I. Un modelo MF estocástico de precios flexibles

El modelo MF estocástico es una representación de una economía pequeña y abierta.³ La economía MF enfrenta una tasa de interés mundial it* y precios internacionales pt*. Con mercados y movilidad perfecta de capitales, la paridad descubierta de tasas de interés es válida en todos los períodos de tiempo t≥1. Además, los agentes del modelo MF estocástico tienen expectativas racionales en las principales variables agregadas.

El modelo MF estocástico de precios flexibles se caracteriza por una especie de ‘virgulilla’ sobre sus variables, tal como se ilustra a continuación:

La ecuación (1) es una generalización de la teoría de poder adquisitivo absoluta (PPA). El tipo de cambio real q-t  se mide por el tipo de cambio nominal de las monedas s-t, incluido el precio de los bienes extranjeros pt* y el precio de los bienes nacionales p-t.⁴ Por supuesto, no interesa si en la economía extranjera p t ∗ es rígido o flexible ya que es exógeno.

La ecuación (2) es una condición de equilibrio entre la renta y el gasto agregado. Siguiendo a ^{Mark (2000)}, el producto natural y-t es un proceso raíz unitaria y-t=y-t-1+zt, donde zt~N0,σz2. Por otro lado, el gasto agregado depende de manera positiva del tipo de cambio real, donde δ es una elasticidad, pero además el gasto agregado es una función negativa de la tasa de interés real esperada, donde σ es una sensibilidad del gasto agregado. La tasa de interés real esperada es la diferencia entre la tasa de interés nominal i-t y la tasa de inflación esperada, medida por las expectativas de inflación Etp-t+1-p-t, donde Et∙es el operador de expectativas p-t+1, y p-t son los precios en t+1 y t, respectivamente. Adicionalmente el gasto agregado está sujeto a un shock raíz unitaria asociado a una media móvil dt=dt-1+et-γet-1, donde et~N0,σe2.

La ecuación (3) es la paridad descubierta de tasas de interés. La perfecta movilidad de capitales asegura la igualación de rendimientos de los activos nacionales i-ty extranjeros it*. El rendimiento de los activos nacionales es 𝑖 𝑡 , el rendimiento de los activos extranjeros es. Dado las distintas unidades de las monedas, el términEts-t+1-s-to mide el cambio esperado en el valor de las monedas necesario en el cálculo de las rentabilidades, donde s-t+1 y es s-t el tipo de cambio nominal de la moneda extranjera medido en términos de la moneda nacional en los períodos t+1 y t, respectivamente.

La ecuación (4) es la condición de equilibrio en el mercado de dinero. La oferta de saldos reales es igual a la demanda de saldos reales mt-p-t. La demanda de saldos reales es una función positiva de la renta nacional y-t , aunque también depende de forma negativa de la tasa de interés doméstica i-t . Por otro lado, la oferta también es un proceso raíz unitaria,mt=mt-1+vt , donde, vt~N0,σv2.

Las ecuaciones (4) y (5)son las definiciones de las expectativas racionales para el nivel de precios nacional y el tipo de cambio nominal en el sentido fuerte de su definición (^{Snowdon-Vane, 2005}), donde Ω_t es el conjunto de información de los agentes económicos.

La reflexión de este modelo inicia con el cuadro 1, donde se presenta la clasificación de las variables endógenas y exógenas de esta economía de precios flexibles. Obsérvese que se cuida que haya tantas variables como ecuaciones, donde Etp-t+1 y Ets-t+1son las expectativas de p-t+1 y s-t+1 , respectivamente.

La primera acción de manipulación algebraica es insertar (3) en la ecuación (2) y agrupar los términos q-t y Etq-t+1 . El cálculo se facilita gracias a la definición (1).

donde,a y b son coeficientes parametrizados:

Como dt e y-t son conocidos, se itera hacia adelante para encontrar la siguiente sumatoria:

Ahora, por iteración hacia atrás se observa que Ety-t+k=y-t y Etdt+k=dt-γet. ⁵ Estas dos últimas propiedades implican entonces:

Como ∑ak es una progresión convergente porque a∈(0,1), entonces se alcanza la ‘primera ecuación reducida’:⁶

Esta ecuación muestra que una depreciación real (un incremento en q-t ) se explica por incrementos del producto natural y-t , mientras que una apreciación real (un decremento en q-t ) es consecuencia de un choque positivo de la demanda agregada dt , pero amortiguado por su inercia et, con tal que 1δ>γδσδ+σ.

