Introducción

Un desafío que siempre ha tenido el ser humano es el uso eficiente y seguro del recurso hídrico al menor costo posible. Para ello es indispensable explotar y controlar la energía hidráulica, es decir, la energía potencial y la energía cinética que adquiere el fluido (^{Nasir, 2014}; ^{Yuce & Muratoglu, 2015}), estableciéndose una relación directa con la segunda ley de la termodinámica (^{Herwig & Wenterodt, 2011}), donde es esencial cuantificar la energía no aprovechable (pérdida) para conocer la energía hidráulica disponible y utilizarla en los sistemas (^{Schmandt, Iyer, & Herwig, 2014}), tales como las conducciones en las centrales hidroeléctricas (^{Elbatran, Yaakob, Ahmed, & Shabara, 2015}); las redes de distribución de agua en poblaciones (^{Yildirim & Singh, 2010}); los sistemas de riego (^{Sesma, Molina-Martínez, Cavas-Martínez, & Fernández-Pacheco, 2015}); las líneas de conducción en plantas industriales (^{Anaya-Durand, Cauich-Segovia, Funabazama-Bárcenas, & Gracia-Medrano-Bravo, 2014}), y las redes de distribución en centrales geotérmica (^{Maria-Di, 2000}), entre otras. Sin embargo, el mismo interés se tiene de conocer la energía disponible en las conducciones con fluidos distintos al agua, los cuales se utilizan en múltiples sistemas de tuberías de plantas industriales (^{Perumal & Ganesan, 2016}). Dicho interés, que acontece por evaluar las pérdidas de energía en el fluido, se debe a que repercuten principalmente en la selección de la tubería y su diámetro, así como del equipo de bombeo (^{Yoo & Singh, 2010}).

En la actualidad, el estudio de las pérdidas de energía se divide en pérdidas por fricción y pérdidas locales (^{Liu, Xue, & Fan, 2013}), teniendo ambas distinto origen, pero igual importancia. En estas últimas se concentra la investigación, en específico en los dispositivos de cambio de dirección conocidos como “curvas”, debido a que son muy empleados en los sistemas de tuberías para ajustar el sentido de los conductos (^{Gontsov, Marinova, & Tananaev, 1984}). No obstante, también son bastante utilizados los otros cambios de dirección llamados “codos”, pero merecen una revisión por separado (^{Kast, 2010}; ^{Zmrhal & Schwarzer, 2009}). Por último, en efecto que las curvas de tuberías son ampliamente utilizadas en los sistemas hidráulicos, se han llevado a cabo diversas investigaciones sobre las pérdidas de energía que éstas generan, las cuales no han cesado en los últimos años, como se puede constatar en los trabajos de: ^{Dang, Yang, Yang e Ishii, (2018)}; ^{Daneshfaraz, Rezazadehjoudi y Abraham (2018)}; ^{Reghunathan, Son, Suryan y Kim (2019)}; ^{Friman y Levy (2019)}; ^{Tripathi, Portnikov, Levy & Kalman (2019)}; ^{Du et al. (2020)}; ^{Arun, Kumaresh, Natarajan y Kulasekharan (2020)}; ^{Jia y Yan, (2020)}. Sin embargo, estas investigaciones recientes se basan en resultados de modelos computacionales, que generalmente se validan contra resultados experimentales de modelos físicos, siendo estos últimos los que analizarán en el presente estudio.

Las investigaciones de las pérdidas de energía en las curvas de tuberías, así como en otros dispositivos, se centralizan particularmente en estimar el coeficiente de pérdidas (ξ); sin embargo, a pesar de numerosos esfuerzos en distintos escenarios, no se ha coincidido satisfactoriamente en los resultados de este coeficiente (^{Dutta & Nandi, 2015}; ^{Ito, 1960}; ^{Kilkovsky, Jegla, & Stehlik, 2011}). Esto conlleva a una incertidumbre en la elección de los datos y metodología a utilizar, adicionando que por lo general los manuales y libros de textos no indican las consideraciones adoptadas en los estudios y para qué tipos de tuberías son aplicables. Por tal relevancia, el objetivo de este trabajo es presentar una revisión de las investigaciones y metodologías reportadas en la literatura para estimar el coeficiente ξ en curvas de tuberías bajo flujo turbulento, que permita visualizar detalles importantes de los estudios y un contraste de sus características y alcances, a partir de información organizada y homogenizada.

Naturaleza y evaluación de las pérdidas de energía

Las curvas de tuberías se utilizan en condición brusca y gradual (Figura 1). Cuando un fluido circula por un conducto recto de sección transversal constante y cruza por estos dispositivos, se producen pérdidas de energía en el entorno donde se localizan (^{Bariviera, Frizzone, & Rettore, 2014}; ^{Fuentes & Rosales, 2004}). Esto es en consecuencia de la modificación del sentido del flujo que altera la distribución de velocidades y presiones, originando que el fluido se separe en la parte interna de la curva y choque sobre la parte externa, lo cual repercute en vórtices y en aumento de la presión; esto conlleva que después de la curva, el movimiento en el flujo ocurra en forma de espiral hasta longitudes aproximadas a 50 veces el diámetro del conducto (^{Chowdhury, Biswas, Alam, & Islam, 2016}; ^{Ito, 1960}; ^{Villegas-León et al., 2016}). Sin embargo, cuando la curva se presenta gradualmente (Figura 1b), el fenómeno de perturbación del flujo es similar al provocado en el cambio brusco (Figura 1a), pero éste se produce en menor magnitud (^{Hager, 2010}; ^{Kast, 2010}; ^{Villegas-León et al., 2016}).

De acuerdo con ^{Beij (1938)}, ^{Ito (1960)}, ^{Idel'chik, (1966)}, ^{Yildirim y Sing (2010)}, ^{Sotelo (2013)}, ^{Acero y Rodríguez (2008)}, ^{USACE (1980)} y ^{USBR (1985)}, entre otros, las pérdidas de locales se determinan mediante la siguiente ecuación general:

donde h_L es la pérdida de energía hidráulica total (m), que en este trabajo se referirá a las originadas por curvas de tuberías; g es la aceleración de la gravedad (m/s²); V es la velocidad media de circulación (m/s), que en un cambio de dirección es la que se produce aguas arriba del dispositivo; V² ⁄2g es la carga por velocidad o energía cinética (m); y ξ_C es el coeficiente de pérdidas de la curva (adimensional), el cual es determinado experimentalmente. Para definir el valor del coeficiente de pérdidas de una curva brusca (ξ_SC ), por lo general sólo se requiere el ángulo θ, en tanto que para el coeficiente de pérdidas de una curva gradual (ξ_GC ), se demanda el ángulo θ y la relación del radio de la curva con respecto a diámetro del conducto (r⁄D); sin embargo, en ocasiones ambos coeficientes se relacionan con el número de Reynolds (R_e ), el cual se puede expresar para conductos circulares como:

donde R_e es adimensional; ρ es la densidad del fluido (kg/m³); V es la velocidad media del flujo (m/s); D es el diámetro del conducto (m), y μ es la viscosidad dinámica del fluido (kg/m‧s).

