Análisis estadístico

Un primer análisis comparativo de los datos utilizando diferentes tarifas de volumen indicó que, para más del 98 % de las especies estudiadas, la ecuación de ^{Schumacher y Hall (1933)} se ajustó mejor a la relación entre el volumen rollo total del árbol con corteza (vrta) como variable dependiente y el diámetro normal y la altura total como variables independientes. Por ello, en este trabajo se utilizó dicha ecuación como la tarifa base para comparar la estimación del volumen entre especies y en una misma especie entre las UMAFOR. El sistema de ecuaciones aditivas para estimar el volumen del fuste, de ramas y volumen total del árbol quedó integrado por las ecuaciones siguientes:

Para evaluar si el sistema de ecuaciones aditivas difiere entre especies de un mismo género y en una misma especie entre las UMAFOR, se utilizaron dos análisis complementarios basados en el ajuste de un sistema de ecuaciones reducido y de un sistema completo de ecuaciones (^{Bates & Watts, 1988}). El sistema reducido correspondió al mismo conjunto de parámetros globales (β ₀ , β ₁ , β ₂ y β ₃ ) para todas las especies que pertenecen al mismo género sin distinguir entre ellas ni entre las UMAFOR donde una misma especie coexiste. El sistema completo correspondió a diferentes conjuntos de parámetros para cada especie o para cada UMAFOR, y se obtuvo mediante la expansión de los parámetros y la inclusión de un parámetro asociado y una variable dicotómica que permite diferenciar entre especies y entre las UMAFOR, según sea el caso. Para realizar tal prueba, el tamaño mínimo de muestra requerido por especie dentro de una UMAFOR fue 50 individuos; por tal razón, en el caso de P. strobiformis, la prueba solo se hizo en las UMAFOR 1006 y 1008.

En el caso de las nueve especies del género Pinus, los parámetros del sistema de ecuaciones aditivas se expandieron, resultando un nuevo sistema de tres ecuaciones con 36 parámetros acompañados de una variable dicotómica para diferenciar entre especies. Los parámetros del modelo completo quedaron expresados como:

β _0i, β _1i, β _2i y β _3i son los coeficientes a estimar; I _i es la variable dicotómica definida de la forma siguiente (considerando a P. cooperi como la especie base o de referencia): I ₂ = 1 para la especie P. durangensis y 0 para el resto, y así sucesivamente hasta llegar a la especie codificada mediante el número 15 (P. herrerae). Cuando la comparación se hizo entre especies del género Quercus, I ₂ = 1 para Q. durifolia y 0 para el resto, y así sucesivamente hasta llegar a la especie codificada con el número 66 (Q. rugosa). En este caso Q. sideroxyla fue la especie de referencia para expandir el sistema. En el caso de las UMAFOR, I ₂ = 1 para la UMAFOR 1002 y 0 para el resto, y así sucesivamente hasta llegar a la UMAFOR 1011 (UMAFOR 1001 de referencia). Los dos análisis realizados se describen a continuación:

Método de la suma adicional de cuadrados no lineales

El primer análisis estadístico realizado se conoce como el método de la suma adicional de cuadrados no lineales (^{Bates & Watts, 1988}) y la prueba estadística apropiada que sigue una distribución F se define como:

donde:

SSE R =	Suma de cuadrados del error del modelo reducido
df R =	Grados de libertad asociados al modelo reducido
SSE c =	Suma de cuadrados del error del modelo completo
df c =	Grados de libertad asociados con el modelo completo

La regla de decisión estadística en este análisis para un determinado nivel de significación (α) es la siguiente: si F > F crítico (1 − α; df _R − df _c , df _c ) o si la probabilidad asociada (P > F crítico) < α, se rechaza la hipótesis nula (H ₀: no diferencia entre especies o entre las UMAFOR). Lo anterior indica que se requieren diferentes sistemas de ecuaciones para la predicción del volumen de las distintas especies de Pinus y Quercus o para una misma especie que crece en diferentes UMAFOR. Si por el contrario F < F crítico (1 − α; df _R − df _c , df _c ) o si la probabilidad asociada (P > Fcrítico) > α, se acepta la hipótesis nula H ₀ y se propone el mismo sistema de ecuaciones para dos o más especies de un mismo género o para una misma especie en dos o más UMAFOR.

