Regresión lineal y polinómica

La regresión es una técnica estadística que intenta estimar la fuerza y la naturaleza de la relación entre una variable dependiente y una serie de variables independientes. Los análisis de regresión pueden ser lineales y no lineales. Una regresión se llama lineal cuando es lineal en los parámetros: y = 0 + 1x1 +  + nx1 + , para i = 1,2, … , n, para y es la variable de respuesta, x denota la variable independiente, 0 es el intercepto y otras ( _s se conocen como pendiente (^{Sharma, 2020}).

En el caso de ajustar mejor una curva a los datos, una alternativa es ajustar un polinomio a los datos usando la regresión polinomial, en la que la relación entre la variable independiente y las variables dependientes se modela como un polinomio de orden n. Se ajusta a una relación no lineal entre las variables observadas; pero, como problema de estimación estadística, es lineal porque la función de regresión es lineal en los parámetros de regresión desconocidos. El objetivo del análisis de regresión es modelar el valor esperado de una variable dependiente y en términos del valor de una variable independiente (o vector de variables independientes) x. En general, el valor esperado de y como un polinomio de orden n, que produce el modelo de regresión polinomial general, se puede expresar de la siguiente manera: : y = 0 + 1x1 + 2x    12 +  + nx    1n + ,   (0, 2) , para i = 1,2, …, n (^{Montgomery, 2012}).

Medición de la precisión del modelo

Es importante disponer de una medición de la precisión del pronóstico o proyección que se obtiene de los modelos, esta medición juega un papel importante dado que nos permite observar el error del pronóstico debido a la variabilidad e incertidumbre, el error de la proyección o precisión se obtiene de la diferencia entre el valor real y el valor pronosticado para un periodo especifico.

El error cuadrático medio MSE es un estimador imparcial de la varianza σ ² del término de error aleatorio y se define en la ecuación:

Donde y _i son los valores observados y^i son los valores ajustados de la variable dependiente Y para el i-ésimo caso. Dado que el error cuadrático medio es el promedio del error cuadrático, donde el promedio se obtiene dividiendo por los grados de libertad, el MSE es una medida de qué tan bien se ajusta la regresión a los datos. La raíz cuadrada de MSE es un estimador de la desviación estándar σ del término de error aleatorio. El error cuadrático medio RMSE =MSE no es un estimador imparcial de σ, pero sigue siendo un buen estimador. MSE y RMSE son medidas del tamaño de los errores en la regresión y nos dan una indicación sobre el componente explicado del ajuste de regresión (^{Aczel, 2006}).

El error porcentual absoluto medio MAPE es la medida más útil para comparar la precisión de los pronósticos entre diferentes artículos o productos, ya que mide el rendimiento relativo (^{Makridakis, 1997}). Es una medida de precisión comúnmente utilizada en los métodos cuantitativos de pronóstico. Esta medida se define en la ecuación:

Si el valor calculado por MAPE es inferior a diez por ciento, se interpreta como un pronóstico excelente y preciso, entre diez y 20 por ciento es un pronóstico bueno, entre 20 y 50 por ciento es un pronóstico aceptable y más de 50 por ciento es un pronóstico inexacto (^{Lewis, 1982}).

El R-cuadrado R ² (coeficiente de determinación) de la regresión múltiple es similar a la regresión simple donde el coeficiente de determinación R ² se define como:

Si el valor calculado por MAPE es inferior a diez por ciento, se interpreta como un pronóstico excelente y preciso, entre diez y 20 por ciento es un pronóstico bueno, entre 20 y 50 por ciento es un pronóstico aceptable y más de 50 por ciento es un pronóstico inexacto (^{Lewis, 1982}).