Ahora bien, se dice que la pérdida de energía en curvas es compuesta de la siguiente forma (^{Beij, 1938}; ^{Crane Co., 1982}; ^{Ito, 1960}):

en la cual h_c es la pérdida debida a la alteración del flujo por el tipo de curva que se obtiene de la diferencia de carga de presión del inicio y final del dispositivo; h_d es la pérdida excesiva en la longitud de la tubería aguas abajo, con respecto a la pérdida normal por fricción; h_f es la pérdida por fricción en la longitud de la curva, la cual puede obtenerse mediante la ecuación de Darcy-Weisbach, que se escribe como sigue:

donde L es la longitud de la tubería (m); f es un coeficiente de fricción que depende principalmente de D, de la rugosidad de la tubería (ε) y de R_e ; sin embargo, f es ampliamente estudiado y se proporciona en documentos de la temática, tales como ^{USACE (1980)}, ^{Crane Co. (1982)}, ^{CFE (1983)}, ^{USBR (1985)} y ^{Saldarriaga (2016)}, entre otros.

Por otro lado, cabe mencionar que con frecuencia de h_L se excluye la pérdida por fricción en la longitud de la curva para tratarse como tal, junto con las pérdidas originadas por tramos rectos de tuberías de un sistema. De esta forma, la pérdida de energía total en una curva quedaría como:

Entonces, conociendo la pérdida de energía total, el coeficiente de pérdidas de una curva está dado por la siguiente expresión:

Finalmente, es importante verificar si en h_L se considera o no la pérdida por fricción en el trayecto de la curva, ya que ello repercute en el valor del coeficiente de pérdidas. En el siguiente apartado se presentan resultados de investigaciones y metodologías reportadas en la literatura para estimar el coeficiente de pérdidas de curvas de tuberías.

Estimación del coeficiente de pérdidas

A continuación se expone un análisis de las investigaciones y metodologías revisadas en la literatura sobre las pérdidas de energía y el coeficiente de pérdidas de curvas de tuberías, donde se analizan cinco casos específicos: el caso de dispositivo simple (Figura 1) y otros cuatro casos de estructuras conformadas con dispositivos simples en serie (uno seguido de otro), los cuales se clasifican como forma-L, forma-S, forma-U y forma-Z (Figura 2). En los escenarios de estudio mencionados, las longitudes de tuberías se tratarán como proporcionales a sus diámetros internos (D) o al radio de la curva (r). Algunos casos que autores solo mencionan, como el diámetro nominal de las tuberías (Dn). Los valores de D serán estimados de los valores de Dn indicados en ^{Shames (1995)}, para las tuberías de acero al carbón, aleaciones de acero y acero inoxidable.

Uno de los trabajos ampliamente citados es el de ^{Beij (1938)}, quien realizó una investigación experimental de la pérdida de presión causada por curvas graduales de acero con θ = 90°, Dn = 10.16 cm y D = 10.23 cm; sin embargo, también se obtuvieron valores de h_f en los tramos de tuberías L_u = 48.15D y L_d = 168.12D. Para ello, se realizaron ensayos con agua en nueve curvas horizontales de 9.92 ≤ r ≤ 204.2 (cm). Por medio de una serie de piezómetros se evaluaron diferencias de alturas de presión en distintos puntos del sistema tanto aguas arriba como aguas abajo del dispositivo, mientras que la carga de velocidad se estimó a partir del caudal aforado y el área de la sección transversal del conducto. Con ello se obtuvieron resultados del coeficiente de las curvas graduales (ξ_GC) para relaciones de 0.97 ≤ r⁄D ≤ 19.96 y valores aproximados de 0.23 x 105 ≤ R_e≤ 3.4 x 105. Los valores del ξ_GC no presentaron una tendencia definida para valores del R_e, por lo cual también se presentan valores promedio del ξ_GC sólo en función de r/D. Estos resultados se presentan en un gráfico, donde se muestra que el coeficiente disminuye de 0.37 a 0.16 y después incrementa de 0.16 a 0.41, cuando la relación r/D incrementa de 1 a 3.5 y de 3.5 a 20, respectivamente; por lo tanto, el valor mínimo y máximo de ξ_GC es 0.16 y 0.41, cuando r vale 3.5 y 40 cm, respectivamente. Estos valores fueron comparados en otro gráfico ante los datos obtenidos experimentalmente por ^{Hofmann (1929)}, en curvas lisas y rugosas de D = 4.32 cm; ^{Davis (1911)}, en curvas de D = 5.08 cm; ^{Balch (1913)}, en curvas de D = 7.62 cm; ^{Vogel (1933)}, en curvas de D = 15.24, 20.32 y 25.40 cm; y por ^{Brightmore (1907)}, en curvas de D = 7.62 y 10.16 cm. En esta comparación de resultados, los valores del ξ_GC no son congruentes entre un autor y otro. No obstante, el valor máximo del ξ_GC = 0.58 y es dado por ^{Balch (1913)} con la relación r⁄D = 15, entretanto que el valor mínimo del ξ_GC = 0.08 y se obtiene de ^{Hofmann (1929)} en tuberías lisas, con la relación r⁄D = 7.

