2.1. Ideas Estadísticas Fundamentales

Según ^{Bianchini (2022)}, las IEF se encuentran presentes en la mayoría de las situaciones en las que se aplica la estadística, por lo que su comprensión es necesaria para enfrentarse con éxito a dichas situaciones. Además, señala que pueden ser enseñadas con diversos niveles de formalización, siendo accesibles en los diferentes niveles educativos. Existen diversas posturas acerca de las IEF, por ejemplo, las propuestas por ^{Watson et al. (2013)}, ^{Burrill y Biehler (2011)}, y ^{Garfield y Ben-Zvi (2008)}, cuya diferencia radica en el nivel educativo al que se refieren (^{Salcedo, 2019}).

En este estudio, adoptamos la propuesta de ^{Burrill y Biehler (2011)} por considerarla adecuada para la educación secundaria. Estos autores proponen siete IEF (figura 1) a partir de los criterios de ^{Heymann (2003)} para las ideas fundamentales en matemáticas y los criterios de ^{Heitele (1975)} para las ideas estocásticas fundamentales:

IEF-1. Datos: incluye el trabajo con los datos como números en contexto. Se incluye la descripción de estos, las diferentes formas de recopilarlos, organizarlos y, su medición.

IEF-2. Variación: consiste en identificar y medir la variabilidad para predecir, explicar o controlar. Describir el efecto total del cambio.

IEF-3. Distribución: incluye nociones de tendencia y dispersión que son fundamentales para razonar sobre variables estadísticas de distribuciones empíricas, variables aleatorias de distribuciones teóricas y resúmenes en distribuciones de muestreo.

IEF-4. Representación: implica representaciones gráficas o de otro tipo que revelan historias en los datos, incluida la noción de transnumeración.

IEF-5. Relaciones de asociación y modelado entre dos variables: es una idea que implica la naturaleza de las relaciones entre variables estadísticas para datos categóricos y numéricos, incluida la regresión para modelar asociaciones estadísticas.

IEF-6. Modelos de probabilidad para procesos de generación de datos: destaca la modelización de relaciones estructurales de grandes conjuntos de datos, cuantificación de la variabilidad de los datos, incluida la estabilidad a largo plazo.

IEF-7. Muestreo e inferencia: contempla la relación entre las muestras y la población, y la esencia de decidir qué creer a partir de cómo se recopilan los datos para sacar conclusiones con cierto grado de certeza.

2.2. Ambiente de Aprendizaje para el Razonamiento Estadístico (SRLE)

De acuerdo con ^{Ben-Zvi y Garfield (2004, p.1)}, el razonamiento estadístico (RE) es “la forma en que las personas razonan con ideas estadísticas y dan sentido a la información estadística”, lo que implica 1) realizar interpretaciones basadas en datos, representaciones gráficas y resúmenes estadísticos; 2) hacer conexiones entre conceptos estadísticos (por ejemplo, centro y variabilidad); 3) combinar ideas sobre los datos y el azar; y 4) comprender y explicar procesos estadísticos e interpretar resultados.

El RE es considerado como un nivel cognitivo en el aprendizaje de la estadística (^{Ramos, 2019}). Para su desarrollo es indispensable implicarse en el proceso de enseñanza y aprendizaje de esta disciplina, abordando las IEF (^{Estrella, 2017}). Además, debe propiciarse un ambiente de investigación donde el estudiante tenga la oportunidad de pensar y reflexionar sobre su aprendizaje, así como discutir y reflexionar la información estadística con sus coetáneos. En este sentido, pueden ponerse en juego los elementos que propone ^{Ben-Zvi (2011)} en el modelo denominado Ambiente de Aprendizaje de Razonamiento Estadístico (Statistical Reasoning Learning Enviroment [SRLE]), a través de los seis principios pedagógicos que lo componen:

En efecto, los seis principios pedagógicos del SRLE son los elementos clave para el progreso de este ambiente en el que el alumnado haga y pruebe sus conje-turas mediante el uso de los datos, la discusión en el aula y explicar su razona-miento estadístico, centrándose en las ideas estadísticas fundamentales.

