Ecuaciones altura-diámetro generalizadas para Pinus teocote Schlecht. & Cham. en el estado Hidalgo

Generalized height-diameter equations for Pinus teocote Schlecht. & Cham. in the state of Hidalgo

Jonathan Hernández Ramos¹, Xavier García Cuevas ¹, Adrián Hernández Ramos ² , José Jesús García Magaña ³, Hipólito Jesús Muñoz Flores ⁴, Celestino Flores López ⁵ y Guadalupe Geraldine García-Espinoza ³

¹Campo Experimental Chetumal. Correo: hernandez.jonathan@inifap.gob.mx

³Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo.

⁴Campo Experimental Uruapan, CIR-Pacífico Centro. INIFAP.

⁵Universidad Autónoma Agraria Antonio Narro.

Fecha de recepción: 7 de febrero de 2014
Fecha de aceptación: el 23 de abril de 2015.

Resumen

La relación altura-diámetro es importante en inventarios forestales para determinar existencias y modelos de crecimiento; sin embargo, la medición de la altura implica mayor dificultad y costo, por lo que una opción es hacerlo mediante una submuestra, para lo cual resulta conveniente el uso de ecuaciones. El objetivo de este estudio consistió en seleccionar una ecuación generalizada de mejor ajuste para estimar la relación altura total en función del diámetro normal (h-d) para rodales puros de Pinus teocote en el oriente del estado de Hidalgo. Se utilizaron 1 985 pares de datos de h-d, de ellos 1 802 fueron para el ajuste de 13 expresiones mediante el procedimiento MODEL y la técnica SUR, y 183 pares para su validación. La selección de las ecuaciones se hizo de acuerdo a la bondad de ajuste del Cuadrado Medio del Error y R²_adjustada. Se verificó la normalidad de los datos, la heterogeneidad de varianzas y la homogeneidad de los residuales. La ecuación de Gadow y Hui fue la de mejor ajuste con R²_adjustada= 0.9396 y Raíz CME = 1.628. Los valores de las pruebas de Shapiro–Wilk (0.982776), Durbin–Watson (1.831), Breusch–Pagan (2.71) y el sesgo absoluto (0.013) validan la ecuación. No se obtuvieron diferencias significativas entre los valores predichos y los reales (prueba de "t" al 95 %). Con este modelo es posible estimar la altura total de P. teocote a partir del diámetro normal, diámetro cuadrático y la altura media del arbolado presente en el sitio.

Abstract

The height-diameter relationship is important in forest inventories to determine the stock and growth models. However, measuring the height entails greater difficulty and cost, so an option is to do it by means of a subsample, for which the use of equations is convenient. The objective of this study was to select a generalized best fit equation to estimate the relationship of total height as a function of normal diameter (h-d) for pure pine stands of Pinus teocote in the eastern area of the state of Hidalgo. A total of 1 985 pairs of h-d data were used; 1 802 pairs were utilized to adjust the 13 equations by means of the MODEL procedure and the SUR technique, and 183 pairs, to validate them. The equations were selected based on a goodness-of-fit test with Mean Square Error and R²_adjusted. The normality of the data, the heterogeneity of the variances and the homogeneity of the residuals were verified. The Gadow and Hui equation displayed the best fit with R²_adjusted = 0.9396 and Root MSE = 1.628. The values of the Shapiro–Wilk test (0.982776),the Durbin–Watson test (1.831) and the Breusch–Pagan test (2.71) and the absolute bias (0.013) validate the equation. No significant differences between the predicted and the real values were found (t test at 95 %). With this model, it is possible to estimate the total height of P. teocote on the basis of the normal diameter, the square diameter and the mean height of the trees at the site.

Key words: Total height, normal diameter, generalized equation, nonlinear models, Pinus teocote Schlecht. & Cham., tand.

Introducción

Las herramientas silvícolas son indispensables para la correcta medición de las dimensiones del arbolado en un bosque, lo cual es fundamental en la planeación y administración de los recursos forestales. En particular, la altura total (h) y el diámetro normal (d medido a 1.30 m sobre el suelo) tienen un papel importante en el modelado del crecimiento y producción de las masas forestales (López et al., 2001; Peng, 2001; Barrio et al., 2004; Juárez et al., 2006; Juárez et al., 2007).

