2. 1. Círculo vicioso del análisis

Lo que Russell denominó el “principio del círculo vicioso” [vicious circle principle], y que lo forzó a desarrollar su lógica ramificada de tipos³ se resume del siguiente modo en Das Kontiuum: “Ninguna totalidad puede contener miembros definidos en términos de sí misma”⁴ (^{Weyl 1918, p. 36}).⁵

En este sentido, Weyl afirma que la definición clásica de supremo de un conjunto de reales contiene un círculo vicioso. La definición de supremo dada en Weyl es: “Sea v.gr., un conjunto M acotado de números reales de primer nivel. Para construir su supremo se forma un conjunto γ de racionales, al cual pertenece un racional r si y sólo si existe un real en M mayor que r” (1918, p. 23; las cursivas son del original). Weyl afirma después que el conjunto γ es un real (pues cumple tres propiedades que definen a los reales),⁶ pero es un real de “segundo nivel”, ya que en su definición, “existe”, cuantifica a un real de primer nivel.

El hecho de no considerar niveles da lugar a la definición clásica de supremo, y al círculo vicioso mencionado. La definición es impredicativa, pues se pretende definir el supremo en referencia a una totalidad a la que el supremo ya pertenece, a saber, la de los números reales. Unos años más tarde, Weyl analizará también el problema en una serie de artículos escritos en 1919, 1921 y 1925: si bien, su crítica la enfocará desde un punto de vista algo distinto a como aparece en el libro. El tratamiento del problema del círculo vicioso en aquellos textos de Weyl es básicamente el mismo. Aunque en este artículo nos centramos en Das Kontinuum, expondremos de forma resumida los puntos fundamentales de cómo Weyl presenta el problema del círculo vicioso en los artículos mencionados.

Weyl pretende demostrar [beweisen] que conceptos como “propiedad de números naturales” y “propiedad de propiedades de números naturales” no son conceptos “extensionalmente definidos” [umfangs-definit]; es decir, dados como una totalidad determinada y completa.

Primero⁷ afirma que el concepto de número natural es extensionalmente definido, y que esto es algo que se nos da intuitivamente. Sin embargo, existen otros conceptos como “objeto” o “propiedad” que no lo son. Para ver que es así define un dominio de propiedades de números al que denomina: k-propiedades. El concepto de k-propiedad es, por definición, extensionalmente definido. Después, supone una propiedad A de propiedades de números naturales. Entonces, según Weyl, siempre se puede definir una nueva propiedad P _A que cae fuera del dominio de las k-propiedades del siguiente modo: x posee P _A si y sólo si existe una k-propiedad de tipo A que posee x. Weyl afirma que el significado de esta P _A es totalmente distinto del de las k-propiedades. Después aclara que, no obstante, esto no significa que no exista en el dominio de las k-propiedades una propiedad que tenga la misma extensión [umfangsgleich]⁸ que aquélla.

Se llega entonces a la conclusión de que el concepto de número real no es un concepto extensionalmente definido, y que, por consiguiente, el concepto de supremo de un conjunto de reales arbitrario no tiene sentido.

Su explicación parte de que, si un real es una cortadura de Dedekind, i.e., un conjunto de racionales que se corresponde con una determinada propiedad de los racionales, entonces un conjunto de números reales se corresponde con una propiedad A de propiedades de números racionales. El supremo de este conjunto de reales es, a su vez, el conjunto de aquellos racionales x que tienen una determinada propiedad P _A , a saber: la propiedad que afirma que existe una propiedad de tipo A, la cual es poseída por x.

Es por ello que, después de dar esta explicación, Weyl escribe que esto es evidentemente un sinsentido [evident sinnlos], pues la existencia de una propiedad como P _A depende de que exista (de modo general y sin limitación) una propiedad de cierto tipo, tal que. . . etc. Por tanto, concluye, el concepto de “propiedad de números racionales” no es un concepto definido extensionalmente.