2.3. Informe de Educación Estadística para el Profesorado (SET)

El SET (^{Franklin et al., 2015}) conforma la colaboración entre matemáticos, esta-dísticos, educadores matemáticos y educadores estadísticos con el fin de proponer una serie de recomendaciones referentes a la formación de los profesores para la enseñanza efectiva de la estadística en los diferentes niveles escolares. Establece que durante la formación estadística de los futuros profesores se debería modelar una pedagogía efectiva, enfatizando en el desarrollo del razonamiento estadístico y la comprensión de los conceptos clave (^{Franklin et al., 2015}), fundamentalmente centrada en los siguientes objetivos: 1) el desarrollo del conocimiento del contenido y las habilidades de razonamiento estadístico para la implementación de los contenidos establecidos por el currículo de nivel secundaria; 2) el desarrollo de la comprensión de la inserción de los conceptos estadísticos en las diferentes etapas escolares, así como las conexiones con otras áreas temáticas, incluidas las matemáticas; 3) el desarrollo del conocimiento didáctico necesario para la enseñanza de la estadística. Con base en lo expuesto, adoptamos los objetivos que propone el SET ya que considera aspectos clave sobre el conocimiento didáctico y del contenido estadístico para formar a los profesores de nivel secundaria. Además, dichos objetivos aportan los lineamientos necesarios para el desarrollo del razonamiento estadístico.

2.4. Conexión entre el SRLE y SET

Como pudimos observar, ambos modelos favorecen el desarrollo del razona-miento estadístico durante la formación inicial del profesor, por lo que consideramos una conexión entre los principios pedagógicos del SRLE con el conocimiento didáctico de la estadística que se enmarca en los objetivos del SET (figura 1).

Figura 1. Conexiones entre el SRLE y el SET. Fuente: elaboración propia 

3.1. Licenciatura en Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas en Educación Secundaria

En México, el plan de estudios de la Licenciatura en Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas en Educación Secundaria (LEAMES) rige la formación del profesorado de matemáticas, también conocidos como “profesores normalistas” (ver Figura 2). Dicha formación se imparte en las Escuelas Normales (^{Dirección General de Educación Superior para Profesionales de la Educación [DGESPE], 2018}).

Figura 2 Plan de estudios de la LEAMES. Fuente: DGESPE (2018). 

El plan de estudios de la LEAMES contempla tres cursos (de carácter obliga-torio) vinculados con la estadística y la probabilidad: Tratamiento de la Información (TI), Pensamiento Estocástico (PE) y Estadística Inferencial (EI); en segundo, tercero y quinto semestre, respectivamente.

3.2. Análisis de contenido (AC)

El análisis de contenido (AC) es una técnica de investigación que se utiliza en el estudio objetivo y sistemático de diferentes tipos de documentos (^{Bernete, 2013}). Además de ser una técnica descriptiva a interpretativa, considera un procedimiento lógico, conocido como inferencia, lo que permite transitar de una etapa de descripción de las características de un texto hacia la etapa de interpretación, de tal forma que se expliquen los significados de esas características. Las fases de estudio del análisis de contenido según ^{Bernete (2013)}, así como los componentes correspondientes, se detallan a continuación:

Fase 1. Trabajo previo a la obtención de los datos. Con base en el objetivo planteado en este estudio, se eligieron los documentos a analizar (tabla 1), los cuales son los programas de estudio vinculados a la estadística y la probabilidad de la LEAMES, vigentes a la fecha en que se realizó el estudio. Dichos documentos conforman las unidades de muestreo, donde se analizan las competencias (de aprendizaje, profesionales y disciplinares), el propósito, los contenidos, las actividades de aprendizaje, evidencias, criterios de evaluación, bibliografía (básica y complementaria), sitios web y recursos de apoyo, de las unidades de aprendizaje que conforman cada programa.

