Sistema de cubicación para árboles individuales de Tectona grandis L. f. mediante funciones compatibles de ahusamiento-volumen

Volume estimation system for individual Tectona grandis L. f. trees through compatible taper/volume functions

Juan Carlos Tamarit Urías¹, Héctor M. De los Santos Posadas², Arnulfo Aldrete², J. René Valdez Lazalde², Hugo Ramírez Maldonado³ y Vidal Guerra De la Cruz⁴

¹ Campo Experimental San Martinito. CIR-Golfo Centro. INIFAP. Correo-e: tamarit.juan@inifap.gob.mx

³ División de Ciencias Forestales. Universidad Autónoma Chapingo.

⁴ Sitio Experimental Tlaxcala. CIR-Centro. INIFAP.

Fecha de recepción: 8 de septiembre de 2012;
Fecha de aceptación: 22 de mayo de 2013.

RESUMEN

Se construyó un sistema de cubicación de árbol individual generado a partir de una función segmentada de ahusamiento para plantaciones de Tectona grandis establecidas en Campeche, Tabasco y Chiapas. Se cubicaron 144 árboles de diferentes edades; para cada uno se midió el diámetro con corteza y la altura sobre el fuste a 1 m después del tocón hasta la altura total. Se evaluó el ajuste estadístico de seis funciones segmentadas de ahusamiento y se seleccionó al modelo de Fang como el mejor por presentar la mayor precisión, el menor sesgo y por describir el ahusamiento del fuste correctamente. De forma simultánea se le hizo un ajuste con su respectiva función de volumen comercial basado en la técnica de modelo de efectos mixtos, con lo que se logró controlar la variación específica a nivel de árbol, mejorar la estimación de los parámetros y la precisión de las predicciones. Los resultados indican que el sistema de cubicación derivado se conforma de ecuaciones que describen con exactitud el perfil fustal y estiman el volumen comercial y total, así como la altura comercial a un diámetro mínimo y viceversa. Los puntos de cambio en la forma dendrométrica del fuste son similares a los de otras especies de árboles latifoliados. El equivalente al factor de forma que procede del modelo de volumen total fue de 0.43 en promedio y permite realizar estimaciones muy cercanas a los volúmenes observados; comparativamente es inferior al calculado para esta especie en otras regiones tropicales.

Palabras clave: Altura comercial, diámetro mínimo, modelos segmentados de ahusamiento, Tectona grandis L. f., volumen total, volumen comercial.

ABSTRACT

A volume estimation system for individual trees was generated based on a segmented taper function for Tectona grandis plantations established in Campeche, Tabasco and Chiapas. The volume of 144 trees of different ages was estimated; for each, the diameter with bark was measured, as was the height above the stem base from 1 m above the stump to the total height. The statistical adjustment of six segmented taper functions was assessed, and the model of Fang was selected as the best, since it is the most accurate, the one with least bias and provides a correct description of the stem taper. An adjustment was simultaneously made with its respective merchantable volume function based on the mixed effect model technique, whereby the specific variation was controlled at tree level, and the estimation of the parameters and the accuracy of the predictions were improved. The results indicate that the derived volume estimation system consists of equations that accurately describe the stem profile and estimate the merchantable and total volumes, as well as the merchantable length at a minimum diameter and vice versa. The points of change in the dendrometric stem shape are similar to those of other broadleaf tree species. The equivalent of the shape factor from the total volume model was 0.43 in average, which allows estimations that are very close to the observed volumes and is comparatively lower than that estimated total volume for this species in other tropical regions.

Key words: Merchantable height, minimun diameter, segmented taper models, Tectona grandis L. f., merchantable volume, total volume.

