálculo sintáctico donde los ostensivos se deben desprender de los objetos a los que representan para participar de transformaciones. Además, es posible que los estudiantes encuentren conflictos para considerar el carácter general de la regla (algunos vinculados con la posibilidad de generalizar para todo número natural que tiene distinto resto en la división por 5) a partir de haber tomado k, m, n, p, q naturales concretos pero arbitrarios. Finalmente, es posible prever dificultades al tratar de manera sistémica los objetos de forma que se pueda interpretar que 5×(k+m+n+p+q+2) es múltiplo de 5, entre otras.

Figura 5 Solución experta apartado d). 

La actividad matemática desarrollada en estas prácticas argumentativas expertas para los diferentes ítems se sitúa en un nivel 5 de RAE (^{Godino et al., 2015}), ya que, se llevan a cabo cálculos analíticos o sintácticos en los que intervienen parámetros.

3.3. Pautas de análisis

Se consideraron los siguientes grados de pertinencia para las respuestas de los estudiantes.

4.1. Argumentaciones y niveles de RAE

En la tabla 2 se resumen los grados de pertinencia logrados por los estudiantes en cada ítem del problema según los tipos de estrategias argumentativas empleadas. Se observa que, los 31 participantes respondieron a los ítems a) y b), donde algunos emplearon más de un tipo de estrategia, y que dos no lo hicieron en los apartados c) y d).

Como se observa en la tabla 2, los participantes tuvieron dificultades para resol-ver correctamente los apartados a), b) y especialmente d), en el que todos aquellos que respondieron lo hicieron de forma incorrecta. Los resultados fueron algo mejores en el ítem c) donde 15 respondieron de forma parcialmente correcta. Las argumentaciones más frecuentes empleadas en los ítems a) y b) fueron abductivas o inductivas de varios casos, en su mayoría incorrectas. Para el ítem c) la mayoría de los estudiantes propuso de forma incorrecta conjeturas sin dar ningún tipo de argumentación. Para el ítem d) propusieron con mayor frecuencia argumentaciones abductivas incorrectas.

A continuación, se relacionan los diferentes tipos de estrategias empleadas con los niveles RAE implicados en las prácticas matemáticas. Estos se ejemplificarán por medio de algunas de las respuestas más significativas de los estudiantes.

De manera general, se observa una escasa actividad matemática de naturaleza algebraica; el nivel de RAE asociado oscila en su mayoría entre el nivel pura-mente aritmético y el proto-algebraico incipiente.

La tabla 3 muestra que, para los ítems a) y b), la actividad matemática desplegada en las argumentaciones abductivas o inductivas se situó de forma general entre un nivel aritmético (nivel 0 RAE) y proto-algebraico incipiente (nivel 1 RAE). Este último se asignó cuando lograron enunciar la regla general en lenguaje natural. La actividad de naturaleza algebraica (nivel 5 RAE) fue escasa y se observó solo en las argumentaciones deductivas (figura 8) propuestas por los mismos estudiantes tanto para el ítem a) como para el b).

En la tabla 4 aparecen relacionadas las diferentes estrategias argumentativas empleadas para los ítems c) y d), según los niveles de RAE implicados. Esta tabla muestra que, para el ítem c) la actividad matemática basada en la elaboración de conjeturas sin argumentación se situó entre un nivel aritmético y proto-algebraico incipiente pues, en algunos casos, lograron enunciar reglas generales en lenguaje natural (nivel 1). Las prácticas argumentativas con carácter algebraico en c) fueron deductivas (nivel 4 RAE) o deductivas por contraejemplo (figura 9, nivel 5 RAE).

Salvo una argumentación deductiva de nivel 5 RAE, todas las prácticas desarrolladas para responder al ítem d) fueron de naturaleza aritmética o proto-algebraica incipiente.

A continuación, se ejemplifican las estrategias más representativas, así como los errores más frecuentes puestos de manifiesto en las producciones. Cada caso lo acompañamos con el modelo de Toulmin que caracteriza la argumentación, identificando los objetos y procesos implicados, así como el nivel de RAE asociado.

Figura 6 Respuesta de E8 al ítem a. Argumentación inductiva. Nivel 0 de RAE. Incorrecta. 

