2.1. La lógica de términos asertórica

La silogística asertórica captura una noción básica de aserción usando enunciados categóricos. Un enunciado categórico tiene la forma <Cantidad S Cualidad P> donde Cantidad = {Todo (toda), Algún (alguna)}, Cualidad = {es, no es}, y S y P son términos-esquema.¹ Desde el punto de vista de la Lógica de Términos y Funtores (en adelante TFL^α) de ^{Sommers (1982)} y ^{Englebretsen (1996)}, decimos que:

Definición 1. (Enunciado categórico en TFL^α) Un enunciado categórico en TFL^α es un enunciado de la forma ±S±P donde ± son funtores, y S y P son términos-esquema.

Dada esta definición, podemos modelar los enunciados categóricos como sigue, donde el término P representa persona y el término I representa inteligente:

Dado este lenguaje (digamos, L_TFL^α = <T, ±>, donde T = {A, B, C, . . .} es un conjunto de términos, y ± es una abreviatura de los funtores + y −), TFL^α ofrece una noción de validez como sigue:

Definición 2. (Silogismo válido en TFL^α) Un silogismo es válido (en TFL^α) sii:

El lenguaje y la noción de validez definen la lógica de términos asertórica TFL^α como sigue:

Definición 3. (TFL^α) TFL^α = <L_TFL ^𝛼, (1, 2)>, donde “(1, 2)” representa las reglas 1 y 2 de TFL^α.

Con esta lógica se pueden modelar inferencias asertóricas, como la del Cuadro 1, donde se observa que la suma algebraica de las premisas es igual a la conclusión, es decir, -P+I-F+P = -F+I, por la condición 1), pero no +I-F, por la condición 2), como sigue:

O bien como la del Cuadro 2, donde se tiene -P+I+F+P = +F+I, por las condiciones 1) y 2), como sigue:

Con esta breve exposición, alguien podría pensar que la noción de validez para esta lógica está restringida o limitada a inferencias monádicas o silogísticas, pero esa sería una conclusión apresurada, ya que podemos extender dicha noción de validez ampliando las reglas de inferencia (^{Englebretsen, 1996}) o implementando métodos de prueba arborescentes (^{Castro-Manzano, 2018}) aquí seguiremos el segundo camino.

Así, un árbol es un grafo conexo acíclico determinado por nodos y vértices; informalmente, es un conjunto de segmentos de línea recta conectados en sus extremos y que no contienen bucles cerrados o ciclos. El nodo en la parte superior es la raíz del árbol; en la parte inferior, son las puntas cualquier camino desde la raíz hacia una punta es una rama. Para probar la validez de una inferencia construimos un árbol que comienza con una sola rama en cuyos nodos ocurren las premisas y el rechazo de la conclusión, esta es la lista inicial, a la cual luego le aplicamos las reglas de expansión para extenderla (Figura 1).

Figura 1 Reglas de expansión de TFL^α 

Estas reglas se comportan de la siguiente manera: después de aplicar una regla introducimos un índice i ∈ {1, 2, 3, . . .}. Para los enunciados universales, cuyo término inicial tiene un signo “−”, el índice puede ser cualquier número natural (Figura 1a); para los enunciados cuyo término inicial tiene un signo “+” (es decir, para los enunciados particulares), el índice tiene que ser un nuevo número natural si aún no tienen un índice (Figura 1b). Adicionalmente, siguiendo los principios generales de TFL, asumimos las siguientes reglas de rechazo: −(±T) = ∓T, −(±T±T) = ∓T∓T, y −(−−T−−T) = +(−T)+(−T).

Para esta lógica, un árbol es completo si y sólo si se han aplicado todas las reglas posibles; una rama es cerrada si y sólo si hay términos de la forma ±Tⁱ y ∓Tⁱ en dos de sus nodos; de lo contrario, es abierta. Una rama cerrada se indica escribiendo ⊥ al final de la misma; una rama abierta se indica escribiendo ∞. Un árbol es cerrado si y sólo si todas sus ramas son cerradas; de lo contrario, es abierto. Entonces, también como de costumbre, decimos que un término ±T es consecuencia lógica del conjunto de términos Γ (i.e. Γ ⊢ ±T) si y sólo si hay un árbol completo y cerrado cuya lista inicial incluye los términos de Γ y el rechazo de ±T (i.e. Γ ∪ {∓T} ⊢ ⊥).

Con estas definiciones es relativamente fácil probar que:

Proposición 1. (Completud para TFL^α). Una inferencia es válida en TFL^α sii su árbol correspondiente es completo y cerrado (^{Castro-Manzano, 2018}).

A modo de ejemplo, consideremos la Figura 2 para la inferencia del Cuadro 1.