Fase 2. Extracción de los datos. En esta fase se diseñó un instrumento para la recolección de los datos. Para esto, se elaboró un libro de códigos (tabla 2), donde se encuentran las categorías e indicadores, a partir de los seis principios pedagógicos del modelo SRLE (^{Ben-Zvi, 2011}), las siete IEF de ^{Burrill y Biehler (2011)} y los objetivos planteados en el informe SET para los futuros docentes de educación secundaria (^{Franklin et al., 2015}).

Fase 3. Explotación de los datos. En esta última fase del AC, llevamos a cabo el análisis de las unidades de muestreo, la interpretación y descripción del RE en los programas de estudio de la formación estadística del profesor, con base en los indicadores establecidos el libro de códigos. Lo anterior se puede observar a detalle en la siguiente sección.

4.1. Tratamiento de la información

El curso TI se caracteriza por fomentar la reflexión en el futuro profesor sobre los procesos de enseñanza-aprendizaje de la estadística y proponer el RE como uno de los elementos esenciales para la autoformación futura de todos los individuos, considerando cualidades como el saber reconocer la necesidad de los datos, la transnumeración, la percepción de la variación, el razonamiento con modelos estadísticos y la integración de la estadística en contexto (^{SEP, 2018}). En la figura 3 pueden observarse actividades que se proponen en el programa del curso TI, donde se señala la presencia de algunos de los elementos que conforman el RE.

Figura 3. Actividades propuestas en el programa del curso TI Fuente: construida a partir de información del programa del curso TI (SEP, 2018, p. 23). 

En el programa del curso TI encontramos presentes algunas IEF; por ejemplo, los datos (IEF-1) en las actividades que implican su recopilación (en este caso, intereses de los estudiantes), los cuales se solicita ser sistematizados. Las representaciones también se encuentran presentes (IEF-4) ya que se contempla el uso de gráficos y tablas estadísticas para representar información cuantitativa y cualitativa. La variación (IEF-2) se trabaja de forma que los futuros profesores de matemáticas recurran a las medidas de tendencia central y de dispersión para la explicación de los fenómenos cotidianos y la toma de decisiones. Sin embargo, notamos la ausencia de una de las IEF: Relaciones de asociación y modelado entre dos variables (IEF-5).

En el programa se abarcan diferentes métodos de recopilación y producción de datos (CD-3), así como discriminar entre ellos para ver cuál es más pertinente en la interpretación de datos (CD-4). Además, se promueve el uso de actividades basadas en investigación colaborativa, ya que se propone que los futuros profesores diseñen, apliquen y analicen una encuesta socioeconómica, dirigida para los estudiantes de nivel secundaria (AC-1), en este sentido, se fomenta el uso de datos reales (CD-1). En la tecnología se propone el procesamiento e interpretación de datos mediante SPSS, Excel y MATLAB (HT-1).

A partir de la información y recopilación de los datos, se promueve la elaboración de argumentos por parte del profesor en formación, centrados en ideas estadísticas en contexto (DE-1), así como la explicación de las diferentes percepciones sobre fenómenos (DE-3).

Con respecto a la evaluación, se consideran diferentes instrumentos, tales como: ensayo reflexivo, portafolio físico y digital, diagnóstico socioeconómico, entre otros (E-1). Asimismo, encontramos que los criterios de evaluación están alineados a los objetivos de aprendizaje y contenidos de cada una de las unidades de aprendizaje (E-3).

En cuanto al conocimiento didáctico (SET), se encuentran presentes dos indicadores, por ejemplo, durante el curso se fomenta dicho conocimiento mediante reflexiones sobre el proceso de enseñanza-aprendizaje de la estadística por parte de los docentes en formación (SET-1); además, se familiarizan con las características del estudiantado (SET-2).

En la tabla 3 puede observarse un resumen de la presencia de los diferentes indicadores en el programa de estudio del curso TI.

