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On-line version ISSN 2448-7597Print version ISSN 1405-0471

Madera bosques vol.15 n.1 Xalapa Jan. 2009

Artículos de investigación

Mathematical modeling of the conventional drying of wood

* Chem.Eng. and PhD-Student, CONACYT Fellow in France. University of Science and Technology Bordeaux 1. Ce: ssandova@u-bordeaux1.fr.

Manuscrito recibido el 11 de mayo de 2006
Aceptado el 13 de marzo de 2008

RESUMEN

ABSTRACT

The kiln-drying of lumber is a very important stage into wood-based products processing. During drying process, some defects are produced due to the variable moisture and heat distribution inside of material. In order to optimize the kiln-drying of lumber is important to take into account the transport phenomena controlling the heat and mass transfer in the solid. Due to its physical properties, the hardwoods are a very important raw material, since its hardness, colour, dimensional stability and high resistance to weathering give them a very important commercial value. At the last years, the drying process modelling has been an effective tool to optimize such operations; these models associates energy, mass and momentum balances, which can be expressed as differential equations that are numerically solved to obtain particularly solution for each problem. In this work, the heat and mass transfer mechanisms presents in kiln-drying of lumber are explained, heat and mass transport equations are written, and finally moisture and temperature profiles for European Oakwood Quercus pedoncula during kiln-drying are presented.

Key words: Physics of Drying, Heat and Mass transfer, Hardwood.

INTRODUCCIÓN

Los modelos matemáticos aplicados al secado de materiales están divididos principalmente en tres grupos: 1) modelos empíricos aplicados a procesos específicos, 2) modelos difusivos de transferencia de masa y calor que llevan a ecuaciones simultáneas, y 3) modelos conocidos como comprensivos, los cuales involucran ecuaciones diferenciales de transporte de masa, calor y momentum con fundamentos termodinámicos; estos modelos son conocidos también como mecanísticos. En la actualidad el aporte científico del modelamiento matemático de los procesos de secado es de gran interés por su aplicación industrial, de ahí el interés de diversos centros de investigación por la simulación numérica de estas operaciones, la cual es una tarea de gran complejidad numérica y matemática, como puede ser constatado en trabajos como el de A. Esfahanian (1999), Turner y Perré (2001) y Perré y Turner (2002) entre otros.

OBJETIVOS

1. Escribir las ecuaciones y explicar los mecanismos de transferencia de masa y calor presentes en el secado de la madera.

3. Presentar un modelo matemático mecanístico para el secado de madera y resolverlo numéricamente.

Materiales porosos y materiales capilaro-porosos

La distinción entre materiales porosos y materiales capilaro-porosos está basada en la presencia y tamaño de los poros. Los materiales porosos son definidos como aquellos que tienen un diámetro de poro mayor o igual a 10-7m, y los materiales capilaro-porosos tienen un diámetro menor a 10-7m. El transporte de humedad en los materiales capilaro-porosos es un fenómeno difícil de modelisar, pues además de la difusión molecular, el transporte de agua puede ser debido también a la difusión de vapor, difusión superficial, difusión knudsen, flujo capilar, flujo hidrodinámico entre otros mecanismos.

En el presente escrito, los valores y elementos de análisis están orientados al encino europeo la cual es una madera dura. De acuerdo a Williamson (2001), las maderas duras proceden de árboles de hoja ancha, pertenecientes a las angiospermas o conocidas como latifoliadas, y las maderas suaves a las procedentes de árboles con hojas aciculares, pertenecientes a las gimnospermas o confieras. Las maderas en forma general presentas dos secciones importantes, desde el punto de vista estructural: una región conocida como albura y otra conocida como duramen. En la albura se llevará a cabo el transporte de nutrientes para el crecimiento del árbol, con el tiempo la porción central del tronco podrá colectar los excesos en nutrientes, los cuales metaboliza para formar extractivos que otorgarán un color más intenso al duramen. La madera es un material poroso, biológico, anisotrópico y heterogéneo (Truscott y Turner; 2006), el cual posee una estructura fibrosa y celular muy compleja.

Modelos difusivos

En este trabajo sólo se describen los modelos difusivo y comprensivo para el secado de madera, pues los modelos empíricos no son de interés para este escrito. Los modelos de ecuaciones diferenciales (MEF) de secado son basados en las leyes de transferencia de masa y calor, los cuales son resueltos con diferentes métodos numéricos, y llevan a soluciones particulares de cada problema.

