Use of survival functions in social sciences and in population studies; application in the case of Mexico
Alejandro Mina–Valdés
El Colegio de México. Correo electrónico: amina@colmex.mx.
Resumen
Este artículo presenta bases probabilísticas, estadísticas y matemáticas útiles para la obtención de funciones de supervivencia que se emplean en la descripción de la tendencia, por edad en el tiempo, a la extinción de una población. Luego de introducir las bases teóricas de dichas funciones, se lleva a cabo un ejercicio con datos de México que permiten la proyección de la estructura por edad de la mortalidad en este país. El hecho de que sea posible obtener tablas de mortalidad a corto y largo plazos, en las que se pueden cuantificar las ganancias en las esperanzas de vida que se tendrán en el futuro sirve, entre otras cosas, para la legislación sobre las edades de retiro de la población económicamente activa y la legislación sobre la conveniencia de ampliarlas y a cuántos años.
]]> Palabras clave: funciones de supervivencia, probabilidad de muerte, probabilidad de supervivencia, fuerza de mortalidad, esperanza de vida, edad de retiro, México.
Abstract
This article presents useful probabilistic, statistical and mathematical bases to obtain survival functions employed in the description of the tendency by age in time, to the extinction of a population. After introducing the theoretical bases of said functions, an exercise with data for Mexico is carried out; these data allow projecting the structure by age of the mortality of this country. The fact of obtaining mortality rates for the sort and long terms, where the improvements of life expectancy for the future might be quantified works for, among other things, legislating on the retirement ages for the workforce and on the convenience of broadening them and how many years more.
Key words: survival functions, casualty probability, survival probability, mortality force, life expectancy, retirement age, Mexico.
Introducción
La obtención de funciones matemáticas que expliquen el impacto de los fenómenos demográficos ha sido una tarea que desde el siglo XIX y hasta la fecha se ha realizado de manera tal que hoy en día se tienen, en el campo actuarial y demográfico, avances que permiten confrontar diversas funciones para obtener ajustes que optimicen el comportamiento de variables como la mortalidad en poblaciones humanas.
En el presente trabajo se presentan las bases probabilísticas, estadísticas y matemáticas que dan lugar a la obtención de funciones de supervivencia que se emplean en la descripción de la tendencia por edad en el tiempo, de la forma en que se extingue una población. Así, en una primer instancia se presentan las bases teóricas de dichas funciones, para que en una segunda instancia se obtengan, para el caso de México, las funciones de ajuste que permiten, en última instancia, la proyección de la estructura por edad de la mortalidad en México.
]]> Probabilidades de muerte y supervivencia
Sea X la variable aleatoria 'edad de muerte de un recién nacido', la cual es continua, y F es la función de distribución, entonces:
Siendo: x >0 y F (0) = 0
Teniéndose que la probabilidad de que un recién nacido fallezca entre las edades x y x + t es:
Y la probabilidad de que un recién nacido sobreviva a la edad x,
Con la probabilidad de que una persona de edad x fallezca entre las edades x y x + t
Siendo, obviamente, Fx(y) = 0 siempre que y < x, siendo suficiente conocer la función de distribución F de la edad de muerte de un recién nacido para conocer la función de distribución Fx.
Función de supervivencia
La función de supervivencia proporciona, para cualquier edad x, la probabilidad de que un recién nacido alcance la edad x, es decir,
Con lo que, obviamente, s(0) = 1
Y dada (x), su 'vida residual' o 'vida futura', o también 'tiempo de vida hasta el fallecimiento', es una variable aleatoria que se representa por Tx, denotando por Gx su función de distribución, de modo que:
será la probabilidad de que una persona viva a la edad x fallezca en el transcurso de t años, es decir, antes de la edad x + t. Es claro que Τx = Υx–x, siendo, pues, T0 = X.
Si Τx es una variable aleatoria continúa, su función de densidad está dada por:
La variable aleatoria 'número de años completos hasta la muerte de una persona de edad x' es por definición discreta y se representa por Κx, teniéndose que:
Siendo:
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Fuerza de mortalidad
La fuerza de mortalidad se denota por μ(x) y define como:
Como sabemos que f(x) = s '(x), se deduce que:
La fuerza de mortalidad puede obtenerse como el límite del cociente entre la proporción de los fallecidos en tiempo t, tqx, por unidad de tiempo cuando t tiende a cero.
Que puede inteφretarse como la fuerza de mortalidad de (x) a la edad x+ t.
]]> Dado:
, integrando se tiene: 
De donde se sigue que:
Por lo tanto.
Y haciendo el cambio de variable s = z – x se tiene:
Despejando y derivando se deduce:
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Funciones de supervivencia clásicas
Para un rango de edades no extenso existen múltiples funciones básicas que se pueden utilizar. La principal utilidad de estas funciones está en permitir estimar la mortalidad anual mediante su uso en las hipótesis de mortalidad intraintervalo. Con las estimaciones para cada año de edad se obtiene la tabla de mortalidad. Esta utiliza valores enteros de x para los que se calcula su correspondiente valor según S(x). La falta de valores intermedios para valores no enteros de x se resuelve estableciendo hipótesis de mortalidad o métodos de interpolación entre valores enteros consecutivos que permiten considerar el modelo completamente especificado para todos los valores positivos de x.
