La distribución GVE

En el análisis de frecuencias de datos hidrológicos extremos, como crecientes o gastos anuales, niveles del mar, velocidades de viento y lluvias máximas, las distribuciones de valores extremos tienen un papel preponderante. Su origen se establece a partir de una muestra de variables aleatorias (X₁, X₂,..., X_n ), independientes e idénticamente distribuidas (iid), que tienen una función de distribución de probabilidades F(x). En la práctica, X_i son valores del proceso observado que se mide cada hora como los niveles del mar o diariamente como los gastos de un río.

El estadístico definido en la Ecuación (1) es el máximo del proceso durante n unidades de tiempo de observación (block máxima) y en su comportamiento probabilístico se centra el desarrollo de la teoría de valores extremos:

La distribución de probabilidades acumuladas M_n está definida por la condición iid y es (^{Smith, 1986}; ^{Tawn, 1988}; ^{Dupuis, 1997}; ^{Coles, 2001}; ^{An & Pandey, 2007}):

Para obtener el comportamiento de la Ecuación (2) conforme n tienda a infinito y se eviten soluciones triviales o degenerativas, se hace una normalización lineal de la variable M_n , con base en las constantes a_n > 0 y b_n , la cual es:

Ahora la distribución de los extremos converge a un resultado no trivial, definido así:

La distribución asintótica G(x) debe converger en alguna de las tres familias llamadas Gumbel, Fréchet y Weibull. Estas tres distribuciones se incluyen en la general de valores extremos (GVE), cuya expresión es:

en la cual, µ, σ y κ son los parámetros de ubicación, escala y forma; con -∞ < µ < ∞, σ > 0 y -∞ < κ < ∞. Además, está definida por el conjunto {x: [1 + κ(x-µ)/σ]>0}. Si κ>0, la GVE tiene tipo II o Fréchet, sin límite superior (µ - σ / κ < x < ∞). Cuando κ<0, se define la tipo III o Weibull, con límite superior (∞ < x < µ - σ / κ). Finalmente, cuando κ=0, se llega, en un sentido asintótico, a la distribución tipo I o de Gumbel (-∞ < x < ∞), también denominada doble exponencial, cuya ecuación es:

Seleccionado los máximos (Ecuación (1)) en cada año, las predicciones buscadas (X_Tr ) para una probabilidad de excedencia q o un periodo de retorno Tr en años (Tr = 1/q), se obtienen con base en la Ecuación (5), ya que G(x) = 1 - q (^{Coles, 2001}):

Conviene aclarar que en el siglo pasado la ecuación de la distribución GVE (^{Smith, 1986}; ^{Tawn, 1988}; ^{Dupuis, 1997}; ^{Hosking & Wallis, 1997}; ^{Rao & Hamed, 2000}) era:

para la cual, el modelo Fréchet se obtiene con κ<0. Este cambio de κ por -κ en la Ecuación (9) ha sido iniciado, lógicamente por ^{Coles (2001)}, y aceptado por ^{Ramesh y Davison (2002)}, ^{Katz, Parlange y Naveau (2002)}, y por ^{Khaliq et al. (2006)}. Tiene una leve conveniencia de signos al manejar la función de verosimilitud y sus restricciones de positividad en las ecuaciones (13) a (15) siguientes, y por ello se conserva en este estudio.

Método de máxima verosimilitud

De acuerdo con textos consultados (^{Kite, 1977}; ^{Rao & Hamed, 2000}; ^{Coles, 2001}; ^{Kottegoda & Rosso, 2008}; ^{Meylan, Favre, & Musy, 2012}) el principio de máxima verosimilitud se explica con diferentes niveles de detalle. Pero, en general, implica lo siguiente: dada una muestra (X₁, X₂,..., X_n ) de observaciones iid, que siguen una distribución F_θ con parámetros de ajuste θ₁, θ₂,..., θ_q . Entonces, por definición, la probabilidad de obtener un valor X_i será:

siendo f_θ (x_i ) la función de densidad de probabilidad. Como los datos son iid, la probabilidad de obtener n valores X_i será la probabilidad conjunta o función de verosimilitud, designada L del inglés likelihood y expresada como:

El método de máxima verosimilitud consiste en encontrar un vector θ^ de parámetros que hagan máxima a L(θ) y por lo tanto a la probabilidad de obtener la muestra (X₁, X₂,..., X_n ). Con frecuencia, resulta más conveniente tomar logaritmos y trabajar con la función logarítmica de verosimilitud (^{Coles, 2001}), es decir:

lo anterior es aceptable debido a que la función logarítmica es monotónica y entonces la función l(θ) alcanza su máximo en el mismo punto que la función L(θ).

