Developing a diameter–distribution prediction system for Pinus occidentalis, Sw. in la sierra, Dominican Republic

Santiago W. Bueno López*ª y Eddie Bevilacqua^b

¹ Investigador, Pontificia Universidad Católica Madre y Maestra, Vicerrectoría de Investigaciones e Innovación, Republica Dominicana & State University of New York, College of Environmental Science and Forestry. 1 Forestry Drive, 320 Bray Hall, Syracuse, N. Y. 13210. 315–470–6676. *Autor para correspondencia: Correo–e: swbueno@syr.edu, swbueno@gmail.com.

² Associate Professor, State University of New York, College of Environmental Science and Forestry.

RESUMEN

La información acerca de la distribución del diámetro de una masa forestal es un componente esencial para derivar una diversidad de atributos del rodal, entender la dinámica del rodal bajo diferentes condiciones ecológicas y la planificación futura de prescripciones silvícolas apropiadas. Distribuciones diamétricas de varias masas coetáneas de Pinus occidentalis en tres diferentes zonas ecológicas dentro de la región de La Sierra en la República Dominicana, fueron modeladas utilizando la función de probabilidad de densidad Weibull de tres parámetros. Se compararon cuatro métodos para la predicción de distribuciones diamétricas, dos basados en el método de estimación de parámetros usando máxima verosimilitud y el método de momentos modificados, y dos basados en el método de recuperación de parámetros de regresión utilizando la función de percentil y la función de distribución acumulativa de regresión. Las características del rodal tales como edad, altura, árboles por hectárea, calidad del sitio y área basal, se utilizaron como variables independientes. Los métodos se evaluaron sobre la base de bondad de ajuste de las distribuciones y la raíz del error medio cuadrático de rendimientos de rodal. Con estos datos, el método de recuperación de parámetros apoyados en la distribución basada en el percentil demostró ser considerablemente más eficiente al describir la distribución de diámetro.

Palabras clave: Pinus occidentalis, distribución diamétrica, función de densidad de probabilidad Weibull, predicción y recuperación de parámetros, modelos mixtos.

ABSTRACT

Information about the diameter distribution of a forest stand is an essential component for deriving a variety of stand attributes, understanding stand dynamics under varying ecological conditions and planning future forest prescriptions. Diameter distributions from multiple evenaged stands of Pinus occidentalis from three different ecological zones within La Sierra region in the Dominican Republic were modeled using a three–parameter Weibull probability prediction method using either maximum likelihood or modified method of moments, and two bases on parameter recovery method using either percentile–based or cumulative distribution function regression. Stand characteristics such as age, total tree height, trees per hectare, site quality and basal area were employed as predictor variables. Methods were evaluated based on goodness–of–fit of the distributions and RMSE of stand yield. In these data, the parameter recovery method based on percentile based distribution proved to be considerably more efficient in describing the diameter distribution.

Key words: Pinus occidentalis, diameter distribution, Weibull pdf, parameter prediction, parameter recovery, mixed models.

INTRODUCCIÓN

La capacidad de predecir la forma en que la silvicultura puede afectar el crecimiento se logra a menudo utilizando modelos de crecimiento y rendimiento. Los modelos de crecimiento ayudan a los gestores forestales e investigadores en la predicción de rendimientos futuros y la exploración de opciones silvícolas, lo que hace posible examinar posibles resultados y conlleva a la toma de decisiones objetivas Los biometristas forestales han clasificado los modelos de crecimiento basados en diferentes ópticas filosóficas; una de estas filosofías tiene que ver con el nivel de detalles requeridos, proporcionados y utilizados por los modelos (Vanclay, 2001). Usando esta conceptualización, los modelos pueden clasificarse como (1) modelos de todo rodal, (2) modelos de "tamaño de clase", o (3) modelos del árbol individual. Los modelos de todo rodal son a menudo simples y robustos. Atributos del rodal como la edad, la productividad del sitio y la densidad se usan para predecir el crecimiento y rendimiento. Estos modelos, sin embargo, a menudo carecen de la capacidad de describir la estructura del rodal, proporcionando así información limitada para la toma de decisiones silvícolas. Los modelos de árboles individuales requieren información detallada cuya colección es a menudo demasiado costosa. Los modelos "tamaño de clase " representan un enfoque intermedio entre modelos de todo rodal y modelos del árbol individual.

