3.1. Sobre las nociones de hipótesis y conjetura en el razonamiento probabilístico

En opinión de algunos autores, por ejemplo, ^{Borovcnik y Kapadia (2018)}, se asegura que tanto la investigación como el profesorado no disponen todavía de un modelo convincente que permita observar y analizar el razonamiento probabilístico de los estudiantes. Es un modelo que está en construcción, dicen, por lo que su consideración es, todavía, un problema abierto de investigación. En ^{Batanero et al. (2016)} se describe un conjunto de categorías que constituyen un modelo incipiente con el que caracterizar dicho razonamiento en términos de capacidades. Entre esas categorías hay una que incluye el análisis previo de las condiciones -de una situación aleatoria dada- que permite derivar las hipótesis² necesarias para su modelización. Justo es en esta categoría en la que este trabajo pretende hacer aportaciones, resaltando la importancia de la formulación de hipótesis y conjeturas para un mejor desarrollo del razonamiento probabilístico y estocástico.

Resultados de investigación sugieren que una de las causas que podrían explicar una asignación poco fiable de la probabilidad de ocurrencia de un suceso, o un valor esperado de una variable aleatoria, es la presencia en el razonamiento del llamado sesgo de la equiprobabilidad (^{Lecoutre, 1992}; ^{Serrano, Batanero, Ortiz y Cañizares, 1998}; ^{Cardeñoso, Moreno, García - González y Jiménez - Montana, 2017}; ^{Begué, Batanero y Gea, 2018}), es decir, considerar la hipótesis, seguramente arbitraria en el sentido de ^{Poincaré (1992)}, o incluso estrafalaria para cualquier otro observador, de que todos los sucesos elementales del espacio muestral son igualmente posibles y basándose en ésta elaborar una conjetura sobre una probabilidad o un valor esperado poco esperable, poco razonable o poco o nada creíble para el observador, aunque sí lo sea para quien elabora dicha conjetura.

En la visión clásica de la probabilidad, bajo la hipótesis de la equiprobabilidad³, la Regla de Laplace proporciona una metáfora (^{Spiegelhalter y Gage, 2014}) para expresar la conjetura de que todos los sucesos tienen la misma probabilidad de ocurrir, usando para ello la razón del número de casos favorables en relación con el número de casos posibles. La hipótesis se formula contando con el principio de indiferencia o de la razón insuficiente para avalarla. Así que, desde el punto de vista del razonamiento probabilístico, los sujetos, aún actuando bajo del sesgo de la equiprobabilidad, actúan dentro de la lógica impuesta por la regla de Laplace y por el razonamiento subyacente, sólo que es discutible o poco razonable el uso que éstos hacen del principio de indiferencia. En consecuencia, desde el punto de vista didáctico, el sesgo de la equiprobabilidad puede ofrecer una buena oportunidad de aprendizaje del proceso y del significado de asignar la probabilidad a un suceso, si se entiende ésta como una forma de medir la credibilidad de la mejor conjetura que se puede elaborar sobre la ocurrencia del suceso, conjetura que se elabora sujeta a determinadas hipótesis previas y a las reglas del razonamiento plausible (^{Polya, 1966}). Si la hipótesis aceptada es la de la equiprobabilidad entonces la Regla de Laplace permite cuantificar la mejor conjetura disponible. Si, por el contrario, la hipótesis formulada es rechazada, entonces la Regla de Laplace no es útil y se deberá recurrir a otros métodos y procedimientos que permitan obtener una medida de la credibilidad o fiabilidad de una conjetura. Esto es, requerirá plantear y resolver un problema, tal y como nos advierte ^{Polya (1966, p. 356)}. Pero las hipótesis no deberían estar ausentes, ni tampoco estar implícitamente mencionadas, ni ser impuestas, como habitualmente ocurre en la enseñanza. Las hipótesis deberían aflorar, discutirse, acordarse y, si fuera el caso, contrastarse. Para ello, los problemas se deben concebir como problemas de (hipótesis) conjetura - credibilidad / fiabilidad, diferentes en su desarrollo final de los problemas de encontrar - probar de ^{Laktatos (1976)} y ^{Polya (1966)} o los de conjeturar - demostración de ^{Fiallo y Gutiérrez (2017)}, con quienes comparte la dialéctica hipótesis - conjetura, pero se distancia del tratamiento sobre la verdad de la conjetura. De esto hablaremos más adelante.