Figura 2 Una inferencia asertórica válida 

El ejemplo de la Figura 2 permite describir el proceso que seguimos para desplegar estos árboles. Las primeras tres líneas son las premisas y la conclusión; la cuarta, rechaza la conclusión: éstas, excepto la conclusión, definen la lista inicial. La quinta línea es el resultado de aplicar una regla de rechazo a la conclusión (-(-F+I) = +F-I). Luego, las siguientes dos resultan de aplicar la regla de expansión a un enunciado particular (i. e. +F-I) a la quinta línea, seleccionando el superíndice 1. Después, la primera división resulta de aplicar la regla de expansión para un enunciado universal a la segunda premisa (i. e. -F+P), también eligiendo el índice 1, ya que queremos que los índices se unifiquen. Esta división produce dos ramas, una (la izquierda) incluye los términos +F¹ y −F¹ en dos de sus nodos y, por lo tanto, está cerrada; la rama restante no, por lo que continuamos con el mismo proceso. Dividimos la última premisa disponible (la primera, -P+I) para obtener, nuevamente, un par de ramas, la izquierda incluye los términos +P¹ y -P¹ en dos de sus nodos, por lo tanto, está cerrada; y la derecha contiene los términos -I¹ y +I¹ en dos de sus nodos, por lo cual también está cerrada.

2.2. La lógica de términos numérica

La lógica de términos numérica de Murphree (TFL^ν) captura numeracidad mediante el uso de cuantificadores numéricos (^{Murphree, 1998}). En esta lógica, un enunciado numérico tiene la forma <Cantidad n S Cualidad P> donde Cantidad = {Todo (toda), Todo (todas) excepto, A lo sumo, Al menos, …, Algún (alguna)}, n ∈ R+, Cualidad = {es, no es}, y S y P son términos-esquema. Formalmente, dado que TFL^ν es una extensión conservativa de TFL^α, decimos que:

Definición 4. (Enunciado numérico en TFLν) Un enunciado numérico en TFL^ν es un enunciado de la forma ±_nS± _εP donde ± son funtores, n, ε ∈ R⁺, y S y P son términos-esquema.

Con estos elementos podemos representar los enunciados categóricos como sigue:

Y para n > 0:

En consecuencia, dado este lenguaje (L_TFL^ν = <T, ±, R⁺>), TFL^ν ofrece la siguiente noción de validez:

Definición 5. (Silogismo válido en TFL^ν) Un silogismo es válido (en TFL^ν) sii:

Como con la lógica anterior, estos componentes definen la lógica de términos numérica:

Definición 6. (TFL^ν) TFL^ν = <L_TFL^ν, (1, 2, 3)>.

Siguiendo el mismo patrón de exposición, consideremos la inferencia numérica del Cuadro 2 a modo de ejemplo.

Para esta lógica también hay un método de prueba arborescente (^{Castro-Manzano, 2020a}). Las reglas funcionan exactamente como en el caso de TFL^α, pero después de aplicar una regla creamos un vector υ para rastrear el valor numérico n de cada enunciado (Figura 3). En particular, la Figura 3c es una regla para ordenar términos atómicos con un “+” adjunto.

Figura 3 Reglas de expansión de TFL^ν 

Así, para esta lógica decimos que un árbol es completo si y sólo si se han aplicado todas las reglas posibles; una rama es cerrada si y sólo si hay términos de la forma ±_nTⁱ y ∓_nTⁱ en dos de sus nodos; de lo contrario, es abierta. Una rama cerrada se indica escribiendo ⊥ al final de la misma; la abierta, con el signo ∞. Un árbol es cerrado si y sólo si todas sus ramas son cerradas; de lo contrario, es abierto. Así, como con el sistema anterior, un término ±T es consecuencia lógica del conjunto de términos Γ si y sólo si hay un árbol completo y cerrado cuya lista inicial incluye los términos de Γ, el rechazo de ±T y υ = 0. Luego, como con el sistema anterior, con estas definiciones se puede probar que:

Proposición 2. (Completud para TFL^ν). Una inferencia es válida en TFL^ν sii su árbol correspondiente es completo y cerrado y υ = 0 (Castro-Manzano, 2020).

Consideremos, como ejemplo, la Figura 4 para la inferencia del Cuadro 2.