La argumentación de Weyl es, entonces, que dado que una propiedad se define a partir del dominio de las k-propiedades, el cual es un dominio extensionalmente definido, no puede ser que la nueva propiedad pertenezca a este dominio. Al estar definida a partir de la totalidad de las k-propiedades, a fortiori se concluye que no puede ser una de ellas. Por tanto, la propiedad de supremo, tal y como la trata el análisis clásico adolece de un círculo vicioso, ya que no se la trata como de “otro nivel”.

2. 2. Principios lógico-matemáticos

Al comienzo de su libro ^{(1918, pp. 4-8), Weyl} define seis principios con ayuda de los cuales (inicialmente) pretende desarrollar su sistema.

Estos principios son:

A partir de la combinación y repetición de estos seis principios básicos se obtienen las propiedades derivadas (si el juicio tiene sólo una variable libre), o las relaciones derivadas (si el juicio tiene dos o más variables libres).

Más adelante (en § 7) introducirá los principios de sustitución y de iteración, fundamentales para su sistema.

Este principio precede al de iteración, pues es utilizado en el mismo.¹⁴

El principio de iteración es decisivo en su sistema y lo introduce de esta forma:

La función que obtenemos de R₂ es la función iterada Φ(Φ(X)). Si denominamos R como R₁, entonces, a partir de R₂ obtenemos

De modo que para cualquier natural n tenemos

Luego la sucesión R₁, R₂,. . . ,R _n de relaciones la podemos hacer derivar de la relación R(n; x x^′| X) con n perteneciente a la categoría de “número natural”, y por tanto, puede ser sustituida por 1, 2, 3. . .

Weyl, sin embargo, afirma que su principio debe hacerse más general, de la siguiente forma:

R(1; x x^′| X Y) = R(x x^′| X Y); R(n+1; x x^′| X Y) = R(n; x x^′| G(X Y) H(X Y))

S(1; y | X Y) = S(y | X Y); S(n+1; y | X Y) = S(n; y | G(X Y) H(X Y))

Se introduce, asimismo, un tercer modo de generalizar el principio: haciendo que en el n-ésimo paso la función que sustituye dependa asimismo de n.

Sea R(x x^′| X n), y sea Φ(X n) la función que surge de R. La iteración que formará la relación R^∗ se describe del siguiente modo:

Para Weyl este principio es el más complicado de todos los presentados, y el que es matemático en sentido específico. Observemos, además, como Weyl ha definido (fundamentalmente) una recursión primitiva.¹⁵

2. 3. Conjuntos

La definición de conjunto en Das Kontinuum es la siguiente:

Toda propiedad fundamental o derivada E se corresponde con un conjunto (E). La expresión “un objeto a tiene la propiedad E” (o la correspondiente, “un esquema de juicio E(x) con una posición vacía¹⁶es verdadero para x = a”) y “a es un elemento del conjunto E” son equivalentes. Dos propiedades E y E ^′ se corresponden exclusivamente con el mismo conjunto, cuando cada objeto (de nuestra categoría) que tiene la propiedad E, tiene también la propiedad E ^′ , y a la inversa. (Las cursivas son del original.)

De lo que se desprende que un conjunto es un objeto ontológicamente dependiente, y que pertenece a una categoría distinta de la de sus elementos.

En ^{Weyl 1919} se discute qué es lo que en matemáticas debe tener prioridad ontológica. Weyl afirma que la extensión debe primar sobre el sentido (o contenido).¹⁷ El sentido de un concepto, si es claro, puede determinar la esfera de existencia de objetos cuya esencia expresa el concepto. Pero no implica que el concepto sea extensionalmente definido, es decir, que existan objetos que son la referencia del concepto, y que formen un agregado cerrado, que está intrínsecamente determinado. Así, escribe que “es hoy en día común, el juicio erróneo de considerar el sentido de un concepto anterior lógicamente a su extensión” (1919, p. 86).