Con la finalidad de evaluar el comportamiento de la pérdida de energía en curvas graduales de latón fundido, ^{Ito (1960)} realizó experimentos en dispositivos con aproximadamente valores de D = 3.5 cm y de θ = 45, 90 y 180º. La curva de 180º es una estructura en forma-U, la cual se conforma por dos curvas en serie de 90º de deflexión, que producen una L_s = 2r. Las curvas de 45º tuvieron valores de r = 6.42, 11.3 y 25.54 cm; las curvas de 90º presentaron valores de r = 3.52, 6.38 y 11.42 cm; y las curvas de 180º fueron con valores de r = 6.39 y 11.32 cm. A los dispositivos estudiados se les acoplaron tuberías de cobre aguas arriba y aguas abajo, con L_u = 153.8D y L_d > 71.6D. Para la práctica se utilizó agua a carga constante, así como un sistema de manómetros para estimar las alturas de presión en cinco puntos aguas arriba de la curva y en ocho puntos aguas debajo de ella. En cada punto se evaluaron las alturas de presión en el lado derecho e izquierdo sobre el eje de la sección transversal, así como en la parte superior e inferior de la misma, donde se evaluó h_L=h_c+h_d. Considerando lo anterior, se obtuvieron valores del ξ_GC para un rango de 0.2 x 105 ≤ R_e ≤ 4.0 x 105, evaluando h_d en valores de L_d = 0, 9D, 18D y > 50D; los resultados evidenciaron que el coeficiente disminuye conforme incrementa R_e. A partir de ello, el autor propuso ecuaciones para estimar el coeficiente de pérdidas, las cuales también se recomiendan en ^{Lourenco y Xin (2017)}, mismas que se exponen a continuación:

Para 0.25R_e (r⁄D)^-2 < 91

Para 0.25R_e (r⁄D)^-2 ˃ 91

donde ξ es el coeficiente de pérdidas de una curva gradual (ξ_GC) y una estructura en forma-U (ξ_US); f se especifica en ^{Ito (1959)}; K es un coeficiente adimensional que depende de θ y r⁄D, el cual se estima mediante un gráfico o con ecuaciones sugeridas por el autor, las cuales se pueden escribir de la siguiente forma:

Si θ = 45º

Si θ = 90º y 2(r⁄D) < 19.7

Si θ = 90º y 2(r⁄D) > 19.7

Si θ = 180º

Cabe destacar que en ^{White (2008)} se sugiere estimar el coeficiente de pérdidas de una curva de 90º mediante la ecuación para 0.25R_e (r⁄D)^-2 ˃ 91. Por otro lado, en la comparación de los resultados para las curvas de 45º, 90º y en forma-U se manifestó buena correlación entre los coeficientes experimentales obtenidos y los estimados con la ecuación (3), cuando L_d > 50D. Sin embargo, entre diversas presentaciones gráficas de los resultados se destacan los siguientes casos:

Respecto a curvas comerciales de PVC, ^{Chen-Tzu (1969)} llevó a cabo un estudio experimental sobre el comportamiento del flujo y las pérdidas de energía en curvas con θ = 90º y r/D = 1.59. Los dispositivos utilizados fueron de dos pulgadas con D = 5.25 cm, los cuales se acoplaron a tuberías con las mismas características, y de longitudes L_u = 100D y L_d > 36D. Las pruebas se hicieron en curvas de sentido horizontal y vertical, utilizando distintos flujos de agua, con temperatura aproximada a 21.1 ^oC, que produjeron R_e de 0.282 x 10⁵ a 1.86 x 10⁵. Mediante un sistema de piezómetros se evaluaron las presiones a cada 90º en la circunferencia de sección transversal, permitiendo obtener las alturas de presión en el lado izquierdo y derecho del eje de la conducción, y en la parte superior e inferior del mismo; dichas presiones se estimaron en el centro del ángulo de la curva y hasta distancias de 30D aguas arriba del dispositivo y 36D aguas abajo. Entre otros resultados, se presenta un gráfico del ξ_GC para el sentido horizontal y vertical, conforme a la variación de R_e. En el gráfico se muestra que, en ambos casos, el ξ_GC se reduce a medida que incrementa el R_e, pero con diferente comportamiento. En los rangos aproximados a R_e < 0.57 x 10⁵ y R_e > 1.4 x 10⁵, el ξ_GC resultó ligeramente mayor en la curva vertical, mientras que en el rango de 0.57 x 10⁵ < R_e < 1.4 x 10⁵, el ξ_GC resultó levemente superior en el caso horizontal; por ende, el ξ_GC resulta igual para la curva horizontal y vertical cuando R_e ≈ 0.57 x 10⁵ y 1.4 x 10⁵, presentando valores de 0.24 y 1.8, respectivamente. Por último, los valores máximos de ξ_GC en la curva horizontal y vertical fueron de 0.35 y 0.38, en tanto que los valores mínimos fueron de 0.16 y 0.18, respectivamente, los cuales se presentaron en los valores mínimos y máximos de R_e.

Más de una década después, ^{Turian, Hsu y Selim (1983)} presentan una investigación sobre del coeficiente de pérdidas para algunos dispositivos y válvulas de tuberías de acero, donde se utilizaron flujos con sólidos en suspensión. Dicha investigación se dice que fue realizada previamente por ^{Hsu (1981)}, en la cual se obtuvieron valores del coeficiente de pérdidas para curvas bruscas y graduales de acero con D = 2.54 y 5.08 cm, utilizando distintos concentrados de perlas de vidrio del 0 al 50% del peso. Las curvas bruscas fueron de 90º de deflexión, mientras que las graduales tuvieron 45, 90 y 180º (forma-U, L_s = 0). Las curvas de 45º y en forma-U presentaron un r = 3.81 cm y 5.72 cm, en el D menor y mayor, respectivamente. Sin embargo, las curvas graduales de 90º fueron de 3.81, 11.43, 21.59 y 31.75 cm de radio para el D menor, así como 5.72, 22.86, 43.18 y 63.50 cm de radio para el D mayor. Los resultados se exponen en gráficos y tablas, de donde se resalta lo siguiente:

Además de mostrar resultados experimentales, ^{Turian et al. (1983)} menciona que el coeficiente de pérdidas en curvas puede obtenerse mediante las ecuaciones de ^{Ito (1959)} e ^{Ito (1960)} para 0.25R_e(r⁄D)^-2 ˂ 91 y 0.25 R_e(r⁄D)^-2 ˃ 91 (expuestas anteriormente), y también utilizando una tabla indicada en ^{Crane Co. (1982)}. Se contrastan los resultados experimentales sólo contra los de ^{Crane Co. (1982)}, donde se encontraron diferencias notables para los dos tipos de diámetros; siempre resultaron mayores los coeficientes obtenidos en la investigación, excepto para los de forma-U, que resultaron menores a los dados en la literatura. En dicha comparación de los dispositivos con D = 2.54 cm, las diferencias mínima y máxima de los coeficientes fueron de 0.25 en la curva en forma-U y de 0.67 en la curva de 90º con r = 11.43 cm, respectivamente; entretanto, dichas diferencias en los dispositivos con D = 5.08 cm fueron de 0.03 en la curva en forma-U y de 0.77 en la curva brusca de 90º.