En general, consideramos que las actividades que se proponen en el programa del curso TI fomentan un RE en los futuros profesores de matemáticas, en el sentido de que resuelven situaciones problema enfocadas en el análisis de la información, la recopilación y presentación de los datos, la discusión a partir de argumentos estadísticos, entre otras habilidades que se favorecen en pro de su RE. Sin embargo, las categorías: herramientas tecnológicas y conocimiento didáctico tienen poca presencia, respecto a los indicadores que se hacen notar, es decir, se le da poca relevancia al uso de tecnología y al conocimiento necesario para la didáctica de la estadística.

4.2. Pensamiento estocástico

El curso PE fundamenta la práctica profesional del futuro profesor a partir de la comprensión de los estocásticos para la resolución de problemas, propiciando un entorno de enseñanza-aprendizaje sobre el pensamiento estocástico (^{SEP, 2019}). En la figura 4 pueden observarse algunas actividades del programa del curso PE, donde se señala la presencia de algunos de los elementos que conforman el RE.

Figura 4. Actividades propuestas en el programa del curso PE .Fuente: construida a partir del programa del curso PE (SEP, 2019, pp. 31-32) 

A lo largo del curso PE notamos la presencia de algunas IEF, tales como los datos (IEF-1), representaciones (IEF-4), y probabilidad (IEF-6). La IEF-6, es la más destacada en este curso, dado que se revisan temas correspondientes a la teoría de la probabilidad como: la probabilidad clásica, eventos mutuamente excluyentes y la regla de la suma, el teorema de Bayes, etc. En adición, se articula la combinatoria, la estadística y la probabilidad con el fin de facilitar el estudio de una situación modelada.

El uso de los datos es limitado, debido a que solo logramos identificar una actividad donde se promueve el uso de los datos reales para realizar y probar conjeturas, de forma que, a partir de juegos de azar y situaciones aleatorias es que se obtienen datos (CD-1).

Las actividades de clase propuestas consisten en el planteamiento de problemas y realizar experimentos aleatorios que implican la probabilidad frecuencial, teórica y condicional, de manera que se promueven situaciones que propician la investigación, colaboración, interacción y discusión de los datos (AC-2). A partir de estas actividades puede ser trabajado el discurso estadístico, de forma que se promuevan argumentos estadísticos para la explicación de las percepciones sobre los fenómenos que se investigan (DE-3).

Una de las categorías destacadas es la incorporación de la tecnología para la formulación de conjeturas, exploración y análisis de los datos (HT-1), como lo son las hojas electrónicas de cálculo, juegos de azar virtuales, softwares dinámicos, videos educativos, sitios web y aplicaciones didácticas, así como el uso de calculadoras graficadoras. De esta forma, los diferentes recursos pueden ser contemplados para la visualización de conceptos y a la comprensión de ideas abstractas (HT-3) como para la generación de gráficos (HT-2). Además, se promueve el discurso estadístico a partir de la integración de herramientas tecno-lógicas (DE-2).

Los criterios de evaluación están alineados a los objetivos de aprendizaje y a los contenidos del curso PE (E-3). De la misma forma, la evaluación es alternativa, ya que se consideran diferentes evidencias como el portafolio (digital y electrónico), la recopilación de juegos de azar y problemas relacionados con la estocástica (E-1).

También, se favorece el conocimiento didáctico para la enseñanza de la estadística en el futuro profesor (SET-1) a partir de la elaboración de ensayos sobre los procesos de enseñanza-aprendizaje de la probabilidad, la combinatoria y el razonamiento inductivo. Así como la integración de la tecnología, como el software GeoGebra, para desarrollar conceptos estadísticos (SET-5).

En la tabla 4 se puede observar un resumen de la presencia de los diferentes indicadores en el programa de estudio del curso PE.

De manera general, podemos establecer que el programa curso PE fomenta el RE de los futuros profesores, de manera que identificamos la mayoría de las IEF, como actividades de clase que pueden ser aprovechadas para el trabajo con datos reales que propicien el discurso estadístico, la colaboración e interacción entre coetáneos. También, se contemplan recursos tecnológicos, con el fin de reflexionar sobre la enseñanza-aprendizaje de los estocásticos. No obstante, se observa poca presencia de indicadores relacionados con la categoría conjunto de datos, lo cual podría deberse a que el curso se enfoca primordialmente en el estudio de fundamentos teóricos de la probabilidad (donde el enfoque clásico predomina más que el frecuencial), y con la categoría conocimiento didáctico, al centrase más en lo disciplinar.