El "tamaño de clase ", o específicamente, la distribución del diámetro a la altura del pecho (DAP) proporciona información sobre la estructura del rodal, así como un método de predicción del rendimiento. Las distribuciones de los diámetros tienen la capacidad de proporcionar un conocimiento más detallado de la estructura de la masa forestal, la mezcla de productos y su valor (Cao 2004, Nord–Larsen y Cao, 2006), y han sido ampliamente utilizadas en la caracterización de las masas forestales a la hora de prever las futuras cosechas, la programación de aclareos y la planificación de otros tratamientos silvícolas (Nanos y Monteros, 2002). Al predecir el número de árboles por clase de diámetro, ahora y en algún momento futuro en el tiempo, los gestores forestales pueden definir la rotación económica óptima para los rodales coetáneos, detectar el exceso o la falta de productos específicos, y tomar decisiones informadas con respecto a la gestión del rodal.

Los modelos matemáticos de distribuciones diamétricas se basan en el supuesto de que la distribución del diámetro de un rodal en particular puede ser adecuadamente descrita por una función de densidad de probabilidad matemática (pdf) (Bailey y Dell 1973, Knoebel y Burkhart, 1991). Para estimar los parámetros de las funciones de densidad de probabilidad, varios métodos y técnicas estadísticas son actualmente empleados. Dentro de estos métodos, la predicción de parámetros (PPM) y la recuperación de parámetros (PRM) se han utilizado ampliamente. Las técnicas de estimación incluyen la regresión lineal, la regresión lineal mixta, máxima verosimilitud condicional, funciones basadas en momentos, en la moda y en funciones de percentiles y funciones de distribución acumulada (Liu et al, 2004; Cao, 2004).

Para modelar las distribuciones de diámetro, la función de densidad de probabilidad Weibull ha sido utilizada comúnmente (Bailey y Dell, 1973). La Weibull de tres parámetros puede ser descrita por los parámetros (a) de localización, (b) de escala y (c) de forma, y se define por la pdf:

A pesar de que en teoría a puede ser negativo, cero o positivo, éste se limita a ser positivo cuando se utiliza para representar una distribución de diámetros. Una expresión de forma analítica cerrada de la función de distribución acumulada existe y está dada por la ecuación (2)

Esta relación puede establecerse de la siguiente manera. Si una población tiene una distribución Weibull, la proporción de la población con valores superiores a L (diámetro menor en una clase) y menor que U (diámetro superior a una clase) está dada por la ecuación

Una vez que los parámetros de la distribución de Weibull son estimados y disponibles, las frecuencias de árboles por clase de DAP se pueden calcular fácilmente mediante la aplicación de la ecuación (3) para cada clase.

Los objetivos de esta investigación fueron: 1) evaluar cuatro métodos para obtener los parámetros Weibull que caracterizan la distribución del diámetro de rodales de P occidentalis, 2) determinar si la función de densidad de probabilidad (pdf) Weibull es lo suficientemente flexible para describir las distribuciones de diámetro de rodales de P occidentalis que se encuentran en la República Dominicana (DR), 3) determinar cuáles características de rodal son predictoras adecuadas de los parámetros Weibull, y 4) explorar la precisión y la exactitud del rendimiento de rodales derivadas de predecir las distribuciones de diámetro.

MATERIALES Y MÉTODOS

Área de estudio. El área de estudio es una región de aproximadamente 1,800 km² en la porción centro–norte de la Cordillera Central, República Dominicana. Los datos disponibles para el desarrollo del modelo fueron colectados en veinticinco parcelas localizadas en igual número de rodales naturales de P. occidentalis establecidos en tres diferentes zonas de vida en la región de La Sierra: nueve rodales en la zona húmeda, seis rodales en la zona intermedia y diez en la región seca. La zona de vida seca corresponde a la denominación oficial del bosque seco subtropical, la zona de vida húmeda se describe formalmente como el bosque muy húmedo subtropical, y la zona intermedia, situada entre las dos anteriormente mencionadas, como bosque húmedo subtropical (Holdridge, 1987).

Conjunto de datos. En cada rodal, fue establecida una parcela permanente, y se midieron el diámetro a la altura del pecho con corteza (DAP) y la altura total de cada árbol. Debido a la falta de disponibilidad de rodales en localizaciones seguras, las parcelas variaron en tamaño desde 0.0625 a 1.25 hectáreas. Cada esfuerzo fue hecho para cubrir una amplia gama de condiciones en el rodal y ambientales. Los rodales seleccionados para el muestreo no presentaban indicios de haber experimentado incendios, estaban razonablemente libres de vegetación competidora y no presentaban daño aparente de insectos y hongos. Las parcelas se establecieron al azar en 1984 o 1988, y se midieron periódicamente hasta 1995. Cada parcela se midió entre 2 y 6 veces. Un total de 107 distribuciones fueron derivadas con mediciones repetidas durante un periodo de tiempo máximo de 11 años. La Cuadro 1 muestra el rango de los totales de parcela por zona ecológica para todos los años de medición.