Función l(θ) de la distribución GVE

La función de densidad de probabilidad de la distribución GVE es la siguiente (^{Coles, 2001}; ^{Ramesh & Davison, 2002}):

donde σ > 0, -∞ < µ, κ < ∞ y el intervalo de x es tal que [1 + κ(x - µ) / σ] > 0, lo cual se indica con el signo + afuera de los paréntesis rectangulares. Cualquier combinación de parámetros de ajuste que viola la condición anterior de positividad implica que al menos uno de los puntos observados (x) está más allá de los puntos finales de la distribución, y entonces la función de verosimilitud es cero y la función logarítmica de verosimilitud es igual a -∞ (^{Coles, 2001}). Si se tiene una muestra de máximos anuales X₁, X₂,..., X_n , que son independientes, la función logarítmica de verosimilitud es:

Función l(θ) de la GVE para r eventos anuales

Cuando se incluyen otros valores máximos anuales en el ajuste de la distribución GVE para buscar una inferencia de predicciones más precisa, entonces en cada año se tienen r eventos definidos como: x1≥x2≥, . . . ,≥xr, y la función de densidad de probabilidad conjunta permite definir la función logarítmica de verosimilitud para n años de r valores anuales máximos independientes cada uno (^{Coles, 2001}; ^{Ramesh & Davison, 2002}), que es: lμ,σ,κ=-n∙r∙ln⁡σ-1+1κ∑i=1n∑j=1rln1+κxij-μσ+ 

Las restricciones definidas en la Ecuación (13) para los parámetros de ajuste se aplican a la expresión anterior y además 1+κxj-μ/σ debe ser positivo para cada j = 1,.., r. La Ecuación (14) es un caso especial de la Ecuación (15), que se obtiene cuando r = 1. ^{Tawn (1988)} presenta una ecuación similar a la (15), que considera variable cada año el número de eventos r.

Función l(θ) de la GVE para series no estacionarias

Los procesos no estacionarios tienen características que cambian sistemáticamente a través del tiempo. En los procesos climatológicos e hidrológicos, la no estacionariedad se observa por épocas debido a los efectos de los patrones climáticos diferentes en varios meses. También está presente como tendencia, originada principalmente por el cambio climático regional o global (^{Coles, 2001}).

No existe una teoría general de valores extremos para los procesos no estacionarios y, por ello, se sigue un enfoque pragmático consistente en utilizar la distribución GVE ajustada por máxima verosimilitud, cambiando con el tiempo, o con alguna otra covariable y sus parámetros de ajuste (^{Katz et al., 2002}). Para el caso específico de una tendencia lineal, se hace variar el parámetro de ubicación con el tiempo (^{Coles, 2001}):

La expresión anterior se sustituye en la Ecuación (15) para maximizar tal función y obtener los cuatro parámetros de ajuste ((β0,β1,σ,κ). Otros modelos basados en la GVE para series no estacionarias con el enfoque de covariables las describe ^{Coles (2001)} en su capítulo 6.

El algoritmo Complex

La maximización de la Ecuación (15) para obtener los parámetros óptimos de ajuste (µ, σ, κ) de la GVE buscada debe ser abordada de manera numérica, y para ello se seleccionó el algoritmo Complex de múltiples variables (z) restringidas o acotadas. Su planteamiento teórico es el siguiente (^{Box, 1965}):

Sujeta a m variables dependientes (y), función de las variables de decisión (z):

Ambas variables tienen límites inferiores y superiores del tipo ≤, es decir, zinf≤zi≤zsup y yinf≤yi≤ysup. El algoritmo Complex es una técnica de exploración local, que se guía exclusivamente por lo que encuentra a su paso; sus antecedentes, una descripción breve de su proceso operativo y su código OPTIM se pueden consultar en ^{Campos-Aranda (2003)}. En ^{Bunday (1985)} se tiene otra descripción y código de este método de búsqueda.

