Definición de Valor en Riesgo

La medida estadística VaR resume a la exposición al riesgo de un portafolio como la máxima pérdida durante un horizonte de tiempo determinado, dado un nivel de confianza p. En términos matemáticos, el VaR para la probabilidad p y el nivel de riesgo R se define como

donde F es la función inversa de la distribución de pérdidas, es decir, el p-cuantil de F y h _{t + 1} es la volatilidad de la función de distribución de pérdidas.

Para la estimación dinámica del VaR se tiene que seleccionar un modelo de volatilidad. La literatura econométrica cuenta con una familia de modelos de volatilidad condicional entre ellos el modelo GARCH propuesto por ^{Bollerslev (1986)}. Sin embargo, esta especificación no captura los efectos de largo plazo en la asimetría y la memoria larga en la volatilidad condicional.

Modelos de volatilidad de dos componentes

^{Lee y Engle (1999)} proponen el modelo CGARCH como alternativa para capturar la propiedad de persistencia en la volatilidad de largo plazo. Esta aproximación permite descomponer la volatilidad condicional en dos componentes de corto y largo plazos de la siguiente manera.

Para un conjunto de información Ωt-1=rT-n+1,…,rT en el tiempo t - 1, la especificación de la media condicional de los rendimientos tiene la forma siguiente:

El modelo CGARCH (1,1)⁴ para la varianza condicional se define como

donde z _t es un proceso de ruido blanco que sigue una distribución normal con media cero y varianza uno. h _t es la varianza condicional de corto plazo que depende de la última innovación de los residuales cuadrados εt-12 y qt indica el nivel de la volatilidad de largo plazo, esta última converge al nivel de la volatilidad incondicional ω a la velocidad de (α + β) < δ < 1.

Sin embargo, la flexibilidad del modelo CGARCH se puede extender para capturar efectos asimétricos en el corto y largo plazos de la siguiente manera:

donde la variable dummy gobernada por la función indicadora de HeavisideI⋅, es igual a 1 si εt-1<0 y cero en otro caso. El efecto de asimetría es observado cuando γ > 0 y ψ>0.

Otra alternativa que captura los efectos asimétricos en el corto y largo plazos y la memoria larga es definida de la siguiente forma:

donde los parámetros de asimetría γ y ψ son negativos a diferencia del modelo CGARCH asimétrico anterior (ACGARCH1 y ACGARCH2, respectivamente). Las volatilidades de corto y largo plazos tienen un efecto total de α-γεt-1 y ρ-ψεt-1 si εt-1<0 y α+γεt-1 y ρ+ψεt-1 si εt-1>0.

Una vez estimados los modelos CGARCH simétrico y asimétricos se extraen los residuales estandarizados de rT-n+1,…,rT, los cuales se definen de la siguiente manera:

Las series de los residuales estandarizados deben ser estacionarias y libres de autocorrelación, los cuales son utilizados en el modelado del comportamiento asintótico de las colas de las innovaciones con la TVE y estimación de los cuantiles extremos.

Medida VaR basada en la TVE

En esta sección se describe brevemente del procedimiento para obtener el cuantil de los residuales estandarizados aplicando la TVE. Sea R ₁, R ₂, …, R _n una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, que representan pérdidas con distribución desconocida, F(r) = Pr(R _i ≤ r). Dado que el análisis tiene por interés las pérdidas extremas que exceden al umbral u, la función de distribución de valores en exceso (DVE) para y _i = r _i - u con i = 1, …, k, se define como

Los resultados de los teoremas de ^{Balkema y de Haan (1974)} y ^{Pickands (1975)} confirman que la DVE converge a la distribución de Pareto generalizada (DPG) cuando u es muy grande, es decir,

donde ξ y σ>0 son definidos como los parámetros de forma y escala, respectivamente.