INTRODUCCIÓN

La teca (Tectona grandis L. f.) es una especie arbórea de rápido crecimiento. A partir del alto valor económico de su madera, se le ha incorporado como integrante de diversas plantaciones forestales comerciales (PFC) establecidas sobre grandes extensiones en México durante los últimos años, principalmente en el sureste del país. La superficie plantada para 2012 era de 221 000 hectáreas, la teca cubría alrededor de 10 %, lo que la define como la cuarta en importancia (Conafor, 2012). Pese al esfuerzo técnico y de inversión ejercidos por el gobierno federal y la iniciativa privada para el establecimiento de PFC con esta opción, hace falta realizar estudios enfocados a generar instrumentos técnicos que sean de utilidad práctica y operativa para su evaluación.

Una de las necesidades primarias, en todo proyecto de inversión en PFC, es contar con un sistema que haga posible la cubicación precisa del volumen total y comercial de los árboles individuales en pie. Pérez y Kanninen (2003) generaron ecuaciones para estimar el volumen total del árbol para plantaciones de teca en regiones bajo condiciones edáficas, climáticas y silvícolas diferentes a las prevalecientes en el sureste mexicano; por ello es necesario desarrollar un sistema particular para este taxón orientado a la determinación de ambos tipos de volumen ante el incremento de espacios que lo incluyen en la actualidad.

Tradicionalmente se calcula el volumen total de árboles individuales mediante un modelo que considera el diámetro normal y la altura total. No obstante, en especies de alto valor maderable es más útil y relevante conocer su correspondiente distribución de productos según el uso industrial y comercial, pues con ello se está en la posibilidad de efectuar una mejor valoración de la PFC (Adu-Bredu et al., 2008). Para tal propósito, se recurre a funciones de ahusamiento que describan con precisión el perfil diamétrico del fuste y facilitan el cálculo de la distribución de productos a cualquier límite en diámetro o altura comercial (Diéguez-Aranda et al., 2009). Un modelo de ese tipo debe estimar la altura sobre el fuste a un determinado diámetro mínimo o viceversa y con ello el volumen respectivo. El resultado es una tabla de cubicación por producto, lo que la convierte en un valioso instrumento técnico de apoyo para el manejo del recurso forestal con fines maderables (Sakici et al., 2008).

Entre las funciones de ahusamiento destacan las de exponente variable y los modelos segmentados por su proceso de construcción y precisión. En la derivación de ambos se toman en cuenta los cuerpos dendrométricos del árbol: neiloide en la parte basal, cilindro o paraboloide en la sección central y cono en la porción superior. En los modelos segmentados, cada sección se une imponiendo condiciones de continuidad de la curva, con lo que se tienen puntos de unión en las diferentes formas que componen al fuste del árbol (Diéguez-Aranda et al., 2009). Estos tienen ventaja sobre los de exponente variable, ya que se integran en forma analítica para estimar el volumen comercial y total, de lo que resulta una ventaja adicional: la de conformar un sistema compatible de ahusamiento y volumen comercial; puesto que al compartir los mismos parámetros pueden ajustarse en el proceso de regresión de manera simultánea.

MATERIALES Y MÉTODOS

La muestra analizada estuvo integrada por 144 árboles obtenidos de plantaciones ubicadas en Campeche, Tabasco y Chiapas. Cada árbol se derribó y troceó; asimismo se efectuaron mediciones de diámetros con corteza (d) y alturas (HM) tomadas a cada 30 cm en individuos maduros (edad promedio de 230 meses) y cada metro en ejemplares jóvenes (edad promedio de 80 meses), a partir de una altura inicial que corresponde al tocón (hb) hasta la altura total (H), además del diámetro normal (D). En total se tuvieron 2 648 pares de observaciones diámetro-altura distribuidas a lo largo de los fustes. En el Cuadro 1 se presentan las estadísticas básicas descriptivas de las variables analizadas. La cubicación de las trozas se realizó usando la fórmula de Newton y el método del centroide (Wiant et al., 1992), para la punta del fuste se usó la fórmula del cono. El volumen total del fuste por individuo se determinó mediante el método de trozas traslapadas, con base en Bailey (1995). Previo a su procesamiento, la información de las variables del ahusamiento y del volumen acumulado por árbol muestreado se graficó, situación que permitió auditar, corregir y depurar la base de datos seminal para obtener los comportamientos y tendencias lógicas que se observan en la Figura 1a y 1b.