Por tanto, un conjunto en el sistema de Weyl es la trasformación extensionalmente definida de propiedades intensionales de contenido definido. Esta idea se puede expresar en forma de un esquema de comprensión como el siguiente:

Donde hay que tener en cuenta las siguientes restricciones:

2. 4. Proceso matemático

La idea de “proceso matemático” [mathematischer Prozess] aparece por primera vez en referencia a la formación de conjuntos. Weyl escribe:

Los conjuntos uni- y multidimensionales forman sobre el dominio de objetos dado originalmente un nuevo sistema derivado de objetos ideales; se forman del original [dominio de objetos], [ . . . ], a través del proceso matemático. En efecto, creo que se manifiesta en esta formación de conceptos [Begriffsbildung] lo característico de la manera de pensar matemática. Se comprende por sí mismo que, esos nuevos objetos, los conjuntos, son sin excepción distintos de los elementos originales; pertenecen a una esfera de existencia completamente distinta. (1918, p. 15)

El proceso matemático se aplica a un dominio operacional [Operationsbereich] que está formado por una o varias categorías de objetos [Gegenstandskategorie], y por propiedades o relaciones básicas. Las variables libres de una relación (sea básica o derivada) se sustituyen por objetos de la categoría, sea ésta básica o no. De este modo se forman, como vimos, los conjuntos.

El proceso matemático conduce a la determinación de niveles de conjuntos. Los conjuntos de primer nivel [1. Stufe] son aquellos que surgen cuando las variables de propiedades (o relaciones) que los definen se sustituyen por elementos de la categoría básica. De este modo, existen conjuntos unidimensionales, bidimensionales, etc., de niveles distintos. La categoría a la que un conjunto pertenece se determina a través del número de variables libres de la relación a partir de la cual el conjunto se origina, y a través de la categoría de los objetos que pueden ocupar las variables libres de la relación. Si se amplía el dominio operacional con conjuntos de primer nivel (además de con los objetos de la categoría básica), surgen -cuando se aplica el proceso matemático-¹⁸ los conjuntos de segundo nivel. Weyl se refiere aquí a un tipo de iteración que no tiene que ver con el principio de iteración visto antes. Iterar el proceso matemático es, en esencia, expandir el dominio operacional añadiendo conjuntos y funciones.

2. 5. Procedimiento restringido

El “procedimiento restringido” [engeres Verfahren] es la restricción impuesta a la cuantificación, que sólo es válida aplicada a la categoría básica (sea ésta la de los números naturales u otra distinta), además de la aplicación del principio de compleción exclusivamente para objetos de la categoría básica.

Weyl escribe:

Parece natural limitar este uso del concepto de existencia a los objetos de las categorías fundamentales, y de este modo, en el proceso matemático siempre utilizar sólo ambos principios de compleción 5 y 6 para posiciones vacías que se correspondan con una categoría fundamental. Mediante este “procedimiento restringido” está, entonces, claro que los conjuntos y las relaciones funcionales de 1. nivel, aquellos que surgen al considerar objetos de categorías fundamentales, se han agotado [erschöpft sind], de modo que no se pueden añadir al 2. nivel y niveles más altos, nuevos conjuntos y relaciones funcionales de esta clase. (1918, p. 21)

Y en una nota:

El significado principal del procedimiento restringido resulta de modo más claro de la siguiente observación: sólo al seguir este procedimiento restringido permanecen los objetos de las categorías fundamentales de manera inamovible [unverrückt] como los objetos verdaderos de nuestra investigación: de otro modo llegarían a ser todas las relaciones y propiedades derivadas objetos de conocimiento, tanto como el dominio de aquellos objetos primeros. Los juicios finitos, i.e., aquellos que se forman considerando las limitaciones del procedimiento restringido, suponen para su determinación sólo tener una visión completa de todos estos objetos primeros; “transfinitos”, sin embargo, tener una visión completa de todas las propiedades y relaciones derivadas. (1918, p. 21)

Luego, al tenor de estas citas, consideramos que parece claro que Weyl tenía el propósito de desarrollar el análisis siguiendo (exclusivamente) el procedimiento restringido.¹⁹

2. 6. Conjuntos de primer nivel y conjuntos aritméticos

Para tratar este punto analizaremos el artículo de ^{Avron (2020)}, en el cual pretende un nuevo análisis de Das Kontinuum, parecido al que hiciera Feferman. Sin embargo, es más extenso, y contiene nuevos e interesantes aspectos, también interpretaciones del autor que son muy perspicaces. Además, quiere dar una formalización del sistema de Weyl que -según el autor- es la primera completamente fiel [completely faithful].