En consecuencia, F es definido como Fr=1-FuGξy+Fu, mientras que F^u está definida por (n - k) / n, aquí n indica el número total de observaciones y k el número de observaciones que exceden a u (^{Beirlant et al., 2004}). Al sustituir el valor de F^u y la ecuación (11) en F(r) se obtiene el estimador de la cola

donde los parámetros ξ y σ se estiman por máxima verosimilitud para valores R > u.

De acuerdo con ^{Embrechts et al. (1997)}, el parámetro ξ mide la velocidad de convergencia a cero de la cola de la distribución. Para ξ>0, la DPG toma la forma de la distribución de Pareto ordinaria, es decir, de colas más anchas. Cuando ξ=0 y ξ<0, la DPG tiene la forma de las distribuciones exponencial y Pareto de tipo II, respectivamente. Aunque varios estudios han confirmado el potencial de la DPG para el modelado de las colas de la distribución de rendimientos. Sin embargo, los datos empíricos presentan las características comunes de heterocedasticidad y fuerte dependencia observada en las series de los rendimientos (^{McNeil y Frey, 2000}).

Para enfrentar estos dos problemas, el estudio utiliza el conjunto de residuales estandarizados, los cuales son independientes e idénticamente distribuidos bajo la hipótesis CGARCH simétrico y asimétricos. Si Z1≥Z2≥…≥Zn es un conjunto de residuales estandarizados ordenados y n = k es el número de datos que se encuentran en la cola para R > u, entonces Z _{k + 1} es el umbral aleatorio en el (k + 1)-ésimo estadístico de orden. De esta manera, la DPG con parámetros ξ y σ se ajusta al conjunto de residuales estandarizados que exceden al umbral, es decir, Z1-Zk+1,…,Zn-Zk+1.

Por lo que el estimador de la cola para F _z (z) se define como

Si invertimos la ecuación (13), el cuantil extremo asociado con la probabilidad p se define como

Para un horizonte de un día, la medida VaR dinámica se define como

donde μ^t+1 y h^t+1 son las predicciones de la media y varianza condicional en el periodo t + 1.

Validación de las medidas VaR

La calidad y exactitud de los modelos VaR requiere de un proceso de validación estadístico, con el fin de demostrar si la medida de riesgo cumple con ciertas propiedades teóricas requeridas por las autoridades reguladoras para estimar suficientes requerimientos de capital.

Este proceso consiste en comparar el VaR con respecto a los rendimientos actuales del siguiente periodo. Para el análisis se utiliza la prueba de razón de verosimilitudes de ^{Kupiec (1995)}, la cual consiste en analizar cuando la tasa de fallo α = 1 - p es igual a la tasa esperada para el nivel de confianza p, el cual es utilizado en la estimación del VaR. Si T representa el número total de ensayos, entonces el número de fallos n sigue una distribución binomial con probabilidad α.

El estadístico de la prueba de la razón de verosimilitudes está definido por

donde LR∼χ2 con un grado de libertad bajo la hipótesis nula H0=nT=α, la cual implica que los modelos VaR son confiables para estimar el riesgo, mientras que la hipótesis alternativa rechaza el modelo cuando genera un número de fallos suficientemente grande o pequeño con respecto al esperado.

Estimación de los modelos de volatilidad

Debido a la fuerte presencia de dependencia no-lineal y heterocedasticidad en la serie de los rendimientos del petróleo Maya, en este estudio se estiman una familia de modelos GARCH convencionales y modelos CGARCH simétrico y asimétricos discutidos en la sección anterior. La Tabla 2 reporta los resultados de los parámetros estimados de las 7 estructuras GARCH y CGARCH, así como las pruebas de diagnóstico sobre los residuales estandarizados simples y cuadrados para el petróleo Maya. Los estimadores de µ que corresponden a la especificación de la media condicional, no son estadísticamente significativos, excepto en los modelos GARCH, CGARCH y ACGARCH1, mientras que la mayoría de los coeficientes del término AR (1) son positivos y significativos a un nivel de 10%. El criterio de Hanna-Quinn es utilizado para determinar el número de rezagos óptimo en la ecuación de la media condicional. Debido al hecho de que los criterios de información tradicionales de Akaike y Schwarz tienden a sobreestimar y subestimar el orden de rezagos y reducen el poder de la prueba de acuerdo con el estudio de simulación de ^{Liew (2004)}.

