Argumentación matemática

Existen diferentes posturas sobre el concepto de “argumentación” asociadas a contextos académicos (derecho, ciencias sociales, filosofía y matemáticas, entre otras). Un autor referente en esta investigación es Stephen Toulmin. En su obra, Una introducción al razonamiento, Toulmin define la argumentación como “la actividad completa de hacer aserciones, desafiarlas, soportarlas mediante la producción de razones, criticando esas razones, refutándolas y así sucesivamente” ^{(Toulmin, Rieke y Janik, 1984, p. 14)}. Con base en esta postura, las investigaciones en el marco de la enseñanza y el aprendizaje de la matemática consideran que la argumentación es una habilidad básica que se desarrolla de manera progresiva a lo largo de la educación ^{(Solar, 2018)}. Se caracteriza por su cualidad social y racional: cualquier persona la emplea, usando el lenguaje común, para convencer a una audiencia con razones vinculadas de manera lógica ^{(Krummheuer, 1995}; ^{Knipping y Reid, 2015)}. En el contexto particular de la matemática, la argumentación está ligada al razonamiento y a la demostración (prueba matemática); sin embargo, no es equivalente a la última. La argumentación compromete al lenguaje común con el fin de convencer; en cambio, la demostración busca revelar la verdad o la validez de un razonamiento ^{(Duval, 2000)}. Por citar un ejemplo de un razonamiento válido en matemáticas, el razonamiento deductivo permite construir conocimiento matemático y validarlo con base en un conjunto de reglas lógicas (por ejemplo, los silogismos lógicos).

Con el fin de distinguir entre argumentación y argumento, definimos al último desde la postura de ^{Toulmin (2003)}, como “la secuencia de afirmaciones y razones que, entre ellas establecen el contenido y la fuerza de la posición de la cual un ponente particular está argumentando” (p. 14). Desde la postura del autor, un argumento tiene una estructura no lineal (ver Figura 1) constituida por seis elementos: la aserción, que se refiere a la afirmación o conclusión que establece el argumentador; los datos, que son la evidencia sobre la cual se fundamenta la aserción; la garantía, cuya función es conectar los datos con la aserción por medio de reglas, propiedades matemáticas, generalizaciones y características de los objetos matemáticos en estudio. A esta estructura se le conoce como el núcleo del argumento, presente en la argumentación colectiva de los estudiantes ^{(Krummheuer, 1995)}. Sin embargo, algunas investigaciones evidencian la presencia de los elementos restantes en los niveles secundario y universitario, como el respaldo, que desempeña el papel de brindar un apoyo a la garantía mediante conocimiento validado en la comunidad matemática (por ejemplo, teoremas, axiomas y teorías); el calificador modal, presenta la fuerza del argumento desde frases como “siempre”, “para todos los casos”, “para todo ‘x’”, entre otros. Por último, la refutación tiene la función de presentar las excepciones de la aserción ^{(Cervantes-Barraza, Cabañas-Sánchez y Ordoñez-Cuastumal, 2017}; ^{Cervantes-Barraza y Cabañas-Sánchez, 2018)}.

Fuente: adaptada de ^{Toulmin (2003)}.

Figura 1 Estructura y elementos de un argumento. 

En el contexto de la argumentación matemática, ^{Conner, Singletary, Smith, Wagner, y Francisco (2014)} consideran que el razonamiento está estrechamente relacionado con la actividad de argumentar. En este artículo, concebimos el razonamiento matemático desde la postura de ^{Conner et al. (2014)}, como inferencias intencionales sobre entidades matemáticas.¹ Aseguran los autores que, si un individuo formula un argumento, entonces, éste genera un conjunto de razones. Con base en este punto de vista, el razonamiento está inmerso en los argumentos que refieren a una serie de afirmaciones o conclusiones que resultan de inferencias² sobre entidades matemáticas (por ejemplo, conceptos, objetos matemáticos y operaciones) ^{(Conner et al., 2014)}. En línea con las ideas presentadas, promover la argumentación en clase de matemáticas fomenta implícitamente la emergencia de razonamientos en lo individual y en lo colectivo ^{(Rojas-Drummond y Peon Zapata, 2004)}.