Avron afirma que en ^{Feferman 1998} se hace una observación errónea. Escribe: “Sin embargo, Feferman hizo entonces la siguiente observación errónea: Este desarrollo puede considerarse una forma de matemáticas aritméticas, en el momento en el que los conjuntos de nivel 0²⁰ son justamente aquellos que son aritméticamente definibles” (2020, p. 53).

Y más adelante:

De esta observación errónea, Feferman deriva la siguiente conclusión errónea concerniente a las formas originales del principio de iteración de Weyl:

[A]un aceptando el primero (también el más simple) de estos principios entra en conflicto con la decisión de Weyl de reducirse a los conjuntos de nivel más bajo en la jerarquía ramificada.

Esto se hizo en [17]²¹ construyendo “una relación definible mediante el principio de iteración (8) que no es aritmética, luego no definible a nivel 0”. Entonces Feferman concluye que

Esto muestra que el principio (8) de Weyl entra en conflicto con su plan de trabajo sólo con conjuntos definibles en el nivel más bajo. Claramente, Weyl no era consciente de este problema con sus principios. (2020, p. 53)

Después, se afirma que Feferman identifica los conjuntos de primer nivel de naturales con lo que hoy se conocen como conjuntos aritméticos, es decir, aquellos que se definen con una fórmula de primer orden de la aritmética de Peano, y que no contienen variables de conjuntos ligadas, aunque las pueda contener libres. Avron afirma que esa identificación es “en el mejor de los casos un anacronismo” (2020, p. 53) , pues la moderna noción técnica de aquellos conjuntos no era conocida en 1918 y, por tanto, Weyl no pudo haber decidido considerarlos.

Esto, sin embargo, no nos parece muy convincente, pues se trata de ver si los conjuntos aritméticos se pueden entender como los de primer nivel de Weyl. Es una constante en ciencia que los conceptos se desarrollen y especifiquen; que se hagan más precisos (perdiendo su posible inexactitud primera) y, a la vez, “técnicos”, con el tiempo. Lo que no significa que la idea que pretenden captar, y dado el caso, refinar, no sea esencialmente la misma. Piénsese en los irracionales desde los griegos hasta nuestros días.

Creemos que Feferman identifica estos conjuntos correctamente. Si observamos cómo se define el proceso matemático y el procedimiento restringido aplicado a los naturales como categoría básica, la afirmación de Feferman, aunque quizá no sea del todo precisa, se acerca, sin duda, a la idea de Weyl. Es cierto que, siguiendo el procedimiento restringido, se pueden considerar conjuntos de niveles superiores, pero, los cuantificadores no deben aparecer en su definición. Esto es lo fundamental.

Avron escribe en su artículo que, incluso si Weyl fuera conocedor de la noción de conjunto aritmético, no identificaría estos conjuntos con los de primer nivel. Las razones aducidas para ello no son, a nuestro juicio, concluyentes. Avron afirma que para Weyl el principio de iteración es tan fundamental que no hay manera de que lo pudiera debilitar para considerar sólo los conjuntos aritméticos (2020, p. 53).

