1. Introducción

El enfoque bayesiano proporciona un marco de referencia para abordar cuestiones clave en finanzas, como los problemas de selección de cartera (^{Pástor 2000}, ^{Harvey et al. 2010}, ^{De Franco et al. 2019}, ^{Kolm et al. 2021}, ^{Bauder et al. 2021}, ^{Bodnar et al. 2022}, ^{Sahamkhadam et al. 2022}). En este enfoque, quien toma las decisiones puede combinar la verosimilitud de los datos con una distribución a priori, o creencia a priori, sobre los parámetros del modelo. La verosimilitud es la probabilidad de que un modelo produzca los datos observados, mientras que la distribución a priori refleja la información conocida del tomador de decisiones con respecto al grado de incertidumbre sobre los parámetros del modelo. Por lo tanto, la inferencia bayesiana proporciona una distribución posterior de los parámetros del modelo, dada la información sobre la distribución a priori de los parámetros y la verosimilitud de los datos observados. En esta distribución posterior, la verosimilitud de los datos tiene el mismo peso que la creencia a priori sobre los parámetros del modelo. Sin embargo, los tomadores de decisiones a menudo tienen diferentes niveles de confianza en sus datos, modelos y creencias. Por ejemplo, los inversionistas de cartera con exceso de confianza tienden a dar menos peso a los datos que a sus propias creencias. Además, este tipo de sesgo de comportamiento financiero puede ser la base de una estrategia de selección de cartera rentable. La toma de decisiones conductuales en finanzas se analiza en De Bondt et al. (²⁰¹³). Para una discusión general sobre las consecuencias de los sesgos de comportamiento en las finanzas, también remitimos al lector a Moosa y Ramiah (²⁰¹⁷).

Este trabajo trata sobre un enfoque de inferencia bayesiana sesgada para lidiar con el sesgo en la toma de decisiones financieras y se centra en el problema clásico de la selección de carteras. Se muestra cómo seleccionar carteras financieras óptimas en función de la verosimilitud de los datos, una distribución a priori sobre los parámetros del modelo de valoración de activos y la visión del inversionista sobre el peso de la verosimilitud y la distribución a priori en la construcción de la cartera. Con base en este enfoque, estos pesos pueden verse como un sesgo que cuantifica la importancia relativa de los componentes de la distribución posterior y son especificados por el tomador de decisiones.

El problema de la selección de la cartera es encontrar una asignación óptima de la riqueza en varios activos para lograr una compensación adecuada entre el rendimiento de la inversión y el riesgo. Este problema fue iniciado por Markowitz (¹⁹⁵²) con su modelo de selección de cartera de media-varianza. Markowitz (¹⁹⁵²) proporciona la base para la teoría moderna de la asignación de activos de cartera. Según Statman (¹⁹⁹⁹), los principios de cartera de Markowitz son uno de los pilares de las finanzas neoclásicas. Por lo tanto, el enfoque propuesto aquí se aplicará al modelo de selección de cartera de media-varianza para facilitar las comparaciones con otras carteras eficientes, como la varianza mínima global y las carteras de razón de Sharpe, y para simplificar la interpretación.

El modelo de Markowitz se basa en los siguientes aspectos: (a) Los rendimientos de los activos de cualquier cartera se consideran como un vector de variables aleatorias, para las cuales el inversionista propone una distribución de probabilidad para el período bajo estudio. El valor esperado estimado del vector de variables aleatorias se utiliza para cuantificar la rentabilidad de la inversión; (b) la matriz de varianza-covarianza se utiliza para medir la dispersión de la cartera, que los gestores de cartera utilizan como medida del riesgo asociado a una cartera en particular; (c) el comportamiento racional del inversionista le lleva a preferir la composición de una cartera que representa la mayor rentabilidad, para un determinado nivel de riesgo. Por lo tanto, un vector de rendimiento esperado μ , que contiene el rendimiento esperado de cada activo en la cartera, y una matriz de varianza-covarianza Σ , que representa las interrelaciones entre pares de activos, son los parámetros del modelo de fijación de precios de activos de Markowitz.

