Tasa de excedencia de respuesta estructural (Etapa 1)

La tasa de excedencia de la respuesta estructural indica el número medio de eventos por unidad de tiempo en los que la respuesta alcanza o supera cierto umbral. Se puede calcular combinando las funciones de fragilidad de la estructura con la tasa de excedencia de intensidades sísmicas del sitio en cuestión (^{Esteva, 1968}), mediante la ecuación 1.

donde: PD<d|Y=y es la probabilidad de que la respuesta D sea mayor a un umbral d, dada una intensidad sísmica y ; ν'y es el valor absoluto de la derivada de la tasa de excedencia de intensidades sísmicas; y0 es la intensidad mínima considerada, y y1 es la intensidad máxima considerada. La estimación de PD<d|Y=y , se realiza suponiendo que la respuesta estructural dada una intensidad sigue una distribución de probabilidad tipo log-normal, y que su distribución de probabilidad acumulada está dada por la ecuación 2.

donde μln es la media del logaritmo natural de la respuesta estructural dada una intensidad y ; σln es la media del logaritmo natural de la respuesta estructural dada una intensidad y ; y Φ es la función de probabilidad acumulada normal estándar. Los parámetros μln y σln se obtienen de Análisis Dinámicos Incrementales (ADI) (^{Vamvatsikos y Cornell, 2011}). Como medida de intensidad sísmica y aquí se utiliza la aceleración espectral asociada al periodo fundamental de vibración de la estructura; sin embargo, es posible utilizar otras medidas de intensidad más elaboradas (^{Baker y Cornell, 2005}; ^{Bojórquez et al., 2012}). En cuanto a la respuesta estructural d , aquí se evalúa tanto la aceleración máxima de entrepiso ya , debido a que la mayoría de los contenidos son sensibles a esta medida; como la distorsión máxima de entrepiso ( dδ ), debido a que es un claro indicador del daño en elementos estructurales.

Análisis de costos durante la vida útil (Etapa 2)

La segunda fase de la metodología consiste en asociar las respuestas estructurales que la edificación puede experimentar durante su vida útil con los costos de reparación, las afectaciones a personas lesionadas y los daños en contenidos. En primer lugar, a partir del método de simulación de Monte Carlo (^{Rubinstein y Kroese, 1981}), se construye una serie de respuestas estructurales a lo largo del ciclo de vida de la estructura. Los pasos para llevar a cabo la simulación de las respuestas estructurales se describen a continuación:

donde ν₀ es la tasa asociada a una respuesta mínima.

donde u es un valor simulado entre 0 y 1, con una distribución uniforme.

donde dδ es la distorsión simulada; dy es la distorsión asociada a la fluencia de la estructura y du es la distorsión asociada a la falla de la estructura.

El costo total, CTδOI , durante el ciclo de vida de la estructura aquí se calcula considerando el costo inicial C0δOI , costo por reparación o reconstrucción CRRδOI , costo por personas lesionadas CPLδOI, y costo por daño en contenidos CCδOI ; sin embargo, dado que la presente investigación se centra específicamente en las pérdidas asociadas al daño en contenidos sensibles a la aceleración, no se considera el costo de los elementos estructurales dentro del análisis de pérdidas.

Si bien el nivel de desempeño de OI proporciona una resistencia considerable, lo que sugiere costos reducidos tanto en elementos estructurales como en lesiones personales, estos componentes se mantienen en el análisis con el fin de considerar todos los escenarios posibles de pérdida. Estos términos, definidos como funciones de δOI ​, se integran en la ecuación 6 para proporcionar una representación cuantitativa del CTδOI, como sigue:

A partir de la historia de aceleraciones e índice de daño se calculan los costos asociados a la reparación estructural, personas lesionadas, personas fallecidas y el daño en contenidos. Estas funciones de costos se detallas en la siguiente sección. El costo correspondiente a cada respuesta simulada debe trasladarse a valor presente utilizando la ecuación 7. El proceso de simulación de historias de respuestas estructurales se repite un número significativo de veces, k , y el valor esperado del costo total, ECTδOI , se calcula como el valor esperado de los costos totales obtenidos en cada simulación para la distorsión de diseño seleccionada CTδOIi (ecuación 8). La distorsión máxima permisible de entrepiso óptima corresponde a aquella en el que el valor de ECTδOI es mínimo.

donde VP es el valor presente; VF es el valor futuro; n es el tiempo a futuro y γ es la tasa de descuento; en este estudio se supone igual a 5 %.