Además -escribe-, como para Weyl sólo es primitiva la relación de sucesor, necesita del principio de iteración para definir operaciones como la multiplicación o la suma; operaciones que en ACA₀ sí son primitivas (2020, p. 53). Y más adelante escribe algo que a nuestro juicio es trivial: “Entonces para Weyl los conjuntos de primer nivel incluyen definitivamente cada conjunto de números naturales que es definible en su sistema” (2020, p. 53; las cursivas son del original). Trivial, pues lo fundamental sería saber cómo se ejemplifica esto a partir del sistema expuesto en Das Kontinuum. Pero, además, esto no contradice la identificación de conjuntos aritméticos con los de primer nivel.

Avron sigue y afirma que Weyl, “explícitamente dijo” que el principio de iteración destruye de forma efectiva la distinción entre “definibilidad adecuada” [sensible definability] en general y definibilidad de primer nivel (2020, p. 53).

El original alemán (extendido) dice:

Vemos ahora, después de que se hayan añadido los principios de sustitución e iteración, que no se puede seguir con la idea de una generación de relaciones y sus correspondientes conjuntos en niveles individuales (donde aparecen todos los conjuntos de primer nivel, cuyos elementos pertenecen a las categorías fundamentales, en el segundo nivel, todos aquellos conjuntos, cuyas variables libres se corresponden, en parte a categorías fundamentales, en parte a categorías de conjuntos de primer nivel, etc.). (^{Weyl 1918, p. 29})²²

No obstante, no creemos que el principio de iteración destruya nada. Weyl simplemente hace notar lo que ya dijo respecto al procedimiento restringido, el cual sigue -tiene que seguir- siendo válido cuando se añaden los principios de sustitución e iteración. Lo más importante para Weyl es que no se caiga en el círculo vicioso que critica, si se consideran los dos nuevos (y fundamentales) principios introducidos. Así, escribe:

Mediante el principio de sustitución pueden tener lugar, en particular, ostensibles “retrocesos” a niveles anteriores. Sin embargo, aquí estamos seguros contra definiciones que se vuelven sinsentidos debido a la aparición de círculos (viciosos), pues el uso del principio existencial 6. se limita a las categorías fundamentales. (1918, p. 29)

Esta importancia se expresa en ^{Weyl 1918 (p. 21)}, como ya vimos.

Avron continúa su artículo afirmando -apoyándose en otra cita de 1946 donde se describe el sistema de Das Kontinuum- que Weyl da un sentido “amplio” a la noción de definibilidad de los conjuntos de primer nivel: “Hay que resistir la tentación de ir más allá del primer nivel de construcción; mejor aún, se tiene que intentar hacer que el rango de relaciones construibles sea lo más amplio posible, agrandando el conjunto de operaciones básicas” (^{1946, p. 8}). En la cita sólo se dice que se debe resistir la tentación de pasar del primer nivel, lo cual se lograría ampliando el conjunto de operaciones básicas, pues a partir de ellas se pueden definir más relaciones construibles; esto es, no considerando exclusivamente como básica la relación sucesor.

No entendemos bien qué tiene que ver esto con la identificación que hizo Feferman. Además, Avron habla de “reducirse a esos conjuntos” [stick to those sets] (i.e., los conjuntos aritméticos), y posteriormente escribe que

[e]sta cita²³ también muestra que Weyl ha buscado hacer que la colección de los conjuntos de primer nivel sea lo más amplia posible, más que restringirla. Este hecho contrasta fuertemente con la creencia de que habría decidido restringir sus conjuntos de primer nivel a los aritméticos, si hubiera tenido conocimiento de ellos. (2020, p. 54)

Creemos, no obstante, que a tenor de esta cita no se puede inferir que la identificación no sea correcta. Restringir más o menos los conjuntos de primer nivel no es lo mismo que negar la identificación que Feferman propone. Más aún, si seguimos a Avron en esto, parece que Weyl se apartaría de lo escrito en Das Kontinuum al intentar ampliar el rango de las operaciones básicas; algo que Avron mismo le ha “criticado” a Feferman. Es más, la cita de Weyl se puede interpretar como que precisamente la relación sucesor es demasiado débil para seguir consistentemente con la construcción del análisis propuesta.