Pero, ¿qué se entiende y qué deberíamos entender por hipótesis y conjetura en el contexto de esta propuesta? Buscamos respuestas en el siguiente apartado.

3.2. Hipótesis, conjeturas y el arte conjetural

Por el sentido del uso cotidiano de las palabras hipótesis y conjetura nos parece que, en muchas ocasiones, se usan como sinónimas. Este uso no es ajeno al profesorado de matemáticas en formación, ya sea de educación primaria o de educación secundaria, lo que les convierte en términos confusos cuando su significado se ha de considerar restringido al contexto de hacer matemáticas. En efecto, en un trabajo de investigación en curso con profesorado de educación obligatoria, 102 alumnas y alumnos en total, de los cuales 70 son de último año de los grados de educación infantil y primaria (EIP) y 32 del máster de secundaria (MES), aproximadamente el 56% de ellos (64,3% de EIP y 37,5% de MES) consideran que la mejor opción, en un test de respuesta múltiple, a su idea sobre la noción de hipótesis es aquella que la liga a la noción de conjetura, frente a un 28%, aproximadamente (21,4% y 43,8%, respectivamente, en ambas muestras), que la liga con la de ser proposiciones matemáticas consideradas verdaderas que anteceden al razonamiento matemático (^{Martínez, Huerta y González, 2018}). Pero, para la noción de conjetura no se produce la reciprocidad. El porcentaje que vincula esta noción con la de hipótesis es, aproximadamente, del 12% (10% y 15,6%, respectivamente), pero del 73,5% (77,1% y 65,6%, respectivamente) que la vincula con el significado de una probabilidad subjetiva. Estos datos parecen confirmar la existencia de más de un significado de estas nociones para los futuros profesores lo que, a su vez, anticipa dificultades en la comprensión del proceso de resolución de los problemas que hemos llamado de (hipótesis) conjetura - fiabilidad / credibilidad, es decir, problemas que requieren considerar hipótesis de partida, construir conjeturas, dependientes de las hipótesis formuladas, y estudiar la fiabilidad o credibilidad de éstas en términos de probabilidades, como veremos más adelante, construyendo argumentos convincentes. Parece pues necesario revisar los significados de estos términos desde diferentes puntos de vista, ya sea enciclopédico, filosófico, epistemológico o educativo, con el fin de interpretar en qué sentido parece que el profesorado en formación piensa, inicialmente, sobre estas nociones y en qué sentido deberían usarse para los problemas que proponemos para la enseñanza.

En su significado enciclopédico, una hipótesis es una “suposición de algo posible o imposible para sacar de ello una consecuencia” mientras que conjetura es un “juicio que se forma de algo por indicios u observaciones” (DRAE, www.rae.es), lo que anticipa, por sí mismo, una posible diferencia entre los significados de ambos términos. Hipótesis se presenta como una suposición sobre algo y conjetura como juicio que se forma sobre algo. En particular, nos interesa el significado de la noción hipótesis de trabajo que el DRAE define como aquella “hipótesis que se establece provisionalmente como base de una investigación”.

^{Ferrater (1965)}, define hipótesis como “un enunciado o serie articulada de enunciados, que antecede a otros constituyendo su fundamento” (p. 846). Esta definición permite intuir una relación entre hipótesis y conjetura en el sentido en el que nos interesa aportar al razonamiento probabilístico: la hipótesis como fundamento de una conjetura, la hipótesis de la equiprobabilidad como fundamento para conjeturar que todos los sucesos elementales tienen la misma probabilidad de ocurrencia. Sin dicha hipótesis como fundamento la misma conjetura pierde credibilidad.