Desarrollo de modelos. Fueron empleados cuatro métodos para estimar los parámetros Weibull: 1) método de predicción de parámetros mediante máxima verosimilitud (PPM–ML), 2) método de predicción de parámetros utilizando un método modificado de momentos matemáticos (PPM–MME), 3) método de recuperación de parámetros utilizando la función de regresión de distribución acumulada (PRM–CDF) y 4) el modelo de recuperación de parámetros basado en la predicción de percentiles (PRM–PCT) (Cao, 2004, Liu et al., 2004).

Método PPM–ML. Bajo este enfoque, los parámetros de localización, escala y forma de la asumida subyacente distribución Weibull se obtuvieron para cada periodo de re–medición y parcela utilizando PROC NLP en SAS (SAS Institute Inc., 1990). El procedimiento NLP es un método de máxima verosimilitud que ofrece un conjunto de técnicas de optimización para minimizar o maximizar una función lineal continua f (x) de n variables de decisión con límite, identidad general lineal y no lineal y restricciones de desigualdad. PROC PNL apoya una serie de algoritmos para la solución de este problema aprovechando la estructura especial de las funciones objetivo y restricciones. Dos algoritmos especialmente diseñados para problemas de optimización cuadrática, y otros dos algoritmos se proporcionan para la solución eficaz de problemas no lineales por mínimos cuadrados.

Una vez que los parámetros de Weibull fueron confirmados para cada período de nueva medición y parcela, un procedimiento con modelos lineales mixtos fue usado para regresar los parámetros en función de los atributos del rodal, como la edad (A), el número de árboles por hectárea (APH), área basal por hectárea (AB), la altura promedio del 15 % de árboles dominantes en la parcela (HT), índice de densidad del rodal (IDR) y el índice de sitio (IS). Debido a la falta de independencia en las observaciones repetidas para cada parcela en el tiempo, varias estructuras de varianza–covarianza se aplicaron en el modelo mixto. Las estructuras de varianza–covarianza utilizadas fueron la no estructurada (UN); de primer orden autorregresivo [AR (1)] con dos estados distintos, aleatorio y repetido; y el compuesto de simetría (CS), también con declaraciones separadas aleatoria y repetida.

donde:

s = Desviación estándar de la muestra

= Media de la muestra

x₁ =Primer dbh ordenado

]]> b = Parámetro escala de la distribución Weibull

c = Parámetro de forma de la distribución Weibull

Similar al enfoque PPM–ML, una vez que se obtienen los parámetros Weibull para cada parcela en cada período de nueva medición, este método predice a continuación, los parámetros de la distribución diamétrica directamente de los atributos del rodal mediante un modelo lineal mixto.

Método PRM–PCT. En este enfoque, los percentiles 0^th, 25^th, 50^th y 95^th de la distribución de diámetro son inicialmente obtenidos a partir de datos de la parcela y luego se utilizan como variables dependientes para ser estimadas utilizando las características del rodal como variables independientes (Liu et al., 2004). Los parámetros de la función Weibull se recuperan luego con las siguientes ecuaciones (Liu et al., 2004; Cao, 2004):

donde:

n: Número de árboles en la parcela.

₀: Percentil 0^th estimado

₅₀: Percentil 50^th estimado

]]> _q: Diámetro medio cuadrático estimado

₂₅: Percentil 25^th estimado

₉₅: Percentil 95^th estimado

a, b, c: Parámetros de localización, escala y forma de la distribución Weibull.

Cao (2004) señala que el método PRM–PCT no es estrictamente con percentiles debido a que _q es un factor en la ecuación. Los parámetros de regresión de las ecuaciones para predecir Dq, D₀, D₅₀, D₂₅ y D₉₅ fueron estimados mediante modelos lineales mixtos.

Método PRM–CDF. El parámetro de localización en este enfoque se recuperó del ₀₀ percentil estimado. El resto de los parámetros de la función Weibull se recuperaron reduciendo al mínimo la siguiente función de Cao (2004):

donde:

F_ij: Probabilidad acumulada observada del jth árbol en la ith parcela.

]]> valor de la CDF de la distribución Weibull.

n_i: Número de árboles en ith parcela.

La función anterior permite la búsqueda iterativa de los coeficientes para estimar el parámetro de forma (c) en la siguiente ecuación:

donde:

b₁, b₂, b₃ = Parámetros estimados.

HT = altura promedio de árboles dominantes

]]> El parámetro de escala es estimado utilizando la ecuación siguiente:

donde todos los símbolos son como se definió previamente.

Pruebas para la bondad de ajuste. Las pruebas para determinar la bondad de ajuste de los modelos, se aplicaron para probar objetivamente la hipótesis de que la distribución Weibull con los parámetros estimados se ajusta a las frecuencias observadas. Se utilizaron las siguientes estadísticas de bondad de ajuste: Kolmogorov–Smirnov, Cramer–von Mises, Anderson–Darling y la prueba de chi–cuadrado (Reynolds et al., 1988). Estas pruebas permiten la evaluación de los modelos para estimar los parámetros individuales. Además, el índice de error propuesto por Reynolds et al., (1988), basado en las diferencias de las frecuencias predicha y observada a través de la distribución total, se calcula también.