Comparación de sistemas de ecuaciones aditivas para la estimación de volumen entre especies

Los resultados del método de la suma adicional de cuadrados no lineales obtenidos en el ajuste de los sistemas reducido y completo se muestran en el Cuadro 3. El valor del estadístico F estimado en la comparación para evaluar si el sistema de ecuaciones aditivas difiere entre las especies del género Pinus fue de 6.45, y la probabilidad de encontrar un valor crítico mayor que 6.45 fue menor que 0.0001; por lo tanto, se rechazó la hipótesis nula de que un modelo único es adecuado para todas las especies de pino juntas.

En la comparación realizada para evaluar si el sistema de ecuaciones aditivas difiere entre las tres especies del género Quercus, el valor F fue 11.09, y la probabilidad de encontrar un valor critico mayor que 11.09 fue menor que 0.0001; por lo tanto, también se rechazó la hipótesis nula de un modelo único para las tres especies de encino.

Los resultados de las pruebas adicionales para evaluar si las diferencias son causadas solo por dos, o bien por las nueve especies de pino, se muestran también en el Cuadro 3. Se encontró que en ninguna de las 36 comparaciones pareadas se debe rechazar la hipótesis nula de un modelo único para el par analizado (P < 0.1). Por otro lado, los resultados de la evaluación pareada de las tres especies de encino indican que las especies Q. sideroxyla y Q. durifolia requieren diferentes sistemas de ecuaciones de volumen; mientras que las comparaciones Q. sideroxyla y Q. rugosa, y Q. durifolia y Q. rugosa no difirieron significativamente (P > 0.1).

Los resultados del segundo análisis mostraron que, en el ajuste del modelo completo, la mayoría de los parámetros asociados a la variable dicotómica utilizada para diferenciar entre las especies fueron significativos (P < 0.05) (Cuadro 4). Las comparaciones entre especies del género Pinus indican que al menos uno de los parámetros asociados a la variable dicotómica, para diferenciar entre especies y entre UMAFOR en el modelo completo (β ₀₁ , β ₁₁ , β ₂₁ ) fue significativo (P < 0.05). En el caso de Quercus, los resultados sugieren diferencias significativas entre los modelos desarrollados para las especies Q. sideroxyla y Q. rugosa y entre Q. sideroxyla y Q. durifolia, y consistentemente con el método de la suma adicional de cuadrados no lineales no existen diferencias significativas entre los sistemas de ecuaciones desarrolladas para Q. sideroxyla y Q. rugosa.

Los resultados de los dos análisis estadísticos para evaluar diferencias en volumen de las 12 especies estudiadas fueron consistentes en 97.4 % de los casos estudiados, indicando el rechazo de la hipótesis nula de un modelo único. Únicamente se observó una discrepancia entre las dos pruebas estadísticas realizadas, la cual consistió en que la suma adicional de cuadrados no lineales recomienda el uso de un modelo reducido para estimar el volumen de Q. durifolia y Q. rugosa, mientras que el análisis de la significancia de los parámetros recomienda emplear modelos diferentes.

En este trabajo se decidió rechazar la hipótesis nula de un modelo único, si en alguna de las dos pruebas estadísticas realizadas se sugiere el rechazo. Lo anterior se fundamentó en el hecho de que se cuenta con información a nivel de especie para el desarrollo de los modelos, y de acuerdo con los resultados de este trabajo solamente el volumen de las especies Q. sideroxyla y Q. rugosa podría estimarse con un mismo sistema de ecuaciones.

Los resultados de la comparación entre especies de un mismo género son consistentes con los reportados por ^{Corral-Rivas et al. (2007a)} y ^{Corral-Rivas et al. (2007b)}, quienes observaron también diferencias significativas en modelos desarrollados para estimar el diámetro normal y el volumen a partir de las dimensiones del tocón, y en funciones compatibles de ahusamiento y volumen en cinco especies del género Pinus en una región forestal de Durango, respectivamente. ^{Corral-Rivas et al. (2004)} también reportaron diferencias significativas en el crecimiento en altura dominante en cinco de las especies del género Pinus analizadas en este estudio. Por su parte, ^{Quiñonez-Barraza et al. (2014)} encontraron diferencias en la altura a la que ocurren los puntos de inflexión de ecuaciones de perfil en algunas de las especies consideradas en este trabajo.