Costo inicial C ₀ (δ _OI )

Debido a los diferentes niveles de rigidez demandadas por cada uno de los valores supuestos de δOI, las estructuras diseñadas presentan diferentes secciones estructurales, por lo que el costo inicial C0δOI se estima como 1.93 veces el costo directo de los materiales (ver ecuación 9), CM , empleados en los elementos estructurales (^{Bojórquez et al., 2017}). Este factor incluye no solo el costo indirecto asociado a los materiales, sino también los costos de mano de obra y los honorarios del constructor. Esta aproximación permite obtener una valoración económica razonable del costo total de construcción en etapas tempranas del diseño, facilitando comparaciones entre distintas alternativas estructurales, sin necesidad de un presupuesto detallado.

Costo reparación/reconstrucción C _RR (δ _OI )

Cuando una estructura experimenta un índice de daño mayor a 0.7, es muy difícil poder rehabilitarla (^{Tolentino y Ruiz, 2015}), como consecuencia el costo por reparación es el costo inicial más los costos por demolición y limpieza. Por ello se emplean las ecuaciones 10 y 11 para el cálculo del costo de reparación o reconstrucción como función del índice de daño, Id (^{De León, 1996}).

Costo por personas lesionadas C _PL (δ _OI )

El costo máximo por personas lesionadas se calcula siguiendo el enfoque propuesto por (^{De León, 1996}), donde se estima el número medio de personas lesionadas por unidad de área resultado del sismo del 19 de septiembre de 1985, y se propone una variación cuadrática del costo en función del índice de daño.

donde AT es el área colapsada; CLI es el costo por lesiones con incapacidad igual a $3,900,000.0 ($190,562.85 USD) y CLS es el costo por lesiones sin incapacidad igual a $23,000.0 ($1,123.83 USD).

Costo por daño en contenidos C _C (δ _OI )

El costo por daño en contenidos depende principalmente del uso de la estructura. A continuación, se presenta una metodología para construir una función de costos total, que en parte se basa en las referencias (^{Reinoso, Jaimes, y Esteva, 2010}) (^{Jaimes, Reinoso, y Esteva, 2013}) (^{Jaimes y Reinoso, 2013}).

Estimación de pérdidas por daño en inventarios escolares

El término “inventario” utilizado en esta sección se refiere al conjunto de componentes utilizados para cumplir las funciones de un uso específico. La manera en que un componente puede dañarse es que éste se voltee o se deslice lo suficiente para golpearse o caerse. El volteo o deslizamiento de un objeto no implica necesariamente su reemplazo, por lo que la pérdida asociada por daño dado una intensidad depende de la fragilidad del componente que se esté estudiando. Con base en esta consideración, se puede calcular el costo por daño en un elemento i del inventario, CRi , mediante la ecuación 14.

CRi=C0i∙Di∙Xi (14)

donde C0i es el costo de reemplazo del componente, Di es la fragilidad del componente, Xi es una variable aleatoria que toma el valor de 1 cuando el contenido se voltea o desliza lo suficiente para dañarse, y 0 cuando no ocurre lo anterior, y es función de la aceleración de piso ya .

Por lo tanto, el valor esperado de CRi , dada una intensidad ya , se calcula mediante la ecuación 15.

ECRi|ya=C0i∙Di∙EXi|ya (15)

El valor esperado del costo por daño del inventario se obtiene al sumar todos los componentes del inventario (ecuación 16):

ECRR|ya=∑i=1NC0i∙Di∙EXi|ya (16)

donde ECRR|ya es el valor esperado del costo por daño en contenidos, y N es el número de componentes del inventario.

Para estimar la probabilidad de volteo o deslizamiento Xi  de un componente ante un nivel de aceleración de piso ya , se sigue una metodología que inicia con la construcción de un modelo numérico en el programa OpenSees (^{McKenna, Fenves, y Scott, 2000}). El modelo considera la geometría, masa y coeficiente de fricción del componente, empleando elementos rígidos “corotTruss” para el contenido, apoyos modelados como resortes compresivos con material “Elastic ETN” y fricción representada mediante un material elastoplástico que fluye al alcanzar la fuerza máxima W∙μ (ver figura 2a). Este modelo se somete a una aceleración incremental para determinar su respuesta máxima, obteniendo así la curva fuerza-desplazamiento del contenido. La representación de cada objeto podría realizarse mediante modelos más simplificados (por ejemplo, mediante formas prismáticas); sin embargo, para mayor claridad, en el presente estudio se decidió representarlo de forma detallada, como se muestra, por ejemplo, en la figura 2a. Posteriormente, se desarrolla un modelo simplificado de un grado de libertad (ver figura 3), sobre el cual se realizan ADI para identificar la aceleración que provoca el volteo o deslizamiento. Finalmente, con los resultados obtenidos, se construye la función de probabilidad Xi para distintos niveles de ya . Se observa que la forma de la relación fuerza-desplazamiento de la figura 2b es similar a las que se presentan en (^{Liu, Huang, y Qu, 2022}) (^{Liu, Huang, y Liu, 2023}) (^{Lu, Zhan, Qiu, y Wu, 2023}).