En las matemáticas formales las hipótesis se han relacionado con otros términos como fundamento, principio, postulado, supuesto o axioma (^{Ferrater, 1965, p. 846}). Así ocurre, por ejemplo, con la definición formal de probabilidad de von Mises, basada en las hipótesis sobre los colectivos, o en la definición axiomática de Kolmogórov (^{Saldanha y Liu, 2014}), o en cualquier otra de las muchas definiciones axiomáticas existentes cuya consideración es estrictamente necesaria en razonamientos de tipo demostrativo. Pero no es el tipo de razonamiento éste por el que abogamos, sino por el razonamiento plausible y estocástico. Así, consideramos la posición de Kant respecto de las hipótesis cuando afirma que las hipótesis no deben ser mera opinión sino fundarse en la posibilidad del objeto (^{Ferrater, 1965, p. 847}). En este caso las suposiciones son verdaderas ―y admisibles― hipótesis. Además, consideramos las hipótesis como una especie de andamiajes conceptuales, es decir, como hipótesis de trabajo en el sentido que le da Ferrater (^{1965, p. 884}). La función de estas hipótesis, dice Ferrater, es ayudar a comprender mejor los fenómenos de que se trata. La hipótesis no es confirmada (o invalidada) por los fenómenos, pues de lo contrario no sería una hipótesis, pero no es totalmente independiente de los fenómenos pues de lo contrario no ayudaría en nada a comprenderlos. La hipótesis de la equiprobabilidad, como hipótesis de trabajo, nos ayuda a entender la Regla de Laplace.

^{Polya (1966)} habla de hipótesis estadística en la resolución de problemas de probabilidad. Estas hipótesis pueden entenderse como un conjunto de hipótesis de trabajo. Así, por ejemplo, si lanzamos un conjunto de dados y exploramos la probabilidad de que haya una mayoría de números mayores que 4, la hipótesis estadística de que los dados se van a considerar justos implica dos hipótesis de trabajo, una que se refiere al comportamiento de cada uno de los dados, a quienes se les puede considerar (por hipótesis) equiprobables y otra, se refiere al comportamiento del conjunto de los dados durante el experimento aleatorio, considerando que sus resultados son (por hipótesis) independientes. Una hipótesis estadística no se juzga sino es el caso, pero, cuando bajo esas hipótesis el comportamiento esperable de un fenómeno aleatorio no ocurre, o bien ocurre con muy poca credibilidad, entonces es lícito estudiar dichas hipótesis. Lo esperable es así una conjetura sujeta a nuevas hipótesis que son la reformulación de las iniciales.

^{Polya (1966)}, como ^{Bernoulli (1987/1713) 4}, asegura que “todos nuestros conocimientos consisten en conjeturas, excepto el de las Matemáticas (formales)” (p. 13). Pero, recalca que “hay conjeturas y conjeturas. Unas que merecen respeto y confianza y otras que no merecen ni confianza ni respeto... y, entre unas y otras, se dan toda clase de conjeturas, presentimientos e intuiciones” (p. 13). Afirma, además, que el conocimiento matemático se asegura mediante el razonamiento demostrativo, pero las conjeturas se apoyan por medio del razonamiento plausible. El razonamiento demostrativo establece la verdad, matemática, de una conjetura. El razonamiento plausible proporciona la credibilidad necesaria para la consideración de una conjetura fiable. Este tipo de razonamiento, el plausible, es el que se mostrará especialmente útil en la resolución de problemas de probabilidad, en los que lo que se busca no es demostrar la verdad de ningún enunciado probabilístico, ya sea numérico o no numérico, en el sentido de ^{Popper (1977, p. 138)}, sino la fiabilidad, credibilidad o, incluso, la verosimilitud de una conjetura como respuesta a un problema formulado en un contexto de incertidumbre mediante un razonamiento estocástico.

Entendemos por conjeturar como ^{Bernoulli (1713)}, esto es, conjeturar sobre algo es, también, medir su probabilidad⁵, y por resolver un problema de probabilidad en el mismo sentido que el Arte de Conjeturar o Estocástica, es decir, traduciendo con cierta libertad, como el arte de medir como mejor podamos las probabilidades exactas de las cosas⁶, con el fin de que podamos siempre elegir o seguir en nuestros juicios y acciones aquello que se aprendiere de manera mejor, preferible, escrupulosa y más reflexionada⁷ (traducción toma de ^{Fernández y Rodríguez, 2015})