Casi al final de la sección que tratamos, Avron escribe que más adelante mostrará que “Weyl no sólo no decidió reducirse a los conjuntos aritméticos [to stick to the arithmetical sets], -sino que explícitamente rehusó reducirse a cualquier colección definida de conjuntos de números naturales” (2020, p. 54; las cursivas son del original). Lo que consiguientemente se muestra en ^{Avron 2020 (p. 59)} es una interpretación de citas de Das Kontinuum que llevan al autor a concluir que éstas refutan de nuevo, de una manera decisiva, dos demandas de Feferman que se han mencionado anteriormente. Primero, que no sólo Weyl nunca dijo que pretendía reducirse a los conjuntos aritméticos -aquí habla explícitamente sobre el derecho de extender sus actuales métodos de definición, y sobre las implicaciones de este derecho-. Segundo, que en contraste con lo que Feferman escribió en [17], dejan muy claro la posición que toma Weyl sobre la cuantificación de relaciones y funciones como parte del lenguaje. Sin embargo, lo que es realmente importante sobre el contenido de estas citas tan importantes (que Feferman parece ignorar por completo) es la luz que arrojan sobre tres importantes asuntos concernientes al sistema de Weyl y su aproximación en [43].^24,25

Bien, creemos que de las citas aportadas no se desprende tal conclusión. Las citas son:

Lo más importante de la primera es que para Weyl la continuidad (en un real) no es una propiedad “delimitada”, sino transfinita (^{Weyl escribe transfinite (1918, p. 65) 28} que, como vimos, su significado es el de abarcar de forma completa las propiedades y relaciones derivadas). Esto es así, pues como indica la definición de función continua en un real, se cuantifica sobre todos los reales del dominio de la función.

La segunda afirma que, si nos reservamos la posibilidad de ampliar los principios de definición, entonces, en general, la pregunta sobre si una función es continua queda abierta, pues una función que -según ha explicado Weyl- es continua puede “perder” esta propiedad si se amplían los principios de definición. Y si a los reales que hasta ahora habían sido definidos, se añaden otros, para cuya definición se han usado los nuevos principios.

Pero esto no implica que Weyl esté afirmando nada de lo que dice Avron, a saber, que de forma explícita rehúsa ceñirse a cualquier colección definida de conjuntos de naturales. Ni se afirma ni se niega nada en este sentido. El hecho de que la pregunta quede abierta es realmente resultado no sólo de lo dicho sobre la posibilidad de añadir otros principios, sino también de algo que Weyl escribe justo antes (y que Avron no cita): que para decidir sobre si una función es continua o no, no sólo necesitamos tener una visión completa [volle Überblickung] de los naturales, sino de los conjuntos cuatridimensionales de naturales (i.e., de los reales) (1918, pp. 65-66). Es decir, que quede abierta la pregunta es consecuencia de considerar (potencialmente) abierto el conjunto de principios de definición y de la decisión de seguir el procedimiento restringido. Pues son independientes; de lo primero no se infiere necesariamente lo segundo.

La tercera y última cita, una nota respecto de la segunda, no se ha escrito completa en ^{Avron 2020}, y, además, los traductores ingleses de Weyl la han traducido incorrectamente. Tal y como está en la traducción no tiene sentido. La cita correcta es:

Sin embargo: para todas las funciones continuas²⁹ que se conocen del análisis, esta pregunta no³⁰ queda abierta, porque para ellas, el juicio existencial negativo que afirma su continuidad, es una consecuencia lógica de los “axiomas”,³¹ en los cuales se transforman los principios de definición, cuando se formulan como juicios existenciales positivos sobre conjuntos. Pero esto es solamente una particularidad especial de estas funciones “incondicionalmente”³² [unbedingt] continuas. (1918, p. 66, nota.)

Sin embargo, obsérvese que en esta cita Weyl afirma que no queda abierta la pregunta.

¿Estamos ante una contradicción del propio Weyl, o ante dos posibles interpretaciones?