Además de las pruebas anteriores, fueron empleadas otras pruebas de ajuste. Para medir el nivel de exactitud y precisión en la relación altura–DAP y comparar los rendimientos observados con los estimados, se llevó a cabo el siguiente análisis de residuos: el error cuadrático medio (MSE), la raíz del error cuadrado medio (RMSE), el pseudocoeficiente de determinación (R²), el sesgo absoluto y relativo (B, B %), y la desviación media absoluta (MAD). Se calcularon de la siguiente manera:

donde n es el número de observaciones; D_i es el DAP observado; _i es el DAP estimado; es el DAP promedio; m es el número de β_i parámetros, excluyendo β₀.

Relación altura–diámetro. Con el fin de calcular los volúmenes partiendo de las distribuciones de diámetro estimadas y utilizando una ecuación de volumen estándar (Bueno y Bevilacqua, 2009), fue necesario estimar la relación altura–diámetro (Cuadro 2). Datos de DAP y altura de los árboles en cada parcela fueron analizados para determinar si las alturas seguían la distribución normal para cada una de las clases de DAP. Debido a que las mediciones eran repetidas en los árboles individuales y para tomar en cuenta la variación espacial de los diferentes rodales forestales, se procedió a modelar la relación DAP–altura con seis funciones no lineales mixtas (Richards, 1959; Stage, 1963; Wycoff et al., 1982; Zeide, 1989; Ratkowsky, 1990, Zhang et al., 1996), cada una bajo consideración con tres coeficientes aleatorios.

Cálculos de rendimiento en la parcela. Para calcular el rendimiento de cada parcela estimado por la predicción de la distribución Weibull en el tiempo, se utilizó la ecuación de la densidad acumulativa (3) del pdf para obtener la proporción de la población con valores superiores a los límites inferior y superior de las clases de diámetro observadas. Esta proporción fue multiplicada por el número observado de árboles por hectárea en la parcela, para obtener el número de árboles por hectárea para cada clase de diámetro de 2 cm. Una vez que se estimó el número de árboles en cada clase, se procedió a calcular la altura promedio de árboles en cada clase de diámetro con el punto medio de clase como la variable independiente DAP en el mejor modelo de las funciones de altura enunciadas anteriormente. El volumen en metros cúbicos en la clase se calculó utilizando las ecuaciones de volumen total de fuste para cada una de las zonas (Bueno y Bevilacqua, 2009). Los rendimientos pronosticados fueron comparados con los rendimientos observados en cada una de las parcelas.

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

En la evaluación de los cuatro métodos de modelización, el conjunto de datos resultó en que las 107 distribuciones de diámetro observadas fueron multimodales. Las pruebas de bondad de ajuste indican, respecto a la comparación de las distribuciones Weibull con las distribuciones observadas de diámetros, que el 100 por ciento de las distribuciones fueron exitosamente descritas por la función de densidad Weibull acumulada. Las pruebas de bondad de ajuste indican una fuerte asociación entre las distribuciones diamétricas observadas y las esperadas.

Los métodos de predicción de parámetros (PPM) requieren la predicción directa de los parámetros Weibull de los atributos a nivel del rodal, mientras que los métodos de recuperación de parámetros (PRM) utilizan la recuperación indirecta de los parámetros Weibull a partir de los percentiles previstos y las estadísticas de distribución de diámetro utilizando las características del rodal. Los valores de los coeficientes de las ecuaciones de predicción de PPM y de PRM se muestran en los Cuadros 3 y 4, respectivamente.

Evaluación de modelos

Relación altura–diámetro. La relación entre la altura y el diámetro fue explicada con ajuste superior por la función exponencial (Ratkowsky, 1990), con la expresión general siguiente:

Cuando este modelo fue ajustado a los datos en las zonas secas, intermedia y húmeda, el rango para el RMSE fue de 1.22 a 3.11 metros; el sesgo absoluto osciló desde 1.29 hasta 2.84 metros, y los valores del pseudo R² tuvieron un rango entre 0.67 a 0.96, siendo mejor estos resultados sobre las estadísticas de bondad del ajuste para la zona seca y peor para la zona intermedia.

Los resultados muestran que los dos métodos de recuperación de parámetros PRM son significativamente mejores para la estimación de las distribuciones de diámetro y los rendimientos en términos de metros cúbicos, que los métodos de predicción de parámetros PPM. Ambos PRM tienden a sobreestimar el número de árboles en las clases de mayor diámetro, sobrevalorando los rendimientos del rodal. RMSE como porcentaje del volumen promedio por hectárea fue de 32.0 % en general y el sesgo relativo fue 1.30 %. El sesgo en el modelo puede considerarse despreciable para el uso previsto de predicciones.