Los modelos que se consignan en el Cuadro 2, conformaron el grupo de funciones segmentadas de ahusamiento compatibles con el volumen comercial, mismas que se probaron y evaluaron para describir el perfil fustal de los árboles de teca.

El ajuste estadístico de los modelos segmentados de ahusamiento se efectuó por máxima verosimilitud, con el procedimiento MODEL del paquete estadístico SAS/ETS® (Statistical Analysis System, 2008). La evaluación y selección del mejor se realizó utilizando el coeficiente de determinación corregido por el número de parámetros (R2adj), el sesgo, la raíz del error cuadrático medio (RECM) y el criterio de información de Akaike (AIC), estimados de la siguiente forma:

Donde:

= Valores estimados, observados y promedios del ahusamiento (d)

n = Número total de observaciones usadas en el ajuste de los modelos

Con el propósito de facilitar la selección del mejor modelo, además de los anteriores estadísticos de bondad de ajuste, se consideró la suma de cuadrados del error (SCE), el cuadrado medio del error (CME), el valor de verosimilitud (logLik), y se generó un criterio de calificación que de acuerdo con Sakici et al. (2008) consistió en jerarquizar los estadísticos de cada modelo, mediante la asignación de valores consecutivos del 1 al 6 en función al orden de importancia (1 al mejor valor del estadístico y 6 al valor más pobre), posteriormente, la sumatoria de los valores conformó la calificación total de cada modelo, por comparación se identificaron los mejores, que correspondieron aquellos con el menor valor en la calificación total.

Una vez seleccionado el mejor modelo de ahusamiento, por la compatibilidad que existe entre la función de ahusamiento con su respectiva expresión de volumen comercial, pues comparten los mismos parámetros, se procedió ajustar de manera simultánea los de ahusamiento y de volumen.

Para ello y con fines comparativos, se probaron dos técnicas: primero se efectuó el ajuste simultáneo por mínimos cuadrados no lineales (NLS) y después el mismo sistema se ajustó mediante el enfoque de modelo de efectos mixtos (MEM). Previamente, se conformó la base de datos como una estructura bi-variada que permite incluir efectos aleatorios MEM (Pinheiro y Bates, 2000; Hall y Clutter, 2004), lo que llevó a tener un sistema expresado en el modelo 7. Ambos ajustes se hicieron con el programa estadístico R versión 2.14.0 (http://www.r-project.org, R Development Core Team, 2009), para el MEM se empleó el paquete NLME de R con máxima verosimilitud.

Donde:

d_i = Vector de observaciones de ahusamiento en el i-ésimo árbol

V_i = Vector de observaciones de volumen comercial en el i-ésimo árbol

f(...) = Define la estructura del modelo de ahusamiento

g(...) = Define al modelo de volumen comercial

Donde:

B₁= Parámetro con efecto mixto, y se expresa como B₁+b_1i

b_i = Parámetro con efecto aleatorio

Los efectos aleatorios del modelo se definen como e_i~N(0, σ²I) y b_i~N(0, φ²). Los datos de tipo longitudinal son irregularmente espaciados y no balanceados en esta clase de estudios; en el ajuste simultáneo del sistema mediante MEM con los comandos apropiados del paquete NLME de R, se realizó la corrección por heterocedasticidad y enseguida por autocorrelación, con lo que se ejecutan de manera sólida las pruebas de hipótesis habituales sobre los parámetros, además de estimar intervalos de confianza más realistas (Zimmerman y Núñez-Antón, 2001).