4.3. Estadística inferencial

El curso EI busca que el futuro profesor establezca hipótesis estadísticas acerca de los comportamientos de poblaciones y muestras en contextos, tanto sociales como escolares, así como utilizar la inferencia estadística como una metodología de iniciación a la investigación en la práctica docente. En la figura 5 se expone una actividad de aprendizaje del programa del curso EI, donde es posible observar la presencia de algunos elementos vinculados al RE.

Figura 5 Actividades propuestas en el programa del curso EI Fuente: construida a partir del programa del curso EI (SEP, 2020a, p. 40) 

Al analizar el programa de estudio del curso EI, identificamos la presencia de todas las IEF, como las relaciones de asociación y modelado entre variables (IEF-5), cuya idea no se había presentado en los programas de los cursos previos (TI y PE), de tal forma que se trabaja la regresión lineal y correlación. Otra de las ideas a destacar es la de muestreo e inferencia (IEF-7), ya que en el curso EI se abordan contenidos estadísticos como muestras representativas y tipos de muestreo.

El trabajo con datos se promueve desde el uso de datos reales para hacer y probar conjeturas e inferencias estadísticas (CD-1); por ejemplo, los futuros profesores realizan un análisis estadístico a partir de los resultados de evaluación de los aprendizajes logrados por los estudiantes de nivel secundaria. En este sentido, las actividades de clase propuestas promueven la investigación colaborativa (AC-1), así como la formulación de conjeturas sobre un problema o un conjunto de datos (AC-3), debido a que se propone realizar estudios experimentales para el análisis del efecto de una variable independente.

Además, en el programa se señala el uso de herramientas tecnológicas como GeoGebra, con la finalidad de visualizar conceptos y comprender ideas abstractas a través de simulaciones (HT-3). En suma, se propone el uso de la tecnología por el futuro profesor para desarrollar conceptos estadísticos en sus estudiantes de nivel secundaria (SET-5).

A partir de las diferentes actividades propuestas en el programa de estudio, se puede abrir paso a una discusión entre los futuros profesores donde se promuevan argumentos estadísticos para explicar fenómenos (DE-3); por ejemplo, una de las actividades consiste en analizar los promedios obtenidos por dos grupos de estudiantes, donde se examina si la diferencia entre sus medias aritméticas es estadísticamente significativa.

Los criterios de evaluación establecidos en cada una de las unidades de aprendizaje están alineados a los objetivos de aprendizaje y los contenidos temáticos del curso EI (E-3). Además de que se promueve la retroalimentación de manera que sea útil y oportuna con la finalidad de conducir el aprendizaje del futuro profesor de matemáticas (E-4).

En el programa de estudio de EI se establecen estrategias para evaluar el conocimiento estadístico (SET-4), ya que, a través del diseño de secuencias didácticas para la enseñanza de la estadística, se propone evaluar el conocimiento estadístico del estudiante de secundaria, así como el análisis de sus resultados de evaluación para conocer sus características de aprendizaje (SET-2).

En la tabla 5 presentamos de manera general la presencia de los indicadores identificados en el programa del curso EI.

A la luz de los resultados, consideramos que el curso EI aporta al RE del futuro profesor de matemáticas, otorgándole las herramientas esenciales que provee la esta-dística inferencial para la prueba de hipótesis y el análisis estadístico en situaciones reales. Además, se favorece el conocimiento didáctico del docente en formación, de forma que a partir de su RE reflexione acerca de su práctica en el aula, así como la mejora de esta. En general, a diferencia de los programas de estudio de TI y PE, el curso EI presenta menor ausencia de indicadores en cada una de las categorías.