La mayor frecuencia de respuestas incorrectas en las argumentaciones inductivas de varios casos para los ítems a) y b) puede deberse al hecho de que, en nivel educativo de primaria y secundaria se acepta la comprobación, en algunos casos particulares, como suficiente para argumentar la validez general de pro-posiciones (^{Stylianides y Stylianides, 2017}). Como se muestra en la figura 6, el estudiante E8 empleó una argumentación inductiva para asegurar la validez del ítem a), que solo llegó a corroborar en cuatro casos particulares. En su argumentación aparecen involucrados los conceptos de suma, números consecutivos y múltiplo de 3, procedimientos aritméticos (suma de números naturales) y emerge la proposición “la suma es múltiplo de 3” que justifica “al ser consecutivos”. E8 usó de manera incorrecta parte de la proposición como su argumento. La actividad matemática es de naturaleza aritmética, pues solo intervienen números naturales particulares y la operación suma. La propiedad ser múltiplo de 3 no se usa para generar nuevos objetos, sino como la condición que se satisface de manera particular (en el respaldo) para asegurar la validez de la conclusión. Por lo tanto, el nivel RAE es 0 (^{Godino et al., 2015}).

En muchas producciones para los ítems a), b) y d) se emplearon argumentaciones abductivas, en las que los estudiantes propusieron posibles explicaciones que justifican algún hecho observado que actúa como su conclusión (^{Arce y Conejo, 2019}). La mayoría fueron categorizadas como incorrectas.

Figura 7 Respuesta de E7 al ítem d. Argumentación abductiva. Nivel 1 de RAE. Incorrecta. 

Como se observa en la figura 7, E7 empleó una argumentación abductiva para afirmar que el resultado de la suma de cinco naturales que tienen distinto resto al dividirlos por 5 no es un múltiplo de 5 (proposición emergente). E7 había incluido las operaciones: “8+9+10+11+12=40” (suma de cinco naturales consecutivos) y “6+8+9+11+13=47” (suma de cinco naturales no consecutivos; no todos con resto distinto al dividirlos por 5) sin considerar en ningún momento cuál había sido el resto al dividir por cinco de los sumandos, ni que cinco números naturales consecutivos necesariamente tienen diferente resto al dividirlos por 5. Así, no llegó a idealizar de manera adecuada los ostensivos implicados en la propiedad que se espera demostrar. El nivel de RAE es 1 pues enunció una regla general en lenguaje natural (^{Godino et al., 2015}) “la suma de 5 números da como resultado un múltiplo de 5 solo si son consecutivos”.

Otras argumentaciones abductivas frecuentes en a) y b) fueron categorizadas como parcialmente correctas, por ejemplo, la respuesta de E24 al ítem a) donde utilizó un dato válido que implica la conclusión “Si, siempre que se sumen 3 números consecutivos va a ser múltiplo de 3, ya que la cantidad de números que se suman es impar (3)”. El nivel de RAE en la actividad matemática de E24 es 1 en tanto enunció una regla general en lenguaje natural.

El hecho de que los estudiantes hayan recurrido a particularizaciones para argumentar una proposición general, a argumentaciones abductivas o incluso, a la propuesta de conjeturas sin argumentación, puede estar motivado por algunas dificultades que han encontrado para representar en lenguaje simbólico apropiado números consecutivos generalizados o su suma. Por ejemplo, E9, quien propuso en el escrito una conjetura sin argumentarla para el ítem a) “sí, siempre que se sumen tres números reales continuos, el resultado será múltiplo de 3”, mostró estas dificultades durante la puesta en común, pues escribió en la pizarra (n)+(n1)+(n2) haciendo referencia a n1, por ejemplo, como el número continuado a n.

Por otra parte, las pocas respuestas correctas que se manifestaron en los ítems a), b) y c) se relacionan, en todos los casos, con argumentaciones deductivas. Por ejemplo, en la figura 8 se incluye la respuesta de E4 al apartado a). En las prácticas matemáticas que desarrolló E4, aparecen implicados los conceptos de suma, números consecutivos y múltiplo de 3, propiedades como asociativa y conmutativa de la suma en ℕ o distributiva en ℕ. Emerge la proposición “la suma de tres naturales consecutivos cualesquiera es múltiplo de 3”. Los procesos de idealización, generalización y reificación se combinan con la representación, traducción del lenguaje natural al simbólico y transformación en este registro; así como la significación (por ejemplo, para interpretar x+1 como el consecutivo de x). El nivel de RAE es 5 pues aparecen involucrados parámetros como generalizadores y se opera con ellos (^{Godino et al., 2015}).

Figura 8 Respuesta de E4 al ítem a. Argumentación deductiva. Nivel 5 de RAE. Correcta. 

Otro tipo de argumentación deductiva manifestada frecuentemente para el ítem c) fue la argumentación deductiva a partir del uso de contraejemplos. Estas prácticas fueron categorizadas como parcialmente correctas, puesto que, si bien el contraejemplo les sirvió para mostrar una excepción a una regla general posible y, por ende, conjeturar, no les permitió valorar la validez general de la conjetura.