Desde el punto de vista epistemológico, ^{Bunge (2013)} distingue entre ciencias formales (las matemáticas) y ciencias factuales (las ciencias experimentales). De esta forma, también distingue entre el sentido de uso del término hipótesis en una u otra ciencia. Hipótesis, en las ciencias formales, como postulados o axiomas surgidos de la experiencia y como puntos de partida en el proceso deductivo. Solo las conclusiones (teoremas) obtenidas a partir de los axiomas han de mostrarse matemáticamente verdaderas, no los axiomas mismos que pueden elegirse a voluntad y esto se habrá logrado si se respeta la coherencia lógica “esto es, si no se violan las leyes del sistema de lógica que se ha convenido en usar” (Bunge, 2013, p. 13). Pero, resolver un problema de probabilidad no consiste precisamente en llegar a unas conclusiones sobre la probabilidad de un suceso, o sobre el valor esperado de una variable aleatoria, que, bajo ciertas hipótesis, deban mostrarse matemáticamente verdaderas, sino razonablemente creíbles o fiables en el contexto particular en el que se obtienen. Así pues, las hipótesis no pueden elegirse a voluntad, sino que han de ser elegidas de un modo tal que permitan ser verificables por la experiencia, como la hipótesis de la equiprobabilidad, por ejemplo. En consecuencia, el sentido de uso de la hipótesis en la resolución de problemas de conjeturar - argumentar comparte significados con las ciencias formales, como axiomas o postulados, y con las ciencias factuales como conjeturas. La simulación como método de resolución de problemas (^{Huerta, 2015}) permite transformar un problema desde la ciencia formal a la ciencia factual en la que se puede experimentar como un problema simulado. Las hipótesis del problema original, que lo modeliza, se traducen en hipótesis estadísticas requeridas para su simulación. Las conjeturas formuladas en el problema original, finalmente, se convierten en hipótesis verificables por la experiencia al resolver los problemas simulados.

3.3. Hipótesis, conjeturas y la resolución de problemas de probabilidad. Base para una propuesta de enseñanza

^{Polya (1966, p. 171)} distingue entre problemas rutinarios y problemas no rutinarios. Los problemas de probabilidad, en el contexto de los juegos de azar equitativos, en el que la consideración de la hipótesis de la equiprobabilidad es muy razonable y la regla de Laplace permite asignar probabilidades a los sucesos, pueden llegar convertirse en problemas rutinarios en la enseñanza. Siguiendo a Polya, no diremos que los problemas rutinarios de probabilidad no son útiles para la enseñanza, sino todo lo contrario, pero sí afirmamos, como él, que limitar la enseñanza de la probabilidad a este tipo de problemas es rebajar su aprendizaje a unos niveles escasamente útiles y formativos. Un ejemplo de su potencial puede verse en ^{Minyana (2018)}. Esta autora, siguiendo a ^{Huerta (2018)}, desarrolla un proceso de enseñanza con estudiantes de 12-13 años basado en la resolución de un problema, de los que hemos llamado de hipótesis - conjetura - argumentación, el Problema de la Cueva (^{Huerta, 2002}), con el fin de desarrollar lo que aquí entendemos como pensamiento estocástico. En el anexo puede verse la versión escolar de este problema. La autora anima a sus alumnos a considerar no sólo las hipótesis formuladas por el problema sino también aquellas que se requieren para su abordaje, las hipótesis estadísticas de la equiprobabilidad de elección de las puertas y de la independencia de las pruebas, si el proceso aleatorio termina después de más de una prueba. Las preguntas se formulan con el fin de que los alumnos razonen sobre ellas elaborando sus conjeturas, que son discutidas y valoradas en su credibilidad o fiabilidad. La simulación será el método que usará para que sus alumnos resuelvan sobre ello y decidan qué conjetura resulta más fiable o creíble tras el análisis exploratorio de los datos producidos por la simulación y las correspondientes inferencias informales realizadas a partir de la información que proporciona.