Las carteras de varianza mínima global y razón de Sharpe son desarrollos adicionales en la teoría del modelo de media-varianza de Markowitz. La cartera de varianza mínima global es la que tiene el riesgo más bajo de todas las carteras factibles. Es decir, a lo largo del conjunto de carteras óptimas que minimizan el riesgo para un nivel dado de rendimiento esperado (frontera eficiente o frontera de cartera), el punto más a la izquierda corresponde a la cartera con la varianza mínima global en relación con todas las demás carteras posibles. En este caso, el parámetro del modelo es la matriz de varianza-covarianza Σ . Por otro lado, la razón de Sharpe es el cociente entre el rendimiento y el riesgo. Por lo tanto, la cartera con la máxima razón de Sharpe ofrece la mayor rentabilidad esperada por unidad de riesgo. En este caso, los parámetros del modelo son el vector de retorno esperado μ y la matriz de varianza-covarianza Σ .

En este trabajo se propone un método basado en la inferencia bayesiana sesgada, utilizando una densidad normal multivariada con parámetros μ,Σ para los rendimientos de los activos y una distribución a priori conjugada para μ,Σ . Esta propuesta considera diferentes configuraciones de sesgo para estimar μ y Σ , el vector de retornos medios y la matriz de varianza-covarianza involucrados en el modelo de cartera de media-varianza. Se obtienen expresiones matemáticas compactas de forma cerrada para los estimadores nuevos de μ y Σ (sesgadas por la creencia del tomador de decisiones) y se utilizan para estudiar sus propiedades asintóticas. Además, las expresiones para los pesos de algunas carteras también se obtienen en forma cerrada. Finalmente, utilizando diferentes configuraciones de sesgo (estimación de μ y Σ con diferentes parámetros de sesgo), se evalúa el desempeño de las carteras.

Este enfoque muestra que es posible ponderar datos y creencias y generar una cartera óptima cuyo rendimiento y riesgo reflejen estos componentes. Por lo tanto, el método propuesto permite encontrar los pesos óptimos de la cartera, incorporando sesgos en la optimización de la cartera. El análisis asintótico y financiero sobre las consecuencias de incluir sesgos en la selección de carteras ilustra características especiales importantes del rendimiento de estas carteras sesgadas. Por ejemplo, los estimadores sesgados heredan propiedades asintóticas de los estimadores de máxima verosimilitud, como asintóticamente insesgados y eficientes. Además, los niveles de media y varianza tienden a variar un poco más en la cartera sesgada de la razón de Sharpe que en la cartera sesgada de varianza mínima global.

Otra contribución importante de este trabajo es la creación de un método formal dentro del campo de los sesgos de finanzas conductuales para la selección de cartera. Además, la metodología propuesta puede aplicarse a otros modelos financieros y puede implementarse fácilmente en aquellos que han sido tratados desde un enfoque bayesiano como el modelo de Black y Litterman (¹⁹⁹²), el modelo de Black y Scholes (¹⁹⁷³) y modelos de volatilidad estocástica (^{Andersen et al. 2010}, ^{Heston 1993}).

El documento está estructurado de la siguiente manera. En la Sección 2 se presenta una clase nueva de estimadores para el modelo de selección de cartera de media-varianza utilizando un enfoque de inferencia bayesiana sesgada, que incorpora la opinión del inversionista sobre las ponderaciones de los componentes de la distribución posterior bayesiana (verosimilitud y distribuciones a priori). El desarrollo matemático para obtener dichos estimadores se describe en el Apéndice A de este documento. Además, el fundamento teórico para el enfoque de inferencia propuesto, así como comportamiento asintótico de los estimadores sesgados se muestra en el Apéndice B. En la Sección 3 se calculan las carteras de media-varianza sesgadas y se muestra, a través de expresiones matemáticas cerradas, cómo las carteras clásicas de media-varianza son modificadas por los sesgos. En la Sección 3 también se describe la implementación computacional de la metodología propuesta y se ilustra, con un ejemplo, el impacto de los sesgos en relación con las carteras clásicas de media-varianza. La Sección 4 presenta un análisis de referencia sobre el rendimiento de las carteras sesgadas para mostrar sus posibles beneficios y costos. Por último, las conclusiones se presentan en la Sección 5.