Figura 2 a) Modelado de contenido, representado en OpenSees, b) Curva esfuerzo-desplazamiento de un contenido 

Figura 3 Sistema equivalente del contenido. 

La metodología anterior estima el costo por daño en contenidos de un inventario específico, considerando la aceleración del piso donde se ubica. Se debe considerar que un edificio presenta aceleraciones diferentes en cada nivel, debido a su respuesta dinámica y, además, los pisos pueden tener usos e inventarios distintos.

Para estimar la pérdida económica total, es necesario calcular la distribución de la Aceleración Máxima de Piso (AMP) en función de la altura del edificio. Los códigos de diseño sísmico, como la NTC-DS-2023, proporcionan ecuaciones para estimar la AMP a partir de la Aceleración Máxima del Terreno (AMT), con enfoques simplificados (ecuación 17) o más elaborados (ecuación 18).

an=an1Q'2+∑j=2,…, nanj2 (17)

an=λp1.6a1Q'2+ηaa02 (18)

donde a1 es la ordenada del espectro elástico de diseño para el periodo fundamental del sistema; anj es la aceleración absoluta del centro de masa asociada a la respuesta dinámica lineal el j-ésimo modo de vibrar, n es el número de niveles; Q' es el factor de reducción por ductilidad; λp es un factor de penalización por irregularidad.

En la sección 2.2 se mencionó que el parámetro de respuesta para estimar la pérdida por daño en contenidos es la aceleración máxima de piso, la cual, en edificios de mediana altura, generalmente se presenta en el nivel de azotea. Esto significa que la aceleración en los pisos inferiores, asociada a la aceleración máxima de piso, se verá modificada, afectando el daño en los inventarios de esos niveles.

Para construir una función de costo total, es necesario conocer cómo varía la aceleración de piso entre niveles. Si se define ECRijyj como el valor esperado del costo por daño en un inventario i, dado una aceleración de piso yj , ubicado en el entrepiso j , y un factor Ωj que convierte la aceleración máxima de piso a la aceleración máxima del entrepiso j , entonces, el valor esperado del costo por daño total, considerando los diferentes inventarios, y que estos se encuentren en diferentes entrepisos, se calcula con la siguiente ecuación:

ECRY=ymax=∑j=1Np∑i=1NiECRijY=Ωjymax,j (19)

donde ymax,j es la aceleración máxima del piso j; Np número de pisos y Ni número de inventarios en cada entrepiso j .

Descripción de los edificios analizados

La mayoría de las estructuras dañadas en la Ciudad de México por el sismo del 19 de septiembre de 2017 estaban ubicadas en la zona de transición, llamada así porque está localizada entre terreno firme y suelo muy blando. El edificio de estudio se supone desplantado en dicha zona. Se trata de un edificio esencial para uso escolar de baja altura (cinco niveles) constituido a base de marcos concreto reforzado. La estructura es regular y posee tres crujías en ambas direcciones, con una distancia de 8m, la altura de entrepiso es de 4 m. La geometría del edificio se muestra en la figura 4. El diseño considera una resistencia a la compresión del concreto de 300 kg/cm², un esfuerzo a la fluencia del acero de refuerzo de 4,200 kg/cm². La normativa mexicana NTC-DS-2023 establece que para el cumplimiento del nivel de desempeño de OI debe emplearse un espectro de diseño, usando un factor Q (este factor considera la capacidad de deformación del sistema estructural) igual a 1, y un factor de sobre-resistencia RT reducido al 75 %. La metodología se aplica suponiendo cuatro diferentes valores de δOI = 0.005, 0.0075, 0.01 y 0.0125. El espectro de diseño asociado al nivel de desempeño de OI se presenta en la figura 5. Con línea continua se presenta el espectro elástico y con línea discontinua, el espectro reducido por ductilidad y sobre-resistencia. Los espectros se obtuvieron mediante el software Sistema de Acciones Sísmicas de Diseño (SASID-2023).