Por otra parte, ^{Gontsov et al. (1984)} realizaron una investigación en laboratorio sobre el comportamiento del flujo y de la pérdida de energía en una curva horizontal con θ = 90º, utilizando flujo isotérmico de aire. El modelo se construyó a base de vidrio orgánico de 0.6 cm de espesor, con D = 20.6 cm, r⁄D = 1, L_u = 35D y L_d = 25D. Las presiones en el flujo y sobre las paredes se evaluaron mediante manómetros diferenciales con alcohol, considerando valores del R_e de 0.9 a 4.0 x 105. Los resultados se indican mediante gráficos, sin embargo, también se manifiestan cuatro ecuaciones para obtener el ξ_GC. La primera es una ecuación que se le atribuye a D. Al’tshul, y se escribe de la forma siguiente:

La segunda ecuación expuesta es la reportada por ^{Ito (1960)} y citada previamente en la Ecuación (8). Las dos ecuaciones restantes son obtenidas por los autores para curvas graduales y lisas, a partir de sus propias investigaciones y los resultados de ^{Ito (1960)}. La tercera ecuación es sugerida para 0.2 x 10⁵ < R_e < 4.0 x 10⁵, la cual se expone a continuación:

La cuarta ecuación es recomendada para R_e ≥ 4.0 x 10⁵, donde el ξ_GC es independiente del régimen del flujo. Dicha ecuación se escribe como:

Finalmente, cabe resaltar que los valores experimentales obtenidos del coeficiente de pérdidas presentaron buena correlación con los resultados logrados en ^{Ito (1960)}, cuando se tiene el rango de 1 ≤ r/D ≤ 3.

Con base en el análisis de la información experimental reportada en la literatura, en ^{Villegas-León et al. (2016)} se proponen ecuaciones para el ξ_SC y ξ_GC, las cuales generan valores promedio a partir de los obtenidos para el coeficiente con las metodologías consideradas. En el caso de las curvas bruscas, se seleccionaron las metodologías indicadas en ^{CFE (1983)}, ^{Miller (1990)}, ^{Sotelo (2013)} y ^{USACE (1980)}, sobre las cuales se obtuvo la siguiente expresión:

Se indica que la ecuación anterior es válida para valores de 0 < θ ≤ 90^o. Por otro lado, sobre curvas graduales se trabajaron las metodologías de ^{CFE (1983)}, ^{Miller (1990)}, ^{Sotelo (2013)}, ^{SARH (1984)}, ^{USACE (1980)} y ^{USBR (1985)}, de cuales se obtuvo la ecuación siguiente:

donde A, B y C son coeficientes que dependen de la relación r/D, y se determinan mediante las siguientes ecuaciones:

Se establece que estas ecuaciones para la condición gradual son válidas bajo los rangos de 1 ≤ r/D ≤ 10 y 5 ≤ θ ≤ 90^o.

Ahora, en los párrafos restantes se presentan diversos métodos para estimar el coeficiente de pérdidas de curvas de tuberías, los cuales son sugeridos en manuales y libros de la temática, basándose en experiencias propias del autor y/o en resultados de otros investigadores, sin exponer detalles de los desarrollos experimentales.

En el documento de ^{Gibson (1930)} se dice que los primeros experimentos de pérdida de energía en curvas de tuberías fueron realizados por ^{Weisbach (1855)}, utilizando tuberías de acero con D = 3.175 cm. A partir de dichos experimentos y otros más, propuso las siguientes ecuaciones para las curvas bruscas y graduales:

La primera ecuación que es para el coeficiente de curvas bruscas también es sugerida para codos de la misma condición. Además, se presentan valores tabulados del ξ_GC derivados de resultados de ^{Brightmore (1907)} para curvas de hierro fundido con D = 7.62 y 10.16 cm, r⁄D de 2 a 10, y bajo velocidades de 1.52 a 3.05 m/s. Dichos resultados no mostraron un comportamiento bien definido ante la variación de r⁄D y la velocidad del flujo; sin embargo, para los dos diámetros estudiados, los valores mínimos y máximos se puede asumir que se presentan en r⁄D = 10 y 2, respectivamente. En las curvas con D = 7.62 cm, el coeficiente menor y mayor fue aproximadamente de 0.22 y 0.43, mientras que para D = 10.16 cm resultaron de 0.23 y 0.38, respectivamente. Finalmente, también se presentan valores del coeficiente de pérdidas en curvas, estimados a partir de la investigación de ^{Schoder (1908)} sobre dispositivos de hierro forjado, que presentaron un Dn = 6 pulgadas, D estimado de 15.4 cm y relaciones r⁄D de 1.34 a 20. Los valores son expuestos en una tabla en función de r⁄D y de tres velocidades distintas: 1.52, 3.05 y 4.88 m/s. En este caso, el comportamiento del coeficiente resultó oscilatorio, pero tomando en cuenta el promedio de las velocidades, presentó el valor mínimo de 0.27 en r⁄D = 5 y 10, mientras que el valor máximo fue de 0.45 en r⁄D = 1.34.

Ahora, ^{Daugherty e Ingersoll (1954)} exponen que en curvas graduales con θ = 90º, el coeficiente de pérdidas se obtiene mediante la ecuación de ^{Pigott (1950)}, la cual se escribe de la siguiente forma:

Debido que el valor de R_e incide en f, implica que también influya en ξ_GC. Por último, se indica que en curvas con θ ≠ 90º, el valor de ξ_GC es aproximadamente proporcional al valor de θ. Es decir, que en una curva de 45 y 180º, el valor de ξ_GC es el 50 y 200%, respectivamente, sobre el valor obtenido con la ecuación anterior.

En el manual de ^{Idel’chik (1966)} se presenta amplia información sobre las pérdidas de energía en los dispositivos bajo estudio, donde se establece que la pérdida total es conformada por la pérdida local y la pérdida por fricción a lo largo de las curvas. Sobre las pérdidas por fricción, el autor proporciona una serie de ecuaciones, tablas y gráficos para obtener el coeficiente f, sin embargo, no se abundará en ello. Respecto a las pérdidas locales (Ecuación (1)), se presenta una gama de ecuaciones, tablas y gráficos, que se obtienen a partir de resultados experimentales de diversos autores. Acorde con dicha información se clasificaron los casos siguientes para curvas simples y curvas en serie:

en la cual δ y α son coeficientes que dependen de θ y r⁄D, respectivamente, los cuales se estiman de gráficos y tablas establecidas por ^{Nekrasov (1954)}, a partir de las investigaciones de ^{Idel’chik (1953)}, ^{Evdomikov (1940)} y propias. Ahí, el coeficiente δ incrementa de 0 a 1.4, cuando θ aumenta de 0 a 180º, mientras que α decrece de 1.18 a 0.17, cuando r⁄D incrementa de 0.5 a 1.5, respectivamente. Sin embargo, también se establecen las siguientes ecuaciones para estimar los coeficientes δ y α:

Si θ ≤ 70º:

Si θ = 90º:

Si θ ≥ 100º:

Si 0.5 ≤ r/D ≤ 1.0:

Si r/D ˃ 1.0:

donde los coeficientes δ y α se determinan conforme a lo indicado en a); λ₁ y λ₂ son coeficientes que se estiman mediante tablas en función de R_e, r⁄D y ε⁄D. λ₁ y λ₂ pueden incrementar de 45f a 1.0 y 1.0 a 2.0, respectivamente, a medida que también aumenta el valor de los parámetros que los rigen.

donde f se obtiene a través de tablas y gráficos en función de r⁄D y R_e. En dichos datos, el valor del f disminuye a medida que incrementan sus parámetros gobernantes. El valor máximo de f es de 0.34, cuando r⁄D = 3.1 y R_e = 400, mientras que su valor mínimo es de a 0.029, cuando r⁄D = 100 y R_e = 0.2 x 105. Por otro lado, también se proporcionan tres ecuaciones para estimar f, las cuales fueron obtenidas por ^{Aronov (1950)}, a partir de los resultados de las investigaciones antes mencionadas, que al sustituirlas en la ecuación anterior se produce lo siguiente:

Si 50 ˂ R_e(D⁄2r)^0.5 ≤ 600:

Si 600 ˂ R_e(D⁄2r)^0.5 ≤ 1 400:

Si 1 400 ˂ R_e(D⁄2r)^0.5 ≤ 5 000:

donde δ₁ y δ₂ son coeficientes que dependen de θ; δ₁ se obtiene de tablas y gráficos con datos de ^{Richter (1930)}, ^{Richter (1936)} y ^{Schubart (1929)}, donde su valor decrece de 3.0 a 1.2, cuando θ incrementa de 10 a 90º, respectivamente, mientras que cuando 90 < θ ≤ 180º, el valor δ₁ se mantiene constante en 1.2. Sin embargo, el valor de δ₂ se obtiene de tablas y gráficos con datos de ^{Weisbach (1855)}, o bien mediante una ecuación propuesta por este autor, que al sustituirla en la ecuación anterior adopta la siguiente estructura:

en la cual δ₁ y δ₂ se determinan conforme a lo indicado en f); η₁ y η₂ son coeficientes que se determinan en tablas en función del valor de ε⁄D y R_e. El coeficiente η₁ puede incrementar de 45f a 1.0, cuando aumenta el valor de R_e, mientras que η₂ puede incrementar de 1.0 a 1.5, cuando incrementan los valores de ε⁄D y R_e.

donde los coeficientes δ y α se determinan conforme a lo indicado en a); K es un coeficiente que depende de la relación (L_s -2r)⁄D, el cual se estima mediante tablas obtenidas a partir de los resultados de ^{Haase (1953)}. En el caso de las formas en L y Z, el coeficiente K disminuye de 2.5 a 2.0 y 3.0 a 2.0, respectivamente, cuando la relación (L_s -2r)⁄D aumenta de 0 a ≥ 1.0. Sin embargo, en el caso de la forma en U, dicho coeficiente incrementa de 1.4 a 2.0, cuando la relación (L_s -2r)⁄D aumenta de 0 a ≥ 1.0.

en la cual los coeficientes δ, α, λ₁ y λ₂ se obtienen conforme a lo indicado en la parte b) y c) para relaciones 0.5 < r⁄D ≤ 1.5 y 1.5 < r⁄D ≤ 50, respectivamente; y el coeficiente K se estima de acuerdo con lo establecido en el apartado h).

Por otro lado, ^{King, Wisler y Woodburn (1980)} recomiendan valores tabulados para estimar el ξ_GC, con θ = 90º y 1 ≤ r⁄D ≤ 20, los cuales son obtenidos de los resultados de ^{Beij (1938)}; dichos resultados se exponen de forma gráfica en ^{Brater, King, Lindell y Wei (1996)}, y también se indica que en flujo turbulento el valor de R_e no incide de modo significativo sobre el ξ_GC. En dichos datos, el valor de ξ_GC disminuye de 0.35 a 0.16, cuando r⁄D aumenta de 1 a 4, mientras que después incrementa de 0.16 a 0.42, cuando r⁄D toma valores de 4 a 20, respectivamente. Esto indica que el valor mínimo de ξ_GC = 0.16 es originado en r⁄D = 4, mientras que el valor máximo de 0.42 es presentado en r⁄D = 20. Por último, se establece de forma muy general que, en curvas graduales con θ = 45 y 180º, el valor del ξ_GC se puede determinar mediante el 50% y el 125%, respectivamente, de los valores dados para la curva con θ = 90º.

El manual de ^{USACE (1980)} presenta lo establecido por ^{Anderson (1947)} para estimar el coeficiente de pérdidas en curvas graduales y bruscas, donde se enmarca lo siguiente:

Otro documento que se cita en la literatura para determinar el coeficiente de pérdidas en curvas de tuberías es el manual de ^{Crane Co. (1982)}, donde se recomiendan los valores de ^{Pigott (1950)} para obtener el ξ_GC de tuberías de acero, con θ = 90º, D aproximado de 2.0 a 25.4 cm y r⁄D = 1, 2 y 3. Dichos datos revelan que el coeficiente disminuye en relación con el incremento del D, tomando valores aproximados de 3.8 a 1.8, de 3.3 a 1.1 y de 3.5 a 1.25, cuando r⁄D vale 1, 2 y 3, respectivamente, lo cual indica que los valores máximos se obtienen con r⁄D = 1, mientras que los mínimos con r⁄D = 2. Además, también se exponen los resultados de ^{Beij (1938)} sobre el ξ_GC, los cuales fueron discutidos en ^{USACE (1980)}. Sin embargo, si las curvas de 90º son de acero y bridadas, o con extremos para soldar, se recomienda una tabla para estimar el ξ_GC, en función de la relación r⁄D de 1 hasta 20. En dicha tabla, el coeficiente decrece de 20f a 12f e incrementa hasta 50f, cuando r⁄D toma valores de 1, 2-3 y 20, respectivamente, presentándose los valores mínimos en r⁄D de 2 a 3. También se especifica que para una curva con θ = 180o (forma-U, L_s = 0), el ξ_GC = 50f. Por último, se recomienda una tabla con resultados de ^{Kirchbach (1929)}, para estimar el coeficiente en curvas bruscas de acero con θ de 0 a 90º, donde el ξ_SC incrementa de 2f a 60f, respectivamente.