Asimismo, los parámetros de la varianza condicional son positivos y significativos a un nivel de 1%. De acuerdo con la suma de los estimadores α y β, los resultados confirman la presencia de alta persistencia en la volatilidad de corto plazo, particularmente en los modelos APARCH y ACGARCH2. Sin embargo, este hecho no es sustentado por los modelos CGARCH y ACGARCH1, puesto que los valores del parámetro estimado φ son mayores a 0.95, lo que implica que el componente de la volatilidad de largo plazo es más persistente y decae a un ritmo más lento que el componente de la volatilidad temporal.

La significancia de los coeficientes ( y ψ indica la presencia de efectos asimétricos en la volatilidad de corto y largo plazos. Este hecho señala que las noticias pesimistas tienen mayor impacto en la volatilidad condicional que las noticias optimistas, particularmente en la volatilidad de corto plazo. En consecuencia, los resultados justifican el uso de los modelos CGARCH asimétricos en el análisis del riesgo extremo. Los resultados de las pruebas de diagnóstico sobre los residuales estandarizados simples y cuadrados, son reportados en el Panel B de la Tabla 2. Los valores de los criterios de información AIC y BIC, así como la prueba de razón de verosimilitudes sugieren el uso del modelo ACGARCH2 para capturar las características de asimetría, persistencia y volatilidad en aglomeraciones en los rendimientos del petróleo Maya.

Por otra parte, los resultados de las pruebas de Ljung-Box señalan que la hipótesis nula de ausencia de autocorrelación de orden 4 y 20 en los residuales estandarizados es imposible rechazarla a un nivel de 5%, lo que implica que las innovaciones son independientes e idénticamente distribuidas. En el caso de los residuales estandarizados cuadrados, los resultados indican que la especificación de los modelos es suficiente para corregir la dependencia no-lineal de orden 4 y 20 de los rendimientos del petróleo Maya en la ecuación de la varianza condicional, excepto para el modelo EGARCH. Asimismo, los valores-p de los estadísticos Jarque-Bera, Anderson-Darling y Cramer-Von Mises continúan rechazando el supuesto de normalidad en los residuales estandarizados, lo que sugiere la implementación de la TVE en combinación con las aproximaciones CGARCH para el modelado apropiado de las colas de la distribución.

Selección de los umbrales y estimación de los parámetros de la DPG

La selección del umbral es fundamental en la determinación apropiada de la región de la cola antes de ajustar la DPG a los datos, debido a que reduce el sesgo y varianza en el modelo estimado. De acuerdo con ^{Coles (2001)}, la selección de umbrales demasiado pequeños contribuye a la violación de las propiedades asintóticas del modelo, generando estimaciones sesgadas. En contraste, umbrales demasiados grandes producen estimaciones con errores estándar altos como resultado del limitado número de observaciones en la muestra. En la TVE existen varias herramientas estándar para la selección del umbral entre ellas se pueden mencionar a la función de exceso medio y el gráfico de Hill (^{Embrechts et al., 1997}).