El análisis de residuos sugiere que el modelo subestima el crecimiento del volumen. El crecimiento observado en volumen por hectárea y por año fue en promedio de 6.60 m³. El crecimiento del volumen estimado por hectárea y por año por el enfoque de PRM–PCT fue en promedio de 5.97 m³. En la mayoría de las parcelas, algunas de las clases de diámetro de dos centímetros no estuvieron presentes y puede que esto haya contribuido a la subestimación de la frecuencia de árboles por clases de DAP por la función de Weibull y, por tanto, resultara en estimaciones de volumen ligeramente bajas. Un análisis cuidadoso de las estimaciones de rendimiento por año de medición muestra aumentos o disminuciones en las estimaciones de volumen de hasta 25 metros cúbicos, como resultado de la adición o deducción de tan sólo dos clases de DAP. Parece que el modelo Weibull es muy sensible a la presencia continua de clases de DAP en el rango de los datos.

De acuerdo con los criterios de evaluación, el mejor método para estimar el rendimiento por hectárea en las tres zonas fue el PRM–PCT, seguido de cerca por el PRM–CDF. En términos de predicción del número de árboles en clases individuales de diámetro, estos métodos también fueron los mejores. Su predicción de cantidad de árboles fue la misma en términos de índice de error promedio. El PPM–ML fue segundo en su capacidad para predecir el número de árboles por cada clase de diámetro individual, con un índice de error muy similar a la de los métodos de PMR. Debido a que el método PCT–PRM ocupó el primer lugar en la predicción del rendimiento, y el primer lugar según el índice de error, se utilizó para proporcionar las estimaciones de parámetros Weibull para el sistema de predicción de distribución de diámetros.

Variaciones por zona ecológica

Se examinaron las distribuciones de diámetro predichas por el PRM–PCT en cada zona ecológica considerando los promedios de los atributos del rodal, para poder generalizar, comparar y contrastar las diferencias en la estructura prevista entre las tres zonas, y también comparar y contrastar las diferencias entre las distribuciones diamétricas observadas y estimadas para cada una de las zonas. Los valores correspondientes a las densidades promedio predichas y observadas (árboles por hectárea), y los niveles de curtosis y asimetría de las distribuciones previstas de diámetro para cada zona se muestran en el Cuadro 5.

La media de la densidad de árboles predicha está en correspondencia con la densidad observada en las tres zonas. El número de árboles por hectárea fue mayor para los rodales en la zona húmeda, seguido por los rodales en la zona seca e intermedia, respectivamente (Figura 1). Basándonos en el número de árboles por hectárea estimados y observados, el modelo del PCT–PRM aproxima mejor los rodales en la zona húmeda y seca, donde las diferencias fueron de 37 y 48 árboles por hectárea, respectivamente. En la zona intermedia la diferencia fue de 107 árboles. La curtosis de las distribuciones predichas fue similar en las tres zonas. El coeficiente de asimetría fue mayor para la zona seca, con valores similares en la zona húmeda, y más bajos en la zona intermedia.

Al comparar las distribuciones observadas y estimadas, en todas las zonas el modelo PRM–PCT por lo general subestima el número de árboles de menor diámetro y sobrestima las clases de diámetros mayores. En la zona seca subestima el número de árboles con DAP inferior a 22.0 cm (Figura 2), en la zona intermedia el modelo subestima el número de árboles en la clase de 10.5 cm DAP y en las clases mayores a 28.5 cm y subestima las densidades para las clases de DAP superiores a 22.0 cm (Figura 3). En la zona húmeda (Figura 4), el modelo sobreestima los árboles en las clases de DAP mayores de 26.5 cm. Las mayores discrepancias en las predicciones se producen en la zona intermedia.

Las clases de DAP en el análisis tenían un rango entre 8.5 a 52.5 cm, con una anchura de la clase de dos cm. En la zona seca, la distribución unimodal de DAP Weibull dap se aproxima a la distribución multimodal observada por encima de la clase de 22.0 cm desde abajo, subestimando el número de árboles (Figura 2). La diferencia absoluta media entre las distribuciones observadas y previstas para las 13 clases por encima de 22.0 cm en términos de número de árboles fue de 9. Para las siete clases por debajo de 22.0 cm, la diferencia absoluta promedio fue de 24 árboles.