Tipos de argumentos

Resultado del proceso argumentativo, ^{Zacharos, Pournantzi, Moutsios-Rentzos y Shiakalli (2016)} consideran que los tipos de argumentos brindan una idea del razonamiento adoptado por los estudiantes en la transición de las formas informales del conocimiento al uso del lenguaje matemático. Para descubrir la relación entre diferentes tipos de argumentos, los autores recomiendan tener en cuenta los elementos de la argumentación: la garantía, el respaldo y las refutaciones ^{(Schnell, 2014, p. 518)}. La garantía se considera como un elemento esencial del modelo de Toulmin, en razón de que evidencia el razonamiento matemático de los estudiantes y permite reconocer las propiedades, reglas matemáticas, patrones y generalidades matemáticas inmersas en su contenido ^{(Singletary y Conner, 2015}; ^{Knipping, 2008)}.

Los tipos de argumentos son implicados por un tipo particular de razonamiento: deductivo, inductivo, abductivo o de analogía desde el encuadre teórico que relaciona la argumentación con el razonamiento matemático ^{(Conner et al., 2014)}. Estos autores integraron los elementos de un argumento (dato, garantía y aserción) ^{(Toulmin, 2003)} con los elementos del razonamiento propuestos por ^{Pierce (1956)}: caso, regla y resultado, con la intención de estudiar el razonamiento matemático de los estudiantes. En el sentido de Pierce, el caso se refiere a una observación específica que contiene una condición, la regla es una proposición general que afirma (si una condición ocurre entonces la otra también) y el resultado, una observación que mantiene una condición relacionada con otra condición o por una regla ^{(Conner et al., 2014)}. Para caracterizar los tipos de argumentos, presentamos una descripción de cada tipo y su estructura, con base en la propuesta de ^{Conner et al. (2014)}.

Los argumentos deductivos refieren a la construcción de conclusiones o aserciones como consecuencias lógicas de supuestos o premisas previamente establecidos. En términos de la propuesta de ^{Conner et al. (2014)}, las premisas se corresponden con los casos, datos o evidencia. En este tipo de argumento, el estudiante establece un resultado con base en inferencias matemáticas fundamentadas en propiedades, teoremas o axiomas matemáticos, que a la vez conforman el contenido de la garantía. La estructura básica del argumento deductivo (Figura 2) se constituye por un resultado o una conclusión del argumentador, construido con base en una serie de inferencias matemáticas en términos de propiedades, teoremas o axiomas matemáticos. El caso o dato del argumento incluye casos particulares e información inicial que fundamentan la conclusión.

Fuente: ^{Conner et al., 2014}.

Figura 2 Argumento deductivo. 

El argumento inductivo contiene generalizaciones que son producto del proceso de análisis y de abstracción sobre casos particulares. En este tipo de argumento los estudiantes construyen conjeturas basadas en generalizaciones establecidas sobre casos particulares analizados ^{(Conner et al., 2014)}. La estructura de los argumentos inductivos (Figura 3) se caracteriza por considerar los datos o información inicial como un conjunto de resultados sobre casos particulares. Con base en esto, el argumentador construye la generalización de los casos en términos de una regla matemática, de un patrón o de una definición (por ejemplo, la conclusión).

Fuente: ^{Conner et al., 2014}.

Figura 3 Argumento inductivo. 

El argumento abductivo está compuesto por inferencias matemáticas que permiten construir un resultado a partir de un hecho matemático observado. Este tipo de argumento se caracteriza por procesos de razonamiento contrarios al deductivo, es decir, se razona de adelante hacia atrás. La estructura de este tipo de argumento (Figura 4) se presenta de dos formas: 1) a partir de los resultados, el argumentador infiere caso(s) con base en una regla matemática definida (ver Figura 4a); 2) con base en una regla matemática se puede inferir un caso fundamentado desde los resultados (ver Figura 4b).

Fuente: ^{Conner et al., 2014}.

Figura 4 Estructura de argumentos de tipo abductivo. 