Este análisis emplea la función de exceso medio (FEM) empírica

La FEM es una función lineal del umbral z _{(k + 1)} para la DPG, la cual se aplica directamente a los residuales positivos, mientras que la serie de los residuales estandarizados negativos se transforman a positivos, multiplicando por -1, con el fin de estimar la FEM a partir de los valores extremos máximos. En la Tabla 3 se reportan la selección óptima de los umbrales y las estimaciones de los parámetros de escala y forma, así como las estimaciones del VaR dentro de la muestra para el horizonte de 1 día. De acuerdo con el criterio de linealidad de la FEM⁵, los umbrales seleccionados basados en los residuales estandarizados positivos de los modelos de volatilidad estimados, oscilan entre 2.0516 y 2.8066 con un número de excesos entre 138 y 151. En caso de los residuales estandarizados negativos se puede observar que los umbrales óptimos oscilan entre 2.0310 y 2.5338 con un número de excesos entre 142 y 154. Además, los umbrales de la cola derecha tienden a ser más grandes que los de la cola izquierda, excepto en los modelos GARCH y ACGARCH2. Este hecho confirma que las colas de la distribución de residuales presentan diferentes características debido a la existencia de asimetría en las series de los rendimientos del petróleo Maya. Finalmente, el número de excesos es suficientemente grande para obtener una buena estimación.

De acuerdo con las estimaciones de los parámetros de la DPG para los diferentes umbrales, el parámetro de escala se mantiene estable para la cola superior bajo los diferentes modelos de volatilidad, puesto que oscilan entre 0.5242-0.5777, con la excepción del modelo CGARCH que alcanza un valor de 0.4646. Este hecho se puede atribuir a la dispersión de los excesos, con respecto al umbral seleccionado, el cual es relativamente alto. En el caso de la cola inferior, las estimaciones de los parámetros de escala oscilan en un rango más amplio entre 0.4880-0.6103, lo que implica valores más pequeños en comparación con la cola superior, excepto para el modelo ACGARCH2. Este hallazgo es alimentado por la menor presencia de excesos negativos en la muestra que se encuentran dispersos, lo que conlleva a la selección de un umbral más alto en comparación con el umbral de los excesos positivos.

Al analizar el parámetro de forma estimado, su valor positivo muestra evidencia concluyente de que la DPG explica apropiadamente el comportamiento asintótico de las colas de la distribución de los residuales estandarizados negativos y positivos del petróleo Maya. En un análisis más profundo, el valor del parámetro de forma tiende a ser más alto en los residuales negativos que en los positivos. Este hallazgo confirma que la cola izquierda presenta un comportamiento más estable y es más ancha, excepto en el modelo CGARCH. Este hallazgo conduce a estimaciones más conservadoras del VaR como se puede observar en el Panel B de la Tabla 3, particularmente en los niveles de confianza extremos. En los cuantiles del 99.5% y 99.9%, las estimaciones del VaR para la posición corta oscilan entre 3.0138-3.0851 y 4.2636-4.4351, respectivamente. En tanto que las estimaciones del VaR de la posición larga tienden a oscilar entre 3.0699-3.1479 y 4.7429-4.9619, respectivamente. La evidencia empírica revela que en la medida que nos adentramos más en las colas de la distribución de residuales estandarizados, los participantes en el mercado del petróleo Maya tienden a experimentar pérdidas más severas, en particular para la posición larga.

Evaluación de las medidas VaR dentro de la muestra

En esta sección se reportan los resultados de la validación del desempeño predictivo de los modelos VaR estimados a través de las aproximaciones TVE-CGARCH, TVE-ACGARCH1 y TVE-ACGARCH2, los cuales se comparan a los modelos benchmark: TVE-GARCH estándar y asimétricos. Para determinar la confiabilidad de las medidas de riesgo se comparan las estimaciones del VaR dentro de la muestra contra los rendimientos actuales del periodo del 4 de enero de 2016 al 31 de diciembre de 2019, con un total de 1,022 observaciones diarias.

En la Tabla 4 se reportan los valores-p de la prueba estadística de ^{Kupiec (1995)} para los niveles del VaR de las posiciones corta y larga y el número de fallos reales entre paréntesis, mientras que el número de fallos esperados para el 5%, 2.5%, 1%, 0.5% y 0.1% equivalen aproximadamente a 50, 25, 10, 5 y 1, respectivamente. Para la selección del modelo con mejor desempeño se toma como referencia el valor-p más alto de la prueba de Kupiec o comparando el número de fallos esperados contra el número de fallos reales que ocurren cuando R _t+1 > VaR(p) _t+1 . Si el valor-p es menor al 0.05 el modelo de la TVE condicional subestima o sobreestima el VaR a un nivel de significancia de 5%, dependiendo si el número de fallos reales se encuentran por debajo o arriba del esperado.