La corrección por heterocedasticidad se efectuó con un modelo y una ponderación de la varianza de los errores por medio de la función exponencial (e); el factor de ponderación fue sobre HM solo para el ahusamiento (di) y con el volumen comercial constante (Vi), la función quedó estructurada como:

En la que φ fue el parámetro por estimarse y f una variable indicadora que toma el valor de 1 para el ahusamiento y 0 para el volumen comercial.

La corrección por autocorrelación se hizo por el modelado del término de error (e_ij) con una estructura continua autorregresiva de primer orden (AR(1)), la cual quedó expresada como:

Donde:

e_ij = j-ésimo residuo ordinario en el i-ésimo árbol

Ψ₁= 1 para j > k y cero para j=1

ρ₁ticu= Parámetro autorregresivo de orden 1 por ser estimado

t_ij-t_ij-1 = Distancia que separa las observaciones j y j-1 dentro de cada árbol

ε_ij = Término del error bajo la condición de independencia

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

En el Cuadro 3 se reúnen los valores de los parámetros de los modelos ajustados; todos resultaron significativos con nivel de confiabilidad de 95%, excepto el parámetro B₂ para el modelo 6 que fue no significativo. Los modelos 3 y 4 estiman el primer punto de inflexión en el que ocurre el cambio de neiloide a paraboloide a 7 % de la altura total; en tanto que, el segundo punto de inflexión en el que sucede el cambio de paraboloide a cono lo estiman a 58 % y 68 %, respectivamente.

El modelo 3, si bien entre todos los probados tiene el mayor número de parámetros, presenta la ventaja adicional de tener una ecuación explícita de volumen total que corresponde al modelo de Schumacher-Hall; además, de forma implícita cuenta con una ecuación de volumen comercial que al obtenerla mediante integración analítica resulta compatible con la función de ahusamiento; por lo que conforman un sistema que puede ajustarse de manera simultánea. Para una comparación más objetiva de la bondad de ajuste sobre el ahusamiento, se debieran asumir como constantes los valores de los parámetros a₁=2 y a₂=1. En la mayoría de los estudios que se usaron como contraste, el ajuste de este modelo es claramente superior, pero se soslaya siempre el hecho de que ello responde a que considera a muchos más parámetros disponibles; en el presente trabajo se optó por utilizar los modelos en la forma original, como fueron generados por sus respectivos autores.

La función que calcula el volumen comercial (Vc) propuesta por Fang et al. (2000), la cual es compatible para su ajuste con la del ahusamiento, así como la expresión correspondiente para estimar la altura comercial (HM) a un diámetro mínimo comercial (d) y la ecuación de volumen total (V) se refieren a continuación:

Junto con la expresión de ahusamiento (modelo 3),

Así, queda conformado el sistema de cubicación para árboles individuales de teca. Con la ecuación de volumen total, definida a partir del diámetro normal y la altura total, es fácil generar una tabla de volumen total; en tanto que al combinar el resto de las ecuaciones hace posible determinar el volumen comercial a un diámetro o altura mínimo requerido, además del diámetro mínimo a una altura comercial en particular y viceversa.

En el Cuadro 5 se presentan los valores de los parámetros y estadísticos del ajuste simultáneo del sistema de ahusamiento y volumen comercial al usar NLS. Diéguez-Aranda et al. (2009) señalan que cuando se estiman todos los parámetros del sistema de manera simultánea, se optimiza la suma de cuadrados de los errores; con ello se logra minimizar los de predicción tanto del diámetro a diferentes alturas, como del volumen.

Los resultados en términos de calidad del ajuste y respecto a los puntos de inflexión (p₁, p₂) son muy similares a los obtenidos por Pompa-García et al. (2009) para árboles de Quercus sp. que forman bosques naturales comerciales en Chihuahua, México; a los registrados por Fang et al. (2000) para Pinus taedaL. y P. elliottii Engelm. establecidos en plantaciones de la costa atlántica de Estados Unidos de América; y a los de Corral-Rivas et al. (2007) para ejemplares de cinco especies de Pinus en bosques naturales de Durango, México.