Las designaciones principales en el código OPTIM son NX y NY, que definen el número de variables de decisión y dependientes; para el caso analizado tres (µ, σ, κ) y n (número de años del registro), debido a que las variables dependientes son restricciones de positividad, con j = 1,..., r valores por año 1+κxj-μ/σ. MI = 500 es el número máximo de evaluaciones de la función objetivo y NQ = 25 el número de tales cálculos entre impresión de resultados. Estas variables se accesan en la subrutina de lectura de datos.

Una ventaja importante del código OPTIM radica en permitir un fácil acceso de los límites (L = lower, U = upper), nombres y valores iniciales de las variables, en la subrutina citada, por medio de las designaciones siguientes: XL(I), XU(I), XN$(I), X(I), YL(J),YU(J),YN$(J) y Y(J). Para el caso estudiado, I varía de 1 a 3, y J de 1 a n (número de años del registro). Después, se incluyen los criterios de convergencia FA y FR para las deviaciones absoluta y relativa de la F. Se utilizaron los valores siguientes: 0.0002 y 0.00001, respectivamente.

La función objetivo se denomina F en el código OPTIM y se accesa al final del programa; corresponde lógicamente a la Ecuación (15), con nombre FO$=”FLMV” de función logarítmica de máxima verosimilitud. Se asigna con signo negativo a F debido a que el algoritmo Complex minimiza a la función (Ecuación (17)) y se desea maximizar a la FLMV.

Por último, se aclara que por la naturaleza del problema numérico planteado, se tiene otra variable, que es NR = 1,..., 5, la cual equivale a cada muestra anual de niveles o gastos. La captura de datos se hace con dos ciclos anidados: uno para i, variando de 1 a n o número de años del registro procesados; y el otro para j, que va de 1 a 5, es decir, r de la Ecuación (15).

Test de Wald-Wolfowitz

Esta prueba no paramétrica ha sido utilizada por ^{Bobée y Ashkar (1991)}, ^{Rao y Hamed (2000)}, y ^{Meylan, Favre y Musy (2012)} para probar independencia y estacionariedad en registros de gastos máximos anuales (x_i ). Para el caso estudiado, se propuso aplicar la prueba al registro de gastos máximos anuales (r = 1), que debe ser una muestra de valores aleatorios. Wald y Wolfowitz, basándose en el trabajo de Anderson sobre el coeficiente de correlación serial, desarrollaron tal prueba, cuyo estadístico es:

Cuando el tamaño (n) de la serie o muestra (x_i ) no es pequeño y sus datos son independientes, R procede de una distribución normal con media y varianza, dadas por las expresiones siguientes:

en las cuales:

Finalmente, se calcula U, con la ecuación:

El valor de U sigue una distribución normal con media cero y varianza unitaria, y se puede usar para probar la independencia de los datos de la serie con un nivel de significancia α, por lo común del 5 %. En una prueba de dos colas, la variable normal estandarizada es Z_α/2≅ 1.96; entonces, cuando U<1.96 la serie estará integrada por valores independientes (muestra aleatoria).

Error estándar de ajuste

Es el indicador más común (^{Chai & Draxler, 2014}) para el contraste de una distribución de probabilidades a datos reales; se estableció a mediados de la década de 1970 (^{Kite, 1977}) y se ha aplicado en México haciendo uso de la fórmula empírica de Weibull (^{Benson, 1962}). Ahora se aplicará utilizando la fórmula de Cunnane (Ecuación (25)), que de acuerdo con ^{Stedinger (2017)} conduce a probabilidades de no excedencia (p) aproximadamente insesgadas con las distribuciones utilizadas en hidrología. La expresión del error estándar de ajuste (EEA) es:

X_i son los niveles y gastos máximos anuales (r = 1) ordenados de menor a mayor, cuyo número es n y X^i los gastos máximos estimados con la Ecuación (7) y la probabilidad evaluada con la Ecuación (25); np = 3 es el número de parámetros de ajuste de la GVE:

Búsqueda de la solución óptima y robusta

Conforme se avanza de r = 1 a r = 5, al aplicar la Ecuación (15) y buscar su máximo con el algoritmo Complex, se van procesando cada vez más datos, primero n y por último 5n. Esto modifica los valores óptimos de los parámetros de ajuste (µ, σ, κ) y también hace cambiar al EEA, que se calcula exclusivamente con la serie anual de niveles o gastos máximos anuales (r = 1).