El R-cuadrado R ² (coeficiente de determinación) de la regresión múltiple es similar a la regresión simple donde el coeficiente de determinación R ² se define como:

Donde SST es la suma total de cuadrados y y- es la media aritmética de la variable Y. R ² mide el porcentaje de variación en la variable de respuesta Y explicada por la variable explicativa X. Por lo tanto, es una medida importante de qué tan bien se ajusta el modelo de regresión a los datos. El valor de R ² siempre está entre cero y uno, 0 ≤ R ² ≤ 1. Un valor de R ² de 0.9 o superior es muy bueno, un valor superior a 0.8 es bueno y un valor de 0.6 o superior puede ser satisfactorio en algunas aplicaciones, aunque debemos ser conscientes de que, en tales casos, pueden producirse errores en la predicción. Cuando el valor de R ² es 0.5 o inferior, la regresión explica solo 50 por ciento o menos de la variación de los datos; por lo tanto, la predicción puede ser pobre (^{Ostertagová, 2011}).

Área de estudio

El área de estudio es el estado de Nuevo León, México, ubicado en el noreste del país, limitando al norte con el río Bravo que lo separa de Estados Unidos, al este con Tamaulipas, al sur con San Luis Potosí y al oeste con Coahuila y Zacatecas. Se divide en 51 municipios: Apodaca, Cadereyta Jiménez, García, General Escobedo, Guadalupe, Salinas Victoria, El Carmen, Juárez, San Nicolás de los Garza, San Pedro Garza García, Santa Catarina, Santiago y considerando Pesquería por su crecimiento, junto con Monterrey, forman la Zona Metropolitana de Monterrey, la cual juega un papel de gran importancia en la economía del estado y del país. El resto de los municipios son Abasolo, Agualeguas, Los Aldamas, Allende, Anáhuac, Aramberri, Bustamante, Cerralvo, Ciénega de Flores, China, Doctor Arroyo, Doctor Coss, Doctor González, Galeana, General Bravo, General Terán, General Treviño, General Zaragoza, General Zuazua, Los Herreras, Higueras, Hualahuises, Iturbide, Lampazos de Naranjo, Linares, Marín, Melchor Ocampo, Mier y Noriega, Mina, Montemorelos, Parás, Los Ramones, Rayones, Sabinas Hidalgo, Hidalgo, Vallecillo y Villaldama (^{INEGI, 2020}).

La distribución territorial del estado está conformada por 64,156.2 km², que representa 3.3 por ciento del territorio nacional, la densidad de población es de 90.2 habitantes por km², cuenta con 1,655,256 viviendas particulares habitadas, lo que representa 4.7 por ciento del total nacional; en promedio, cada vivienda cuenta con 3.5 ocupantes, 99 por ciento de las viviendas cuentan con disponibilidad de servicios básicos como energía eléctrica, drenaje, sanitario y agua entubada (^{INEGI, 2020}).

Según el reporte del Censo de Población y Vivienda 2020 de INEGI, en el año 2020 el estado de Nuevo León, México, ocupó el séptimo lugar a nivel nacional por su número de habitantes. Entre los años 2000 y 2020 la población fue en aumento y, en veinte años, ascendió en 50.8 por ciento, mientras que en el lustro de 2015 a 2020 el incremento fue de 13.1 por ciento. La población de Nuevo León para el año 2020 asciende a 5,784,442 habitantes, el crecimiento anual se estima en 133 mil habitantes, dado lo anterior se considera un crecimiento exponencial de habitantes en el estado de Nuevo León y este impacto generó un aumento significativo en la demanda de viviendas, servicios públicos, vialidades, transporte, entre otros (^{INEGI, 2020}).

Fuente: ^{INEGI 2020}

Figura 1 Ubicación del área de estudio: (a) mapa de la división administrativa del estado de Nuevo León, (b) Área Metropolitana de Monterrey y (c) claves y nombres de los 51 municipios del área de estudio 

Datos

La disponibilidad de datos precisos, fiables y de calidad son importantes para el éxito de una investigación. En México, el INEGI pone a disposición pública un volumen considerable de información histórica y actual con suficiente nivel de detalle para que la sociedad realice análisis y estudios, en este caso para el análisis de la urbanización de los estudios espaciales urbanos y la planeación urbana futura. Los datos que se requieren y se recopilan incluyen datos históricos sobre el comportamiento en el crecimiento de la vivienda desde el año 1970 a 2020 en el estado; en la Tabla 1 se desglosa la información para los municipios que conforman el Área Metropolitana de Monterrey.

