Introducción

La superficie para la producción de cultivos bajo invernadero en México se ha incrementado exponencialmente en años recientes, como consecuencia de las ventajas que ofrece con respecto a la producción en campo abierto y por el aumento de los apoyos gubernamentales a los productores para la implementación de la agricultura protegida. Además de incrementar el beneficio económico, entre otras ventajas, permite utilizar suelos degradados física y químicamente e incrementar la productividad de los cultivos al mejorar la eficiencia en la utilización del agua (^{Kirda et al., 2004}; ^{Castilla, 2005}). Sin embargo, en varias ocasiones se han instalado y operado modelos de prototipos de invernaderos de otros países que tienen condiciones climatológicas muy distintas a las nacionales. Esto ha ocasionado que no se aprovechen al máximo sus potenciales, y que en algunos casos se hayan tenido fracasos. De acuerdo a los rendimientos obtenidos en otros países, en México se podría mejorar la productividad en esta modalidad de producción agrícola, revisando si las condiciones ambientales generadas por diferentes geometrías de invernaderos son las adecuadas para el desarrollo óptimo de los cultivos (^{Baille, 2001}; ^{Rico et al., 2006}).

La ventilación consiste en agitar la masa de aire artificialmente o de forma natural. La primera forma de ventilación es mucho más costosa que la segunda pero puede producir una mejor circulación de la masa de aire en el interior del invernadero ya que se colocan de manera estratégica los ventiladores. Además, con la ventilación artificial se puede conservar el calor y reducir los gastos para calentar la masa de aire en los meses fríos porque se mantienen cerradas las ventanas durante periodos de tiempo largos (^{Matallana y Montero, 1995}, Fidaros et al., 2011). Sin embargo, con la ventilación natural se pueden obtener tasas de ventilación aceptables (número de veces por hora que el volumen de aire del interior de un invernadero se intercambia con el aire del exterior), orientando adecuadamente los invernaderos y con diseños apropiados de las ventanas (^{Rico et al., 2006}, ^{Romero et al., 2010}). Ambos métodos deben ser complementarios para reducir los costos de ventilación, según las condiciones climatológicas del invernadero y su exterior.

La ventilación en invernaderos es indispensable por que permite la regulación de la temperatura y la humedad del aire (^{Kittas y Bartzanas, 2007}; ^{Mesmoudi et al., 2010}), las cuales son dos variables climatológicas fundamentales en el desarrollo óptimo de los cultivos, si sus valores no son los adecuados las plantas serán más vulnerables a los ataques de plagas y enfermedades, y estarán expuestas a trastornos fisiológicos (^{Tiwari, 2003}).

El estudio del clima en los invernaderos se ha abordado mediante diferentes metodologías: i) estudios totalmente experimentales (^{Boulard et al., 1998}; ^{Baptista et al., 1999}; ^{Roy et al., 2002}); ii) estudios que se basan en aproximaciones teóricas como los modelos mecanicistas que se sustentan en el balance de energía (^{Boulard et al.,1998}), y iii) en años recientes se ha empleado la dinámica de fluidos computacional (CFD por sus siglas en inglés) la cual es una técnica de análisis de sistemas mediante simulación computacional basados en los principios de conservación de la masa, la cantidad de movimiento y la energía (^{Wilcox, 1994}; ^{Reiss et al., 2007}; ^{Majdoubi et al., 2009}; ^{Romero et al., 2010}; Fidaros et al., 2011).

Los modelos basados en la técnica del CFD han mostrado que representan adecuadamente la circulación de la masa de aire en el interior de los invernaderos (^{Norton et al., 2007}; ^{Rico et al., 2008}; ^{Romero et al., 2010}). Existen varios programas de cómputo comerciales basados en esta técnica, pero la relación costo/beneficio de adquirir la licencia es muy alta y la cantidad de operaciones matemáticas efectuadas son altas por lo que se plantea el reto de desarrollar métodos matemáticos simplificados que demanden menos cantidad de operaciones numéricas (^{Bermúdez y Nicolás, 2008}), basados en métodos conservativos que se puedan implementar fácilmente en lenguajes de programación accesibles para reducir los costos de las evaluaciones de los invernaderos (^{Molina et al., 2010}).