2. Inferencia Bayesiana Sesgada Para Rendimientos Normales de Activos

En esta sección, se describe el enfoque propuesto para generar estimadores sesgados para el modelo de cartera de media-varianza basado en diferentes niveles de importancia relativa (sesgos) que el tomador de decisiones asigna a los datos y sus creencias. Este enfoque se aplica a la distribución normal multivariada para facilitar la comparación con otras carteras de media-varianza (por ejemplo, la razón de Sharpe y las carteras de varianza mínima global) y para simplificar la interpretación, como se verá en la siguiente sección de este documento. Los estimadores sesgados obtenidos aquí, y que serán utilizados en los modelos de optimización de cartera de la Sección 3, se presentan a través de expresiones matemáticas de forma cerrada.

La inferencia bayesiana sesgada fue introducida por Matsumori et al. (²⁰¹⁸) para explicar los sesgos de decisión psicológica y los defectos en el control cognitivo. La aplicación de esta metodología también aparece en áreas de sistemas cognitivos e interacción entre factores humanos y sistemas computacionales (^{Rezaei et al. 2022}, ^{Rastogi et al. 2022}). Matsumori et al. (²⁰¹⁸) introdujeron sesgos exponenciales en la inferencia bayesiana de la siguiente manera:

donde PHD es la probabilidad de la hipótesis H después de observar los datos D, o posterior de H , PDH es la probabilidad de D como función de H , o verosimilitud de H , PH es la probabilidad a priori de la hipótesis H , o a priori de H , β es el sesgo exponencial de la verosimilitud y α es el sesgo exponencial correspondiente a la probabilidad a priori.

Aquí, se considera una formulación paramétrica de la inferencia bayesiana sesgada y dos tipos de sesgos que afectan la distribución a priori. Formalmente, sean x1,…,xn las observaciones muestreadas a partir de una densidad de probabilidad fxθ , donde θ=ϕ,ξ es una parametrización del modelo. Sea πϕ,ξ=πϕξπξ la distribución a priori sobre θ=ϕ,ξ , donde πϕξ es el a priori de ϕ condicionado sobre ξ y πξ es el a priori de ξ . Por lo tanto, se propone un enfoque bayesiano sesgado considerando

como un modelo general sesgado para actualizar las creencias a priori a las creencias posteriores dados los datos. Los parámetros β , y α2 , representan los sesgos en la verosimilitud Lxϕ,ξ , la a priori πϕξ y la a priori πξ , respectivamente. Más adelante en el Apéndice B (Apoyo teórico) se justifica teóricamente el uso de verosimilitudes ponderadas y a priori potenciadas acomodando la inferencia bayesiana sesgada dentro de un marco de inferencia general que se basa en funciones de pérdida en lugar de funciones de distribución (^{Bissiri et al. 2016}).

En general, los parámetros de sesgo α1 y α2 en (1) controlan la planitud de la densidad de probabilidad a priori original, que se logra especificando α1=α2=1 . Téngase en cuenta que cuando α1=α2 la inferencia es como la inferencia bayesiana sesgada habitual. En particular, si α1=α2=1 entonces obtenemos la distribución posterior de potencia o posterior atemperada. Del mismo modo, el parámetro de sesgo β controla la planitud de la verosimilitud original obtenida con β=1 . Ver Matsumori et al. (²⁰¹⁸) para una descripción más detallada del efecto de los parámetros de sesgo en diferentes factores en la inferencia bayesiana.