En los inventarios forestales a todos los árboles dentro del sitio de muestreo se les mide el diámetro, pero la altura total solo a una submuestra debido a que consume más tiempo y a los altos costos que genera (Zambrano et al., 2001; López et al., 2003; Gómez et al., 2013). Por ello, se recurre al uso de ecuaciones que relacionan la altura total con el diámetro normal (h-d) de un árbol, las cuales se ajustan a cada masa arbolada de una determinada especie, siempre y cuando sea regular o coetánea (López et al., 2003; Calama y Montero, 2004; Adame et al., 2005; Canga et al., 2007; Diéguez et al., 2009; Gómez et al., 2013).

La relación se puede ajustar a funciones lineales o no lineales, estas últimos son las más comúnmente utilizadas (Huang et al., 1992). La relación h-d recibe el nombre de curva de altura (Diéguez et al., 2009), la cual se obtiene mediante ecuaciones no lineales locales o generalizadas.

En contraste, las h-d generalizadas toman en cuenta, además del diámetro normal, otras variables de la masa como la altura dominante (H₀), la altura media (h_m), el diámetro cuadrático (D_q), el diámetro dominante (d₀), el número de árboles por unidad de superficie (N), la edad (E) y el Índice de Sitio (IS), que permiten considerar la relación con el tiempo entre la altura y el diámetro, la calidad de estación y la densidad (Gadow et al., 2001; Diéguez et al., 2005; Diéguez et al., 2009).

Las variables involucradas incorporan características inherentes a las regresiones de alturas locales tales como el índice de sitio (IS), la densidad del rodal o las existencias volumétricas por unidad de superficie. Además, las correspondientes al rodal pueden obtenerse sin que generen algún costo adicional a la toma de datos en los inventarios forestales (Diéguez et al., 2005; Canga et al., 2007; Gómez et al., 2013).

La construcción, ajuste y uso de este tipo de ecuaciones es la tendencia en el modelado forestal, ya que cubren un área de aplicación y de condiciones de crecimiento más extensos, y estiman con mayor confiabilidad la altura total de cualquier árbol existente en el rodal de la región considerada (Diéguez et al., 2005; Canga et al., 2007; Gómez et al., 2013).

Dada la falta de esa clase de herramientas silvícolas para el cálculo de la altura, y a su relevancia para efectos de planeación de las actividades de manejo en los bosques, se planteó el objetivo de seleccionar una ecuación generalizada de mejor ajuste para calcular la relación altura total en función del diámetro normal (h-d) para rodales puros de Pinus teocote Schlecht. & Cham. en el oriente del estado de Hidalgo. La información que resulte puede utilizarse para la disminución de tiempos y costos en la ejecución de los inventarios forestales de la especie, en esa zona de la entidad.

Materiales y Métodos

El área de estudio se ubica en el municipio Cuautepec de Hinojosa, en los ejidos Santa María Paliseca con una superficie de 1 216.80 ha y Tezoncualpa con 618.70 ha y la propiedad privada Tezoncualpa con 320.83 ha (Figura 1). La altitud se distribuye entre los 2 000 y 3 100 m; el clima es templado, C (w1) (w); la vegetación es característica de un bosque de pinoencino (Inegi, 1992).

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Figura 1. Ubicación del área de estudio en el municipio Cuautepec de Hinojosa, Hidalgo.
Figure 1. Location of the study area in the Cuautepec de Hinojosa municipality, Hidalgo.

Se usaron 1 985 pares de datos h-d de P. teocote provenientes de 198 sitios de muestreo, con dimensiones de 250 m² para las categorías diamétricas de 5 y 10 cm; de 500 m² en las categorías de 15 a 25 cm; y de 1 000 m² para las superiores a 30 cm localizados en rodales puros. Para el ajuste de las ecuaciones se trabajó con 1 802 pares de datos, mientras que 183 se destinaron a la validación de los modelos.

De cada sitio se obtuvo la siguiente información: número de sitio, número de árbol, superficie del sitio, especie, diámetro normal (d) y altura total (h); además se estimaron variables de la masa: diámetro cuadrático (D_q), diámetro dominante (d₀), altura media (h_m), altura dominante (H₀), número de árboles por hectárea (N) y área basal por hectárea (G).

Con base en la literatura existente, se seleccionaron 13 modelos no lineales generalizados para su ajuste, los cuales han sido usados con éxito en diversos estudios (López et al., 2001; López et al., 2003; Diéguez et al., 2005; Trincado y Leal, 2006), y cuya principal diferencia entre ellos es el número de parámetros utilizados y las variables a nivel rodal (Milena et al., 2013) (Cuadro 1).

Cuadro 1. Modelos altura-diámetro generalizados ajustados para Pinus teocote Schlecht. & Cham. ]]> Table 1. Generalized adjusted height-diameter models for Pinus teocote Schlecht. & Cham.