En la práctica los estudios experimentales y los métodos teóricos son complementarios, donde los resultados de los experimentales sirven para calibrar y validar los teóricos. Los estudios experimentales son costosos y requieren de mucho tiempo para efectuarse. Los métodos teóricos son más baratos ya que pueden predecir rápidamente las variables de interés (velocidad del viento y temperatura) tanto en el espacio extensión como en el tiempo para diferentes características geométricas y de manejo de los invernaderos (^{Versteeg and Malalasekera, 1995}; ^{Rico et al., 2006}).

Conociendo la importancia de las técnicas experimentales, este escrito intenta describir los aspectos fundamentales de los modelos matemáticos involucrados en el problema de ventilación, analizando en este trabajo un invernadero tipo Venlo, donde flujo de aire y temperatura son las variables de mayor respuesta. Los modelos matemáticos usados son dos sistemas de ecuaciones diferenciales parciales definidas en espacio y tiempo. Dichos sistemas requieren condiciones iniciales y de frontera tipo Dirichlet, Neumann, o Fourier, para ser consistentes en la formulación matemática y de solución viable (^{Versteeg and Malalasekera, 1995}; ^{Zienkiewicz and Taylor, 2000}).

El invernadero tipo Venlo es un modelo holandés con cubierta de vidrio, fabricado con anchos de túneles de 3.2 m y anchos totales en múltiplos de 0.8 m. Se utiliza principalmente en el norte de Europa donde el clima es muy frio la mayor parte del año, por lo que sólo cuenta con ventanas en el techo para evitar las pérdidas de calor (^{Van de Braak et al., 1995}). Este tipo de invernadero se usa en algunas partes del centro de México; sin embargo, aunque en algunos lugares el clima es templado, éste es muy diferente al clima frio del norte de Europa. Por tanto, se plantea la necesidad de analizar el proceso de la ventilación en este tipo de invernaderos para implementar adecuaciones en ellos que mejoren la circulación de la masa de aire. Para tal efecto, en este trabajo se estudió el proceso de la ventilación natural y artificial en un invernadero tipo Venlo, mediante dos modelos matemáticos basados en los principios de la conservación de la cantidad de masa y de la cantidad de movimiento: uno de ellos considera las ecuaciones completas de la conservación de la masa y de la cantidad de movimiento, y el otro no considera la aceleración convectiva de la ecuación de la cantidad de movimiento.

Materiales y métodos

Se estudiaron varios escenarios de ventilación en un invernadero tipo Venlo mediante un modelo de Navier-Stokes completo (^{Versteeg y Malalasekera, 1995}) y un modelo de Navier-Stokes simplificado, propuesto por los autores de este artículo. Los resultados obtenidos con el modelo completo de Navier-Stokes fueron considerados como los valores experimentales, y para tal efecto, dicho modelo fue calibrado previamente con datos de tasas de ventilación de un invernadero tipo capilla con ventilación lateral y cenital, obtenidos mediante la técnica del gas trazador.

Características del Invernadero Usado para la Calibración del Modelo Matemático

En ambos costados de las paredes laterales del invernadero, empleado para la calibración del modelo completo de Navier-Stokes, hay varios invernaderos instalados paralelamente. El invernadero tiene una superficie de 225 m² con cubierta de plástico y mallas anti insectos en las ventanas. Está ubicado en el campo experimental San Ignacio de la Universidad Autónoma Chapingo, en el municipio de Texcoco, Estado de México. El invernadero tiene dos ventanas laterales con una superficie de ventilación de 93 m² y una ventana cenital con una superficie de ventilación de 17 m² (Figura 1). Tiene una orientación NE-SO con la ventana cenital orientada hacia el Este.

Figura 1 Invernadero utilizado para la calibración del modelo de Navier-Stokes completo. 