Figura 4 Una inferencia numérica válida 

En este árbol, como es de esperarse, las primeras tres líneas son las premisas y la conclusión, y la cuarta es el rechazo de la conclusión: todas, excepto la conclusión, definen la lista inicial. La quinta línea es el resultado de aplicar una regla de rechazo a la conclusión (-(+₁₉F+_εI) = -₁₉F-_εI). Luego, el siguiente par es el resultado de aplicar la regla de expansión a un enunciado particular a la segunda línea (i. e. +₃₀F+εP), seleccionando el índice 1 y creando el vector υ = +30. La octava línea resulta de aplicar la regla para ordenar términos atómicos con un “+” adjunto a la sexta, es este caso tomando n=19≤30 porque queremos que, en algún momento, +₁₉F entre en conflicto con -₁₉F. Posteriormente, la novena línea es el resultado de aplicar la misma regla con n=11<ε porque pretendemos que, más adelante, +₁₁P entre en conflicto con -₁₁P. Después, la primera división resulta de aplicar la regla de expansión para un enunciado universal a la primera premisa (i.e. -₁₁P+εI), también eligiendo el índice 1, pues buscamos que los índices se unifiquen, y al aplicar la regla, añadimos -11 al vector υ. Esta división produce dos ramas, la izquierda incluye los términos +₁₁P¹ y -₁₁P¹ en dos de sus nodos y, por lo tanto, está cerrada; la restante aún no está cerrada, por lo que continuamos con el mismo proceso: dividimos la última premisa disponible (la quinta línea, -₁₉F-εI) para obtener, nuevamente, un par de ramas, una de las cuales (la izquierda) incluye los términos -₁₉F¹ y +₁₉F¹ en dos de sus nodos (sin olvidar sumar el valor n = -19 al vector υ), y por lo tanto está cerrada; la derecha contiene los términos - εI¹ y + εI¹ en dos de sus nodos, por lo cual también está cerrada. Luego, todas las ramas están cerradas y υ = +30 - 11 - 19 = 0.

2.3. La lógica de términos modal

La lógica de términos modal de Englebretsen (TFL^μ) captura modalidad extendiendo TFL^α con los operadores modales □ y ◊ (Englebretsen, 1988). Entonces, dado un término T, TFL^μ permite las siguientes combinaciones: +□+T (i. e. □+T), +□−T (i. e. □−T), −□+T (i. e. −□T), −□−T y, como es usual, el operador ◊ se define como −□−. Así, podemos decir que un enunciado modal de dicto tiene la forma <Modalidad (Cantidad S Cualidad P)>; y un enunciado modal de re tiene la forma <Cantidad S Calidad Modalidad P> donde Modalidad = {□, ◊}, Cantidad = {Todo (toda), Algún (alguna)}, Cualidad = {es, no es}, y S y P son términos-esquema. Así, formalmente:

Definición 7. (Enunciado modal en TFL^μ) Un enunciado modal en TFL^μ es un enunciado de la forma μ(±S±P) | ±S±P | ±S±μP donde ± son funtores, μ es un operador modal, y S y P son términos-esquema.

Así, los enunciados de re, de dicto y combinados se pueden expresar como sigue:

Dado este lenguaje (L_TFL^μ = <T, ±, M>, donde M = {□, ◊}), tenemos la siguiente noción de validez:

Definición 8. (Silogismo válido en TFL^μ) Un silogismo es válido (en TFL^μ) sii:

La lógica resultante es la lógica de términos modal:

Definición 9. (TFL^μ) TFL^μ = <L_TFL^μ, (1, 2, 4, 5)>.

Y con ella podemos modelar inferencias como la del Cuadro 3.

La Figura 5 muestra las reglas arborescentes para esta lógica (^{Castro-Manzano, 2020b}). Para las reglas de las Figuras 5a y 5b, después de aplicar una regla introducimos un superíndice i ∈{1, 2, 3, . . .} y dejamos el subíndice fijo como está. Para los enunciados cuyo término inicial tiene un signo “-”, el superíndice puede ser cualquier número natural; para los enunciados cuyo término inicial tiene un signo “+”, el superíndice debe ser un nuevo número natural si aún no tiene un índice, como en TFL^α. Para las reglas de las Figuras 5c y 5d, después de aplicar una regla introducimos un subíndice K ∈ {1, 2, 3, . . .} y dejamos el superíndice fijo como está. Para los enunciados cuyo operador inicial es □, el subíndice puede ser cualquier número natural; para los enunciados cuyo término inicial es ◊, el subíndice tiene que ser un nuevo número natural si aún no tiene un índice, como en TFL^α.

Figura 5 Reglas de expansión de TFLμ 

Para esta lógica un árbol es completo si y sólo si se han aplicado todas las reglas posibles; una rama es cerrada si y sólo si hay términos de la forma ±Tⁱ_N y ∓Tⁱ_N en dos de sus nodos; de lo contrario, es abierta. Una rama cerrada se indica escribiendo ⊥ al final de la misma; una abierta, con ∞. Un árbol es cerrado si y sólo si todas sus ramas son cerradas; de lo contrario, es abierto. La noción de consecuencia es típica: un término ±T es consecuencia lógica del conjunto de términos Γ si y sólo si hay un árbol completo y cerrado cuya lista inicial incluye los términos de Γ y el rechazo de ±T. Así, siguiendo nuestro patrón de exposición, también podemos probar que:

Proposición 3. (Completud para TFL^μ). Una inferencia es válida en TFL^μ sii su árbol correspondiente es completo y cerrado (^{Castro-Manzano, 2020b}).