En efecto, un enfoque para la enseñanza de la probabilidad y la estadística como el que se infiere de lo que proponemos en este trabajo no podría tener éxito sin que haya un profesorado bien preparado para ello. En este sentido, ^{Huerta (2015}, ²⁰¹⁸⁾ propone un modelo de formación basado en la resolución de problemas con intención didáctica, en el que el profesorado en formación adquiere un doble papel frente a los problemas que se les propone: a priori como resolutores de los problemas y, a posteriori, como futuro profesorado que encuentra en la resolución de los problemas que ha resuelto un contexto idóneo para producir enseñanza en probabilidad y estadística. En este modelo, efectivamente, los problemas se conciben como problemas de hipótesis - conjetura - credibilidad / fiabilidad. En la resolución de estos problemas se combinan aspectos procedimentales como: a) una manera heurística de resolver problemas, b) el uso de la simulación como método de resolución de problemas de probabilidad con contenido heurístico, y c) el análisis didáctico posterior del proceso de resolución como medio para cultivar una cierta mirada profesional (^{Llinares, 2018}) de los problemas, con el fin, entre otros, de explorar qué oportunidades de aprendizaje proporcionaría la resolución de dichos problemas, considerados éstos como contextos para la enseñanza en la escuela primaria y secundaria.

El método de resolución propuesto por ^{Huerta (2015}, ²⁰¹⁸⁾, en sus primeros pasos, requiere que se formulen un conjunto de hipótesis, estadísticas en el sentido de ^{Polya (1966)}, con el fin de que la situación de incertidumbre original pueda ser abordada, modelizada. Sujeta a estas hipótesis, el método propone que el resolutor elabore alguna conjetura sobre la pregunta del problema cuya fiabilidad o credibilidad se cuestiona a continuación. La cuestión de la fiabilidad o credibilidad de una conjetura se ve inmersa en un proceso de razonamiento plausible con el fin de apoyarla, refutarla o reformularla. Implica, además, un proceso de investigación en el que la simulación o experimentación pueden ser los instrumentos necesarios para la formulación de la mejor conjetura. Se enmarca, además, en un enfoque más general sobre la enseñanza de las matemáticas llamado inquiry - based learning (IBL) (^{Maa? and Doorman, 2013}), entendido como una forma de enseñar y unas prácticas de aula en la que son los propios estudiantes los que preguntan y ponen cuestiones, exploran y evalúan (p. 887).

Se puede inferir entonces que el enfoque para la enseñanza de la probabilidad, en todos los niveles, esté basado en este juego hipótesis - conjetura propio del quehacer matemático, con la diferencia de que, en un contexto de incertidumbre, dada una hipótesis o un conjunto de ellas conducente a una conjetura, de ésta no se predica sobre su verdad, lo que implicaría usar un razonamiento demostrativo (^{Polya, 1966, p. 13}), sino sobre su fiabilidad o credibilidad en términos de probabilidades, implicando el uso del razonamiento plausible. Con esta sugerencia se pretende tratar con otros enfoques alternativos a los actuales sobre la enseñanza de la probabilidad y, en consecuencia, de la necesidad de formación de los profesores en esta dialéctica, formación sobre la que la investigación está de acuerdo en que es bastante deficitaria (^{Batanero, Chernoff, Engel, Lee y Sánchez, 2016}).

3.4. El método de resolución de problemas de probabilidad por simulación

El método de resolución de problemas de probabilidad por simulación (en adelante MRPPS) tiene sus referentes en la propia experiencia del autor y en trabajos anteriores con los que se relaciona y comparte ideas relevantes. Así, aparte de lo que ya se ha discutido en apartados anteriores en relación con las nociones de hipótesis y conjeturas, consideradas como elementos fundamentales de la actividad matemática necesaria para la resolución de los problemas de probabilidad, comparte, además, con otros autores aspectos procedimentales necesarios durante el proceso de resolución. Así, con ^{Beth (1989)} comparte la propuesta de usar la simulación como un método para modelizar problemas realistas, pero que aquí la reinterpretamos como un método de resolución de problemas con contenido heurístico; con ^{Schup (1989)} compartimos su idea de circuito estocástico que la interpretamos como el esquema básico del proceso de resolución de problemas en el que la simulación es usada como una herramienta heurística que transforma el problema original en un problema simulado cuya resolución permite obtener una respuesta al primero. Comparte con ^{Wild y Pfannkuch (1999)} la idea de razonamiento estadístico implicado en los procesos empíricos de investigación, pues la respuesta al problema simulado requiere de dicho razonamiento, aplicado en el análisis de los datos a partir del diseño e implementación de una simulación cuya finalidad es obtener información sobre el comportamiento de un sistema en un contexto de incertidumbre. Finalmente, comparte con ^{Spiegelhalter y Gage (2014)} la idea de referirse a la resolución de problemas de probabilidad por simulación como un manifiesto para la enseñanza de la probabilidad y la estadística en todos los niveles educativos y en la formación de profesores, con un enfoque basado en el IBL (^{Maa? and Doorman, 2013}) y con el anhelo de un enfoque distinto de la enseñanza de la probabilidad y estadística al actual (Pfannkuch, 2018 y ^{Pratt, 2011}).