Características del Invernadero Tipo Venlo

La geometría y dimensiones de la sección transversal del invernadero donde se realizó la simulación de la ventilación se muestran en la Figura 2. Cuenta con dos ventanas laterales de 1.31 m de altura (VLI y VLD) y con seis ventanas en la parte superior de 0.582 m de ancho (VT1, VT2, VT3, VT4, VT5 y VT6). Los invernaderos tipo Venlo no tienen ventanas laterales, pero se han supuesto para generar diferentes escenarios de ventilación.

Figura 2 Sección transversal del invernadero de estudio tipo Venlo. 

Modelo de Navier-Stokes

La simulación se realizó a partir de las ecuaciones de Navier-Stokes para flujo bidimensional incompresible en estado estacionario. El modelo fue resuelto numéricamente por el método del elemento finito debido a que se adapta adecuadamente a formas irregulares como pueden ser los techos o ventanas de los invernaderos (^{Zienkiewicz and Taylor, 2000}).

El modelo de Navier-Stokes en estado estacionario para flujo incompresible en su forma vectorial y diferencial conservativa se expresa de la siguiente forma (^{Versteeg and Malalasekera, 1995}):

(1a)

(1b)

sujetas a las siguientes condiciones de frontera:

(2a)

(2b)

donde: V es la velocidad [L T^-1]; p es la presión [M L^-2] y ν es la viscosidad cinemática del aire [L² T^-1], en la que L, M y T representan, respectivamente, las dimensiones físicas longitud, masa y tiempo. Las ecuaciones de campo (1a) y (1b) corresponden a la conservación de la cantidad de movimiento y la conservación de la masa, respectivamente. Las Ecuaciones 2a y 2b representan las condiciones de frontera de Dirichlet (Γ_D) y Neumann (Γ_N), respectivamente, y n es el vector normal a la frontera Γ_N.

Modelo Simplificado

Este modelo no considera la aceleración convectiva (V· ∇V) de la ecuación de la conservación de la cantidad de movimiento por lo que la Ecuación 1a, en forma adimensional, queda como (^{Wilcox, 1994}):

(3)

donde: Re representa el número adimensional de Reynolds, definido como:

(4)

donde: l representa una longitud característica [L]; V y v representan lo mismo que en las Ecuaciones 1 y 2.

La eliminación de la aceleración convectiva asume que los gradientes de velocidades (∇V) y los números de Reynolds en el interior del invernadero son pequeños. Esta situación se presenta cuando las velocidades del aire exterior al invernadero son pequeñas (^{Seif Al-Shamiry y Ahmad, 2010}) y sólo se usa la ventilación natural como en los invernaderos tipo Venlo (^{Van de Braak et al., 1995}). En efecto, información de velocidades del viento obtenidas, con anemómetros, en el interior de un invernadero tipo Venlo sometido a ventilación natural, muestra velocidades correspondientes a números de Reynolds característicos de flujo laminar y transicional (Figura 3) por lo que los efectos turbulentos son insignificantes. Este comportamiento de velocidades del aire en los invernaderos tipo Venlo típicos apoyan la hipótesis de considerar nula la aceleración convectiva en este tipo de invernaderos.

Figura 3 Velocidades medidas (m s^-1) en un invernadero tipo Venlo. 

Matemáticamente, la aceleración convectiva representa la no linealidad de la Ecuación 1a por lo que su eliminación simplifica sustancialmente la solución numérica del modelo de Navier-Stokes. El modelo simplificado se resolvió mediante el método de Galerkin de los residuos ponderados (^{Zienkiewicz and Taylor, 2000}). Para ello el dominio Ω se discretizó mediante elementos triangulares. Para la presión se utilizó una función base de tipo lineal que considera los tres vértices del elemento triangular, mientras que para la velocidad se utilizó una función base cuadrática que considera los tres vértices y tres nodos intermedios, ubicados en la parte media de los lados del elemento triangular.