El argumento de analogía recae en la construcción de una conclusión basada en observar similitudes estructurales o de contenido entre casos correspondientes. El razonamiento inmerso en este tipo de argumento remite a la similitud entre procedimientos en la solución de ejercicios y permite identificar una ruta para solucionar el ejercicio, desde tres posibles formas en las que se aplica una analogía: 1) partiendo de los casos para llegar a un resultado, 2) partir de resultados y arribar a casos, 3) partir de resultados y arribar a la regla que determina el ejercicio (Figura 5). En suma, en este tipo de razonamiento, el caso, el resultado o la regla pueden ser punto de partida, es decir, los datos de la argumentación de igual manera pueden ser una aserción.

Fuente: ^{Conner et al., 2014}.

Figura 5 Argumento de analogía. 

Las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)

Una ecuación diferencial se define como una ecuación que contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes. Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su orden, tipo o linealidad ^{(Zill, 1997)}. Si una ecuación sólo contiene una derivada ordinaria de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO). La clasificación, según el orden de la ecuación, es con respecto a la derivada de mayor orden en la ecuación. En relación con las EDO, se entiende que las familias de curvas son trayectorias ortogonales entre sí (Figura 6), cuando todas las curvas de una familia G(x, y, c1) = 0 cortan ortogonalmente todas las curvas de otra familia H(x, y, c2) = 0. Además, si

es la ecuación diferencial de una familia, la ecuación diferencial de sus trayectorias ortogonales es

Fuente: ^{Zill, 1997}.

Figura 6 Familia de curvas ortogonales. 

Participantes

El experimento de enseñanza se desarrolló con un grupo de tres estudiantes de sexto semestre del programa de la licenciatura en matemáticas matriculados en una universidad pública ubicada al sur de México. Los estudiantes fueron seleccionados por el profesor encargado del curso de ecuaciones diferenciales. Como criterio de selección se propuso la participación voluntaria de tres estudiantes con rendimiento académico bajo, intermedio y alto, según las calificaciones obtenidas en cursos previos, y que además el profesor titular reconociera que habían demostrado en clase tener conocimientos sobre cálculo diferencial, integral, vectorial y álgebra lineal obtenidos de cursos tomados en los semestres anteriores. En la ejecución del experimento participó uno de los autores de este artículo en el rol de profesor, junto con un investigador auxiliar para apoyar en la toma de datos, la repartición de las tareas, la toma de notas de campo y la triangulación de los resultados.

Experimento de enseñanza

El experimento de enseñanza en esta investigación se diseñó con base en las fases planteadas por ^{Molina, Castro, Molina y Castro (2012)}. La primera fase consistió en la preparación del experimento; en la fase dos, se presenta cómo se desarrollaron las tareas y, en la fase tres, se analizan los datos con respecto al método del análisis. En el Cuadro 1 se muestra la descripción detallada de cada fase.

Tareas del experimento de enseñanza

El experimento de enseñanza está conformado por dos tareas referentes al estudio de familias de curvas ortogonales. La primera tarea, de carácter exploratorio (tarea previa), se diseñó con el objetivo de recuperar y familiarizar conceptos claves relacionados con el estudio de las familias de curvas ortogonales. En cuanto a la tarea matemática (T), involucró a los estudiantes para resolver un problema que implica ecuaciones diferenciales para hallar familias de curvas mutuamente ortogonales. La aplicación y el desarrollo de la tarea previa y la tarea T demandaron, cada una, dos horas reloj. En un primer momento, el profesor investigador propuso a los estudiantes resolver la tarea previa y, al término de ésta, hizo una retroalimentación basada en las respuestas presentadas. Para desarrollar la tarea matemática, el profesor investigador les facilitó computadoras a los estudiantes y la tarea matemática impresa. Los estudiantes emplearon una hora reloj para resolver la tarea, luego el profesor investigador generó un ambiente propicio para compartir las respuestas: con la intención de generar la argumentación entre los estudiantes, proyectó el trabajo escrito y lo realizado en GeoGebra por cada estudiante sobre la pizarra, con la ayuda de un proyector.