Con el propósito de calcular el precio de equilibrio, ahora se considera la ecuación monetaria junto a la paridad descubierta de tasas de intereses. Es decir, al sustituir (3) en (4) se obtiene:

Al sumar lp-t en ambos lados (10) y después de restar y sumar lEtp-t+1 se obtiene:

La expresión anterior se simplifica al considerar la definición del tipo de cambio real implicada por la ecuación (1).

Considerando la ecuación (9), el último término de la parte derecha de la ecuación anterior es igual a:

Si se toma en cuenta la ecuación (13) en (12) se simplifica la ecuación involucrada.

donde,

Ahora bien, por iteraciones hacia adelante se arriba a la siguiente expresión:

De manera semejante, a través de iteraciones se consigue Etmt+k=mt y Ety-t+k=y-t. Como estos términos no incluyen al índice k, entonces se puede separar del operador sumatoria para deducir:

La sumatoria es una progresión geométrica convergente, por lo que se obtiene la ‘segunda ecuación reducida’.

La ecuación (17) nos dice que el precio de equilibrio depende positivamente de la oferta monetaria y de la inercia del gasto agregado, aunque, por otro lado, el nivel de precios depende negativamente del producto natural.

La ‘tercera ecuación reducida’ concierne al tipo de cambio nominal de equilibrio. La solución se obtiene de sumar las ecuaciones (9) y (17), esto es el tipo de cambio real y el nivel de precios de equilibrio.

Los cálculos prosiguen adelantando un período de tiempo la ecuación (18).

Se restan entre sí las ecuaciones (18) y 19) y después se simplifica, pero recordando que se tienen procesos estocásticos raíz unitaria.

La simplificación conduce a la siguiente ecuación:

Por último, en el supuesto it*=0, es fácil ver que la paridad descubierta de tasas de interés es i-t=Ets-t+1-s-t. Ahora bien, este resultado es crucial en el cálculo de la esperanza matemática de la ecuación (21).

Esa última ecuación es la ‘cuarta ecuación reducida’ y muestra que la tasa de interés nominal i-t de equilibrio es un proceso ruido blanco si el nivel de precios es flexible.

En síntesis, las ecuaciones (9), (17), (18) y (22) constituyen la solución de expectativas racionales de la economía MF estocástica de precios flexibles.

Los procesos estocásticos exógenos

Los tres procesos estocásticos son generados y graficados en la figura 1. La inspección visual apoya la idea de que son procesos estocásticos no-estacionarios, e incluso podría aceptarse la existencia de alguna tendencia estocástica (intercepto).

En el caso de cada una de las series generadas se calcula el estadístico de prueba τ1 , comprobando que no sea invalidada por la presencia de correlación serial. En todos los casos, como lo muestra el cuadro 5, se encuentra evidencia en favor de la hipótesis nula. Más específicamente, con un nivel de significancia de 1%, se confía que los datos proceden de un proceso raíz unitaria. Por otro lado, también se calcula el estadístico DFA para las primeras diferencias. Los resultados se reportan en el cuadro 6, mostrando que son estacionarias.

Los datos para el modelo MF de precios flexibles

Las series de los procesos estocásticos exógenos sirven para generar los datos simulados de las variables endógenas para el modelo MF estocástico de precios flexibles. Por ejemplo, de acuerdo con la ecuación (9), el tipo de cambio real de equilibrio es una combinación de dos series no-estacionarias (el producto natural y el shock de demanda agregada), más una serie que es estacionaria (un término ruido blanco). La combinación de estos procesos estocásticos podría resultar diferente a lo previsto.

La inspección visual es necesaria, pero es insuficiente para establecer la naturaleza estadística de las variables endógenas. La figura 2 permite abrigar la idea que las series son no-estacionarias, excepto quizá la tasa de interés nominal. Las primeras tres series parecen incluir un ‘intercepto’. Por otro lado, es evidente que las series están libres de una tendencia determinista. La prueba DFA permitirá decidir estadísticamente. La validez de la prueba DFA es respaldada por en análisis de los correlogramas de los residuos y por el estadístico Durbin-Watson. Como es sabido, la autocorrelación invalida la prueba DFA al provocar que el estimador de mínimos cuadrados ordinarios sea ineficiente.