Figura 9 Respuesta de E27 al ítem c. Argumentación deductiva por contraejemplo. Nivel 5 de RAE. Parcialmente correcta. 

Como se observa en la figura 9, E27 argumentó que la proposición “el resultado de la suma de cualquier k números naturales consecutivos es múltiplo de k si k es impar” es verdadera, basándose en que no lo es cuando se suma una cantidad par (4) de números naturales consecutivos. Para ello, empleó los conceptos de números consecutivos, impares y múltiplo, transitando por procesos de idealización y representación asociados al cálculo sintáctico para interpretar k+(k+1)+(k+2)+(k+3) como 4k+6, de significación para interpretar k+(k+1)+(k+2)+(k+3) como la suma de 4 números consecutivos o procesos de generalización pues obtuvo una regla general. El nivel de RAE asignado a la actividad es 5, en tanto intervienen parámetros como generalizadores y se opera con ellos para obtener expresiones canónicas.

En conclusión, la mayoría de los estudiantes tuvieron dificultades para responder correctamente, debido al uso de argumentaciones inductivas en los ítems a) y b) para asegurar la validez general de las proposiciones involucradas, al planteamiento de conjeturas sin argumentación en el ítem c) y a la propuesta de argumentaciones abductivas incorrectas para el ítem d). Para el ítem c), si bien se han observado algunas conjeturas por argumentaciones inductivas o por analogía, la mayoría de los estudiantes elaboraron conjeturas sin argumentarlas (por ejemplo “se dará siempre y cuando sea un número impar”, E11). El planteamiento de argumentaciones abductivas incorrectas para el ítem d) deja ver que, si bien se generan nuevas ideas a través de un proceso creativo en la construcción del conocimiento (^{Soler-Álvarez y Manrique, 2014}) estas no se corresponden con datos matemáticamente válidos y, por ende, no implican dicha conjetura (“sí, siempre es múltiplo de 5 porque son 5 los números que se suman”, E24).

4.2. Puesta en común

Durante la puesta en común se encontraron algunos HDS que aportan información con cierta interpretación desde el punto de vista didáctico, en relación con los significados personales de los estudiantes sobre la demostración matemática, las dificultades identificadas en sus producciones y cómo la discusión ayuda en algunos casos a superar dichas dificultades.

HDS1. Los estudiantes identificaron la insuficiencia de mostrar con casos particulares la validez general de las proposiciones involucradas. Por ejemplo, el siguiente diálogo muestra cómo E31 y otros estudiantes de la clase dan cuenta de esto con la profesora (P):

HDS2. Los estudiantes emplearon calificativos modales que reforzaron algunas de las argumentaciones plausibles que manifestaron en los escritos. Por ejemplo, E29 en su escrito empleó para 1 a) y b) argumentaciones plausibles, reforzándolas en la puesta en común con calificativos modales como “inevitablemente”, “no puede fallar”, “hasta ahí llegué”.

HDS3. Los estudiantes tuvieron dificultades para representar en lenguaje simbólico apropiado el consecutivo de un natural y la suma de tres naturales consecutivos. Sin embargo, progresaron en su representación durante la puesta en común, gracias a la discusión sobre el ejemplo 101+102+103=101+(101+1)+(101+2) que les permitió expresar el consecutivo de un natural n como n+1 y el consecutivo de este como n+2.

HDS4. Los estudiantes encontraron limitaciones para argumentar sin particularizar por qué 3n+3 es un múltiplo de 3. Por ejemplo, E27 manifestó dichas dificultades en la discusión, aunque se puede ver cómo se produce un avance hacia una argumentación general de la proposición.

HDS5. En la puesta en común se establecieron analogías con la suma de tres naturales consecutivos para argumentar el ítem b). Por ejemplo, cuando E29, que propuso una argumentación abductiva y plausible en su informe escrito, en la pizarra desarrolló una argumentación deductiva para validar la proposición involucrada:

HDS6. Los estudiantes destacaron dos propiedades de los números 3 y 5, el ser primo o impar, para conjeturar cuándo es cierto que si se suman 𝑘 naturales consecutivos el resultado es múltiplo de 𝑘. Se observó, por ejemplo, que ante la afirmación de E7 “la consigna se cumple cuando 𝑘 pertenece a los primos, pero 2 también es primo y no lo cumple, entonces cuando 𝑘 pertenece a los primos y es mayor a 2”, E23 le propuso un contraejemplo (k=9), que le permitió a E7 avanzar en sus significados iniciales y reformular su conjetura.