Análisis de los datos empíricos

El análisis de los datos se realizó bajo un enfoque cualitativo basado en la reconstrucción de la argumentación de los estudiantes. Para ello, se empleó el modelo teórico-metodológico propuesto por ^{Conner et al. (2014)}. Se tomaron las transcripciones de la sesión y se enumeró cada línea con el fin de identificar los segmentos donde los estudiantes (E1, E2, E3) argumentaron sobre cómo resolvieron el problema y dieron respuesta a los requerimientos planteados en términos de las preguntas de las tareas matemáticas I, II y III (Cuadro 2).

Cuadro 2 Ejemplo del análisis de los datos. 

Transcripción

Profesor: ¿Cómo puedes relacionar lo algebraico y lo gráfico de las curvas ortogonales? E3: En lo gráfico, vemos el comportamiento de las gráficas y a partir de allí determinamos sus tangentes y con lo gráfico vemos también que las rectas tangentes son ortogonales. Con lo algebraico determinamos una familia ortogonal a la función dada, lo algebraico para comparar los valores de las pendientes y ver que son recíprocas.

Reconstrucción de la argumentación

Fuente: Elaboración propia de los autores.

Como parte del análisis a priori sobre la tarea matemática planteada a los estudiantes, se presenta una descripción de la solución clásica que relaciona las familias de curvas ortogonales. Para encontrar una familia de curvas ortogonales a la ecuación: x + 2 y = c, se deriva cada miembro con respecto a la variable “x”. De ello obtenemos la ecuación diferencial: 1 + 2 y´= 0, despejando el término y´ que es equivalente a las notaciones

tenemos que:

Encontramos que la función derivada de la ecuación inicial es igual a menos un medio. Ahora, con este resultado, y aplicando la fórmula

tenemos que la ecuación diferencial correspondiente a la familia de curvas ortogonales a la inicial es:

equivalente a

Integrando en cada miembro de la ecuación diferencial obtenemos la expresión matemática y = 2x + c, que representa la familia de curvas ortogonales a la inicial.

La solución de esta tarea comprende dos familias de rectas con pendientes respectivas (-½) y 2. Sin embargo, el enunciado se refiere a curvas, por lo que se constató, antes de la experimentación con el profesor encargado de la materia, que los estudiantes consideraran que las rectas son curvas y con esto se evitara una interpretación errada de los resultados de este primer problema.

Los tipos de argumentos se identificaron con base en el contenido de las garantías y el orden en que los estudiantes procedieron, esto en función de lo establecido en ^{Conner et al. (2014)}. El argumento deductivo se identificó cuando los estudiantes partieron de un caso o una información inicial para inferir, con base en propiedades matemáticas, definiciones o reglas, y establecer un resultado o una conclusión. Identificamos los argumentos abductivos cuando los estudiantes usan resultados obtenidos para inferir información inicial en términos de datos. Se identificaron los argumentos inductivos al reconocer generalizaciones sobre casos particulares, y los argumentos de analogía, cuando los estudiantes determinaron una conclusión con base en la comparación de estructuras similares de los problemas previos.

En el Cuadro 2 se presenta la estructura de un argumento inductivo construido por el estudiante E3 en respuesta a la pregunta del profesor. Los datos de este argumento se fundamentan en la pregunta del profesor y la gráfica que el estudiante construyó para verificar desde la representación gráfica que las curvas son ortogonales (conclusión). Este argumento es de tipo inductivo, porque desde el análisis de casos particulares decanta la invariante sobre la medida de los ángulos entre las familias de rectas, y con esto reconoce que las curvas son ortogonales.

En la estructura del argumento, la participación de los estudiantes y del profesor se reconoce desde las convenciones que indica quién hizo la contribución. Las intervenciones del profesor se presentan con rectángulos de líneas gruesas; la participación de los estudiantes se representó con líneas segmentadas; y, cuando participaron ambos, usamos rectángulos con líneas dobles.