En ^{SARH (1984)} se sugiere una tabla para estimar el coeficiente de pérdidas de curvas graduales con θ = 90º, donde el ξ_GC se rige por la relación r⁄D en el rango de 1 a 10. En dicha tabla, el ξ_GC decrece de 0.52 a 0.18, cuando r⁄D aumenta de 1 a 6, mientras que después incrementa de 0.18 a 0.20 conforme r⁄D crece de 6 a 10. Sin embargo, si la curva es con θ ≠ 90º, el valor del ξ_GC obtenido será proporcional a un factor, el cual se estima de una segunda tabla en función de θ; dicho factor incrementa de 0.20 a 1.30 acorde con el aumento de θ de 10 a 180º, respectivamente. Por último, se dice ordinariamente, si la curva es brusca, el ξ_SC puede tomar valores de 0.7 a 1.0, según la magnitud de θ.

Por otro lado, ^{Pashkov y Dolqachev (1985)} exponen que en curvas graduales con D ≤ 3.0 cm, el coeficiente de pérdidas puede obtenerse de una tabla sólo en función de θ, donde el valor de ξ_GC incrementa de 0.20 a 1.10, a medida que θ aumenta de 30 a 90º. Sin embargo, si la curva es brusca, el coeficiente se obtiene mediante la siguiente expresión:

donde ξ₉₀ es el coeficiente de pérdidas de una curva brusca de 90º, que se estima de una tabla en función del D, en la cual el ξ₉₀ decrece de 1.70 a 0.83, acorde con el incremento D de 2.0 a 4.9 cm, respectivamente.

En el diseño de presas pequeñas, ^{USBR (1985)} recomienda el gráfico discutido anteriormente en ^{Beij (1938)}, para determinar el coeficiente de pérdidas de una curva gradual de 90º. No obstante, en dicho gráfico este autor incluye una curva de ajuste para obtener el ξ_GC acorde con la relación r⁄D. Ahí el coeficiente disminuye de 0.25 a 0.07 cuando r⁄D incrementa de 1 a 4, respectivamente; luego se mantiene constante en 0.07 cuando r⁄D va de 4 a 10. Por otro lado, si la curva presenta un θ ≠ 90º, se corrige el valor obtenido de ξ_GC, en proporción a un factor que se obtiene de un gráfico en función de θ. Dicho factor incrementa de 0 hasta 1.12, cuando θ aumenta de 0 a 120º, respectivamente.

Por otra parte, en ^{Simon (1986)} se sugiere una ecuación para estimar el coeficiente de pérdidas de curvas graduales, la cual se puede escribir de la siguiente forma:

Además, si la curva se produce bruscamente, se indica que el coeficiente de pérdidas se obtiene utilizando la siguiente expresión:

La ecuación anterior también se recomienda para estimar el coeficiente de pérdidas en codos bruscos.

Por otro lado, de acuerdo con ^{Trueba (1986)}, el coeficiente de pérdidas de una curva brusca se obtiene mediante la siguiente ecuación:

donde el ángulo θ debe ser de 0 a 90º.

Acorde con ^{Miller (1990)}, en el caso de curvas graduales que presenten superficies lisas, relaciones L_d⁄D ≥ 30 y valores de R_e = 10 x 10⁵, el ξ_GC se debe obtener de un gráfico en función de 0.5 ≤ r⁄D ≤ 10 y 10 ≤ θ ≤ 180º; dicho gráfico también es sugerido en ^{CFE (1983)} y ^{Hager (2010)}. Ahí se exponen diversas curvas para obtener el ξ_GC, donde toma un mínimo valor de 0.02 y un máximo de 1.0. También se muestra que para cualquier valor del θ el coeficiente decrece a medida que incrementa la relación r⁄D, originándose los valores mínimos con r⁄D entre 1.0 y 3.0; a partir de ahí, el valor del ξ_GC incrementa conforme también aumenta r⁄D, pero no logra alcanzar valores como cuando r⁄D ˂ 1.0, donde se obtienen los valores máximos para cualquier valor de θ. No obstante, al no cumplirse con paredes lisas o los valores mencionados para L_d⁄D y R_e, en ^{Miller (1990)} y ^{CFE (1983)} se establece que el coeficiente de pérdidas obtenido del gráfico mencionado debe corregirse de la siguiente forma:

donde ξ₁ es el coeficiente de pérdidas obtenido del gráfico para tuberías lisas con relación L_d⁄D ≥ 30 y en valores de R_e = 10 x 105; C_Re, C_Ld y C_ε son coeficientes de corrección por R_e ≠ 10 x 10⁵, L_d⁄D ˂ 30 y rugosidad en las paredes del dispositivo, respectivamente. En el caso del coeficiente C_Re, cuando r⁄D ≥ 1.0 o ξ₁ ˂ 0.4, este coeficiente se obtiene de un gráfico en función de r⁄D ≥ 1 y 0.1 ≤ R_e ≤ 100 x 10⁵, donde el valor de C_Re decrece a medida que incrementan los parámetros que lo rigen. Sin embargo, cuando r⁄D ˂ 1.0, el valor C_Re debe determinarse con la siguiente ecuación:

donde C_Re1 es el coeficiente de corrección por R_e ≠ 10 x 10⁵ para r⁄D ≥ 1.0 o ξ₁ ˂ 0.4 (discutido previamente). Por otro lado, el coeficiente C_Ld se determina de un gráfico en función del coeficiente ξ₁ y la relación L_d⁄D, donde sus valores máximos se presentan en L_d⁄D = 0, mientras que sus valores mínimos se producen en L_d⁄D de 1 a 4. Por último, si r⁄D ≥ 1.0 y R_e ≤ 10 x 10⁵, el coeficiente C_ε se determina como sigue:

donde f_R y f_L son coeficientes de resistencia a la fricción en la tubería rugosa y en una tubería hidráulicamente lisa, respectivamente. Sin embargo, si r⁄D ≥ 1.0 y R_e ˃ 10 x 10⁵, el C_ε se obtiene con la ecuación anterior, pero obteniendo los coeficientes f_R y f_L con R_e = 10 x 10⁵.

Finalmente, si la curva es brusca, ^{Miller (1990)} y ^{CFE (1983)} indican que el ξ_SC se determine con el mismo proceder que para la curva gradual. Para ello, se recomienda un gráfico para estimar el ξ_SC en función de 5 ≤ θ ≤ 120º, el cual aplica en tuberías lisas con L_d⁄D ≥ 30 y R_e = 10 x 10⁵; en caso contrario, el coeficiente debe corregirse de la misma forma a la condición gradual. En dicho gráfico, el ξ_SC incrementa de 0.02 a 1.5, conforme aumenta el valor de θ de 5 a 120º, respectivamente.