El flujo de contenido de humedad en el producto ocurre por difusión y es gobernado por un coeficiente de difusión efectivo, siguiendo la ley de Fick, entonces el balance de masa en la tabla sera:

La ecuación anterior establece que la rapidez de cambio en el contenido de humedad W del material, es igual a la difusion de agua debido al gradiente de contenido de humedad interno de la tabla

En la actualidad, para fines prácticos y de modelación matemática, la cantidad de agua presente en la madera es clasificada como agua libre, agua ligada y vapor de agua (Siau, 1984). El transporte de estos tres tipos de humedad son combinados para obtener un flux de agua simple j. Entonces la ecuación puede ser escrita como:

El flux másico de humedad j es proporcional a la difusividad del agua en el producto, Dhumedad

Ecuaciones para la transferencia de calor

La transferencia de calor al interior de una tabla de madera es dada por conducción, teniendo como parámetro motor el gradiente de temperatura que se desarrolla a lo largo del espesor de la tabla. La ecuación que describe el transporte de energía en la tabla es escrita como se indica en la ecuación 3.

En esa ecuación, el cambio de la energía interna en un volumen de control en un lapso de tiempo es representado por los dos términos a la izquierda de la ecuación. Este balance de energía establece que la rapidez de cambio en la energía interna es igual a la diferencia entre la rapidez neta de calor transportado hacia adentro del volumen de control debido a la conducción,

y la rapidez a la cual el calor es transportado fuera del volumen de control debido al flujo másico, Cpaguaj.

Condiciones iniciales y límite

Al inicio del proceso de secado la temperatura y el contenido de humedad del material son uniformes. Las condiciones iniciales son entonces:

Debido a la simetría, no habrá un gradiente de humedad ni de temperatura en el centro del material (X=0), por lo cual las condiciones límites en el centro son:

En la superficie del material, la transferencia de calor ocurre por convección, entonces podemos escribir:

La transferencia de masa en la superficie ocurre por convección, la representa la expresión

que indica que el flujo de masa es normal a la superficie. La condición límite para la transferencia de masa convectiva en una superficie plana es:

en donde hm es el coeficiente de transferencia convectivo y We es el contenido de humedad de equilibrio del producto bajo las condiciones específicas del aire (temperatura y humedad relativa, principalmente), asumiendo que el líquido y el vapor están en equilibrio en la superficie. Estas condiciones implican que la rapidez de eliminación de humedad debido a la convección es igual a la rapidez de flujo de humedad debido a la difusión. Esta condición límite se aplica al aire de secado, ya que el gradiente de contenido de humedad entre la superficie y el agente de secado es la fuerza motriz para la remoción de humedad del producto.

Modelo mecanístico para el transporte de masa en medio poroso

De acuerdo a Ni et al. (1999), en teoría de secado, además de la proposición fenomenológica de Luikov, Whitaker en 1977 usó un modelo mecanístico y desarrolló un grupo de ecuaciones para los medios porosos. Whitaker fundamentó su modelo en las ecuaciones de conservación de masa y calor para cada fase presente en el material (sólido, líquido y vapor) y después de un promedio volumen de las fases, obtiene ecuaciones de continuidad y flux para el transporte de masa y calor. El éxito de Whitaker (1977) fue el haber realizado un análisis riguroso de cómo transitar un sistema de un nivel microscópico a un nivel macroscópico con bases convincentes. Las principales consideraciones en el desarrollo de Whitaker son un equilibrio termodinámico local, la aplicación de la ley de Darcy, la ley de Fick, un flujo de infiltración para el transporte de gas, un flujo capilar para el transporte de líquido, una estructura rígida del material (no hay encogimiento) y ausencia de agua ligada. La gran ventaja del modelo mecanístico es que la física del modelo es mejor entendida, las hipótesis son muy claras y los parámetros son bien definidos.

Se toma como hipótesis que existe un equilibrio termodinámico local, por lo cual las temperaturas promedio de las fases (sólida, líquida y gas) son iguales:

La presión de vapor en el medio es expresada como:

Transferencia de masa

A continuación se escriben las expresiones para la rapidez de transporte de las diferentes fases.