Los cuadros 7 a 9 reportan las diferentes regresiones auxiliares para la prueba ADF en el caso de las variables endógenas: q-t p-ts-ti-t.Por su parte, el cuadro 11 reporta el valor de la prueba ADF en el caso de todos los procesos estocásticos. Las regresiones auxiliares no contienen una tendencia determinista, aunque algunas incluyen un intercepto. La gama de regresiones es compatible con la ausencia de correlación serial. Se asume que el estadístico DW debe estar comprendido en el rango de 1.85 a 2.15 para la ausencia de correlación serial. En los casos donde no aplica este estadístico, nos auxiliamos de los correlogramas de los residuos buscando el rezago significativo más apropiado.

La regresión auxiliar para ∆q-t en el cuadro 7 incluye el intercepto, el nivel de la variable dependiente retardada (z.lag.1) y un rezago de la primera diferencia de la variable dependiente (z.diff.lag). De acuerdo con el cuadro 11, el valor crítico al 5% (-2.88) es inferior al valor del estadístico τ2 2 (-2.55), por lo que no se rechaza la hipótesis nula, la serie es un proceso raíz unitaria. Además, el estadístico ϕ1 (3.57) es inferior a su valor crítico, por lo que se concluye que es una caminata aleatoria pura.

Similarmente, cuidando que los residuos estén libres de correlación serial, el cuadro 8 reporta la regresión auxiliar para ∆p-t más idónea, sin intercepto. En este escenario, como muestra el cuadro 11, el estadístico τ1(-1.041) y el p-valor corresponden a una caminata aleatoria pura.

El cuadro 9 reporta la regresión auxiliar para ∆s-t , entre los regresores está el intercepto, el nivel de la variable dependiente retardada (z.lag.1) y un rezago de la primera diferencia de la variable dependiente (z.diff.lag). Con un nivel de significancia de 5%, de acuerdo con el cuadro 11, los valores de los estadísticoτ2 (-2.2855) y ϕ1 (2.6432) son inferiores a sus valores críticos, por lo que se acepta la hipótesis nula. La serie implicada es una caminata aleatoria pura.

El cuadro 10muestra la regresión auxiliar para ∆i-t con el nivel de la variable dependiente retardada (z.lag.1), pero sin intercepto. A un nivel de significancia de 5%, en el cuadro 11, el valor del estadístico τ1 (-16.5084) cae en la región de rechazo de la hipótesis nula.

Como es evidente, las regresiones auxiliares para la prueba ADF con diferentes rezagos se explica por el problema de correlación serial. En conclusión, a un nivel de significancia del 5%, se puede afirmar que todas las series son procesos no-estacionarios, excepto la tasa de interés nominal. El tipo de cambio real, el nivel de precios, el tipo de cambio nominal y el nivel de producto son caminatas aleatorias puras, pero la tasa de interés es un ruido blanco.

Los datos para el modelo MF estocástico de precios rígidos

En esta sección se vuelven a generar datos, pero ahora para el modelo MF estocástico de precios rígidos. Convenientemente, las cinco series son graficadas en la figura 3. La inspección visual de los paneles (a), (b) y (e) permiten anticipar que los datos provienen de procesos no-estacionarios. Por otra parte, los paneles (c) y (d) parecen indicar que los datos sean una manifestación de procesos estacionarios.

La ambigüedad se disipa con la prueba ADF basada en las regresiones auxiliares reportadas en los cuadros 12 a 16. Como es conocido, el número de rezagos en las distintas regresiones se explica por la necesidad de eliminar la correlación serial. Por otra parte, en todas las regresiones incluimos la presencia de un intercepto, aunque la inspección visual pareciera no justificar su presencia. Por último, los estadísticos pertinentes de la prueba ADF se informan en el cuadro 17.

En el cuadro 12 el coeficiente el primer retardo de la primera diferencia de la variable dependiente (z.diff.lag1) en la regresión para ∆q_t es significativo, por lo que se podría eliminar. Sin embargo, su presencia permite evitar el problema de correlación serial, de otra manera, la prueba quedaría invalidada.