Lo anterior, para poder establecer una comparación objetiva en el uso de más información de cada año procesado (solución robusta) y buscar una combinación de µ, σ y κ (solución óptima) que conduzcan a un EEA menor o similar al mínimo obtenido con los métodos de ajuste por sextiles (^{Clarke, 1973}; ^{Campos-Aranda, 2001}); momentos L (^{Hosking & Wallis, 1997}; ^{Stedinger, 2017}), y momentos LH (^{Wang, 1997a}; ^{Wang, 1997b}; ^{Campos-Aranda, 2016}).

Registro de niveles en el Mar del Norte

^{Guedes Soares y Scotto (2004)} presentan una gráfica de cinco niveles máximos anuales (metros) en el Mar del Norte, en el periodo 1976-1999; por lo cual, n = 24. Sus valores aproximados se muestran en la Tabla 1. Estos autores, para asegurarse de utilizar r valores anuales independientes, usan el concepto de duración o longitud estándar de tormenta (^{Tawn, 1988}), definida en 480 horas (20 días), al muestrear un registro de niveles máximos tomado cada tres horas.

Integración de los registros de crecientes

Se procesaron cinco registros que fueron integrados con base en la información disponible en el sistema BANDAS (^{IMTA, 2002}), en el CD 1, la cual se denomina “Gastos máximos mensuales”, e incluye día, hora y lectura de escala de cada uno de los 12 gastos máximos del año analizado. Los cinco registros por procesar de la Región Hidrológica No. 10 (Sinaloa), México, se exponen de mayor a menor área de cuenca. El parteaguas y colector principal de las estaciones hidrométricas: Huites, Santa Cruz, Jaina, Guamúchil y El Bledal, se muestran en la figura 1 de ^{Campos-Aranda (2014)}, junto con otras 17 cuencas de tal región.

Para su integración, se aceptó que un lapso de 15 días asegura condiciones meteorológicas diferentes en la formación de cada creciente dentro de la Región Hidrológica No. 10 (Sinaloa), México (^{Schulz, 1976}; ^{Campos-Aranda, 2000}).

No se realizó una verificación de eventos extremos debido a que se acepta que la información hidrométrica que contiene el sistema BANDAS (^{IMTA, 2002}) ha sido contrastada y depurada contra los datos o mediciones de campo.

Para buscar que los registros se integren con gastos independientes, se siguió el siguiente proceso, en cada año (a) se selecciona el gasto máximo anual (xi1), y se revisa hacia adelante y hacia atrás de tal valor si el gasto mensual adyacente tiene un mínimo de 15 días de diferencia con la fecha de este primer máximo; el gasto mensual que no cumpla con tal plazo se elimina; después se busca el siguiente gasto en magnitud (xi2) entre los gastos máximos mensuales disponibles (11, 10 o 9 restantes) y se sigue el proceso descrito; así se avanza hasta integrar los cinco gastos máximos anuales independientes (xi5).

Registro de crecientes en la hidrométrica Huites

La estación de aforos Huites en el río Fuerte de la Región Hidrológica No. 10 (Sinaloa), México, con clave 10037 y área de cuenca de 26057 km², comenzó a operar en septiembre de 1941 y concluyó en diciembre de 1992 (n = 51), cuando inició la construcción de la Presa Luis Donaldo Colosio. Con el proceso descrito se integró su registro de cinco gastos máximos anuales independientes, que se expone en la Tabla 2.

Registro de crecientes en la hidrométrica Santa Cruz

La estación de aforos Santa Cruz en el río San Lorenzo de la Región Hidrológica No. 10 (Sinaloa), México, con clave 10040 y área de cuenca de 8919 km², comenzó a operar en mayo de 1943 y concluyó su registro continuo en diciembre de 1980 (n = 38). Con el proceso descrito se integró su registro de cinco gastos máximos anuales independientes, lo cual se muestra en la Tabla 3 y Figura 1.

Figura 1 Serie de gastos máximos anuales (r = 1) y rectas de predicciones estacionarias en la estación hidrométrica Santa Cruz, de la Región Hidrológica No. 10 (Sinaloa), México. 

Registro de crecientes en la hidrométrica Jaina

La estación de aforos Jaina en el río Sinaloa de la Región Hidrológica No. 10 (Sinaloa), México, con clave 10036 y área de cuenca de 8179 km², comenzó a operar en enero de 1942 y concluyó su registro continuo en diciembre de 1997 (n = 56). Con el proceso descrito se integró su registro de cinco gastos máximos anuales independientes, lo cual se expone en la Tabla 4.