El modelo simplificado se implementó en el lenguaje de programación del programa matemático Matlab, en un formato modular, cuya estructura permite declarar de forma sencilla paredes impermeables o ventilaciones al interior del dominio de manera que se puede estudiar mediante simulación el flujo del aire bajo diversos esquemas de ventilación.

División del Dominio y Condiciones de Frontera

Las condiciones de frontera externas e internas para las velocidades y la presión están sujetas a condiciones tipo Dirichlet. En las fronteras sólo se consideran la velocidad horizontal (Vx), ya que la velocidad vertical (Vy) es despreciable (^{Rico et al., 2006}). El valor de la presión impuesto en la condición de frontera es el de la presión atmosférica del lugar cuyo valor es de 76 484 Pa (considerada para una altura sobre el nivel medio del mar de 2200 m). En el Cuadro 1 se describen los escenarios de ventilación propuestos, para análisis mediante simulación matemática, en el que se indica para cada caso el número de elementos triangulares en los que se dividieron los dominios, y el número de puntos (nodos) en los que se resolvieron las ecuaciones de la conservación de la cantidad de movimiento y de la masa. Las velocidades del viento de la columna seis del Cuadro 1 se supusieron, tomando como referencia los valores registrados en la estación meteorológica del Colegio de Postgraduados, ubicada en Montecillo, Estado de México (^{EMCP, 2011}).

Cuadro 1 Características de los escenarios de ventilación, propuestos en el invernadero de estudio. 

Escenario 1

Se simula que se introduce y extrae aire artificialmente en las ventanas laterales VLI y VLD, respectivamente (Figura 4). La entrada y salida del aire en estos sitios tienen una distribución de velocidades horizontal de tipo parabólica con valor máximo en el centro de la ventana (1.3 m s^-1, Cuadro 1) y velocidad cero en los extremos. La velocidad vertical en estos puntos es nula. Las paredes del invernadero se consideran como muros impermeables por lo que la velocidad en este sitio se considera sujeta a condiciones de Dirichlet, nulas. Las velocidades en los nodos de las ventanas son incógnitas al igual que en el interior del dominio.

Figura 4 Escenario 1. 

Escenario 3

Este caso corresponde a una ventilación natural en la que la masa de aire se mueve de izquierda a derecha. Las paredes del invernadero están sujetas a condiciones de Dirichlet con velocidades nulas, y las incógnitas se encuentran en el interior del invernadero y ventanas del techo (Figura 5).

Figura 5 Escenario 3. 

El escenario 3, corresponde a situaciones en las que el invernadero es obstaculizado lateralmente por algún tipo de barrera impermeable física, de manera que el viento solo circula en su parte superior.

Escenario 4

La ventilación es de carácter natural y se simula que la dirección del flujo va de izquierda a derecha del dominio de integración. Las fronteras internas que corresponden a las paredes del invernadero se consideran impermeables por lo que las incógnitas se ubican en el interior y en las ventanas del techo del invernadero (Figura 6).

Figura 6 Escenario 4. 

En este caso se generó un dominio virtual conteniendo en el centro al invernadero para garantizar un flujo completamente desarrollado como sucede en condiciones reales. Este escenario representa a un invernadero libre de obstáculos impermeables por lo que el viento circula libremente en su vecindad.

Resultados y discusión

El modelo completo de Navier- Stokes se empleó como referencia en la comparación de los resultados del modelo simplificado, ya que sus resultados (Figura 7 y 8) se aproximan de forma aceptable a las tasas de ventilación (denotadas por la letra G) obtenidas experimentalmente puesto que las diferencias máximas entre la tendencias de los datos medidos y simulados son 9.7 y 7.6%, para ventilación lateral y ventilación lateral y cenital, respectivamente, para un rango de velocidades del viento en el exterior del invernadero de 1 a 5 m s^-1. Se consideró adecuada la calibración del modelo matemático completo ya que los errores porcentuales indicados anteriormente, representan una renovación por hora del aire del interior del invernadero, cantidad que no repercute significativamente en el desarrollo de los cultivos (^{Luo et al., 2005}). Además, el modelo de Navier-Stokes ha mostrado, en varias investigaciones, que representa adecuadamente la circulación de la masa de aire (^{Molina et al., 2004}; ^{Khaoua et al., 2006}; ^{Norton et al., 2007}; ^{Rico et al., 2008}; ^{Majdoubi et al., 2009}; Fidaros et al., 2011). Es importante aclarar que las tasas de ventilación mostradas en el presente trabajo (Figura 7 y 8) son pequeñas con respecto a los valores encontrados por otros autores (^{Rico et al., 2006}; ^{Romero et al., 2010}) debido a que el invernadero experimental se encuentra obstruido lateralmente por otros invernaderos.