Figura 4 Características del caso de estudio 

Figura 5 Espectro de diseño 

Los edificios se describen como E-1, E-2, E-3 y E-4, según los valores de δOI considerados en el estudio. El edificio E-1 se asocia a una distorsión de 0.005, el edificio E-2 a 0.0075, el edificio E-3 a 0.0100 y el edificio E-4 a 0.0125.

Costo inicial

El costo unitario inicial se estima a partir de los principales conceptos de obra que se presentan en la tabla 1, los cuales se obtuvieron del Tabulador General de Precios Unitarios 2023 de la Ciudad de México.

Modelado no lineal

La respuesta inelástica, que ocurre a altas intensidades sísmicas, se obtiene mediante el uso del programa OpenSees (^{McKenna, Fenves, y Scott, 2000}), utilizando el enfoque de plasticidad concentrada. Tanto las trabes como las columnas se modelan con elementos elásticos con resortes a flexión en los extremos, cuyo comportamiento se describe mediante relaciones momento-rotación, modeladas de acuerdo con (^{NIST/ATC, 2017}; Gaceta Oficial de la Ciudad de México, 2023). Para incorporar la degradación cíclica de la resistencia y rigidez, estas relaciones momento-rotación se modelan utilizando el material "Hysteretic" de la Biblioteca del programa OpenSees (^{Mazzoni, Fenves, y Scott, 2006}). Las uniones viga-columna se representan con elementos rígidos y, en cada entrepiso, se considera un diafragma rígido. Se adopta un amortiguamiento crítico del 5% para el primer y tercer modos utilizando el modelo de Rayleigh. Además, se consideran valores medios en la carga viva y muerta, así como los parámetros de las ecuaciones constitutivas del acero y el concreto. El diseño de las estructuras se valida mediante un análisis estático no lineal (AENL). A partir de las curvas de capacidad que se muestran en la figura 6, se observa que las estructuras permanecen elásticas ante el coeficiente sísmico de diseño ( c=0.5 ), de acuerdo con las NTC-DS-2023, Además, se observan variaciones en la rigidez de las estructuras, resultado de los distintos valores adoptados para la distorsión δOI . Los periodos fundamentales calculados para cada estructura reflejan estas diferencias en rigidez. El edificio E-1 presenta un periodo fundamental de vibración igual a 0.56 s, el edificio E-2 de 0.61 s, el edificio E-3 de 0.67 s y el edificio E-4 de 0.76 s.

Figura 6 Análisis estáticos no lineales de los casos de estudio. 

Análisis dinámicos no lineales

Se realizó una serie de análisis dinámicos incrementales (ADI) para cada estructura diseñada, considerando 18 eventos sísmicos registrados en la estación CO47, ubicada muy cerca del sitio de estudio. Estos eventos sísmicos corresponden a magnitudes entre 5.4 y 8.2 Mw y distancias epicentrales (R) entre 108 y 737 km. Las características de los eventos sísmicos se describen en la tabla 2, y sus espectros de respuesta de pseudo-aceleración normalizados respecto a la AMS se presentan en la figura 7. En esta última se señalan con líneas verticales los periodos estructurales de interés, donde se observa que el periodo fundamental del sitio es cercano a 0.5 segundos.

Figura 7 Espectros de respuesta normalizados. 

En la figura 8 se presentan los resultados de los ADI correspondientes a la distorsión máxima de entrepiso (figura 8a), y a la aceleración máxima de piso (figura 8b).

Figura 8 Resultados de los ADIs correspondientes a la estructura E-1. 

Tasa de excedencia de intensidades sísmicas

Las tasas de excedencia de intensidades sísmicas se obtuvieron de la ecuación 20 (^{Esteva, 1968}), la cual permite estimar la tasa de excedencia de un sitio objetivo νy , a partir de la tasa de excedencia de un sitio de referencia νpy y la función de densidad de probabilidad del cociente espectral ε (^{Alamilla, Rodríguez, y Vai, 2020}). Se considera como tasa del sitio de referencia la correspondiente a Ciudad Universitaria; se seleccionó este sitio debido a que es el de mayor tiempo de monitoreo de la Ciudad de México (^{Singh, Mena, Castro, y Carmona, 1987}). Las tasas del sitio de referencia se toman de (^{Rodríguez, Ruiz, Bojórquez, y Reyes-Salazar, 2020}). La tasa de excedencia de intensidades para el caso de estudio E-1 se presenta en la figura 9.

Figura 9 Tasas de excedencia de intensidades. Estructura E-1. 