Finalmente, consideremos la Figura 6 para la inferencia del Cuadro 3.

Figura 6 Una inferencia modal válida 

En este árbol las primeras tres líneas son las premisas y la conclusión, y la cuarta es el rechazo de la conclusión: todas, excepto la conclusión, definen la lista inicial. La quinta línea es el resultado de aplicar una regla de rechazo a la conclusión (-(-F+□I) = +F-□I). Después, el siguiente par de líneas es el resultado de aplicar la regla de expansión a un enunciado particular a la quinta (i. e. +F-□I), seleccionando el superíndice 1. Luego, la primera división resulta de aplicar la regla de expansión para un enunciado universal a la segunda premisa (i. e. -F+P), también eligiendo el índice 1, pues intentamos que los índices se unifiquen. Esta división produce dos ramas, la izquierda incluye los términos +F¹₀ y -F¹₀ en dos de sus nodos, por lo cual está cerrada; la restante, aún no, por lo que continuamos con el mismo proceso: dividimos la última premisa disponible (la primera línea, -P+□I) para obtener, nuevamente, dos ramas, la de la izquierda incluye los términos +P¹₀ y -P¹₀ en dos de sus nodos, por lo cual está cerrada; la derecha contiene los términos -□I¹₀ y +□I¹₀ en dos de sus nodos, estando también cerrada.

2.4. La lógica de términos relevante

La lógica de términos relevante (TFL^ρ) es una extensión de TFL^α que captura una noción de relevancia siguiendo algunas ideas del sentido aristotélico de relevancia causal (^{Castro-Manzano 2022c}). Esta lógica, por su impronta tradicional, representa fragmentos de discurso complejo (en tanto incluyen al menos dos premisas y una conclusión) con modo y figura (porque el orden de los enunciados y términos importa) donde una conclusión distinta de las premisas (evitando así la petitio principii) necesariamente (y por tanto deductivamente) se sigue y depende de ellas (evitando así la irrelevancia, non causa ut causa).

Asumiendo estas consideraciones, en esta lógica un enunciado relevante tiene la forma <Cantidad S Cualidad P Bandera> donde Cantidad = {Todo (toda), Algún (alguna)}, Cualidad = {es, no es}, S y P son términos-esquema, y Bandera = {p_i, c} para i ∈ {1, 2, 3, . . .} es un conjunto de banderas (de premisa o conclusión). Formalmente, quedaría:

Definición 10. (Enunciado relevante en TFL^ρ) Un enunciado relevante en TFL^ρ es un enunciado de la forma ±S±P_f donde ± son funtores, S y P son términos-esquema y f es una bandera.

Con este lenguaje (L_TFL^ρ = <T, ±, B>, donde B es un conjunto de banderas), TFL^ρ ofrece una noción de validez de la siguiente manera:

Definición 11. (Silogismo válido en TFL^ρ) Un silogismo es válido (en TFL^ρ) sii:

El resultado es la lógica de términos relevante:

Definición 12. (TFL^ρ) TFL^ρ = <L_TFL^ρ, (1, 2, 6)>.

Con ella se pueden modelar inferencias como las del Cuadro 4.⁴

Las reglas de expansión de TFL^ρ se comportan como las reglas de TFL^α (Figura 7), pero además de los índices, introducimos y mantenemos una bandera f, f’ ∈ {p_i, c} (p_i para premisa con i ∈ {1, 2, 3, . . .}, c para conclusión) (^{Castro-Manzano, 2022c}).

Figura 7 Reglas de expansión de TFL^ρ 

Para esta lógica, una rama es abierta si y sólo si no hay términos de la forma ±Tⁱ_f y ∓Tⁱ_f en ella; es semiabierta (resp. semicerrada) si y sólo si hay términos de la forma ±Tⁱ_f y ±Tⁱ_f; de lo contrario, es cerrada. Una rama abierta se indica escribiendo ∞ al final de la misma; una semiabierta (resp. semicerrada) se indica escribiendo ∝_f,f (resp. _f,f ∝); y una cerrada se denota por ⊥ _{f,f ’}. Dadas estas definiciones, en esta lógica un término ±T es consecuencia del conjunto de términos Γ si y sólo si hay un árbol completo y cerrado cuya lista inicial incluye Γ y el rechazo de ±T, todas las ramas son cerradas y todas las banderas se acarrean en el final de cada punta.⁵ Y como es de esperarse, se demuestra que:

Proposición 4. (Completud para TFL^ρ). Una inferencia es relevante (resp. válida) en TFL^ρ sii su árbol correspondiente es completo y cerrado (resp. semicerrado/semiabierto).

Como ejemplo, considérese la Figura 8 para la inferencia del Cuadro 4.