También coinciden con los dados a conocer por Diéguez-Aranda et al. (2006) para individuos de Pinus sylvestris L. que conforman rodales naturales en el noroeste de España; y a los consignados por Li y Weiskittel (2010) para árboles de Abies balsamea(L.) Mill., Picea rubens Sarg. y Pinus strobus L. localizados en bosques naturales en la región Acadian de Norte América. En todos los casos, p₁ se estima por abajo de 10 % de la altura total y p₂ entre 54 - 69 %, lo que revela que el modelo de Fang et al. (2000) es lo suficientemente flexible para aplicarlo en la descripción del ahusamiento del fuste tanto de latifoliadas como de coníferas en diferentes regiones ecológicas.

Tales diferencias es factible atribuirlas, al menos parcialmente, a las diferentes condiciones de crecimiento relativas al clima, suelo, topografía, entre otras. El volumen total que se calculó con el modelo para árboles de teca en la zona de estudio, si bien tiende a ser ligeramente conservador, sobre todo en árboles con mayor edad que pueden considerarse maduros y de interés comercial para la cosecha final, es mucho más realista para las condiciones de crecimiento prevalecientes.

La comparación del ajuste simultáneo del sistema al usar NLS y MEM aún sin corregirse por heterocedasticidad y autocorrelación (MEM-A), se efectuó mediante la prueba de razón de verosimilitud que resultó significativa (p < 0.0001) (Cuadro 6); es mejor el ajuste al usar MEM, dados los menores valores en el criterio de información de Akaike (AIC) y en el criterio de información Bayesiano (BIC), así como el mayor valor en la verosimilitud (logLik).

El Cuadro 6 muestra que el MEM-C corregido tanto por heterocedasticidad como por autocorrelación es estadísticamente mejor. Cruz-Cobos et al. (2008) refieren que en ciertos casos adicionar parámetros específicos permite un uso más eficiente de los datos y minimiza los problemas de heterocedasticidad y autocorrelación, sin tener que recurrir a la corrección explícita de estas condiciones; aunque, para su completa corrección y de acuerdo con Garber y Maguire (2003) es necesario recurrir al procedimiento antes referido. Así, después de la corrección citada los residuales del MEM son más homogéneos, como lo demuestra la estacionariedad y no significancia en los primeros retardos (Figura 2).

En el Cuadro 7 se resumen los valores de los parámetros, la bondad del ajuste y los intervalos para los parámetros con efectos fijos, resultado del ajuste del modelo 7 MEM-C. En comparación con el método de ajuste NLS (Cuadro 5); se observa una ganancia en la eficiencia al calificar los puntos de inflexión, pues se logra una reducción de 60 % en el error estándar para p¹ y de 40 % en p², aun cuando en el resto de los parámetros se reduce su eficiencia, ya que sus errores estándar son superiores. Lo anterior no afecta a las pruebas de hipótesis ni la escala de los parámetros estimados tanto para la forma del fuste como para el volumen total.

La ganancia por ajustar bajo el enfoque de MEM puede apreciarse mejor al observar el comportamiento de los residuales contra los predichos, principalmente los que corresponden al ahusamiento (Figura 3), en los que, además de tener una distribución que tiende a ser aleatoria alrededor de cero, la escala en la dispersión es menor en comparación con los residuales que arroja el ajuste por NLS. Al respecto, Fang y Bailey (2001) indican que bajo el enfoque MEM es posible mejorar las características de los parámetros al compensar por el efecto de variables tomadas en una misma unidad experimental; agregan que dicha perspectiva considera la correlación contemporánea, lo que ayuda a reducir de forma importante el error estándar de los parámetros del modelo y a unificar los valores por componente.