Tasa de excedencia de respuesta estructural

Las tasas de excedencia de la distorsión máxima de entrepiso y de la aceleración máxima de piso, que se presentan en la figura 10, se derivaron de la combinación entre la tasa de excedencia de intensidades sísmicas, representada como νy , y la respuesta de los ADI, lo que se obtiene de la ecuación 1.

Figura 10 Tasas de excedencia de respuesta de la estructura E-1, a) Distorsión máxima de entrepiso; b) Aceleración máxima de piso. 

Costo total por daño en contenidos

Para el diseño de los espacios y servicios que conforman los planteles educativos se utilizan los criterios normativos elaborados por el Instituto Nacional de la Infraestructura Física y Educativa, (^{INIFED, 2016}). Se considera un inventario correspondiente a un aula de 77.76 m² (ver figura 11). Las características de los contenidos para este inventario se presentan en la tabla 3. El costo esperado por daño en contenidos de este inventario se presenta en la figura 12. Se consideran 5 aulas por nivel. La función del costo total se presenta en la figura 13. El costo total por reemplazo, considerando 25 aulas, asciende a $2,759,025.00 ($133,205.73 USD).

Figura 11 Contenidos de inventario en aula (tomada de ^{INIFED, 2016}). 

Figura 12 Valor esperado del costo por daño en contenidos, correspondiente a un aula. 

Figura 13 Valor esperado del costo total por daño en contenidos. 

Estimación del costo total esperado

Siguiendo la metodología propuesta, se utilizan las tasas de excedencia de dδ y ya (figura 10) para calcular las funciones de probabilidad acumulada mediante la ecuación 3 (figura 14). A partir de estas, mediante un proceso de simulación, se genera una secuencia de distorsiones máximas de entrepiso y aceleraciones máximas de piso correspondientes a una vida útil de 80 años. Un ejemplo de una secuencia se muestra en la figura 15.

Figura 14 Funciones de probabilidad acumuladas a) Distorsión máxima de entrepiso; b) Aceleración máxima de piso 

Figura 15 Historia de respuesta simulada; a) Distorsión máxima de entrepiso, b) Aceleración máxima de piso. 

Se calcula el nivel de daño para cada valor simulado de distorsión utilizando la ecuación 6. Posteriormente, empleando la metodología previamente descrita, se estima el costo por reparación y el número de personas lesionadas. Asimismo, se determina el costo por daño en contenidos mediante la función de costo total desarrollada, considerando los valores simulados de aceleración de piso. El costo total es la suma del costo inicial, costo por daño, costo por personas lesionadas y costo por daño en contenidos. Con el fin de obtener el costo total esperado, el proceso se repite mediante simulación de Monte Carlo. En el presente estudio se emplearon 10,000 simulaciones que representan diferentes escenarios durante el ciclo de vida de la estructura.

La figura 16 muestra el valor esperado del costo total normalizado con respecto al costo inicial, para los casos de estudio E-1, E-2, E-3 y E-4.

Figura 16 Costo total esperado normalizado correspondiente a distintas distorsiones máximas permisibles de entrepiso. 

Discusión de resultados

Debido a la alta resistencia estructural que implica cumplir con los requisitos que establecen las NTC-DS-2023 relacionados con el nivel de desempeño de Ocupación Inmediata, la incursión de las estructuras estudiadas en el intervalo no lineal resulta limitada, como se puede ver en la función de probabilidad acumulada de la distorsión máxima de entrepiso que se muestra en la figura 14a. Como consecuencia, los costos asociados a las reparaciones y a las personas lesionadas no aportan significativamente al costo total esperado. Por lo anterior, el costo inicial y el costo por daño en contenidos son los que más influyen en el costo total esperado.

El costo asociado al daño en contenidos depende principalmente de la aceleración de piso, la cual está determinada por el contenido de frecuencias del movimiento sísmico y de las características dinámicas del edificio. Por ejemplo, los resultados de los análisis indicaron que la estructura E-1, con un periodo fundamental de vibración más próximo a las máximas demandas sísmicas, experimenta mayores aceleraciones que la estructura E-3, cuyo periodo se encuentra más alejado de dichas demandas. La diferencia en la respuesta dinámica da lugar a que la estructura E-3 presente menos daños en los contenidos.

En la figura 16 se observa que la estructura con menor costo total esperado es la E-3, diseñada para un valor tolerable δOI igual a 0.01. Este es mayor que el que recomienda la NTC-DS-2023, lo que sugiere la necesidad de realizar un estudio más amplio orientado a optimizar los valores de distorsión máxima de entrepiso límite que se especifican en la normativa actual para estructuras importantes.