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Donde:

d=Diámetro normal (cm)

d₀= Diámetro dominante (cm)

D_q= Diámetro cuadrático (cm)

H₀= Altura media dominante (m)

β's= Parámetros a ser estimados 

La estimación de los parámetros en el ajuste de los modelos se llevó a cabo con métodos iterativos (Draper y Smith, 1988), con el procedimiento Proc Model y el algoritmo Gauss-Newton del paquete estadístico SAS 9.2^® (SAS, 2010), se empleó el método de ajuste de Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) y la técnica de estimación SUR (Hernández, 2012). Los valores iniciales de los parámetros se fijaron con base en los resultados obtenidos para otras especies (López et al., 2001; López et al., 2003; Trincado y Leal, 2006).

La selección de las mejores ecuaciones se hizo a partir de la bondad de ajuste, medida con el Cuadrado Medio del Error (CME), la Raíz del Error Medio Cuadrático (REMC) y el Coeficiente de Determinación ajustado por el número de parámetros del modelo ( R²_adjustada) (Trincado y Leal, 2006; Milena et al., 2013). Para verificar en los tres mejores modelos el cumplimiento de los supuestos de homogeneidad de varianzas, la independencia de la frecuencia de los residuos y la normalidad en la regresión se usaron las pruebas de Breusch (SAS, 2010), Durbin-Watson y Shapiro – Wilk (Augusto et al., 2009).

Se estimó el sesgo absoluto (E), el cual evalúa la desviación y exactitud del modelo con respecto a los valores observados (Trincado y Leal, 2006). Los estadísticos se obtuvieron con las expresiones siguientes:

Sesgo:

Raíz de error medio cuadrático:

Coeficiente de determinación ajustado

Donde:

h_i = Valores observados

ĥ_i = Valores predichos

ĥ_i = Valores promedio

n= Número total de datos usados en el ajuste del modelo

p = Número de parámetros por estimar

Un modelo será mejor que otro, si presenta un valor menor de Ē y REMC, y un valor mayor del R²_adjustada.

Resultados

En el Cuadro 2 se resumen los valores de las variables utilizadas para ajustar las ecuaciones generalizadas h-d de los 1 985 pares de datos de P. teocote procedentes de 198 sitios de muestreo.

Cuadro 2. Valores extremos, promedio y desviación estándar de las variables utilizadas para el ajuste de las ecuaciones h-d.
Table 2. Extreme and mean values and standard deviation of the variables used to adjust the generalized h-d equations.

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d = Diámetro normal; D_q = Diámetro cuadrático; d_m = diámetro medio; d₀ = Diámetro dominante; h = Altura; H₀ = Altura media dominante; N = Número total de datos. ]]> d = Normal diameter; D_q = Square diameter; d_m = Mean diameter; d₀ = Dominant diameter; h = Height; H₀ = Mean height ; N = Total number of data.

En el Cuadro 3 se presentan los estimadores de los parámetros para cada una de las ecuaciones ajustadas, así como sus indicadores de bondad de ajuste y nivel de confiabilidad. Los mejores ajustes se obtuvieron con los modelos 1, 5, y 6 que permiten predecir con mayor precisión la altura total en función de las variables del rodal, como son el diámetro normal (d), el diámetro cuadrático (D_q), la altura media dominante (H₀) y altura media (H_m).

Cuadro 3. Resumen de los análisis de varianza de los modelos analizados.
Table 3. Summary of the variance analyses of the analyzed models.

SSE^* = Suma de cuadrados del error; CME^* = Cuadrado medio del error.
^*MSE = Mean Square Error; SES^* = Sum of Error Squares.
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Otro criterio utilizado para comprobar la bondad de ajuste de los modelos es el valor del Coeficiente de Determinación ajustado (R²_adjustada). Los valores para los modelos (1): R²=0.9396,(6): R²=0.9374 y (5): R²=0.9357, los cuales se consideran altos ya que explican arriba de 93 % la variación de los datos (Cuadro 3).

Al verificar el cumplimiento de los supuestos de la regresión en los tres modelos que mayor ajuste presentaron [(1), (6) y (5)], se comprobó la normalidad de los errores de acuerdo a la Prueba de Shapiro-Wilk (Cuadro 4) y los porcentajes de frecuencias relativas acumuladas de los residuales frente a la distribución normal (Figura 2).

Cuadro 4. Resultados las pruebas de Shapiro–Wilk, Durbin–Watson y Breusch–Pagan de los tres modelos mejor ajuste.
Table 4. Results of the Shapiro–Wilk, Durbin–Watson and Breusch–Pagan tests of the three models with best adjustment.