Registro de crecientes en la hidrométrica Guamúchil

La estación de aforos Guamúchil en el río Mocorito de la Región Hidrológica No. 10 (Sinaloa), México, con clave 10031 y área de cuenca de 1645 km², comenzó a operar en octubre de 1938 y concluyó en diciembre de 1971 (n = 33), cuando inició la construcción de la presa Eustaquio Buelna. Con el proceso descrito se integró su registro de cinco gastos máximos anuales independientes (Tabla 5).

Registro de crecientes en la hidrométrica El Bledal

La estación de aforos El Bledal, en el arroyo del mismo nombre de la Región Hidrológica No. 10 (Sinaloa), México, con clave 10027 y área de cuenca de 371 km², comenzó a operar en septiembre de 1937 y concluyó en diciembre de 1994 (n = 57). Con el proceso descrito se integró su registro de cinco gastos máximos anuales independientes, como se expone en la Tabla 6.

Registro de niveles con tendencia en Venecia

En la Tabla 7 y Figura 2 se tienen los primeros cinco niveles máximos anuales del mar de los 10 que expuso ^{Smith (1986)}, para Venecia, Italia.

Figura 2 Serie de niveles máximos anuales (r = 1) y rectas de predicciones con tendencia lineal y covariable el tiempo (t), en Venecia, Italia. 

Prueba de aleatoriedad

Los resultados del test de Wald-Wolfowitz, definido en las ecuaciones (19) a (23), para cada uno de seis registros procesados (Tabla 1, Tabla 2, Tabla 3, Tabla 4, Tabla 5 y Tabla 6, columnas 2), son los siguientes: Mar del Norte U = -0.518; Huites U = -0.113; Santa Cruz U = -0.827; Jaina U = 1.510; Guamúchil U = -1.414; El Bledal U = 0.224, y Venecia U = 2.641. Por lo anterior, los primeros seis registros de valores máximos anuales (r = 1) son aleatorios y el de Venecia no lo es.

Ajustes a las series anuales (r = 1)

En la Tabla 8 se han concentrado los resultados de los ajustes de la distribución GVE a cada una de las series anuales de valores máximos (r = 1), por medio de los métodos de sextiles, momentos L y momentos LH. Tales resultados son los parámetros de ajuste (µ, σ, κ) y el error estándar de ajuste (EEA), cuyo valor mínimo alcanzado en cada serie se indica entre paréntesis.

Guías para la aplicación del algoritmo Complex

De inicio se buscó definir límites y valores iniciales de las variables de ajuste (µ, σ, κ), y de las dependientes o restricciones de positividad que funcionaran para las cinco series por procesar (r = 1,..., 5) de cada registro.

Durante las primeras aplicaciones del código OPTIM surgieron varias dificultades, una de ellas estuvo asociada con los límites de las variables, que son del tipo ≤. Entonces, para los límites inferiores no se debe poner cero sino 0.10 para los parámetros de ubicación (µ) y escala (σ), y 0.01 para las variables dependientes.

Respecto a los límites superiores, se encontró conveniente usar como mínimo el doble de los valores calculados para los parámetros µ y σ de la GVE de las series de gastos máximos anuales (r = 1) por medio del método que condujo al EEA mínimo (Tabla 8). Nunca fue necesario cambiar los límites superiores para que el código OPTIM funcionara. Para las variables dependientes se adoptó un valor superior de 100.

En relación con los límites del parámetro de forma (κ), por lo general se usaron como inferior -0.50 y como superior 0.50, o bien -1 y 1. En pocas ocasiones se tuvo que restringir su límite para obtener resultados en el orden de magnitud del EEA del primer registro procesado (r = 1).

Finalmente, respecto a los valores iniciales de los parámetros de ajuste (µ, σ, κ), en general funcionaron bien los valores cercanos al mejor ajuste de la GVE (Tabla 8) entre sextiles, momentos L y momentos LH con la serie de gastos máximos anuales (r = 1). En la Tabla 9 se exponen los límites y valores iniciales utilizados para procesar las 30 series de valores máximos anuales.

El registro de Venecia se procesó sustituyendo a la Ecuación (16) en la Ecuación (15), ahora con cuatro parámetros de ajuste. Los límites inferior y superior, y el valor inicial fueron los siguientes: β0(0.10,200,100), β1(0.10,2,0.75), σ(0.10,30,15) y κ(-0.50,0.50,-0.05).