Figura 7 Datos medidos y simulados de tasas de ventilación, bajo ventilación lateral del invernadero experimental. 

Figura 8 Datos medidos y simulados de tasas de ventilación, bajo ventilación lateral y cenital del invernadero experimental. 

Los métodos completo y simplificado de Navier-Stokes aplicados al invernadero tipo Venlo son consistentes numéricamente ya que satisfacen el principio de conservación de la masa (Cuadro 2). Esto significa que la cantidad de volumen que entra y sale del invernadero es similar.

Cuadro 2 Balance de masa de aire del invernadero de estudio tipo Venlo. 

El modelo simplificado subestima la tasa de ventilación del invernadero, con respecto al modelo completo, para los casos 1, 2, 4 y 5, en 0.7, 2.6, 14.5 y 70.5 %, respectivamente; y en el caso 3, la sobreestima en 15% (Figura 9). La diferencia de resultados en el caso 5, se debe a que las velocidades de las partículas de aire y sus gradientes son elevados , según se observa en la Figura 14 y 15, de modo que el término de la aceleración convectiva del modelo de Navier-Stokes tiene un efecto considerable en el comportamiento de la trayectoria de las partículas. También se aprecia que los escenarios de ventilación natural 3 y 4, donde se manejan velocidades del aire exterior elevadas (5 m s^-1), no satisfacen las 60 renovaciones por hora del volumen de aire interno del invernadero, requeridas para obtener los rendimientos óptimos de algunos cultivos (^{Luo et al., 2005}). Otro aspecto a destacar en esta figura es que la ventilación resulta más eficiente cuando se utilizan simultáneamente las ventanas laterales y del techo (escenario 5), en lugar de emplear únicamente las ventanas del techo (escenario 4) lo cual coincide con los resultados de otras investigaciones (^{Castilla, 2005}; ^{Kittas et al., 2005}).

Figura 9 Tasas de ventilación de los diferentes escenarios. 

En lo que respecta a las características de circulación de la masa de aire en el invernadero, se observó que ambos modelos matemáticos arrojaron resultados similares en los escenarios de simulación 1 y 2, por lo que en éste escrito sólo se presentan los resultados de los escenarios 3 a 5. En los escenarios donde hubo diferencias, se encontró que en algunas ventanas la dirección del aire arrojada por los modelos es opuesto; por lo que, sí en un modelo indicó que el aire sale del invernadero, en el otro resulta que entra. También se observó que aunque en algunas de las ventanas se mantuvo la misma tendencia de la dirección de las partículas, variaron ligeramente las cantidades de los flujos de aire obtenidos con los dos modelos. Por ejemplo, en el escenario 3 se observó que hay una recirculación del aire entre las ventanas VT1, VT2, VT3 y VT4 (Figura 10 y 11) en los dos modelos; sin embargo, el modelo simplificado no describe la recirculación de aire en el lado izquierdo del invernadero.

Figura 10 Líneas de trayectoria del escenario 3 (modelo completo). 

Figura 11 Líneas de trayectoria y velocidades (m s^-1) del aire del escenario 3 (modelo simplificado). 