En la zona intermedia (Figura 3), el promedio de las diferencias absolutas de las 14 clases por encima de 26.5 cm de DAP fue de 11 árboles. Para los árboles en las últimas siete clases, la diferencia absoluta media entre la distribución observada y la esperada fue de 37. La zona húmeda tiene 9 clases con sobrestimación y 13 clases donde el número de árboles es subestimada (Figura 4). La cantidad de árboles subestimados por las clases debajo de los 26.4 cm de DAP en esta zona es en promedio de 21 árboles, mientras que el promedio de diferencia absoluta de los árboles sobrestimados para las 13 clases por encima es de 12. En general, el modelo PMR–PCT subestima la cantidad de árboles en pequeñas clases de DAP para las tres zonas, mientras que sobrestima la cantidad de árboles en las clases altas de DAP. Los cambios en la distribución de diámetros de árboles son causados por el crecimiento de árboles y/o la mortalidad. Suponemos, en acuerdo con las observaciones de Bailey (1980), que la mortalidad no se produjo durante el breve período de siete años de observaciones. Entre los cuatro métodos empleados para obtener la predicción de la distribución Weibull para rodales de P. occidentalis en La Sierra, República Dominicana, el PRM–PCT obtuvo el mejor comportamiento sobre la base de la combinación de dos criterios de clasificación: las estadísticas de bondad de ajuste y en términos de predicción de rendimientos.

Los resultados en relación con el enfoque de PRM–PCT son coherentes con los resultados reportados por Liu et al., (2004), que mostraron que el enfoque PRM–PCT superó el PPM en la predicción de distribuciones diamétricas de plantaciones de black spruce. En otro estudio realizado por Jiang y Brooks (2009), también se encuentra que el PRM–PCT produjo mejores estadísticas de bondad de ajuste que el método PRM–CDF. Por el contrario, en un estudio realizado por Cao (2004) en plantaciones de pino de incienso (Pinus taeda L.) el enfoque PRM–FCD fue el de mejor comportamiento.

Otros métodos han demostrado ser más ventajosos que las funciones de densidad de probabilidad en reproducir las distribuciones de diámetro de rodales forestales (Borders et al., 1987; Borders y Patterson, 1990; Maltamo et al., 2000). Esos sistemas emplean una función de percentil con flexibilidad para reproducir rodales multimodales. Nord–Larsen y Cao (2006) reportan que, debido a que la distribución de Weibull es unimodal, es inadecuada para modelar distribuciones multimodales. El enfoque utilizado por Borders et al., (1987) consiste en 12 percentiles en la caracterización de las distribuciones observadas, comparados con tan sólo 3 o 4 percentiles en el enfoque Weibull. Sin embargo, el número de parámetros en el método de Borders hace que éste sea más complejo, y, como ellos destacan, el supuesto de una distribución uniforme de frecuencia de árboles entre percentiles adyacentes puede ser demasiado simplista. El método Weibull debería ser el más apropiado.

Los resultados reportados por Zarnoch y Dell (1985) afirman que los estimadores del PCT son sesgados, pero con varianzas menores que los estimadores MLE y MME. En nuestro caso encontramos que, para estimar el volumen (metros cúbicos ha^–1) de P. occidentalis en La Sierra, el enfoque de PRM–PCT es superior a la PRM–CDF, PPM MLE y PPM–MME en términos de EMC, sesgo, sesgo relativo y el índice de error (Cuadro 5).

Podemos decir que el nivel deseado de precisión no se alcanzó en el presente estudio, pero que obtuvimos la combinación de parámetros que producen niveles aceptables de precisión para el uso previsto para los modelos, que es de estimación. La precisión y la exactitud de las estimaciones de rendimiento dependen no sólo de las distribuciones de diámetro estimado por la función Weibull, sino también de la precisión y la exactitud de la relación entre la altura y el DAP y las ecuaciones de volumen. El sesgo en la estimación de volumen se puede considerar insignificante, a pesar de que un mayor nivel de precisión puede ser alcanzable. Reducciones significativas en el sesgo se notaron en las parcelas más grandes.

Shiver (1988) encontró que 50 árboles por parcelas de muestreo serían aceptables para la mayoría de trabajos de investigación que tratan de capturar la distribución del diámetro en plantaciones de pino Slash. Nord–Larsen y Cao (2006) afirman que las distribuciones de diámetro se ven afectadas por la estructura espacial y el tamaño de las parcelas. Trabajando con rodales coetáneos de hayas en Dinamarca, consideraron que parcelas de 0.40 hectáreas eran relativamente pequeñas y no realistas para muestrear la distribución real que puede ser ajustada por la función de distribución hipotetizada. Nuestras parcelas son generalmente de tamaño pequeño (0.0625 a 1.2500 ha) y tenían un promedio de 41 árboles, con una sola parcela asignada a cada rodal. Estamos de acuerdo con Nord–Larsen y Cao (2006), en que un mejor ajuste se puede obtener con parcelas más grandes. Pero también el número de parcelas debería considerarse. Varias parcelas de mayor área distribuidas en cada rodal pueden ser más eficaces en la tarea de capturar la distribución diamétrica de rodales forestales.