Al procesar algunas series de ciertos registros se tuvo que cambiar un dato inicial para que el algoritmo Complex llegara a una solución cercana a la óptima y no a un mínimo local. Por ejemplo, en el registro de Mar del Norte, para la serie de r = 3 se usó -0.05 para el κ inicial. Para el registro de El Bledal se limitó a 0.40 el valor de parámetro de forma κ.

Resultados del algoritmo Complex

En la Tabla 10 se muestran los principales indicadores de la aplicación del algoritmo Complex (aC), como son: la función logarítmica de máxima verosimilitud (FLMV), calculada con la Ecuación (15); el error estándar de ajuste (EEA), evaluado con la Ecuación (23), y los valores óptimos de los parámetros de ajuste (µ, σ, κ).

También se cita en la columna 1 de la Tabla 10 el EEA mínimo obtenido (Tabla 8) con la serie anual de máximos anuales (r = 1), con alguno de los tres métodos aplicados: sextiles, momentos L y momentos LH. Contra tal valor habrá que comparar los alcanzados por el algoritmo Complex, mostrados en la columna 6 (solución robusta). Los valores del EEA adoptados se muestran sombreados en la Tabla 10: son los mínimos alcanzados por el algoritmo Complex.

Los resultados relativos a las cinco series del registro de Venecia, Italia, se han concentrado en la Tabla 11, en la cual se observa que el mejor ajuste se logró con r = 2 y un valor de EEA cercano al mínimo del método de los momentos LH de 3.587 metros (Tabla 8).

Contrastes del EEA

Con base en los resultados de la Tabla 10 se deduce: (1) para el registro de Mar del Norte, que el método de máxima verosimilitud con r = 1 iguala al EEA mínimo, alcanzado con el método de momentos L; (2) en los registros de las estaciones Huites y Santa Cruz se obtiene la mejor opción con r = 5 en la primera y con r = 2 en la segunda; en Santa Cruz se obtiene un EEA menor que el mínimo (L3) del método de momentos LH; (3) en los registros de las estaciones Jaina, Guamúchil y El Bledal se definen como mejores opciones las siguientes: r = 1, r = 4 y r = 1, que conducen a un EEA menor que el mínimo obtenido con los métodos de momentos L en Jaina y de momentos LH en las otras dos estaciones.

Predicciones del algoritmo Complex

Seleccionadas, en cada uno de los seis registros procesados, las series de r que condujeron a los EEA menores, se contrastan las predicciones obtenidas y expuestas en la Tabla 12 contra las del método que condujo al menor EEA en la Tabla 8, para establecer las que serán adoptadas, por ser más severas o críticas, las cuales se muestran sombreadas.

Se aclara que las predicciones mostradas para las cinco series de Venecia, Italia, corresponden al final del periodo histórico, es decir, utilizando la covariable t con un valor de 51, en la Ecuación (16), al aplicarla en la Ecuación (7).

Asimismo, debido a la amplitud que muestran (33 ≤ n ≤ 57) los cinco registros de crecientes procesados de la Región Hidrológica No. 10 (Sinaloa), México, sus predicciones confiables pueden abarcar hasta el periodo de retorno (Tr) de 100 años; sin embargo, se presentan las de Tr = 500 y 1 000 años para observar el grado de dispersión que tales predicciones robustas muestran en ambos intervalos de recurrencia extremos.

Para el registro de Santa Cruz, en los periodos de retorno (Tr) mayores de 50 años se observan en la Tabla 12 predicciones ligeramente más grandes con el método de los momentos LH, que con las soluciones robustas del método de los r eventos máximos anuales. Lo mismo ocurre en el registro de Venecia, pero exclusivamente en los periodos de retorno (Tr) de 500 y 1 000 años.

Por otra parte, para los registros de Huites (r = 5), Santa Cruz (r=2) y Guamúchil (r = 4) se obtuvieron predicciones más severas o críticas con el ajuste de la GVE y el método de r eventos anuales, que las alcanzadas con los métodos clásicos, que utilizan un valor máximo anual. Lo anterior es notable en el registro de Guamúchil.

Finalmente, en los registros restantes (Mar del Norte, Jaina y El Bledal) con r = 1, el método de máxima verosimilitud iguala o reduce el EEA alcanzado por los métodos clásicos de momentos L y LH. En la estación Jaina es factible adoptar los resultados de la serie con r = 5 si se desea una solución robusta con un EEA ligeramente mayor.