En los demás casos (cuadros 13 a 16) no es necesario incluir un intercepto en la regresión. En todos los casos se comprueba que el intercepto no tiene una influencia significativa en la variable dependiente. Por este motivo, para el nivel de precios, el tipo de cambio nominal, la tasa de interés y el nivel de producto, la prueba ADF se basa únicamente en el estadístico τ1 .

La conclusión a la que se arriba (con el cuadro 17) es que cuatro de las cinco series provienen de un proceso raíz unitaria puro. La única excepción es la tasa de interés, la cual es estacionaria. De esta manera, la inspección visual para el tipo de cambio nominal es engañosa, ya que se trata más bien de una serie no-estacionaria, sin intercepto.

Estimación VAR con algunas series seleccionadas

En la práctica se observan las realizaciones del modelo MF estocástico de precios rígidos. Con el propósito de estimar la estructura los parámetros se consideran las siguientes series: it mt pt q st yt. El análisis VAR procede bajo la premisa de interdependencia de las variables entre sí, de modo que ninguna de ellas se concibe como una variable exógena. Por supuesto, también se procede a realizar un contraste de cointegración porque existe interés en la existencia de relaciones de equilibrio a largo plazo. Si es el caso, se debe estimar un modelo de vectores de corrección de error (VEC).

Con el fin de decidir cómo proceder, se considerará un modelo VAR (p) de series estacionarias, sin tendencia lineal, ni intercepto, dado por:

donde, xt es un vector de n variables, Ai son las matrices de coeficientes para los diferentes rezagos de xt y  ϵt es un ruido multivariado gaussiano con media cero. Se escribe la ecuación (49) en la forma de corrección de errores:

donde Δxt=xt-xt-1, es el operador de primera diferencia, Π es la matriz de coeficientes del primer rezago y Γ_i son las matrices para cada rezago diferenciado. Más específicamente

Sea r=rangoΠ, si r=n, entonces la matriz Π tiene rango completo de modo que xt~I0. En cambio, si xt~I1 , entonces el rango de la matriz Π será r <n. A este respecto, si r=0, entonces la matriz Π es nula, por lo que se tiene un modelo VAR con Δxt~I0. Sin embargo, si 0<r<n, entonces existirán n×r matrices α y β, cada una con rango r, tal que Π=αβ', donde, además,βxt' es estacionario. De esta manera, r es el número de relaciones de cointegración.

Existen dos pruebas de razones de verosimilitudes para la significancia de las correlaciones canónicas asociado al rango reducido de la matriz Π: la prueba de traza y la prueba de máximo valor propio.

donde T es el tamaño de la muestra, λ^i es la i-ésima correlación canónica más grande.

La prueba de traza consiste en la hipótesis nula de n vectores cointegrados contra la hipótesis alternativa de r vectores cointegrados. Por otro lado, la prueba de máximo valor propio contiene a la hipótesis nula de r vectores cointegrantes contra la hipótesis alternativa de r+1 vectores cointegrados. En cualquier caso, se procede secuencialmente, esto es, si el rango de Π es igual a cero, igual a uno, hasta r = n - 1. La hipótesis nula de r = 0 es que no hay cointegración. Un rango r> 0 implica que existe una relación de cointegración posiblemente entre dos o más series de tiempo. La descomposición de los valores propios da como resultado un conjunto de vectores propios. Los componentes del vector propio más grande sirven como los coeficientes de la combinación lineal de las series subyacente a una serie estacionaria.

Ahora bien, después de realizar varias corridas, nos limitamos a estudiar el sistema:mt,pt,st. La omisión de las demás variables se explica por la singularidad en el cómputo de la matriz de varianza-covarianza en el proceso de selección del orden del modelo VAR. La explicación es que algunas variables están colineadas, como es el tipo de cambio nominal que resulta de la combinación de dos variables,st=pt+qt.

Para seleccionar el rezago óptimo, se utilizan los criterios Akaike (AIC), Bayesiano (BIC) y Hannan-Quinn (HQ). El cuadro 18 reporta el número de rezagos óptimo para los niveles de las variables. A este respecto, la información conduce a afirmar que el rezago apropiado está entre 2 y 3, ya que el criterio AIC tiende a sobreestimar el número de rezago óptimo.