El análisis de varianza de los parámetros Weibull correspondientes al modelo PRM–PCT indica diferencias estadísticamente significativas entre la escala y forma entre las zonas, con valores–p de <0.0001 y 0.007, respectivamente. Rouvinena y Kuuluvainenb (2005) encontraron claras diferencias en las formas de distribuciones diamétricas de Pinus sylvestis dominando rodales de bosque natural en Finlandia. Los valores medios del parámetro escala (b) para las zonas seca, intermedia y húmeda fueron 22.03, 28.09 y 25.30, respectivamente. Los valores promedio correspondiente al parámetro de forma (c) fueron 6.39, 5.94 y 6.57.

Aumentos simulados en el parámetro de escala (b) hacen que disminuya el coeficiente de simetría a cero y el nivel de curtosis incrementa hacia el negativo, aumentando así la propagación de la distribución estimada. Los incrementos en el parámetro de forma producen un aumento en el índice de asimetría de la distribución, y el nivel de curtosis, que fue negativo, disminuye pero permanece negativo. Estos resultados son consistentes con otros estudios. Perry (1985) afirma que la distribución diamétrica de rodales de Pseudotsuga menziesii en las cascadas tiende a ser positiva sesgada cuando los árboles son relativamente pequeños, y se convierte cada vez más a negativa sesgada a medida que el tamaño del árbol promedio aumenta. El procedimiento tiene sentido ya que el parámetro de forma es un reflejo de la asimetría de la distribución. Cuando el parámetro de forma es igual a 3.6, la distribución es aproximadamente simétrica (normal). A medida que el parámetro de forma llega a ser grande, la varianza de la distribución disminuye y se vuelve simétrica (Vanclay, 2001).

CONCLUSIONES

Las frecuencias estimadas y observadas no coinciden bien en ninguna de las tres zonas de bosque en estudio. Por lo tanto, la densidad de árboles por clases de DAP es diferente entre la distribución observada y la esperada, aunque esto no se refleja en el análisis estadístico realizado. Saber qué tipo de distribución de diámetro se puede esperar en las diversas etapas de desarrollo del rodal es útil para determinar el número y tamaño de los árboles a ser aprovechados y conservados, logrando así los objetivos especificados de un rodal residual. Después de la evaluación de los cuatro métodos para predecir los parámetros de la función pdf Weibull, y teniendo en cuenta las limitaciones heredadas en el conjunto de datos disponible, se puede concluir que esta función de densidad de probabilidad (pdf) es lo suficientemente flexible para describir la distribución diamétrica en rodales de P. occidentalis localizados en la República Dominicana, dado que las parcelas son lo suficientemente grandes para capturar todas las clases de diámetro en el rodal.

El modelado de la distribución de diámetro en rodales de P. occidentalis con el enfoque PRM–PCT parece funcionar con la precisión adecuada para propósitos de predicción. El procedimiento basado en las matemáticas iterativas es una buena alternativa para el modelado de las distribuciones de diámetro rodal, pero los usuarios deben ser conscientes de sus limitaciones. Debido a estas limitaciones, el modelo debe ser considerado como un punto de partida, y con mucho potencial de mejora.

Esta investigación se llevó a cabo gracias a contribuciones importantes de FONDOCYT, una beca de investigación del gobierno de la República Dominicana administrada por el Ministerio de Educación Superior Ciencia y Tecnología. Grandes mentes deben ser reconocidas por sus contribuciones a la finalización con éxito de esta investigación. Quiero expresar mi gratitud a los miembros de mi comité de doctorado, el Doctor Ralph D. Nyland, el Doctor Lianjun Zhang y el Doctor Edwin H. White. Trabajar con este equipo de ensueño es una de esas raras oportunidades que vienen una vez en la vida.

LITERATURA CITADA

BAILEY, ROBERT L.; DELL, T. R. 1973. Quantifying Diameter Distributions with the Weibull Function. Forest Science 19: 97–104.         [ Links ]

BAILEY, R. L. 1980. Individual Tree Growth Derived from Diameter Distribution Models. Forest Science 26: 626–632.         [ Links ]

BORDERS, B. E.; SOUTER, R. A.; BAILEY, R. L.; WARE, K. D. 1987. Percentile–Based Distributions Characterize Forest Rodal Tables. Forest Science 33: 570–576.         [ Links ]

BORDERS, B E.; PATTERSON, W. 1990. Projecting Rodal Tables: A Comparison of the Weibull Diameter Distribution Method, a Percentile–Based Projection Method, and a Basal Area Growth Projection Method. Forest Science 36: 413–424.         [ Links ]

BUENO, S.; BEVILACQUA, E. 2009. Underrodaling Growth and Yield of Pinus occidentalis in La Sierra, Dominican Republic. State University of New York, College of Environmental Science and Forestry. 286 p.         [ Links ]