Figura 8 Una inferencia relevante válida 

En este árbol, las primeras tres líneas son las premisas y la conclusión, y la cuarta es el rechazo de la conclusión: todas, excepto la conclusión, definen la lista inicial. La quinta línea resulta de aplicar una regla de rechazo a la conclusión (-(-F+I) = +F-I). Luego, el siguiente par de líneas se obtiene de aplicar la regla de expansión a un enunciado particular a la quinta (i. e. +F-I), seleccionando el superíndice 1. Después, la primera división resulta de emplear la regla de expansión para un enunciado universal a la segunda premisa (i. e. -F+P), también eligiendo el índice 1, para que los índices se unifiquen. Esta división produce dos ramas, la izquierda incluye los términos +F¹_c y -F¹_p2 en dos de sus nodos y, por lo tanto, está cerrada; la restante, aún no, por lo que continuamos con el mismo proceso: dividimos la última premisa disponible (la primera línea, -P+I) para obtener, nuevamente, un par de ramas, a la izquierda incluye los términos +P¹_p2 y -P¹_p1 en dos de sus nodos, por lo tanto está cerrada; la derecha contiene los términos +I ¹_p1 y -I ¹_c’ en dos de sus nodos y, por lo tanto, también está cerrada. Como todas las ramas son cerradas y todas las banderas han sido acarreadas en cada punta, el árbol es cerrado.

2.5. Una lógica de términos sintética

Dada la estructura de cada una de estas lógicas, podemos combinarlas por adición (joint-combination) y sustracción (meet-combination) de elementos lingüísticos y reglas de tal forma que obtenemos los siguientes sistemas: TFL^α, TFL^αν = TFL^ν, TFL^αμ = TFL^μ, TFL^αρ = TFL^ρ, TFL^ανμ = TFL^νμ, TFL^ανρ = TFL^νρ, TFL^αμρ = TFL^μρ y, finalmente, TFL^ανμρ = TFL^νμρ. En consecuencia, este modelo induce un retículo completo de lógicas de términos tal que TFL^α es la inferior y TFL^ανμρ es la superior (^{Castro-Manzano, 2022a}; ^2022b).

Figura 9 Una jerarquía de lógicas de términos (^{Castro-Manzano, 2022a}; ^2022b). 

Así, se establece un orden de tal manera que <TFLs, ⊆> es una jerarquía de lógicas de términos à la Sommers donde TFLs = {TFL^α, TFL^αν=ν, TFL^αμ=μ, TFL^αρ=ρ, TFL^ανμ=νμ, TFLανρ=νρ, TFL^αμρ=μρ, TFL^{ανμρ=νμρ}}. Luego, se puede decir que:

Proposición 5. (Jerarquía) Para las lógicas de términos L_i , L_j, L_k se cumplen las siguientes propiedades (^{Castro-Manzano, 2022a}):

Adicionalmente, siguiendo esta misma línea argumentativa, se observa que:

Proposición 6. (Filtros) Los siguientes conjuntos son filtros de la jerarquía de lógicas de términos:

Estos resultados sugieren que estas lógicas se pueden combinar adecuadamente (Proposición 5), por ejemplo, en virtud de lo que se pretenda modelar (Proposición 6). Cuando se necesita una inferencia modal-numérica se puede usar TFL^νμ; para una inferencia relevante-modal, TFL^μρ; o para una inferencia relevante-numérica, TFL^νρ; y así sucesivamente. Pero como nuestro interés se centra en modelar inferencias en la lógica que está en el tope de la jerarquía, centrémonos en la lógica sintética de nuestro interés y digamos, por joint-combination, que:

Definición 13. (Enunciado sintético en TFL^ανμρ). Un enunciado sintético en TFL^ανμρ es un enunciado de la forma μ(±_n S±_ε P_f ) | ± _n S± _εP_f | ±_n S±μ_ε P_f donde 𝜇 son modalidades, ± son funtores, n, ε ∈ R+, f es una bandera, y S y P son términos-esquema.

Por lo tanto, siguiendo el mismo patrón de exposición, se puede decir que:

Definición 14. (Silogismo válido en TFL^ανμρ) Un silogismo es válido (en TFL^ανμρ) sii:

El resultado es una lógica de términos sintética por joint-combination que captura aserción, numeracidad, modalidad y relevancia:

Definición 15. (TFL^ανμρ) TFL^ανμρ = <L_TFL^ανμρ, (1, 2, 3, 4, 5, 6)> (^{Castro-Manzano, 2022a}; ^2022b).

Siguiendo con nuestro patrón expositivo, también se puede hacer una síntesis de las reglas arborescentes (Figura 10).