Aquí, se asume que los parámetros de sesgo son positivos. Además, supóngase que fxθ es una función de densidad normal multivariada de un vector columna aleatorio d-dimensional X=X1,…,XdT , dada por

con parámetro θ=μ,T , donde μ es la media del vector X y T-1=Σd es la matriz de varianza-covarianza. La a priori se elige de modo que tenga la siguiente forma:

donde πμT es una función de densidad normal multivariada dada por:

y πT es una densidad de Wishart definida por

Los parámetros μ0,λ0 son los hiperparámetros para la a priori πμT . El vector medio μ0 se utiliza para determinar la ubicación de πμT , mientras que el escalar λ0 afecta la precisión a su alrededor. Por otro lado, los parámetros v0,Ψ0 son los hiperparámetros para la a priori πT . El entero positivo v0 es el número de grados de libertad. La media a priori de πT es v0Ψ0 , donde Ψ0 es una matriz simétrica y no singular. Nótese que una opción para Ψ0 sería 1/v0Σ0-1 , donde  Σ0 es una suposición a priori para la matriz de varianza-covarianza. Ver Zhang (²⁰²¹) para una explicación más completa de la influencia de las a priori Wishart.

La distribución posterior resultante sobre μ,T es una densidad Normal-Wishart,

con parámetros

donde μ^ y Σ^d son las estimaciones de máxima verosimilitud (MLE) de μ y Σd , respectivamente, dadas por

El desarrollo matemático para apoyar estos resultados se describe en el Apéndice A, al final de este documento. Se propone estimar μ utilizando la estimación de localización posterior dada por

Por otro lado, si T=Σd-1 tiene una distribución Wishart con parámetros vp,Ψp , entonces T-1=Σd tiene una distribución inversa Wishart con parámetros vp,Ψp-1 . Así, proponemos como estimador para Σ la media de esta distribución:

En la siguiente sección, se utilizarán estos estimadores sesgados para construir carteras sesgadas de media-varianza.

3. Carteras Sesgadas de Media-Varianza

Un hito en la teoría moderna de carteras financieras es el análisis de media-varianza introducido por Markowitz (¹⁹⁵²). En su teoría, una cartera eficiente es aquella que ofrece el riesgo mínimo para un valor esperado de rendimiento. Es decir, en la frontera eficiente de Markowitz, cada cartera minimiza el riesgo para un rendimiento determinado. Por lo tanto, el inversionista puede seleccionar su cartera óptima en función de su nivel de aversión al riesgo en la frontera eficiente.

La cartera de varianza mínima global (VMG) y la cartera óptima de razón de Sharpe (RS) son dos de las carteras eficientes de media-varianza más utilizadas. Ambas carteras desempeñan un papel importante en la asignación de activos; la cartera de VMG corresponde al inversionista que es completamente adverso al riesgo, mientras que la cartera de RS corresponde al inversionista que mide la rentabilidad en relación con el riesgo. En esta sección se utilizan los estimadores sesgados obtenidos en la sección anterior (para la rentabilidad esperada de los activos y la matriz de varianza-covarianza) para calcular expresiones matemáticas de forma cerrada para las ponderaciones y características de carteras eficientes de media-varianza tales como la media y varianza para las carteras VMG y RS. Además, se presentan implementaciones computacionales de estos métodos para la selección sesgada de carteras.

3.2 Implementación Computacional

Las expresiones matemáticas de forma cerrada presentadas en esta sección son implementadas utilizando un software libre para computación estadística y gráficos llamado R. Como ejemplo, a continuación, se proporciona una configuración de parámetros para el modelo de selección de cartera de media-varianza sesgada. Por otro lado, el paquete NMOF de R se puede utilizar para implementar una amplia variedad de carteras de media-varianza sesgadas; véase Gilli et. al. (²⁰¹⁹) y Schumann (^2011-2023). NMOF tiene funciones que calculan rendimientos, volatilidades y composiciones para carteras a lo largo de una frontera eficiente, utilizando sólo la media y la matriz de varianza-covarianza (estimada) como entradas.