CAO, Q. V. 2004. Predicting parameters of a Weibull function for modeling diameter distribution. Forest Science 50: 682–685.         [ Links ]

DODSON, B. 1994. Weibull Analysis. ASQ Quality Press, Milwaukee, Wisconsin. 256 p.         [ Links ]

HOLDRIDGE, L. 1987. Ecología basada en zonas de vida. Instituto Interamericano de Cooperación para la Agricultura, San José, Costa Rica. 304 p.         [ Links ]

JIANG, L.; BROOKS, J. R. 2009. Predicting Diameter Distributions for Young Longleaf Pine Plantations in Southwest Georgia. Southern Journal of Applied Forestry 33: 25–28.         [ Links ]

KNOEBEL, B. R.; BURKHART, H. E. 1991. A Bivariate Distribution Approach to Modeling Forest Diameter Distributions at Two Points in Time. Biometrics, 47: 241–253.         [ Links ]

LITTELL, R. C., MILIKEN, G. A., STROUP, W. W.; WOLFINGER, R. D. 1996. SAS for Mixed Models. SAS Institute Inc., Cary, North Carolina. 633 p.         [ Links ]

LIU, C., ZHANG, S. Y., YUANCAI, L., NEWTON, P. F.; ZHANG, L. 2004. Evaluation of three methods for predicting diameter distributions of black spruce (Picea mariana) plantations in central Canada. Canadian Journal of Forest Research. 34: 2424–2432.         [ Links ]

MALTAMO, M.; KANGAS, A.; UUTTERA, J.; TORNIAINEN, T.; SARAMAÈKI, J. 2000. Comparison of percentile based prediction methods and the Weibull distribution in describing the diameter distribution of heterogeneous Scots pine rodals. Forest Ecology and Management. 133: 263–274.         [ Links ]

NANOS, N.; MONTEROS, G. 2002. Spatial prediction of diameter distribution models. Forest Ecology and Management. 161: 147–158.         [ Links ]

NORD–LARSEN, THOMAS; CAO, QUANG V. 2006. A diameter distribution model for even–aged beech in Denmark. Forest Ecology and Management. 231: 218–225.         [ Links ]

PERRY, D. A. 1985. The competition process in forest rodals. In Attributes of Trees as Crop Plants. Titus Wilson and Son Ltd, Kendal, Cumbria. 592 p.         [ Links ]

RATKOWSKY, D. A. 1990. Handbook of Nonlinear Regression Models. Marcel Dekker, Inc. 241p.         [ Links ]

REYNOLDS, M. R., BURK, T. E., HUANG, W. C. 1988. Goodness–of–fit tests and model selection procedures for diameter distribution models. Forest Science 34: 373–399.         [ Links ]

RICHARDS, F. J. 1959. A Flexible Growth Function for Empirical Use. Journal of Experimental Botany. Vol. 10(29): 290–300.         [ Links ]

ROUVINENA, S.; KUULUVAINENB, T. 2005. Tree diameter distributions in natural and managed old Pinus sylvestris–dominated forests. Forest Ecology and Management 208: 45–61.         [ Links ]

SAS INSTITUTE INC. 1990. SAS/STAT User's Guide. SAS Institute Inc., Cary, North Carolina. 213 p.         [ Links ]

SHIVER, B. D. 1988. Sample Sizes and Estimation Methods for the Weibull Distribution for Unthinned Slash Pine Plantation Diameter Distributions. Forest Science 34: 809–814.         [ Links ]

STAGE, A. R. 1963. A Mathematical approach to Polymorphic Site Index Curves For Grand Fir. Forest Science Vol. 9(2): 167–180.         [ Links ]

VANCLAY, J. K. 2001. Modeling Forest Growth and Yield, Applications to Mixed Tropical Forests. CABI Publishing. 312 p.         [ Links ]

WYCOFF, W. R.; CROOKSTON, N. L.; STAGE, A. R. 1982. User's Guide to the Rodal Prognosis Model. General Technical Report NT–133:112 p.         [ Links ]

ZARNOCH, S. J.; DELL, T. R. 1985. An evaluation of percentile y maximum likelihood estimators of Weibull parameters. Forest Science 31: 260–268.         [ Links ]

ZEIDE, B., 1989. Accuracy of equations describing diameter growth. Canadian Journal of Forest Research. 19: 1283–1286.         [ Links ]

ZHANG, L.; MOORE, J. A.; NEWBERRY, J. D. 1996. Evaluation of the prediction performance for eight nonlinear height–diameter equations. P. 447–448 in Proceedings of 1995 Society of American Foresters Annual Convention, Anonymous Society of American Foresters, Portland, Maine.         [ Links ]