Argumentos de tipo deductivo

En la solución del inciso a) de la tarea matemática se identificó que los estudiantes construyeron argumentos de tipo deductivo (ver Figura 7). Como hecho representativo, el estudiante E1 partió del caso, es decir, de la familia de curvas proporcionada en el ítem a) de la tarea matemática, para inferir la función derivada con base en la definición y la regla de derivación de potencias (procedimiento algebraico-analítico). También recurrió a la relación de ortogonalidad que implica que el producto de las pendientes de las rectas sea igual a menos uno y con esto construye la ecuación diferencial cuya solución es la familia de curvas ortogonales a la inicial (para este caso, una familia de rectas).

Fuente: Elaboración propia de los autores.

Figura 7 Procedimiento y argumento de tipo deductivo, inciso a).  

El razonamiento inmerso en este tipo de argumento se refleja en el procedimiento para resolver el problema sobre la familia de curvas ortogonales. De manera implícita, el estudiante construye conclusiones como consecuencias lógicas de supuestos o premisas previamente establecidas, como es el caso de las fórmulas de derivación, integración, relación de rectas paralelas y perpendiculares, entre otras. Tanto en el procedimiento como en el argumento presentado por el estudiante, se observa un orden en los pasos que conducen a nuevas conclusiones.

En un segundo momento de la solución de la tarea, el profesor les pidió a los estudiantes una lista de pasos para determinar la familia de curvas ortogonales a una dada, en éstos se refleja igualmente el razonamiento deductivo (Figura 8). Los pasos mencionados por los estudiantes son: 1) análisis de la familia de curvas dadas, encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva (cálculo de la derivada) e identificar la pendiente de la recta y el valor recíproco para, finalmente, resolver la ecuación diferencial con base en la integración y algunas operaciones algebraicas que permiten identificar la familia de curvas ortogonales.

Fuente: Elaboración propia de los autores.

Figura 8 Ejemplo de un argumento de tipo deductivo, inciso b). 

Como parte de la lista de pasos propuestos por los estudiantes, el alumno E1 analizó el tipo de función que representa la familia de curvas, reconoció si era una función lineal y/o cuadrática, para determinar la ecuación de la recta tangente a la curva mediante la derivada de la función dada. El siguiente paso consistió en construir la ecuación diferencial que representara la familia de rectas con pendiente recíproca, que al integrarla le garantizara desde lo analítico encontrar la familia de curvas ortogonales a la dada (ver Figura 9). En soporte de la garantía del argumento del estudiante E1, se identificó que el conjunto de representaciones gráficas de las funciones (ver Figura 9) refiere al enfoque gráfico y a la evidencia adicional que cumplen la función de respaldo (backing, en inglés), esto es, un medio por el cual los estudiantes verifican que la familia de curvas encontrada es ortogonal a la inicial.

Fuente: Elaboración propia de los autores.

Figura 9 Procedimiento de E1 y gráfica de algunas curvas ortogonales a una familia de curvas dadas, inciso b). 

Argumentos de tipo abductivo

Este tipo de argumento se identificó en las respuestas de los estudiantes ante las cuestiones I, II y III de la tarea matemática. Además, se reconocen las dos formas de un argumento abductivo (tipo A y tipo B). El argumento abductivo de tipo A se identificó a partir de una regla o regularidad entre los objetos matemáticos en estudio para determinar un caso particular. Un ejemplo de este tipo de argumento es el que construyó E2 (Figura 10), quien consideró la regularidad: “si no lo haces correcto, es una forma de darte cuenta que cometiste un error”, como punto de partida para concluir que las familias de curvas encontradas efectivamente son ortogonales. La garantía de este argumento refiere a resultados obtenidos del análisis de las características invariantes de las gráficas, que a la vez sirven como verificador del procedimiento algebraico que se llevó a cabo.

Fuente: autores.

Figura 10 Ejemplo de un argumento abductivo tipo A.  

En el argumento abductivo tipo B (Figura 11), los estudiantes parten de sus resultados para examinar el caso, es decir, ¿qué garantiza que la familia de curvas encontradas sea la familia ortogonal? El estudiante E2 toma como base lo gráfico, equivalente al conjunto de algunas gráficas de las funciones encontradas y compara las respectivas rectas tangentes para verificar que la familia de curvas hallada es ortogonal a la inicial.

Fuente: Elaboración propia de los autores.

Figura 11 Ejemplo de un argumento abductivo tipo B.