Ejemplo: Para el enfoque de modelado de inferencia bayesiana sesgada, los elementos seleccionados para este ejemplo son:

n=104, d=3, μ^=0.00120.00540.0004, Σ^d=0.00033570.0000926-0.00000950.00009260.0035848-0.0000595-0.0000095-0.00005950.0000611

λ0=n, ν0=d, μ0=0.00120.02000.0004

Ψ0=1ν00.0003357-0.00005220.0000160-0.00005220.0065156-0.00006890.0000160-0.00006890.0000611-1

β=1, α1=2, α2=1

Los valores para n , d , μ^ , y Σ^d fueron calculados utilizando precios en dólares de la página de yahoo finance convertidos a rendimientos semanales del Promedio Industrial Dow Jones (DJIA), Bitcoin (BTC), e iShares iBoxx (LQD), por medio del paquete de R, quantmod, usando getSymbols para el período 2015-01-01 a 2017-01-01 (104 semanas). Con fines ilustrativos, los parámetros para las distribuciones a priori se especificaron en función de los rendimientos semanales que se obtuvieron de 104 semanas adicionales. Los parámetros de sesgo se seleccionaron para ilustrar una posible configuración, donde la distribución a priori de μ condicionada a T=Σd-1 tiene un parámetro de sesgo ( α1=2 ) mayor que el asignado a la a priori de Σd ( α2=1 ) y a la verosimilitud ( β=1 ).

El conjunto de datos arroja los siguientes resultados:

μ~=0.00120.01510.0004 y  Σ~d=0.00034540.0000911-0.00000900.00009110.0039149-0.0000615-0.0000090-0.00006150.0000629

Entonces,

w~GMV=0.15720.02170.8211, R~GMV=0.0008457, V~GMV=0.0000489

w~SR=0.15630.22930.6144, R~SR=0.0039038, V~SR=0.0002255

La frontera eficiente sesgada y clásica utilizando μ~,Σ~d y μ^,Σ^d , respectivamente, se puede observar en la Figura 1. En esta figura, la media y la varianza de las carteras óptimas (carteras VMG y RS) están marcadas en la gráfica de la frontera eficiente correspondiente. Las fronteras eficientes convergen en el punto de menor riesgo, sin embargo, a medida que éste aumenta, la frontera eficiente sesgada tiene un rendimiento esperado cada vez mayor al de la frontera clásica por cada unidad de riesgo. Lo anterior indica que la frontera eficiente sesgada refleja un menor apetito por el riesgo comparada con la frontera clásica.

Figura 1 La frontera eficiente sesgada y clásica obtenida con base en los estimadores μ~,Σ~d y μ^,Σ^d. 

4. Análisis de Referencia de Desempeño Para la Selección de Carteras

En esta sección se analiza el impacto de los sesgos en relación con las carteras clásicas de media-varianza. Las cuestiones consideradas en este análisis se describen a continuación:

Figura 2 (a) Comportamiento de los precios durante el estado actual y futuro, empleados para calcular rendimientos semanales utilizados en este estudio. (b) Gráficas y estadísticas descriptivas de los rendimientos semanales obtenidos de las variables financieras de interés durante el estado actual. 

La Figura 3 muestra gráficos de imagen de superficies correspondientes a la media y varianza obtenida mediante el uso de carteras óptimas sesgadas con β∈0.5, 2,  α∈0.5, 2 y α1= α2=α . Los gráficos de imagen para carteras óptimas sesgadas basadas en el modelo de varianza mínima global se presentan en la Figura 3(a)-(b) mientras que los correspondientes a la razón de Sharpe se muestran en la Figura 3(c)-(d). Se observa una tendencia similar en todas las gráficas, con la media y la varianza de la cartera óptima sesgada aumentando a medida que β decrece y α se incrementa. Sin embargo, los cambios en los respectivos niveles de la media (retorno esperado) y la varianza, calculados utilizando el modelo de varianza mínima global, no parecen variar mucho; ver los valores en la escala de colores de la Figura 3(a)-(b). Además, el sesgo α no parece afectar a la varianza cuando los valores de β son mayores que 1. Los niveles de media y varianza parecen variar un poco más en el modelo de la razón de Sharpe; ver los valores en la escala de colores de la Figura 3(c)-(d). La Figura 4 muestra gráficos de imagen de las superficies correspondientes al rendimiento acumulado semanal para el estado futuro de las carteras óptimas en estudio (varianza mínima global y carteras de la razón de Sharpe). El gráfico de imagen para carteras óptimas sesgadas basadas en el modelo de varianza mínima global se muestra en la Figura 4(a), mientras que el gráfico correspondiente a la razón de Sharpe se muestra en la Figura 4(b).