En los niveles de confianza del 95% y 97.5%, los valores-p del backtesting revelan el poder predictivo del modelo TVE-ACGARCH2 en la estimación del VaR para la posición corta del petróleo Maya, al registrar el mismo número de fallos empíricos y esperados. Sin embargo, la eficiencia predictiva de esta aproximación se reduce en los cuantiles extremos del 99% y 99.5%, en donde existen varios modelos que proporcionan excelente desempeño predictivo entre ellos TVE-CGARCH1, TVE-CGARCH y TVE-APARCH. En el nivel de confianza del 99.9%, la mayoría de los modelos VaR estiman correctamente las pérdidas para el mercado del petróleo Maya, excepto las aproximaciones TVE-GARCH, TVE-EGARCH y TVE-GJR. Para la posición larga, la evidencia empírica es mixta entre los modelos TVE-CGARCH asimétricos, pero más específica. Los valores-p indican que las predicciones del VaR bajo las aproximaciones TVE-CGARCH asimétricas, no pueden rechazarse en ninguno de los niveles de confianza. En el cuantil del 95% y 97.5%, la aproximación TVE-CGARCH2 tiende a estimar correctamente el riesgo de la cola, porque el valor-p es mayor al nivel de significancia de 5%, lo que implica que la tasa de fallo empírica es más alta que la tasa de fallo teórica.

Con respecto al desempeño predictivo de los modelos benchmark, las aproximaciones TVE-CGARCH1 proporciona mejores estimaciones del VaR dentro de la muestra, puesto que el número de fallos empíricos es muy parecido al número de fallos teóricos para los niveles de confianza del 99% y 99.5% de la posición larga. Finalmente, las estimaciones del VaR son correctas bajo el modelo benchmark TVE-EGARCH y la aproximación TVE-CGARCH2 para el nivel de confianza del 99.9%. Los hallazgos evidencian que los modelos que capturan apropiadamente las características de asimetría y persistencia en el largo plazo, así como el comportamiento asintótico de las colas anchas mejoran las estimaciones del VaR de las posiciones corta y larga en los rendimientos del petróleo Maya.

Resultados del backtesting fuera de la muestra

Debido a que los inversionistas y administradores de portafolio están más interesados en la reacción de los modelos VaR en la medida que llega nueva información al mercado, en esta sección se lleva a cabo el backtesting para analizar el comportamiento cualitativo entre los rendimientos diarios actuales y las estimaciones dinámicas del VaR de las posiciones larga y corta de los diferentes modelos. De la misma manera, el periodo del 4 de enero de 2016 al 31 de diciembre de 2019 es utilizado para la evaluación del desempeño predictivo de los modelos VaR fuera de la muestra a través de una ventana móvil de tamaño fijo de 5,436 observaciones. Esta técnica consiste en remover la observación más remota y agregar la observación más reciente al periodo de análisis, lo que permitirá capturar las características cambiantes en el tiempo de la volatilidad y actualizar los residuales estandarizados para estimar el VaR a través de la TVE.

En la Tabla 5 se reportan los resultados del análisis backtesting para las predicciones fuera de la muestra del VaR de las posiciones larga y corta del petróleo Maya. De acuerdo con los resultados, el desempeño predictivo fuera de la muestra de los modelos VaR es diferente al desempeño predictivo dentro de la muestra. Los valores-p de la prueba de Kupiec confirman que los modelos TVE-ACGARCH asimétricos presentan el mejor desempeño para predecir el VaR de la posición corta en los niveles de confianza del 95% y 97.5%, al observar 50 y 29 fallos empíricos contra 51 y 26 fallos esperados, respectivamente. En el 99%, dos modelos presentan el mismo desempeño para estimar correctamente el VaR, esto es, las aproximaciones de la TVE-ACGARCH1 y TVE-APARCH que observaron 11 fallos empíricos. Mientras que los modelos TVE-CGARCH y TVE-ACGARCH2 proporcionan el desempeño más alto para la estimación del VaR en el nivel de confianza del 99.5%. En el nivel de confianza del 99.9%, el poder predictivo de todos los modelos VaR ha sido rechazado, excepto bajo la aproximación TVE-CGARCH simétrica.