Con base en ^{Franzini y Finnemore (1999)}, se presenta un gráfico para estimar el coeficiente de pérdidas en curvas graduales con θ = 90º, donde el ξ_GC se rige por r⁄D y ε⁄D; cabe destacar que estos resultados no incluyen la pérdida por fricción en la curva. En este gráfico se muestra que el ξ_GC incrementa a medida que aumenta la relación ε⁄D para cualquier valor de r⁄D. No obstante, el coeficiente decrece e incrementa para cada valor de ε⁄D, cuando r⁄D toma valores de 1 a 7 y de 7 a 10, respectivamente, presentándose los valores mínimos en r⁄D = 7 y los máximos en r⁄D = 1. Por lo tanto, el valor mínimo es de 0.08 en ε⁄D = 0 y el máximo de 0.90 en ε⁄D = 0.01. Por último, se recomienda de forma general que para curvas con θ = 22.5 y 45º, el ξ_GC es aproximadamente el 40 y 80% del valor estimado para una curva con θ = 90º.

^{Mays (2001)} recomienda una tabla para estimar el coeficiente de pérdidas en curvas graduales con superficies lisas y θ = 45 y 90º, en función de r⁄D. En las curvas de 45º, el ξ_GC decrece de 0.10 a 0.09, cuando r⁄D aumenta de 1 a 2, luego incrementa de 0.09 a 1.20 a medida que r⁄D crece de 2 a 6. Sin embargo, en las curvas de 90º el ξ_GC decrece 0.35 a 0.16 y luego incrementa de 0.16 a 0.21, cuando ξ_GC aumenta de 1 a 4 y de 4 a 6, respectivamente. Por último, se indica que en curvas bruscas de 90º, el ξ_SC puede tomar un valor de 1.10, lo cual es bastante general.

Por su parte, ^{Albers (2010)} propone un gráfico para estimar el ξ_GC si θ = 90º, el cual también es aplicable para codos. Ahí el ξ_GC decrece conforme incrementa r⁄D, alcanzando un valor máximo y mínimo de 1.0 y 0, cuando r⁄D se aproxima a 0 y 8, respectivamente. Por otro lado, se indica que para una curva con θ = 45, 135 y 180º, el valor obtenido del ξ_GC en el gráfico para θ = 90^o será proporcional a 0.5, 1.5 y 2.0, respectivamente.

^{Hager (2010)}, además de proponer el gráfico de ^{Miller (1990)} para R_e = 10 x 10⁵, también sugiere otro gráfico para estimar el ξ_GC con R_e ≥ 10 x 10⁵, el cual también es sugerido en ^{Ito (1960)} y ^{Blevins (1984)}. En este gráfico, el ξ_GC puede obtenerse para θ = 45, 90 y 180º, en función de 0.5 ≤ r⁄D ≤ 10. Aunque dicho gráfico está representado de forma diferente, el comportamiento del ξ_GC es similar al mencionado en ^{Miller (1990)}. Los valores mínimos de ξ_GC para θ = 45, 90 y 180º son aproximados a 0.09, 0.14 y 0.18, cuando r⁄D = 1.5, 2.5 y 2.0, respectivamente; mientras que los valores máximos se aproximan a 0.25, 0.6 y 0.6, cuando r⁄D = 0.5, 0.65 y 0.75, respectivamente. Por otro lado, si R_e˂ 10 x 10⁵, el ξ_GC obtenido en el gráfico mencionado debe multiplicarse por (10 x 10⁵/R_e)^1/6.

A partir de ^{Kast (2010)}, se recomienda un gráfico elaborado con resultados experimentales para estimar el ξ_GC con superficies lisas o rugosas, 1 ≤ r⁄D ≤ 10 y 15 ≤ θ ≤ 180º, que conducen flujos con R_e ≥ 1 x 10⁵. En dicho gráfico se muestra que el ξ_GC para superficies lisas incrementa conforme también aumenta el θ, mientras que respecto a r⁄D presenta comportamientos distintos. Por ejemplo, cuando el ángulo θ = 15 y 30º, el ξ_GC se mantiene constante cerca de 0.03 y 0.06, respectivamente, para cualquier valor de r⁄D. Sin embargo, cuando θ = 45º el ξ_GC decrece a medida que incrementa r⁄D, tomando valores máximos y mínimos aproximados a 0.14 y 0.07 para r⁄D = 1 y 10, respectivamente. No obstante, si θ = 90º, el ξ_GC presenta un valor máximo aproximado a 0.22 en r⁄D = 1, de donde decrece hasta un valor mínimo cercano a 0.09 en r⁄D = 6.5, luego vuelve a incrementar hasta cerca de 0.11 cuando r⁄D = 10. Ahora, si θ = 180º, el coeficiente decrece de 0.32 a 0.13, luego incrementa a 0.15 y decrece nuevamente hasta el valor mínimo de 0.11, para finalmente incrementar hasta 0.15; dichos valores se presentan cuando r⁄D vale 1, 2.8, 4, 6.5 y 10, respectivamente. Por último, se muestra que para curvas rugosas con θ = 90º, el comportamiento del ξ_GC es similar, pero con mayor magnitud al de las curvas lisas con el mismo θ. Dicho coeficiente decrece desde el valor máximo de 0.50 hasta el valor mínimo de 0.18, de donde incrementa hasta 0.20; esto ocurre cuando r⁄D = 1, 6.5 y 10, respectivamente. Por otro lado, también se expone otro gráfico para obtener el ξ_GC con superficies lisas, θ = 90º, 2.26 ≤ r⁄D ≤ 11.71 y 20 ≤ R_e ≤ 2 x 10⁵. En éste se muestra que el ξ_GC decrece a medida que incrementa el R_e para cualquier relación r⁄D, presentando el valor máximo y mínimo cercano a 100 y 0.14, cuando R_e = 20 y 2 x 10⁵, respectivamente. Sin embargo, para 250 ≤ R_e ≤ 900, el valor de ξ_GC se mantiene constante cerca de 2.0. Finalmente, se sugiere información en tablas del coeficiente de pérdidas para curvas o codos estándar en condición brusca con θ = 90º tanto de conexiones atornilladas como elaborados de hierro fundido. Para los dispositivos de conexiones atornilladas con r_i = 0 y r_o ≥ 0, como en curvas con r_i ≥ 0 y r_o = 0, se recomienda una tabla para D de 1.4 a 4.9 cm, donde el ξ_SC decrece de 1.2 a 0.51, desde el D mínimo al máximo, respectivamente. Ahora, si las curvas bruscas son de hierro fundido, se recomiendan los datos de ^{Herning (1966)} para D de 5 a 50 cm, donde el coeficiente incrementa de 1.3 a 2.2, conforme incrementa el D mínimo hasta el máximo, respectivamente.