Las principales causas de las diferencias estadísticas observadas en el volumen de las especies estudiadas se relacionan con diferencias en el perfil del fuste (^{Corral-Rivas et al., 2007b}; ^{Quiñonez-Barraza et al., 2014}) y con requerimientos específicos de calidad de estación de las especies analizadas (^{Corral-Rivas et al., 2004}).

Comparación de sistemas de ecuaciones aditivas para la estimación de volumen entre ecorregiones

El valor del estadístico F calculado en la comparación realizada para evaluar si los sistemas de ecuaciones para una misma especie difieren entre las UMAFOR fue menor que el valor critico (P < 0.1) en todas las especies analizadas, con excepción de P. strobiformis y Q. rugosa (Cuadro 5). Por tanto, se rechaza la hipótesis nula de la formulación de un único modelo para todas las UMAFOR en 10 de las 12 especies estudiadas. Los resultados de las pruebas adicionales realizadas para evaluar si las diferencias son causadas únicamente por dos o por más de las UMAFOR no se muestran en este artículo debido al espacio que ocuparían; sin embargo, indican que en 111 de las 285 comparaciones pareadas no fue posible rechazar la hipótesis nula de un modelo único para el par de UMAFOR analizado (P > 0.1), mientras que en el resto (61 % de los pares) se rechaza la hipótesis nula de un modelo único para los pares de UMAFOR analizados.

Los resultados del análisis de la significancia de los parámetros tampoco se muestran por motivos de espacio, pero se observó que los parámetros asociados a la variable dicotómica utilizada para diferenciar entre UMAFOR (β ₀₁, β ₁₁, β ₂₁) fueron significativos (P < 0.05) en la mayoría de los ajustes del modelo completo. De acuerdo con este análisis, solo en 15 comparaciones realizadas entre UMAFOR (5 % de los casos) no fue posible rechazar la hipótesis nula de la formulación de un modelo único.

En relación con el análisis anterior, resulta interesante la inexistencia de diferencias regionales en el volumen de P. strobiformis; dicho resultado puede estar relacionado con una similitud de condiciones ecológicas de los sitios donde esta especie se desarrolla, ya que crece normalmente en áreas húmedas y con sombra suficiente (^{Aguilera, 2001}). Las diferencias encontradas en volumen dentro de una especie que crece en más de una UMAFOR se atribuyen a diferencias en la densidad residual, causadas principalmente por la aplicación de los tratamientos silvícolas (^{Larson, 1963}), al tipo de suelo y a la precipitación. ^{Castedo, Barrio, Parresol, y Álvarez-González (2005)} recomendaron una ecuación diferente para modelar la relación altura-diámetro de Pinus pinaster Ait, en algunas regiones forestales del norte de España. ^{Calama et al. (2003)} proponen también diferentes ecuaciones de índice de sitio para Pinus pinea L. en regiones forestales de España. Hasta la fecha, en México no se han reportado estudios que evalúen diferencias regionales en algún tipo de modelo de crecimiento forestal, por lo que existe la necesidad de realizar otros trabajos que confirmen los resultados encontrados, especialmente para la especie P. strobiformis, debido a que en este estudio se contó con un tamaño de muestra adecuado solo para dos UMAFOR (1006 y 1008).

El Cuadro 6 presenta los estimadores de los parámetros derivados del ajuste, el coeficiente de determinación ajustado (R² _aj) y la raíz del error medio cuadrático (REMC) para las distintas ecuaciones que integran los sistemas de ecuaciones aditivas desarrolladas en este trabajo. Estos sistemas de ecuaciones explicaron en promedio 97, 34 y 96 % de la varianza observada en el volumen rollo total del árbol, volumen de ramas y volumen total árbol, respectivamente.