Para las predicciones fuera de la muestra de la posición larga, la aproximación TVE-ACGARCH2 proporciona el mejor desempeño predictivo en la estimación del VaR para los niveles de confianza del 95% y 97.5%, seguido por la aproximación TVE-ACGARCH1 al observar 50 y 25 fallos empíricos contra 52 y 26 fallos empíricos, respectivamente. Los resultados de los valores-p del estadístico de Kupiec revelan el poder predictivo de los modelos TVE-CGARCH y TVE-ACGARCH2 en la estimación del VaR para el nivel de confianza del 99%, mientras que la aproximación TVE-ACGARCH1 proporcionan el mejor desempeño predictivo fuera de la muestra en el nivel de confianza del 99.5%, al observar exactamente 5 fallos empíricos. Para el caso del 99.9%, el desempeño predictivo de la aproximación TVE-CGARCH supera notablemente a todos los demás modelos VaR comparados, debido a que el número de fallos empíricos es igual al número de fallos esperados.

De acuerdo con los resultados se puede observar que las predicciones del VaR fuera de la muestra son ligeramente mejores en comparación con las predicciones dentro de la muestra para la posición larga. Este hecho se atribuye a que los valores-p fuera de la muestra son más grandes que los valores-p dentro de la muestra, mientras que para la posición corta ocurre todo lo contrario. Otro hallazgo importante es que a pesar de que las aproximaciones TVE-GARCH simétricas y asimétricas proporcionan excelentes estimaciones del VaR fuera de la muestra. Sin embargo, el desempeño predictivo de las aproximaciones TVE-CGARCH simétricas y asimétricas continúa siendo superior para cualquier nivel de confianza en ambas posiciones corta y larga de los rendimientos del petróleo Maya.

Los hallazgos proporcionan información más precisa con respecto al riesgo de la cola en el mercado de petróleo Maya. De hecho, los resultados empíricos se encuentran en línea con los hallazgos de ^{Youssef et al. (2015)}, quienes argumentan que cuando las propiedades de colas anchas y el grado de curtosis son considerados en el modelado de la distribución de los rendimientos del petróleo, así como la volatilidad clustering, asimetría y memoria larga, los modelos TVE-FIAPARCH mejoran la calidad de las estimaciones del riesgo a diferencia de los modelos TVE-GARCH. Con respecto a la comparación de los modelos TVE-GARCH asimétricos, la evidencia empírica indica que las aproximaciones TVE-GJR y TVE-APARCH presentan mejores resultados de la estimación del riesgo de la cola. Sin embargo, estos resultados empíricos contradicen los hallazgos de ^{Weru et al. (2019)}, debido a que el modelo TVE-EGARCH proporciona estimaciones robustas del VaR en los niveles de confianza del 95% y 99%.

Además, el uso de los modelos TVE-CGARCH simétricos y asimétricos puede coadyuvar en la implementación exitosa de la administración del riesgo en la industria energética en periodos de extrema volatilidad, por lo que los hallazgos tienen importantes implicaciones para los productores, consumidores, así como para los inversionistas de portafolio que participan en los mercados de energía fósil altamente volátiles y tienen la necesidad de entender mejor la información sobre el riesgo de la cola para los propósitos de la regulación, administración del riesgo y el diseño de estrategias de cobertura óptima para reducir su impacto en periodos de calma y crisis financieras.