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Figura 2. Porcentaje de frecuencias relativas acumuladas de los residuales frente a la distribución normal para los modelos (1),(5)y (6) para Pinus teocote Schlecht. & Cham. en el oriente del estado de Hidalgo.
Figure 2. Percentage of cumulative relative frequencies of the residuals versus the normal distribution for models (1), (5) and (6) for Pinus teocote Schlecht. & Cham. in the Eastern area of the state of Hidalgo.
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En los tres modelos, los residuales se asemejan a una línea recta respecto de la probabilidad de la distribución normal, y sus porcentajes tienden a formar una campana de Gauss (Figura 2). En los tres casos no se observan tendencias claras de violación de la hipótesis de normalidad, por lo que las estimaciones de los parámetros se consideran válidas.

La prueba Durbin–Watson de independencia de la frecuencia de los residuos demuestra que no existe correlación; el modelo (1) se distribuyen de manera más independiente (DW=1.8314). Los modelos (5) y (6) tienen valores de 1.3633 y 1.3304, inferiores a los obtenidos con el modelo (1) (Cuadro 4), por lo que de acuerdo con Augusto et al. (2009), los que tengan un valor más cercano a 2 en dicha prueba, no violan los supuestos de la regresión y son los mejores para la estimación de la variable dependiente.

El modelo (1) registró un valor de BP=2.71 (Cuadro 4), correspondiente a la prueba de Breusch–Pagan para verificar la homogeneidad de la varianza, el cual no es significativo en los residuales (Pr>Chi-Sq=0.4378); por lo tanto, concluye que no existe evidencia estadística significativa de problemas heterocedásticos. En los modelos (5) y (6), los valores de esta prueba son significativos, por ello se rechaza la hipótesis nula de homogeneidad (SAS, 2010).

En la evaluación de la precisión en las estimaciones de los modelos, el registro más bajo del sesgo absoluto expresado en metros fue para el modelo (1)=0.013, seguido del (5)=0.023 y (6)=0.049. El valor positivo del Ē se debe a que todos los modelos tienden a subestimar la altura, con respecto a las variables utilizadas.

Con base en los estadísticos de ajuste (R²_adjustada y REMC), el modelo (1) es el mejor para predecir la altura total en función de variables de árbol individual y de rodal, con la menor desviación de acuerdo al sesgo absoluto. Los modelos (5) y (6), aunque tienen R²_adjustada cercanos a 1 y CME bajos en relación con los demás, errores en las estimaciones semejantes al modelos (1), sin embargo tienden a violar algunos supuestos de la regresión.

Bajo la hipótesis de igualdad de medias para la ecuación 9 se tiene una t=-0.92 y Prob > |T|=0.3600; para la ecuación 13 se obtuvo una t=-1.46 y Prob > |T|=0.1450; mientras que en la ecuación 5 el valor de t=-1.51 y Prob > |T|=0.1329; y en la ecuación 10 las estimaciones fueron t=-1.10 y Prob > |T|=0.2732, por lo que no existe evidencia de que las medias de los datos reales y los estimados sean diferentes en los cuatro casos, tal como se observa en la Figura 3.

Figura 3. Comparación gráfica de valores reales y valores estimados con el modelo (1) para Pinus teocote Schlecht. & Cham. en el oriente del estado de Hidalgo.
Figure 3. Graphic comparison between the actual and estimated values with model (1) for Pinus teocote Schlecht. & Cham. in eastern Hidalgo.
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Discusión

Con base en los valores estadísticos de ajuste (R²_adjustada y REMC), las pruebas de normalidad de los residuales y las medidas para estimar la capacidad predictiva de los modelos, la ecuación de Gadow y Hui (1999) de dos parámetros, que toma como variables de ajuste a la altura media (H_m), el diámetro cuadrático (D_q) y el diámetro normal (d) fue la que mejor ajuste presentó de las 13 ecuaciones ajustadas, lo cual coincide con lo señalado por Zambrano et al. (2001), Arias (2004) y Augusto et al. (2009). Asimismo, es semejante a lo informado por Barrios et al. (2004), cuyos resultados fueron mejores con el modelo (1); también coinciden con Adame et al. (2005; 2013) y Milena et al. (2013) quienes utilizan en común el D_q. Sin embargo, algunos autores indican que el uso del H_m deberá hacerse con precaución para estimar la altura total, por la afectación directa que pueden ejercer las actividades silvícolas aplicadas en los rodales sobre esa variable (Adame et al., 2005; 2013).