^{Menon y Menon (2010)} presentan una tabla para estimar el coeficiente de pérdidas de curvas bruscas estándar, en función de 0 ˂ θ ≤ 90º y D de 0.92 a 59.05 cm (Dn de 0.5 a 24 pulgadas ≈ de 1.27 a 60.96 cm), sin tomar en cuenta el valor de R_e. En dicha tabla se indica que el ξ_SC incrementa conforme aumenta el valor de θ, mientras que decrece cuando incrementa el valor del D. Por lo tanto, el valor mínimo del ξ_SC = 0.02, cuando θ ≈ 0º y D = 60.96 cm, mientras que el máximo es de 1.62, cuando θ = 90º y D = 1.27 cm.

En el documento de ^{Mataix (2010)} se recomiendan valores tabulados del coeficiente de pérdidas, que son aplicables en curvas y codos graduales con θ = 90º. El valor de ξ_GC es menor a medida que incrementa la relación r⁄D; el valor máximo del coeficiente es de 0.80 cuando r⁄D ≈ 0, en tanto que el valor mínimo es de 0.16 con r⁄D = 1.0.

Respecto a ^{Munson, Okiishi, Huebsch y Rothmayer (2013)}, se establece que el coeficiente de pérdidas de una curva o codo con θ = 90º, puede estimarse mediante un gráfico en función de ε⁄D y r⁄D, con rangos de 0 a 0.01 y 1 a 10, respectivamente. En este gráfico se revela que para cualquier valor de ε⁄D, el ξ_GC decrece cuando r⁄D va de 1 a 7, donde alcanza los valores mínimos, luego incrementa hasta que r⁄D = 10 sin superar los valores máximos que ocurren en r⁄D = 1. Por lo tanto, en este caso el valor mínimo del ξ_GC ≈ 0.06, cuando ε⁄D ≈ 0 y r⁄D = 7, mientras que el valor máximo es de 0.95 en ε⁄D = 0.01 y r⁄D = 1.

Acorde con ^{Sotelo (2013)}, se establece que el coeficiente de pérdidas de una curva gradual con superficies rugosas, sea determinado mediante la siguiente ecuación:

donde θ puede ser de 0 a 90º; C_a es un coeficiente que se estima de un gráfico con resultados de ^{Hofmann (1929)} para flujos de R_e ≥ 2 x 10⁵, donde está en función de las relaciones r⁄D y ε⁄D, de 1 a 10 y de 0 a 0.002, respectivamente. En este gráfico, el valor de C_a crece a medida que incrementa la relación ε⁄D para cualquier valor de r⁄D; sin embargo, en todas las relaciones ε⁄D dicho coeficiente disminuye y luego aumenta en el momento que r⁄D incrementa de 1 a 7 y de 7 a 10, respectivamente. Por lo tanto, el valor mínimo de C_a se produce en r⁄D = 7 y ε⁄D ≈ 0, entretanto que el máximo en r⁄D = 1 y ε⁄D = 0.002.

En ^{Gülich (2014)} se sugiere una ecuación para calcular el coeficiente de pérdidas en una curva brusca, la cual se muestra a continuación:

donde θ puede tomar valores de 0 a 90º. Por otro lado, también se sugiere una ecuación para estimar el coeficiente de pérdidas de curvas graduales, la cual se escribe de la siguiente manera:

en la cual C_ε es un coeficiente de rugosidad que en superficies lisas es igual a la unidad, mientras que en superficies rugosas con ε/D ˃ 0.001 y R_e ˃ 0.4 x 10⁵,dicho coeficiente es igual a 2; x es un exponente cuyo valor es de 2.5 y 0.5, cuando 0.5 ≤ r/D ≤ 1.0 y r/D ˃ 1.0, respectivamente.

Sumario de las metodologías para ξ_C

En la Tabla 1 se expone un sumario de las metodologías tratadas en el apartado anterior para estimar el coeficiente de pérdidas en curvas simples e instaladas en serie con forma-Z, forma-U, forma-L y forma-S, donde se indican características importantes y los parámetros considerados en cada una de ellas.

La Tabla 1 permite contrastar los fluidos y tipos de materiales de las curvas utilizadas en las investigaciones del coeficiente de pérdidas en curvas, los valores considerados de D, r⁄D, θ, R_e, L_u y L_d, así como observaciones de los resultados presentados. En dichos datos se indica que el fluido más utilizado en las pruebas es el agua y que el tipo de material más analizado es el acero y el hierro. También se puede observar que las investigaciones se han realizado hasta D ≈ 60 cm (^{Crane Co., 1982}; ^{Menon & Menon, 2010}), pero la mayoría han sido en D pequeños cercanos de 10 cm (4 pulgadas). La relación r⁄D más grande investigada es de 108 cm (^{Ito, 1956}), sin embargo, la más analizada es en el rango r⁄D ≤ 10. Respecto al ángulo θ y tipo de forma se percata que las curvas más estudiadas son de condición gradual con θ = 90º y las estructuras en forma-U con L_s = 0; a partir de los valores obtenidos del coeficiente de pérdidas con θ = 90º, algunos autores como ^{Franzini y Finnemore (1999)} y ^{Albers (2010)} recomiendan inferir valores para ángulos distintos, lo cual puede conllevar a grandes errores en la estimación de las pérdidas de energía. Por otro lado, se ilustra que metodologías consideran el valor de R_e, su rango de validez y cuáles lo consideran independiente para obtener el coeficiente de las curvas; factor que es importante para estimar un coeficiente más apegado a la realidad, ya que en documentos como ^{Turian et al. (1983)}, ^{Kast (2010)} y ^{Hager (2010)} se puede percatar que afecta su valor en forma decreciente a medida que incrementa R_e. Otro parámetro importante que se confronta es hasta que L_d se analizaron las pérdidas de energía, pues se ha demostrado que hasta aproximadamente L_d = 50D (^{Ito, 1956}; ^{Ito, 1960}) aún incide en la pérdida de energía originada por las curvas de tuberías. En la última columna se presentan observaciones importantes, donde se indica qué coeficiente se determina (ξ_SC, ξ_GC); la forma de presentación de resultados (gráficos, tablas o ecuaciones), así como para qué tipo se superficies son válidos (lisas o rugosas). Finalmente, cabe destacar que varias metodologías no hacen referencia del tipo de material y diámetro utilizados en los estudios, lo cual implica usarlos de forma general, pudiendo diferir sustancialmente en las pérdidas reales.

Conclusiones