Dado que este estudio se enfoca en simular la expansión urbana sobre el crecimiento de la vivienda, los datos solo se limitan a este uso. Para desarrollar los modelos de estimación utilizando el análisis de regresión se usaron variables seleccionadas y recopiladas como fuerzas impulsoras del crecimiento de la vivienda, las cuales son: total de las personas que residen, total de viviendas con servicios públicos, personas que residen en viviendas, densidad de población y el área geográfica, desglosadas y estructuradas por cada uno de los 51 municipios.

Modelación de datos

En esta etapa primeramente se importa al programa Python la base de datos estructurada que contiene la información histórica, el siguiente paso es la obtención de gráficas por cada municipio para visualizar los patrones y comportamiento de manera individual con base a la serie temporal sobre la cantidad de viviendas “variable dependiente”, el resultado gráfico de cada municipio se muestra en la Figura 2.

Fuente: elaboración propia.

Figura 2 Gráficas de crecimiento de viviendas por municipio en Nuevo León, 1970 al 2020 

Una vez que se obtuvo la gráfica de todos los municipios de la entidad, se determina el comportamiento del incremento de la vivienda para cada municipio del estado de Nuevo León. Como se puede observar, hay gráficas que muestran la pendiente más lineal y otras con una proyección más curva, esta es la base principal para determinar qué método se utilizará para la estimación en la proyección del crecimiento para cada municipio, asignando el modelo de regresión polinómica a los municipios con la línea de tendencia curva y el modelo de regresión lineal a los municipios donde la línea de tendencia se proyecta más recta.

Con el modelo de regresión configurado y adecuado para cada municipio se calcula su proyección y se evalúa la precisión del modelo estimando el valor de R ², el MAPE y el RMSE para cada municipio. En la Figura 3 se muestran los resultados de la ejecución del modelo de regresión, seleccionado solo como ejemplo de la aplicación del modelo para los municipios de Abasolo y Apodaca, en el caso del municipio de Abasolo la línea de tendencia tiene una proyección más recta, por lo que se considera el modelo de regresión lineal para la estimación futura del crecimiento de la vivienda, el valor de R ² arroja un valor de 0.9739, lo que logra demostrar que el modelo de regresión permite explicar con seguridad la asociación de las variables independientes sobre la cantidad de viviendas que se pronostican para el municipio de Abasolo, un valor del MAPE de 24.5 por ciento y un valor de RMSE de 84.17.

Fuente: elaboración propia.

Figura 3 Estimación del crecimiento de la vivienda en los municipios de Abasolo y Apodaca para los años 2020, 2025, 2030, 2035 y 2040 

En el caso del municipio de Apodaca la gráfica toma una proyección de la línea más curva, por lo que se considera el modelo de regresión polinomial y arroja un valor de R ² de 0.9962, al igual que el caso del municipio de Abasolo, el valor de R ² para el municipio de Apodaca se considera bueno, lo que permite asumir que las variables independientes proporcionan la suficiente variación para explicar la cantidad de viviendas, se presenta un valor del MAPE de 14.11 por ciento y un valor de RMSE de 9,246.44.

En el caso del municipio de Apodaca se presenta un porcentaje de error más bajo que en el caso de Abasolo, pero sobre el error del RMSE se puede mostrar un valor mucho más alto en el número de viviendas, esto debido a que Apodaca es uno de los municipios pertenecientes al Área Metropolitana de Monterrey, por lo tanto la cantidad de viviendas es mucho mayor y su proyección es más compleja de estimar por la proporción de su crecimiento a través de los últimos años y la disponibilidad de reservas de terreno.

Los modelos también nos permiten identificar y estimar la orientación de la mancha urbana en el estado de Nuevo León a partir de los resultados obtenidos, por una parte es relevante conocer que entre 85.5 y 86.2 por ciento del crecimiento de la vivienda se dará dentro del Área Metropolitana de Monterrey en los próximos 20 años, pero se destaca que municipios como García y Juárez concentrarán la mayor cantidad de viviendas, lo que superará a municipios como Monterrey, Apodaca, Guadalupe y Escobedo. En la Figura 4 se puede observar la proyección del número de viviendas para los municipios del área Metropolitana.