En los escenarios 4 y 5, ambos modelos matemáticos arrojaron una dirección similar de las partículas en la parte superior del invernadero; sin embargo, el modelo simplificado (Figura 13 y 15) no describe la recirculación del aire existente en el interior del invernadero (Figura 12 y 14). En todos los escenarios se observó que las velocidades del aire en el interior de los invernaderos son menores a 1 m s^-1, límite máximo para que no se inhiba el crecimiento de las plantas (^{ASAE, 1984}); sin embargo, únicamente en los escenarios 2, 4 y 5, y con el modelo completo de Navier-Stokes se aproximan al rango de velocidades requerido para el desarrollo óptimo de la mayor parte de los cultivos el cual es de 0.5 a 0.7 m s^-1, (^{Aldrich et al., 1983}).

Figura 12 Líneas de trayectoria del aire del escenario 4 (modelo completo). 

Figura 13 Líneas de trayectoria y velocidades (m s^-1) del aire del escenario 4 (modelo simplificado). 

Figura 14 Líneas de trayectoria del escenario 5 (modelo completo). 

Figura 15 Líneas de trayectoria y velocidades (m s^-1) del escenario 5 (modelo simplificado). 

Es conveniente mencionar que aunque se obtuvieron tasas de ventilación similares en la mayor parte de los escenarios con los dos modelos matemáticos, la distribución de la masa del aire en el interior del invernadero en algunos escenarios fue muy diferente y no se logró detectar con claridad las zonas donde no hay intercambio de aire con el exterior o con la fuente de suministro. Estas zonas de recirculación de aire en el interior del invernadero no son claras debido a la eliminación de la aceleración convectiva de la ecuación de la cantidad de movimiento. Este término de la ecuación, representa en gran medida la vorticidad del aire ya que puede ser expresado mediante la Ecuación 5, en la que (∇ × v) es el rotacional de la velocidad (^{Marsden y Tromba, 2004}).

(5)

De acuerdo a los resultados observados con el modelo completo, se debe considerar la aceleración convectiva en la modelación de la ventilación en escenarios del tipo 4 y 5. Aunque en todos los escenarios son pequeñas las velocidades del aire en el interior del invernadero (de la Figura 10 a la 15), se presentaron zonas de recirculación del fluido debido a que el valor de su viscosidad es muy pequeño.

Finalmente, es importante indicar que hay ventajas computacionales de las simulaciones con el modelo simplificado ya que disminuyó la dificultad de su solución numérica así como la cantidad de operaciones matemáticas y tiempo de cálculo requeridos, debido a la eliminación del término no lineal, representado por la aceleración convectiva, y a que se utilizó un número menor de elementos en la división del dominio de estudio. La eliminación de la aceleración convectiva impactó de forma importante en tres aspectos: simplificación de la solución numérica, reducción de los cálculos y tiempos de simulación; mientras que la división menos fina de los dominios de estudio contribuyó, principalmente, en la disminución del número de operaciones matemáticas y de los tiempos para efectuarlas. En el modelo completo se resolvieron las ecuaciones (1a) y (1b), y en el modelo simplificado las Ecuaciones 1b y 3, por lo que de acuerdo a la forma en que se dividieron los dominios de los escenarios de estudio, indicada en el Cuadro 1, se resolvieron más ecuaciones en el modelo completo que en el simplificado en relaciones que van desde 1.6 a 1 en el escenario tres, hasta de 22.8 a 1 en el escenario uno (Cuadro 3). Evidentemente, las simulaciones con el modelo completo demandaron mayor memoria de cálculo del equipo de cómputo y los tiempos para efectuarlas, en un equipo con procesador Intel Core 2 Duo a 2 GHz y 8 GB de memoria RAM, resultaron desde 3 hasta 54 veces más que en el modelo simplificado, en los escenarios tres y dos, respectivamente. Si bien, resulta más sencillo indicar las instrucciones de solución numérica del modelo simplificado en los lenguajes de programación comerciales, y la memoria del equipo para realizar operaciones matemáticas y los tiempos de cálculo se reducen sustancialmente, se debe considerar un equilibrio entre la precisión de los resultados y los costos computacionales.

Cuadro 3 Ecuaciones a resolver y tiempos de cálculo de los modelos matemáticos empleados. 

Conclusiones