Por otro lado, el cuadro 19 constata que no existe cointegración entre las variables seleccionadas. Las pruebas de cointegración corresponden al criterio de la traza y el máximo valor propio. Por tanto, se concluye que no existen relaciones de equilibrio a largo plazo entre las variables involucradas.

Como ambos sistemas son xt~I1 se estima un modelo VAR en diferencias, sin intercepto. A este respecto, siguiendo el criterio HQ para determinar el número de rezago óptimo, se estima un modelo VAR (2). La estimación bajo mínimos cuadrados ordinarios se reporta en el cuadro 20.

A juzgar por el coeficiente de bondad de ajuste, las dos primeras regresiones difieren de la tercera regresión, dado que esta última no tiene poder de explicación, 1%, algo inusual. Por otro lado, en las diferentes regresiones, algunos coeficientes estimados no son significativos estadísticamente. En el caso de la ecuación de oferta monetaria, todos los regresores tienen un p-valor demasiado alto como para aceptar la hipótesis nula. No es el caso del tipo de cambio y el nivel de precios, en los que hay varios regresores marcados (*) por ser estadísticamente diferentes de cero a un nivel de significancia del 1% o 5%. Estos resultados encajan bien con el proceso generador de datos, ya que la oferta monetaria es un proceso estocástico exógeno al sistema de ecuaciones. En este sentido, la estimación VAR detecta esta característica en los datos disponibles. Además, por las pruebas de causalidad de Granger de los cuadros 21 y 22, tenemos evidencia que la oferta monetaria tiene efectos causativos en el nivel de precios y el tipo de cambio nominal, pero no así en sentido inverso; es decir, de estas variables a la oferta monetaria. Las pruebas de causalidad se hicieron hasta rezagos, los cuales están en el ámbito de los criterios BIC y HQ.

Las raíces miden la estabilidad dinámica de las variables dependientes en el modelo VAR. A este respecto, el sistema estimado tiene seis raíces reales, todas inferiores a la unidad, las primeras dos raíces se repiten (0.45897469), otros dos tienen valores iguales (0.44098463), y otras dos raíces son diferentes (0.18562816, 0.05037171). Por otro lado, mediante gráficas de los correlogramas de los residuos de las diferentes ecuaciones estimadas no se encuentran problemas de correlación serial.

El cuadro 23informa de las pruebas de correlación serial y normalidad. A este respecto, de acuerdo con las pruebas Portmanteau y Breusch-Godfrey no se rechaza la hipótesis nula de ausencia de correlación serial, ya que cada estadístico tiene un p-valor más grande que 1% o 5%. Similarmente, la prueba Jarque-Bera, simetría y curtosis muestran que los residuos encajan con una distribución normal.

Por último, el análisis de las funciones impulso-respuesta es una etapa importante en el análisis econométrico de los modelos VAR. Dado que todas las variables en un modelo VAR dependen unas de otras, las estimaciones de coeficientes individuales solo proporcionan información limitada sobre la reacción del sistema ante un choque. Las funciones impulso-respuesta describen la evolución de las variables frente a un choque en una o más variables exógenas. De este modo, se puede trazar el efecto corriente y futuro de las variables endógenas ante un “shock” de una desviación estándar en las innovaciones. Precisamente, a lo largo de algunos períodos de tiempo, en el panel (a) y (b) de la figura 4, se ilustró la reacción del tipo de cambio nominal y el nivel de precios a un “shock” monetario.

Las dos gráficas patentizan la reacción de las variables a lo largo de unos diez períodos de tiempo. Los efectos inmediatos encajan con la teoría económica, aunque estos efectos se disipan en poco tiempo. En el caso del tipo de cambio nominal, los datos muestran que existe un efecto desbordamiento en el tipo de cambio nominal casi instantáneamente, tal como predice el modelo de ^{Dornbusch (1976)}, aunque el efecto se disipa entre valores negativos y positivos, extinguiéndose algunos períodos adelante. Con relación, al nivel de precios, la conclusión es similar, aunque sus efectos desaparecen algo más temprano (período 5) en comparación con el tipo de cambio nominal (período 6).