Fuente: elaboración propia.

Figura 4 Gráfica de proyección de la vivienda en los municipios del Área Metropolitana de Monterrey 

Mediante los modelos de pronósticos indicados para cada uno de los 51 municipios según su regresión, se estableció un periodo de transición desde el año 1970 a 2010 como referencia para estimar el crecimiento de la vivienda para cada municipio y en general del estado de Nuevo León para el año 2020, con el resultado se pudo hacer una comparación con los datos reales reportados para el año 2020 sobre el número de viviendas por el INEGI, el comparativo nos permite definir la precisión de los modelos.

El modelo se valida con el año 2020 para comparar el número de viviendas proyectadas y las reales reportadas en la base de datos del INEGI, la proporción de coincidencia del modelo es de 90.6 por ciento sobre el total de viviendas en el estado y de 96.7 por ciento sobre la Zona Metropolitana de Monterrey.

Mediante los modelos de pronósticos indicados para cada uno de los 51 municipios según su regresión, se estableció un periodo de transición desde el año 1970 a 2010 como referencia para estimar el crecimiento de la vivienda para cada municipio y en general del estado de Nuevo León para el año 2020, con el resultado se pudo hacer una comparación con los datos reales reportados para el año 2020 sobre el número de viviendas por el INEGI, el comparativo nos permite definir la precisión de los modelos.

El modelo se valida con el año 2020 para comparar el número de viviendas proyectadas y las reales reportadas en la base de datos del INEGI, la proporción de coincidencia del modelo es de 90.6 por ciento sobre el total de viviendas en el estado y de 96.7 por ciento sobre la Zona Metropolitana de Monterrey.

En la Tabla 2 se muestra a detalle los valores reales reportados por INEGI para el año 2020 y el resultado estimado sobre el número de viviendas que arrojan los modelos para cada municipio, así como los valores de su precisión. Es importante mencionar que el modelo se calibró para más de un municipio para mejorar la precisión de los resultados de la modelación. Para cada calibración se considera evaluar el resultado de la regresión lineal y polinómica, pero siempre considerando las mismas variables o factores que se encuentran en la base de datos del INEGI y que afectan el crecimiento de la vivienda. La calibración es sencilla en el programa Python, una vez que se identifica el comportamiento específico de cada municipio se realiza el ajuste del tipo de modelo que requiere, se corre de nueva cuenta el modelo y se revisa con detenimiento el valor del coeficiente de determinación y los valores del error, siempre se debe considerar el modelo que arroja el menor error y, en su caso, el mayor valor para R ².

Los municipios que forman parte del área Metropolitana, que representan 27 por ciento del total del estado, presentan un coeficiente de determinación mayor a 0.92 y un MAPE por debajo de 8.1 por ciento, a excepción del municipio de San Nicolás de los Garza que presenta un R ² del 0.914 y un MAPE de 14.22 por ciento, ambos indicadores muestran una precisión buena sobre la proyección de la vivienda para los municipios con mayor demanda, para el resto de los municipios 33 por ciento presenta un R ² entre 0.91 a 0.99 con un MAPE máximo de 3.66 por ciento, 27 por ciento presenta un R ² entre 0.80 a 0.89 con un MAPE máximo de 12.61 y 12 por ciento restante presenta un R ² entre 0.61 a 0.79 con un MAPE máximo de 6.9 por ciento. Solo en seis municipios el modelo no logró ajustar por encima de 0.8 su coeficiente de determinación, por otra parte al evaluar la cantidad de viviendas que representa esos municipios en el estado en el año 2020 el porcentaje es de tan solo 0.5.

