Actividades para los alumnos

ACTIVIDAD 1

Para esta actividad vas a utilizar un tablero que consiste en un triángulo rectángulo con cuadrados sobre cada uno de los lados del triángulo. (No te comas los frijolitos que utilices para llenar los cuadrados.) Instala la cerca de cartón alrededor de los tres cuadrados e inserta la cerca triangular alrededor del triángulo central. Vacía frijolitos de goma en los dos cuadrados sobre los catetos del triángulo rectángulo y asegúrate de que los frijolitos llenen completamente los cuadrados con una sola capa y que no queden huecos grandes (figura 4a). Quita el triángulo de cartón que está dentro (figura 4b).

Inclina el fondo del tablero para que los frijolitos de goma se deslicen hacia el cuadrado construido sobre la hipotenusa (figura 4c). Inserta la cerca triangular en su posición original otra vez (figura 4d).

Aplana los frijolitos y observa si los frijolitos caben completamente dentro del cuadrado construido sobre la hipotenusa en una sola capa y si lo cubren completamente (figura 4e).

¿Qué puedes decir acerca de la suma de las área de los cuadrados construidos sobre los catetos del triángulo rectángulo comparada con el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa?

Denota los catetos del triángulo como a y b y la hipotenusa como c. Expresa el área de cada uno de estos cuadrados utilizando estas letras. Área del cuadrado sobre el lado a________. Área del cuadrado sobre el lado b________. Área del cuadrado sobre el lado c________. Escribe una expresión algebraica para describir la relación que descubriste entre las áreas._______________________

ACTIVIDAD 2

Extensión del teorema de Pitágoras

Para esta actividad vas a usar el tablero que consiste en un triángulo rectángulo con semicírculos construidos sobre cada uno de sus lados (figura 5).

Instala la cerca de cartón alrededor de los tres semicírculos e inserta la cerca triangular alrededor del triángulo central. Vacía frijolitos de goma en los dos semicírculos construidos sobre los catetos del triángulo rectángulo y asegúrate de que los frijolitos llenen completamente los cuadrados con una sola capa y que no queden huecos grandes. Quita el triángulo de cartón que está dentro. Inclina el tablero para que los frijolitos de goma se deslicen hacia el semicírculo construido sobre la hipotenusa. Inserta la cerca triangular en su posición original otra vez. Aplana los frijolitos y observa si caben completamente en una sola capa dentro del semicírculo construido sobre la hipotenusa y si lo cubren completamente. ¿Qué puedes decir acerca de la suma de las áreas de los semicírculos construidos sobre los catetos del triángulo rectángulo comparada con el área del semicírculo construido sobre la hipotenusa? Expresa tu hallazgo con tus propias palabras.

ACTIVIDAD 3

Las áreas de los semicírculos

Vamos a denotar los dos catetos del triángulo rectángulo como a y b y la hipotenusa como c. En la actividad 1 descubriste que puedes expresar la relación entre las áreas de los cuadrados construidos sobre los lados de un triángulo rectángulo como a² + b² = c². En la actividad 2 descubriste que la suma de las áreas de los semicírculos construidos sobre los catetos del triángulo rectángulo es igual al área del semicírculo construido sobre la hipotenusa. Ahora vas a escribir expresiones algebraicas para las áreas de los semicírculos y sus relaciones. El diámetro de cada semicírculo es congruente con el lado correspondiente del triángulo. ¿Cuál es el radio de cada uno de los semicírculos sobre los lados del triángulo rectángulo? Radio del semicírculo sobre el lado a________. Radio del semicírculo sobre el lado b________. Radio del semicírculo sobre el lado c________. ¿Cuál es el área del círculo de radio ?________________¿Cuál es el área de un semicírculo de radio ?________. Escribe una expresión algebraica para cada una de las áreas de los semicírculos. Área del semicírculo sobre el lado a________________. Área del semicírculo sobre el lado b________________. Área del semicírculo sobre el lado c ____. Usa notación algebraica para expresar la suma de las áreas de los dos semicírculos de radios ________________. Utiliza notación algebraica para expresar que la suma de las áreas de los semicírculos sobre los catetos a y b del triángulo rectángulo es igual al área del semicírculo sobre la hipotenusa c.________

Factoriza y simplifica ambos lados de la ecuación para mostrar que es equivalente a la ecuación a² + b² = c².

Puedes hacer esto en varios pasos. Puedes, por ejemplo, multiplicar ambos lados por 2 y dividir ambos lados entre π. Escribe la ecuación simplificada_________. Ahora puedes expandir los términos cuadrados. Escribe la ecuación correspondiente___________________. Finalmente puedes multiplicar ambos lados por 4___________________. Verifica que puedes invertir todos los pasos. Esto es, empieza con la ecuación a² + b² = c² y muestra paso a paso que, a partir de esta relación, puedes obtener la relación entre los semicírculos.

ACTIVIDAD 4

Área de las lunas de Hipócrates

Se construyen semicírculos sobre los lados del triángulo rectángulo ABC (figura 6). El semicírculo sobre la hipotenusa está encima del triángulo en vez de afuera. Este semicírculo forma dos lunas (cuartos crecientes c₁ y c₂) con los semicírculos de los catetos. El semicírculo sobre la hipotenusa se traslapa con los semicírculos de los catetos (áreas a₁ y a₂ fuera del triángulo de área f). El área del semicírculo construido sobre la hipotenusa está formada por la suma de las áreas t + a₁ + a₂ El área del semicírculo en uno de los catetos es igual a la suma c₁ + a₁. El área del semicírculo en el otro cateto es c₂ + a₂.

En la actividad 2 descubriste que el área del semicírculo sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los semicírculos sobre los catetos del triángulo. Usa este resultado y las relaciones de las áreas enunciadas arriba para encontrar la relación entre la suma de las áreas de las dos lunas con el área del triángulo rectángulo ABC. Enuncia esta relación con tus propias palabras.