La capacidad, predictiva medida a través de sesgo absoluto, solo se evaluó para las tres mejores ecuaciones y en todos los casos, la de Gadow y Hui (1999) fue la que registró los resultados más convincentes, ya que minimiza el sesgo, el error medio cuadrático y maximiza el R²_adjustada (Trincado y Leal, 2006; Augusto et al., 2009). Este criterio de selección concuerda con lo citado por Milena et al. (2013) al utilizarlas para Eucalyptus tereticornis Sm.

La evaluación, mediante la prueba de t a partir de dos poblaciones independientes, de las estimaciones realizadas con el modelo (1) contra los datos observados de la muestra seleccionada para la validación demuestra que no existe diferencia significativa entre las medias de la altura total, lo que confirma que las poblaciones son iguales (Infante y Zárate,1996; Martínez et al., 2006; Infante y Zarate, 2012).

El uso de ecuaciones de altura-diámetro, de tipo local o generalizadas permite disminuir tiempo y costos en el levantamiento de datos en los inventarios forestales (López et al., 2003; Gómez et al., 2013), debido a que la altura total se estima con fidelidad en cada árbol dentro del sitio o área de influencia de la expresión ajustada (Gómez et al., 2013).

Con apoyo de la ecuación de Gadow y Hui (1999) es posible calcular de manera más precisa la altura de los árboles no medidos dentro de los sitios de muestreo y, en consecuencia, se podrán calcular los valores de volumen del rodal, al combinarla con ecuaciones de crecimiento y rendimiento, como lo demostraron Milena et al. (2013) y Trincado y Leal (2006) quienes utilizaron ecuaciones de tipo local y generalizada para la estimación del volumen maderable, y solo obtuvieron diferencias a nivel de productos.

Por la estructura del modelo seleccionado, es factible desarrollar con mayor amplitud esta investigación mediante la aplicación de efectos mixtos dentro del modelo como lo hicieron Calama y Montero (2004), Shara y Parson (2007) y Vander-Schaaf (2013); o el ajuste de la regresión con redes neuronales generalizadas de forma artificial como lo realizaron Diamantopoulou y Özçelik (2012).

Conclusiones

Las ecuaciones h-d generalizadas estiman en forma confiable la altura total de árboles individuales dentro de los rodales. Se recomienda usar la de Gadow y Hui (1999) para la estimación de la altura total en función del diámetro normal, la altura media y el diámetro cuadrático para P. teocote en la región oriente del estado de Hidalgo, la cual demostró ser de fácil uso, tener capacidad predictiva confiable y con sesgo relativamente bajo.

El uso de herramientas silvícolas en los inventarios forestales y, en general, en la planeación de los aprovechamientos en la región, disminuirá de forma significativa los tiempos y costos invertidos actualmente en la ejecución de los inventarios forestales; además se calculará de manera confiable la altura del arbolado y, por consiguiente, se tendrá una referencia del volumen del bosque.

El modelo de Gadow y Hui (1999) es factible incorporarlo a los sistemas de crecimiento y rendimiento, con la finalidad de realizar determinaciones más precisas del volumen existente y la distribución de sus productos para los bosques uniespecíficos de P. teocote en la región.

Conflicto de intereses

Los autores declaran no tener conflicto de intereses.

Contribución para autor

Jonathan Hernández-Ramos: desarrollo de la investigación, captura y análisis de la información, redacción y estructura del documento; Xavier García Cuevas: análisis de la información de campo, evaluador del análisis estadístico y ajuste de los modelos probados, y revisión del documento; Adrián Hernández Ramos: desarrollo de la investigación, captura y análisis de la información y revisión del documento; José Jesús García Magaña: planeación, diseño y supervisor de trabajo de campo, revisor del documento y análisis de la aplicación de los resultados; Hipólito Jesús Muñoz Flores: planeación, diseño y supervisión de trabajo de campo, análisis de la aplicación de los resultados y revisión del documento; Celestino Flores López: evaluación de la aplicabilidad de la información obtenida en campo, evaluación y apoyo en el ajuste de las ecuaciones; Guadalupe Geraldine García Espinoza: análisis de la aplicación de los resultados y revisión del documento.

Agradecimientos

Los autores agradecen a la Corporación Agroforestal y Ambiental S. P. R de R. I. (Coafa) por el financiamiento para la elaboración de la presente investigación y al M .C. Leonardo A. Beltrán Rodríguez por el apoyo en la traducción del resumen y la redacción del documento.

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