Los resultados obtenidos a través de los modelos de regresión se compararon con las proyecciones municipales realizadas por el CONAPO en su reporte Reconstrucción y proyecciones de la población de los municipios de México, 2024, en estas mismas se obtuvo una población estimada de 7,769,371 habitantes en el estado de Nuevo León desglosado por municipio, el resultado del modelo propuesto, aunque su enfoque principal es el de calcular la cantidad de viviendas por cada municipio, puede ajustar su variable de respuesta, pero para esta comparativa se multiplicó el número de viviendas obtenidas por el modelo por municipio por la cantidad de habitantes promedio para el año 2040 (3.1 habitantes según INEGI), dando un resultado de 7,812,106 habitantes, en la Figura 5 se puede observar los resultados por municipio de ambas proyecciones (^{CONAPO, 2024}).

Fuente: elaboración propia.

Figura 5 Comparativa proyección de población municipal 2040 CONAPO y resultados de la modelación propuesta al año 2040 

En su reporte, Conciliación Demográfica de México 1950-2019 y Proyecciones de la Población de México y de las entidades federativas 2020-2070, ^{CONAPO (2023)} indica que en el año 2053 se iniciará el descenso de la población en el país, esta información es de relevancia para determinar y ajustar con base a los reportes generados por INEGI y CONAPO, lo que permitiría parametrizar el modelo y recalcular las necesidades habitacionales en el estado de Nuevo León. De momento, según el reporte de ^{CONAPO (2023)}, se menciona que Nuevo León incrementará su población al menos hasta el año 2070, tal y como se muestra en la Figura 6, la proporción de la población en Nuevo León crecerá de 4.8 a 6.4 puntos porcentuales del año 2024 a 2070.

Fuente: ^{CONAPO 2023}

Figura 6 Proporción de población respecto al total del país (2024 al 2070) 

La Figura 7 permite visualizar los resultados de la modelación inicial del año 2020 con base en los datos desde 1970 sobre la cobertura de la vivienda en Nuevo León, este paso se considera importante para la verificación del proceso de modelación.

Fuente: elaboración propia.

Figura 7 Uso real del suelo para vivienda y crecimiento pronosticado por la regresión lineal y polinómica para 2020 en el estado de Nuevo León, México 

Es aceptable la precisión de los resultados en el modelo de predicción, dado que el modelo incluye solo factores limitados presentes en el reporte del INEGI y que contribuyeron al desarrollo y crecimiento de la vivienda real en el estado.

Otros factores como las instalaciones comerciales, industriales, servicios de salud, vialidad y transporte, educativas, recreación y restricciones de zonificación, podrían tener un impacto en el crecimiento de la vivienda, pero no se incluyeron en el modelo de predicción debido a la falta de disponibilidad de datos. Con base en estos hallazgos, y considerando nuestras variables y parámetros, se completó el proceso de predicción para los años 2025, 2030, 2035 y 2040 (Figura 8).

Fuente: elaboración propia.

Figura 8 Predicción del crecimiento de vivienda pronosticado por la regresión lineal y polinómica para los años 2030 y 2040 en el estado de Nuevo León, México 

Los resultados muestran un incremento exponencial en los municipios de García, Juárez, Apodaca, Pesquería, Escobedo, El Carmen, Zuazua, Salinas Victoria y Guadalupe, teniendo un crecimiento que va desde 303 por ciento, en el caso del municipio de García, a 45.9 por ciento para el municipio de Guadalupe. Para efectos de este estudio se desea señalar los municipios con mayor interés para el desarrollo de nuevas viviendas.

En la Tabla 3 se muestra en la columna de “Interés” la clasificación de Alto, Medio o Bajo, considerando la cantidad de viviendas pronosticadas en un plazo de 20 años. Para el caso de las zonas marcadas como interés Alto se ubican los municipios donde la cantidad supera las 15 mil viviendas en el plazo mencionado, para la clasificación Medio se consideran los municipios que caen en un rango por encima de las ocho mil viviendas y menor a las 15 mil, y en el caso del grupo de municipios o zonas de interés Bajo tienen una estimación de crecimiento por debajo de las ocho mil viviendas durante los próximos 20 años.

El resultado anterior permite considerar las zonas con mayor potencial para el desarrollo de casas habitación, la intención es que este análisis permita identificar la orientación y facilitar la búsqueda de lotes residenciales para adquirirse con suficiente anticipación, este horizonte permitiría ubicar zonas con mayor posibilidad de venta y mercado para la población del estado.