Figura 10 Reglas de expansión de TFL^ανμρ (^{Castro-Manzano, 2022a}; ^2022b) 

En consecuencia, para este sistema sintético una rama es abierta si y sólo si no incluye términos de la forma ±Tⁱ_Nf y ∓Tⁱ_Nf en ella; es semiabierta (resp. semicerrada) si y sólo si incluye términos de la forma ±Tⁱ_Nf y ∓Tⁱ_Nf; de lo contrario, es cerrada. Una rama abierta se indica escribiendo ∞ al final de la misma; una semiabierta (resp. semicerrada) se indica escribiendo ∝_f,f (resp. _f,f ∝); y por último, una rama cerrada se denota por ⊥_f,f’. Así, en esta lógica, un término ±T es consecuencia lógica del conjunto de términos Γ si y sólo si hay un árbol completo y cerrado, cuya lista inicial incluye los términos de Γ y el rechazo de ±T, υ = 0, todas las ramas son cerradas y todas las banderas se acarrean en el final de cada punta.

Como ejemplo, consideremos una inferencia con más de dos premisas que incluye aserción (más relaciones binarias), numeracidad (tanto excepcional como no excepcional), modalidad (tanto de dicto como de re) y relevancia causal: llamémosla silogismo sintético (Cuadro 5, Figura 11).

Figura 11 Un silogismo sintético (^{Castro-Manzano, 2022a}; ^2022b). 

Este ejemplo permite apreciar un par de puntos: que podemos automatizar la inferencia mediante un método de prueba arborescente y que podemos representar diferentes aspectos del razonamiento del lenguaje natural usando un sistema terminista uniforme. El acto de habla invariable de aserción queda capturado por el uso de términos y funtores; la numeracidad, por el uso de los numerales (en particular, cuando n = 0 o n = 1, TFL^ν colapsa con TFL^α); las diferentes formas o modos de aserción quedan representadas por el uso de modalidades (cuando están ausentes TFL^µ colapsa con TFL^α); y la relevancia queda modelada a través del uso de banderas de premisa o conclusión (similarmente, cuando las banderas están ausentes, TFL^ρ colapsa con TFL^α).

* * *

Así pues, hasta aquí hemos presentado una lógica de términos sintética junto con un método de prueba arborescente; sin embargo, como hace falta desarrollar algunos resultados metateóricos adicionales y explicitar algunas discusiones, a continuación, nos gustaría continuar por esta vía.

El primer resultado que nos gustaría exponer se relaciona con la naturaleza de los árboles completos y cerrados con υ = 0. Informalmente, los árboles de este tipo corresponden a inferencias (modal y numéricamente) válidas y relevantes:

Proposición 7. (Completitud c.r.a relevancia para TFL^ανμρ). Una inferencia es (modal y numéricamente) válida y relevante en TFL^ανμρ sii existe un árbol completo y cerrado para todas las banderas y con υ = 0 para dicha inferencia. Prueba. Primero, de izquierda a derecha, y sin pérdida de generalidad, considérense inferencias arbitrarias básicas que cumplan las reglas de la Definición 14. De acuerdo con tal caracterización, existen dos formas argumentales básicas para metatérminos arbitrarios, pero fijos, A, B, C, números m, n ∈ R⁺, modalidades ordenadas K≥K’≥ K’’ ∈ M, y banderas distintas f, f ’, f ’’ ∈ B (para estas representaciones no es necesario usar el índice ε) (Cuadro 6).

Entonces tenemos dos alternativas. Para la primera alternativa tomemos la primera forma del Cuadro 6. Ahora, procedemos por inducción sobre el valor numérico de las premisas. Para el caso básico cuando m = n = 0, y K≥K’≥K’’, hay un árbol completo y cerrado para todas las banderas con υ = 0 de manera trivial. Para el caso inductivo, cuando n = k, m = j, K≥K’≥K’’ y hay banderas arbitrarias diferentes, también se obtienen inferencias correctas. Ahora, supóngase que la primera forma básica es válida incluso para n = k + 1 y m = j + 1 con k, j ≥ 0; en tal caso, también se obtiene un árbol completo y cerrado para todas las banderas con υ = 0 como en la Figura 12a. Similarmente, para la segunda alternativa tomemos la segunda forma del Cuadro 6 y nótese que, en el caso básico, si m = 0, n = 1 y K≥K’≥K’’, se obtiene un árbol completo y cerrado para todas las banderas con υ = 0; y para el caso inductivo, considérese la Figura 12b.

Figura 12 Árboles de las formas básicas 

Ahora, de derecha a izquierda procedemos por reductio. Supóngase, un árbol completo y cerrado para todas las banderas con υ = 0, pero cuya inferencia correspondiente no es correcta, esto es, no cumple con las condiciones de la Definición 14. Así, hay un árbol cuya lista inicial incluye un conjunto de términos Γ, el rechazo de la conclusión, υ = 0 y todas las banderas son usadas, pero de Γ no se puede inferir la conclusión prevista siguiendo las reglas o condiciones de la Definición 14. Por lo tanto, hay dos alternativas cuyas conclusiones son, respectivamente, −_m+nC±B_{K’’f’’}, y +_n−mC±B_{K’’f ’’’}. Ahora bien, dado que cada árbol es completo, se han aplicado las reglas de expansión de manera apropiada; y como cada árbol es cerrado, cada uno de ellos debe tener una de las formas de la Figura 13.