Figura 3 Superficies correspondientes a la media y varianza obtenidas mediante el uso de carteras óptimas sesgadas basadas en modelos de varianza mínima global y razón de Sharpe, con β∈0.5, 2,  α∈0.5, 2,  y α1= α2=α. (a) Rendimientos esperados correspondientes a carteras de varianza mínima global óptimas sesgadas; (b) Varianza de carteras de varianza mínima global óptimas sesgadas; (c) Rendimientos esperados correspondientes a carteras sesgadas de razón de Sharpe óptimas; (d) Varianza de las carteras sesgadas de razón de Sharpe óptimas. 

Figura 4 Superficies correspondientes al rendimiento acumulado semanal obtenido mediante el uso de carteras óptimas sesgadas basadas en modelos de varianza mínima global y razón de Sharpe, con β∈0.5, 2,  α∈0.5, 2,  y α1= α2=α. (a) Rendimiento acumulado semanal para el estado futuro correspondiente a las carteras de varianza mínima global óptima sesgada; (b) Rendimiento acumulado semanal para el estado futuro correspondiente a las carteras sesgadas de razón de Sharpe. 

En la Figura 4(a), el rendimiento acumulado semanal más alto para el estado futuro se obtiene aumentando el valor de β y disminuyendo el valor de α , mientras que en la Figura 4(b) ocurre lo contrario. Además, los cambios en los niveles de rendimiento acumulativo semanal (retorno futuro), calculados utilizando el modelo de varianza mínima global, no parecen variar mucho. Sin embargo, estos niveles parecen variar un poco más en el modelo de razón de Sharpe. Esto ya se había observado para la media y la varianza de ambos modelos.

5. Conclusiones

Este artículo presenta un esfuerzo de investigación centrado en el desarrollo de carteras financieras óptimas mediante la incorporación de inferencia bayesiana y sesgos de los inversionistas en el proceso de construcción de carteras. El estudio utiliza la metodología de inferencia bayesiana sesgada en el proceso de selección de carteras de media-varianza, lo que permite diferentes configuraciones de sesgo o ponderación sobre el modelo estadístico y las creencias a priori. El enfoque propuesto demuestra eficacia en la identificación de carteras óptimas que reflejen la interacción entre las probabilidades basadas en datos y las creencias subjetivas de los inversionistas.

La metodología se aplica específicamente a las carteras de media-varianza utilizando una densidad normal multivariada para la rentabilidad de los activos (parametrizada a través de μ y Σ ) y una distribución a priori conjugada para μ,Σ . El estudio asegura propiedades asintóticas positivas de los nuevos estimadores de μ y Σ , garantizando consistencia y eficiencia. La inclusión de sesgos en el proceso de estimación se facilita al considerar varias configuraciones de sesgo para las crecencias a priori sobre μ y Σ . Además, las expresiones matemáticas de forma cerrada para las ponderaciones de la cartera se derivan para determinados tipos de carteras.

El rendimiento de la cartera se evalúa rigurosamente bajo diferentes configuraciones de sesgos, lo que pone de manifiesto la relevancia de incorporar sesgos en la selección de carteras para su optimización. La investigación contribuye al campo de los sesgos de las finanzas conductuales en la selección de carteras y subraya la adaptabilidad de la metodología propuesta a otros modelos financieros tratados desde una perspectiva bayesiana. Los resultados sugieren que el enfoque puede producir ponderaciones óptimas de la cartera que armonicen tanto los datos objetivos como las creencias subjetivas de los inversionistas. En general, se ha demostrado que la inclusión de sesgos en la optimización de carteras es valiosa para permitir a los inversionistas construir carteras alineadas con sus preferencias de riesgo y objetivos de inversión.