En efecto, parafraseando a Bernoulli, hemos calificado el Método de resolución de problemas de probabilidad por simulación (MRPPS) como el arte de hacer las cosas necesarias para elaborar la mejor conjetura posible sobre la realización o no de un fenómeno incierto o sobre el comportamiento de una variable aleatoria. El MRPPS está descrito por medio de 8 pasos, cada uno de ellos con una finalidad claramente establecida y con un tipo de razonamiento requerido. Así, el proceso de resolución comienza con el necesario análisis del enunciado del problema (paso 1). El método identifica a éste como el problema original ya que el resolutor se encontrará, a lo largo del proceso de resolución, con la necesidad de resolver algún problema intermedio, a quien el método le califica de problema simulado, fruto de la simulación. Este análisis inicial permite pensar sobre dos aspectos importantes: la necesidad o no de formular hipótesis iniciales que permitan abordar la resolución del problema y la elaboración de conjetura razonables sobre lo que es preguntado en el problema (paso 2). El riesgo de que se elaboren conjeturas arbitrarias es bastante alto al comienzo del proceso de resolución pues, como dice ^{Poincaré, (1992)}, la ignorancia sobre las cosas y sus causas fuerzan a ello, más aún en contextos de incertidumbre. Durante los pasos 1 y 2 el protagonista es el razonamiento plausible y su objeto la modelización del problema. ^{Minyana (2018)} prueba que este razonamiento se activa en niños / as de 12-13 años, quienes elaboran de manera intuitiva conjeturas razonables sobre la ocurrencia de sucesos o sobre valores esperados, tanto en procesos aleatorios discretos, lanzamiento de dos dados, como en procesos estocásticos de Markov absorbentes (^{Gordon, 1997}) (Problemas 2, 3 o 4 en el anexo).

En los primeros pasos del método (paso 3), descrito aquí, por el momento, sin intención didáctica, la conjetura, ligada a la hipótesis o al conjunto de hipótesis sobre la que se sustenta, se somete a juicio sobre su credibilidad, fiabilidad, etc. El resolutor tiene, entonces, dos caminos para construir argumentos que den cuenta de la credibilidad o fiabilidad de la conjetura formulada. Por un lado, identificar un modelo teórico, o construir uno si no existe, o no lo encuentra, para las hipótesis consideradas, que le permita obtener una respuesta teórica al problema y valorar así la bondad de su conjetura inicial al compararla con la respuesta teórica, considerada como la mejor de las conjeturas para el conjunto de hipótesis formuladas. Por otro, experimentar/simular el problema (paso 4) con el fin de que un nuevo problema (el problema simulado), situado en un contexto distinto al del problema original, cuya resolución (paso 5) le permita elaborar argumentos razonables con los que discutir la credibilidad o fiabilidad de la conjetura surgidos del análisis de los datos y de llevar a cabo inferencias sobre ellos y, si es el caso (paso 7) , elaborar una nueva conjetura con un mayor grado de credibilidad o fiabilidad que la inicial, lo que convierte al método en un método recursivo (paso 8). La intención didáctica del método se presenta al futuro profesorado en el paso 6. En él se plantea si las argumentaciones construidas a partir de inferencias realizadas en dos muestras de datos obtenidas de manera independiente, es decir, fruto de simular el problema con dos generadores de azar distintos, son dependientes de éste dando lugar a conclusiones distintas o no.