Figura 13 Un par de árboles completos y cerrados con υ = 0 

Supóngase una instancia del árbol mostrado en la Figura 13a, pero que su inferencia correspondiente no es correcta, es decir, donde Γ⁺= Γ ∪ {+_m+nC∓-B_{K’’f ’’}}, Γ⁺⊢⊥_K≥Kf,f’, sin embargo, las condiciones o reglas no permiten producir la conclusión −_m+nC±B_{K’’f ’’} a partir de Γ. Dado que el árbol es cerrado y completo, sus nodos previos deben incluir algo de la forma −_mA±B_Kf y − _nC+A_K’f’; pero por la condición 1 de la Definición 14, obtenemos −C±B y no ±B−C por la condición 2. Por la condición 3a, la conclusión tiene que ser de la forma −_m+nC±B. Adicionalmente, por las condiciones 4 y 5, la conclusión tiene que ser de la forma −_m+nC±B_K’’ para modalidades ordenadas K≥K’≥K’’ (ya sean de re o de dicto). Por último, dado que el árbol es cerrado para todas las banderas, éstas tienen que ser reclamadas adecuadamente, es decir, la conclusión tiene que ser de la forma −_m+nC±B_{K’’f ’’} para f ’’ ≠ f y f ’’ ≠ f ’. Lo mismo ocurre, mutatis mutandis, para el árbol de la Figura 13b.

Este resultado sugiere que el método arborescente sintético preserva las propiedades de completitud de los métodos arborescentes de cada lógica básica (i. e. Proposiciones 1-4). Luego, por la naturaleza de la jerarquía (i. e. Proposición 5), las lógicas intermedias también preservan completitud.

El siguiente resultado interesante tiene que ver con la naturaleza de los árboles completos y semicerrados/semiabiertos con υ = 0. De manera informal, se puede decir que árboles de este tipo corresponden a inferencias (modal y numéricamente) válidas, pero no necesariamente relevantes:

Proposición 8. (Completitud c.r.a validez para TFL^ανμρ). Una inferencia es (modal y numéricamente) válida en TFL^ανμρ sii existe un árbol completo y semicerrado/semiabierto con υ = 0 para dicha inferencia.

La prueba de la Proposición 8 es trivial porque los árboles completos y semicerrados/semiabiertos con υ = 0 de TFL^ανμρ son los árboles completos y cerrados con υ = 0 de TFL^αν=ν (vide Proposiciones 1 y 2). Más aún, como corolario, también se puede concluir que lo mismo ocurre para los árboles completos y cerrados, pero que no usan todas sus banderas:

Proposición 9. (Completitud c.r.a validez para TFL^ανμρ). Una inferencia es (modal y numéricamente) válida en TFL^ανμρ sii existe un árbol completo y cerrado con υ = 0 que no usa todas sus banderas para dicha inferencia.⁶

Salvando las particularidades de las Proposiciones 8 y 9, se pueden resumir estos resultados en el Cuadro 7.

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Hasta aquí hemos reproducido una lógica de términos sintética y hemos explorado algunas de sus propiedades metateóricas. Ahora nos gustaría discutir algunos de los alcances y limitaciones de esta propuesta mediante un ejercicio de objeciones y respuestas.

Objeción 1. Esta propuesta es innecesaria. Si bien esta propuesta puede considerarse innecesaria, así planteada, esta objeción parece muy deflacionaria: uno podría preguntarse cuál es la necesidad de cualquier esfuerzo filosófico. Pero, entonces, no sólo sería una objeción a la propuesta, sino también a cualquier actividad teórica. Alguien todavía podría objetar que esta respuesta es bastante débil, pues se requiere una resolución más específica y menos esquiva. Y con razón. Por tanto, considérense al menos tres propósitos específicos que hacen de esta propuesta, si no algo necesario, al menos algo interesante y potencialmente útil: i) el estudio y desarrollo de sistemas como los propuestos aquí contribuyen a la investigación del razonamiento en lenguaje natural utilizando herramientas formales allende las lógicas habituales de primer orden, lo cual resulta relevante porque no se restringe a sistemas de impronta Fregeana-Tarskiana-Kripkeana; ii) estos sistemas pueden desarrollarse para promover paradigmas de programación no clásica en inteligencia artificicial y programación lógica, lo cual abre un abánico modesto de nuevas intersecciones entre lógica, filosofía y pensamiento computacional (^{Castro-Manzano, 2021}); y iii) este tipo de propuestas contribuyen a mostrar que las lógicas de términos, lejos de estar superadas, están en proceso de franco renacimiento (^{Sommers, 1982}; ^{Englebretsen, 1996}; ^{Wang, 1997}; ^{Correia, 2017}; ^{Simons, 2020}) y que su acta de defunción es falsa -contra la tradición de (^{Carnap, 1930}; ^{Russell, 1937}; ^{Geach, 1962}).