Weyl afirma que el conjunto de todos los reales existe [Menge aller reellen Zahlen] en su dominio operacional (1918, p. 51). Y en ^{Weyl 1921} se puede leer:

Hemos logrado aquí crear un sistema de números extensionalmente definido, dentro del cual no sólo las construcciones de la geometría euclídea, sino que las construcciones más generales del análisis, son realizables sin cortapisas. En particular, es válido el principio de convergencia de Cauchy en el “sistema de números weyliano” [Weylschen Zahlsystem(s)] y también el teorema que [afirma que] una función continua toma todos los valores intermedios; naturalmente para las funciones y sucesiones que son ellas mismas construibles [ . . . ] Nunca fui de la opinión de que el continuo dado en la intuición fuera un sistema weyliano, más bien que el análisis sólo necesita un tal sistema y que no tiene que preocuparse por el continuo vertido³³ entre medias [das dazwischen ergossene “Kontinuum”] [ . . . ] ¿Qué sucede con la numerabilidad del continuo? La antinomia de Richard tiene razón en el siguiente sentido: se puede regular el uso de los principios lógicos de construcción, tal que en un proceso ordenado de generación [in einem geordneten Entstehungsprozeß] surjan las propiedades y relaciones de manera precisa en una sucesión, donde se tiene la seguridad de que cada relación de este tipo será generada en una precisa etapa del proceso. Por tanto, también está, en particular, el sistema de los “números reales” (en nuestro sentido) ordenado en una sucesión. (pp. 47-48; las cursivas son del original.)

Luego, después de haber leído esto, nos sobrevienen dos interesantes preguntas:

Teniendo en cuenta la cita de ^{Weyl (1921)}, que acabamos de ver, creemos que estaríamos ante una contradicción si, considerando las siguientes afirmaciones de Weyl: a) que en cada categoría de conjuntos el conjunto universal existe (1918, p. 28), y b) que existe el objeto “conjunto de todos los reales” de la categoría “número real”, se interpretara que la cuantificación sobre reales no está permitida al definir nuevos conjuntos.

No es una contradicción si se atiende a la cita antes mencionada donde se dice que “no queda abierta la pregunta”. En cuyo caso, Avron yerra al afirmar que los reales son un conjunto indefinidamente extensible,³⁴ aunque la propiedad “ser-un-real” sea definida. En ^{Avron 2020 (p. 30)} se mezcla lo que ^{Weyl afirma en 1919 (p. 86)}, refiriéndose a la definición de real de Dedekind, a saber, que el concepto de número real no es extensionalmente definido; y que el conjunto de los reales sea un objeto existente y determinado en su sistema. Es cierto que no podemos afirmar que Feferman conociera tales citas, sin embargo, no creemos que sean relevantes en ningún sentido que pueda contradecir de forma esencial lo escrito en 1998 (pp. 249-283).

Para terminar, creemos que Avron es un poco estricto al juzgar a Feferman cuando analiza su propuesta de formalización del sistema de Das Kontinuum. En ^{Feferman 1998 (p. 272)} se dice refiriéndose a ACA₀: “[F]ormaliza la parte del sistema de Weyl que tiene como objetivo una mera interpretación aritmética.”³⁵ Y continúa Feferman (algo que no cita Avron): “[A]unque el sistema como un todo [ . . . ] es más fuerte que Res −∏∞0-CA.”³⁶ Y luego:

Además, el desarrollo del análisis de Weyl en el capítulo II parece requerir medios que vayan más allá de K^(α) o Res −∏∞0-CA, pues no tenemos funciones sobre conjuntos como objetos del discurso. Sin embargo, la misma parte del análisis como es tratada por Weyl puede desarrollarse en este sistema restringido haciendo algunas sencillas modificaciones. (Las cursivas son del original.)

Lo cual supone que estaba al tanto de ello. Con su artículo, Feferman pretende definir un sistema en el cual la predicatividad de Weyl se pudiera desarrollar, y no afirmar que el sistema en cuestión es el más adecuado para recoger la ideas de Weyl.