4.1. Objetivos didácticos de la propuesta

Los problemas que constituyen esta propuesta de formación de profesores comparten los siguientes objetivos.

4.2. La propuesta de problemas. Un ejemplo

En la tabla siguiente (Tabla I) se describen características de problemas que pueden formar parte de una propuesta como la nuestra. Obviamente, el número de problemas no es lo que la caracteriza, pues este puede variar en función de los objetivos que se persigan, la disponibilidad, etc. sino el método usado para su resolución.

Todos los problemas propuestos son abordables bajo las hipótesis teóricas iniciales de la equiprobabilidad y la independencia de las pruebas, aunque no es una condición sine qua non. Así, por ejemplo, el problema de Piedra - Papel - Tijera comienza abordándose bajo estas hipótesis que son abandonadas en dudar de que el comportamiento de los humanos al elegir al azar entre diferentes posibilidades se pueda describir mediante esas hipótesis. En consecuencia, el problema planteado para estudiar la fiabilidad de la conjetura formulada se ha de abordar de un modo empírico sin hipótesis teóricas previas.

Todos los problemas, excepto el problema de Piedra - Papel - Tijera, requieren de la simulación para estudiar la fiabilidad de conjeturas sobre la probabilidad de ocurrencia de un suceso y/o el valor esperado de una variable aleatoria. Esto permite considerar a lo largo del proceso de resolución los distintos significados de la probabilidad. Se parte, por ejemplo, de una conjetura que se formula en términos de una probabilidad subjetiva o un número esperado, se evalúa la fiabilidad de éstos, en la medida que esto es posible, mediante una probabilidad o esperanza matemática teórica y se finaliza argumentando sobre la bondad de la conjetura mediante una probabilidad empírica o un valor esperado.

Los modelos teóricos desde los que se pueden abordar estos problemas van desde un espacio de probabilidad finito compuesto de pruebas independientes (PCI), a una Binomial (Bi), a una cadena de Markov absorbente (CMA). La simulación, como método de resolución, los hace abordables independientemente de dichos modelos teóricos. El problema de la cueva, en particular, permite transitar desde un modelo PCI, con la inclusión en el enunciado del problema de una hipótesis (supuesto P) particular que hace finito el espacio de posibilidades, a un modelo CMA con la consideración de una nueva hipótesis (supuesto P) que convierte el espacio de posibilidades en infinito. Esto mismo puede tratarse en el problema de las colecciones.

Los árboles, como sistemas de representación habituales en los problemas PCI, también se ven afectados cuando el problema transita hacia un modelo CMA, convirtiéndose en grafos que representan paseos aleatorios. Podemos verlo en el problema de la cueva (^{Huerta, 2002}).

Todo lo anterior tiene que ver con la formación del profesorado en aspectos conceptuales y procedimentales que proporcionan la resolución de los problemas propuestos, así como el desarrollo del pensamiento estocástico que pueden enriquecer aún más su mirada profesional. Pero, al mismo tiempo, también se derivan aspectos metodológicos que deberían tener en cuenta ante una situación real de enseñanza. Estos, fundamentalmente, tienen que ver con la gestión del proceso de resolución del problema. El propio método, como método que es, constituye una guía metodológica para el profesorado. De su aplicación surgen cuestiones de tipo metodológico sobre las que el profesorado deberá tomar ciertas decisiones in situ. Así, deberá decidir qué generadores de azar usará con sus alumnos para simular el problema: simulación física o virtual, o ambas. El número de simulaciones que deberían realizarse en clase para alcanzar un grado de fiabilidad aceptable de la conjetura inicialmente formulada. Derivado de esto, la necesidad de la tecnología para la obtención, tratamiento y análisis de la información producida por la simulación. La manera en la que va gestionar la variabilidad de los datos aportados por las diferentes simulaciones proporcionadas por los alumnos o grupos de alumnos. La vuelta atrás en el problema y la revisión de las hipótesis y conjeturas inicialmente consideradas. Cuando, en fin, va a dar por terminado el problema con la mejor conjetura que se pueda alcanzar. Son aspectos que sólo la experiencia y puesta en práctica permitirán enriquecer la mirada profesional del profesorado.