Para el líquido:

Para el vapor:

Para el aire:

La difusión-sorción toma la forma fenomenológica de un flux de agua ligada, la cual ha sido discutida abundantemente en la literatura (Stamm, 1946; Stamm, 1960; Stanish et al., 1986):

Transferencia de la fase gaseosa

A continuación se escriben las ecuaciones para el transporte de la fase gaseosa (Shukla, 1990):

Flujo viscoso de tipo Darcy:

Difusión intermolecular de acuerdo a la ley de Fick

Se puede calcular un coeficiente de difusión de acuerdo a la proposición de Fuller, Schettler y Giddings (Poling et al., 2000):

Las ecuaciones de conservación de masa

El balance de masa se escribe para cada uno de los constituyentes en cada fase:

Para el aire seco y el vapor en la fase gaseosa se tienen:

Para la fase líquida:

Entonces se puede obtener:

Realizando un balance energético, de acuerdo con Whitaker (1977), se obtiene:

Se establecen las condiciones límites para el modelo mecanístico:

La presión capilar pc, como lo muestra la figura 1, es una función de la saturación del material (S) y de la temperatura, los efectos de la gravedad son ignorados.

Se considera un contenido de humedad promedio de 0,9 kg agua/kg sólido seco. A continuación se presentan los parámetros que han sido determinados para madera de encino europeo (Hernández (1991):

Presión capilar:

Coeficiente de difusión en el dominio higroscópico:

Soluciones analíticas y numéricas

Las soluciones analíticas pueden ser

rigurosas o aproximadas. Las soluciones analíticas rigurosas son solamente para problemas limitados como la ecuación de difusión simple con coeficientes constantes y geometrías regulares; algunos utilizan las transformaciones de Boltzman (Diaw et al., 2006) y de Laplace (Trofimov et al., 1992). Cuando la difusividad es una función de la humedad, lo cual puede ser en el caso del secado de la madera, las soluciones rigurosas no son viables. Para resolver una ecuación de difusión, la difusividad debe ser expresada en ciertas formas, por ejemplo como una expresión exponencial. Las aproximaciones adicionales son necesarias generalmente para simplificar las integrales.

Trabajos recientes como el de Babaszak y Kowalski (1999), presentan soluciones para la deformación de materiales durante el secado haciendo uso de las transformadas de Laplace y la separación de variables. Las soluciones analíticas poseen fuertes requerimientos para la formulación matemática, incluyendo ecuaciones diferenciales, coeficientes, términos fuente, condiciones límite y condiciones iniciales.

En el caso de soluciones numéricas, es común en problemas de transporte de masa y calor, hacer uso de los métodos de elemento finito, volumen finito y diferencias finitas. El problema de modelar mecanismos en bioproductos, como el secado de madera, es que la solución depende de las propiedades, pero también de un fuerte acoplamiento de los procesos, dichos acoplamientos son en general no lineales. Ecuaciones acopladas de transferencia de masa y calor pueden ser resueltas utilizando esquemas iterativos o soluciones directas, dependiendo de la memoria disponible en el computador. Con respecto a la representación gráfica de resultados numéricos, en la actualidad es común el uso de programas comerciales que resuelven ecuaciones diferenciales, o que calculan flujos en medios porosos, por ejemplo FLUEN Inc., AEA-CFDS Inc., MATHCAD y MATLAB. Kocaefe et al. (2006), utilizan FEMLAB para simular el secado de madera aspen a alta temperatura.

En las figuras 2, 3, 4, y 5 se observan los perfiles de distribución de humedad en una tabla de madera para diferentes tiempos de secado. Como es de esperarse, los perfiles de humedad en general serán parabólicos, el transporte es lento, pues por una parte, la permeabilidad en maderas duras como el encino retrasan el transporte de humedad en el material, y por otra, la remoción de humedad en el dominio higroscópico es lento, es decir, por abajo del punto de saturación.

La figura 6 muestra los perfiles de temperatura en la tabla; en dicha figura se puede observar que la temperatura de la superficie es menor que la temperatura del aire (80°C) durante casi todo el proceso debido a la evaporación existente en la superficie del material; la evaporación provoca un enfriamiento de la superficie. Sin embargo, al final del proceso, es decir, cuando la tasa de evaporación es casi cero, la temperatura de la pieza será casi igual a la del aire, pues la cantidad de calor cedido al agua es menor, pues es menor la cantidad de masa de agua evaporada.

Notación

Se agradece sinceramente al CONACYT por la beca de estudios otorgada al autor para la realización de sus estudios de Doctorado en Francia.

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Nota