Objeción 2. Esta propuesta es demasiado compleja. A primera vista, la propuesta parece demasiado compleja o engorrosa como para ser de alguna utilidad práctica. Ésta es una buena observación, pero no es una muy buena objeción. Sería bastante contraintuitivo, por ejemplo, restringir ciertas lógicas no clásicas porque son más complejas. El problema de esta objeción es que desconoce la ganancia neta de los modelos complejos, por lo tanto, incluso si la combinación de estas lógicas de términos parece aumentar la complejidad, ese no es un precio alto si consideramos los beneficios de sintetizar cuatro aspectos diferentes del razonamiento del lenguaje natural en un sistema uniforme: esta propuesta ofrece un buen equilibrio entre poder expresivo y tratabilidad.

Objeción 3. Esta propuesta es demasiado ambigua. Si bien el concepto de síntesis que hemos expuesto no parece tener una semántica clara, a diferencia de otros métodos de combinación de lógicas, sería falso considerar que carecemos de una. Las semánticas asociadas a cada una de las lógicas base dependen de un concepto de “distribución” de términos que tiene una interpretación perspicua en las teorías de ^{Sommers (1982)} y ^{Englebretsen (1996)}. Por supuesto, el concepto tradicional de distribución no parece ser formal o materialmente adecuado para proporcionar una semántica rigurosa (^{Miller, 1932}; ^{Geach, 1962}; ^{Williamson, 1971}), pero cuando revisamos la génesis de dicha inadecuación podemos notar que los problemas de la distribución tradicional no se heredan a las lógicas à la Sommers, así, una nueva noción de distribución puede ofrecer una semántica adecuada (^{Englebretsen, 1988}, ²⁰¹⁷; ^{Castro-Manzano, 2020c}).

Objeción 4. Esta propuesta no tiene propiedades lógicas interesantes. Las proposiciones ofrecidas en este artículo no son especialmente interesantes o son muy sencillas, pero sí tiene algunas propiedades interesantes. Aunque falta explorar estas últimas, los resultados presentados ofrecen evidencia conceptual de los alcances y límites de esta propuesta. Adicionalmente, para apoyar esta respuesta, basta mencionar que en otros lugares se ha discutido, por ejemplo, el concepto de modelo para lógicas de términos (^{Castro-Manzano, 2020c}), de interpolación (^{Castro-Manzano, 2023a}) y de expresividad (^{Castro-Manzano, 2023b}).

Objeción 5. Esta propuesta es filosóficamente pobre. De igual manera, no resulta sorprendente que esta propuesta no es de suficiente interés filosófico o que es lógicamente parroquial. Aunque hay algo de verdad en esto, esperamos que el interés y la riqueza de esta propuesta se pueda apreciar con el tiempo y con estudios más detallados que no necesariamente podemos ofrecer aquí. En efecto, se podrían generar discusiones más interesantes, que relacionen el uso de los términos y los funtores con semánticas más novedosas o con teorías epistemológicas/metafísicas innovadoras (^{Priest, 2005}; ^{Gabriel, 2015}; ^{Englebretsen, 2013}, ²⁰¹⁷). Por su cercanía teórica, está la posibilidad de asociar estos sistemas con la metafísica mondialista (mondialism) de ^{Englebretsen (2013}, ²⁰¹⁷⁾, de acuerdo con la cual el mundo, sus constituyentes y sus propiedades son reales, pero ser real no es lo mismo que ser existente. Para el mondialismo, la existencia no es una propiedad de individuos, sino de mundos. Por tanto, decir que algo existe es atribuir una propiedad constitutiva (la presencia de esa cosa) a un dominio relevante del discurso (por ejemplo, dado un sistema como TFL^ανμρ, una expresión como +₅A¹_2p1 estaría diciendo que tenemos cierta información preliminar -por la bandera p₁ - de que en el mundo 2 -por el subíndice “2”- contamos con la presencia -por el signo “+” y el superíndice “1”- de por lo menos cinco ítems que son A). Esta breve descripción del mondialismo puede recordar a la lógica libre y sus proezas (en particular, por la afirmación de que la existencia es un predicado especial satisfecho para algunos dominios no vacíos), o al noneísmo y su extraña semántica (en especial, por la tesis de que hay cosas no existentes -^{Priest, 2005}-). En cualquier caso, con esta breve respuesta queremos mostrar que las discusiones o los usos filosóficos asociados con estas lógicas no se reducen a aplicaciones exclusivamente lógicas.