Con la información básica dada por los valores que toman los parámetros aleatorios (B₁, F, y p₁) a nivel de árbol (Cuadro 8), al usar MEM es posible realizar predicciones de volumen comercial muy precisas en árboles con alto valor económico, sin que se modifique la estructura del modelo al incluir observaciones adicionales (Fang y Bailey, 2001). Para ello, se definen los efectos aleatorios específicos de los árboles de interés y se incorporan de manera directa en la predicción; Cruz-Cobos et al. (2008) desarrollaron el proceso para realizar dicha estimación. Aparte de la información básica para el ajuste del sistema, es necesario contar con información a priori adicional de inventario de los árboles de interés, como son nuevas medidas de diámetros (del tocón y por arriba del diámetro normal con su correspondiente altura), además del diámetro normal y la altura total.

Diéguez-Aranda et al. (2006) y Li y Weiskittel (2010) refieren en sus respectivos estudios que el modelo segmentado de Fang et al. (2000) se comporta bien para estimar tanto el volumen total como diámetros a diversas alturas en árboles de coníferas con diferente tamaño en diámetro normal y altura total. En este estudio, no obstante el excelente ajuste obtenido, se observó, sobre todo en árboles maduros, que el modelo tiende a ser ligeramente menos preciso para alturas y diámetros en la vecindad del diámetro normal, comparado con las estimaciones efectuadas a partir del segundo tercio de la altura total.

Rodríguez y Broto (2003) al seleccionar el mismo modelo, también identificaron una menor precisión y mayor sesgo en la parte baja de árboles latifoliados (Quercus pyrenaicaWilld., Populus x euramericana (Dode) Guinier y Fagus sylvatica L.) de Castilla y León, España; lo atribuyen a que en ese nivel, el diámetro del fuste es comparativamente más grande y a la alta variabilidad en la forma fustal en especies con poca dominancia apical. En el caso del presente estudio, se considera que toda vez que en la parte baja del árbol pueden hacerse mediciones de manera directa, lo realmente importante es disponer de una herramienta que permita realizar estimaciones precisas de las alturas y diámetros mínimos comerciales en la parte alta del fuste, además de conocer el respectivo volumen comercial y total.

Si se tiene un árbol con D= 40.1 cm y H= 24.7 m, el sistema cubica un volumen total del fuste de 1.16 m³, el cual es próximo al observado de 1.17 m³ y es mejor en términos de precisión al obtenido con el factor de forma de 0.45, de 1.41 m³; al especificar un diámetro mínimo comercial en punta del fuste de 12 cm, se estima una altura comercial de 18.2 m, y con esas especificaciones y desde el tocón, el volumen comercial sería de 1.14 m³. En el Cuadro 9 se presenta la tabla de volumen total generada con el modelo de Schumacher-Hall.

CONCLUSIONES

El modelo seleccionado hizo posible alcanzar la precisión más alta y el menor sesgo entre seis funciones segmentadas de ahusamiento analizadas; fue seleccionado como el mejor para describir el perfil diamétrico del fuste y para cubicar árboles individuales de teca establecida en plantaciones comerciales en el sureste de México. Junto con su respectiva función de volumen comercial y total conforman un sistema completo de cubicación a nivel de cada árbol.

El ajuste simultáneo del sistema ahusamiento - volumen comercial mediante la técnica de modelos de efectos mixtos fue estadísticamente mejor que al usar mínimos cuadrados ordinarios, pues ofrece estimaciones más precisas y consistentes tanto del volumen comercial y total, como de diámetros mínimos comerciales a diferentes alturas y viceversa.

Los puntos de cambio de la forma dendrométrica del fuste de teca son similares a los registrados en otros estudios para otras especies latifoliadas y coníferas bajo manejo, lo que refleja la gran flexibilidad que tiene la función segmentada seleccionada; en promedio, el fuste de teca adopta la forma de cono por arriba de 58 % de su altura total.

El modelo de volumen total implícito en la función de ahusamiento realiza estimaciones que son ligeramente conservadoras comparadas con las que consigna la literatura para esta especie en otros países de América Tropical, pero más próximas a los volúmenes observados en la zona de estudio, lo cual refuerza su validez.

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