Algunas distribuciones de supervivencia clásicas coherentes con la evidencia empírica más utilizadas en la práctica son:
Ley de Moivre
Supone un comportamiento lineal, con laedad, de lafunción de supervivencia según una progresión aritmética no negativa pero decreciente:
La fuerza de mortalidad que corresponde a la expresión anterior será:
La probabilidad de muerte se obtendrá como nqx = η μ (x), esto es, directamente proporcional al tanto instantáneo de mortalidad o fuerza de mortalidad.
Primera ley de Dormoy
Supone una determinada forma de variación de la función de supervivencia, lo que equivaldrá a una función de supervivencia exponencial no negativa, decreciente y convexa respecto de la variable edad:
La fuerza de mortalidad que corresponde a la expresión anterior será: 
Se tiene una fuerza de mortalidad constante respecto de la edad, lo que restringe su utilidad a intervalos cortos (interpolación entre dos edades enteras consecutivas, por ejemplo). Según las expresiones anteriores, se llega a probabilidades de muerte y de supervivencia de la forma:
Que sólo dependen de la amplitud del intervalo considerado.
Segunda ley de Dormoy
]]> Se modifica la primera ley para que aparezca la variable edad en la fuerza de mortalidad. Se elige un polinomio de primer grado que conduce a una fuerza de mortalidad creciente con la edad (no aplicable a personas jóvenes): μ (x) = a + b x, con b > 0.La función de supervivencia que corresponde a la expresión anterior será:
Esto es, no negativa, decreciente y cóncava. Según las expresiones anteriores, se llega a probabilidades de muerte y de supervivencia que dependen de la amplitud del intervalo y de la edad considerada.
Tercera ley de Dormoy
Se modifica la primera ley para que aparezca la variable edad en la fuerza de mortalidad.
Se elige un polinomio de segundo grado: μ(x) =a + bx + cx2
La función de supervivencia que corresponde a la expresión anterior será:
Las expresiones anteriores permiten más posibilidades aunque complican los cálculos de probables estimaciones.
]]> Ley de SangSupone un comportamiento de la función de supervivencia geométrico respecto de la edad, junto con la existencia de otro factor diferente a la edad:
La fuerza de mortalidad que corresponde a la expresión anterior será:
Se observa cómo la función de supervivencia es decreciente y convexa respecto de la edad. En realidad, supone una modificación de la primera ley de Dormoy que se consigue añadiendo un término constante en la función de supervivencia para recoger la influencia en la mortalidad de un factor distinto de la edad.
Ley de Gompertz
Se fundamenta en un determinado comportamiento del incremento de la fuerza de mortalidad:
Se llega a una fuerza de mortalidad de la forma:
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La función de supervivencia que corresponde a la expresión anterior será:
Las expresiones anteriores consideran la edad como la única causa de muerte (no incluye factores accidentales), siendo la fuerza de mortalidad siempre creciente con la edad, aspecto más relevante a edades altas.
Primera ley de Makeham
Se fundamenta en un determinado comportamiento del incremento de la fuerza de mortalidad que manifiesta la posible existencia de factores accidentales:
Se llega a una fuerza de mortalidad nunca decreciente, de la forma:
La función de supervivencia que corresponde a la expresión anterior será:
]]>
Segunda ley de Makeham
Se fundamenta en la anterior, pero añadiendo a la fuerza de mortalidad otro sumando proporcional a la edad:
La función de supervivencia que corresponde a la expresión anterior será:
Las expresiones anteriores permiten más posibilidades, aunque complican los cálculos de probables estimaciones.
Ley de Lazarus
Se introduce otro término en la primera ley de Makeham para ampliar su utilidad en edades no necesariamente altas:
Las expresiones anteriores permiten más posibilidades, aunque complican los cálculos de probables estimaciones.
Ley de Weibull
Se basa en la siguiente forma que, supone, sigue la fuerza de mortalidad:
La función de supervivencia que corresponde a la expresión anterior será:
Ley exponencial
Esta ley se basa en la suposición de que el tanto instantáneo de mortalidad es constante
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Teniendo en cuenta que la lógica nos impulsa a afirmar que la fuerza de mortalidad aumenta con la edad, esta ley sólo tendría validez en periodos cortos. La función de supervivencia asociada a esta ley será:
En cuanto a la vida residual, tenemos:
Y su función de densidad:
Tablas de mortalidad
Un hecho patente es que la probabilidad de que un individuo fallezca a una determinada edad depende no sólo de su edad, aspecto que hemos tratado previamente, sino también de otros aspectos como el sexo, su estado de salud general, sus antecedentes genéticos, el medio ambiente en el que desarrolla su vida, etc. Es evidente que la mortalidad aumenta con la edad, salvo para las edades infantiles. También se ha comprobado que la mortalidad femenina es menor que la masculina, cuando los demás factores son iguales. Las estadísticas y censos relativos a una población suelen agrupar la población por edades y sexo, pero no tienen en cuenta otros factores como el estado de salud o las condiciones generales de vida (exposición a factores de riesgo, antecedentes genéticos, entre otros). Sin embargo, si la población es suficientemente grande, el principal factor determinante de la mortalidad es la edad, por lo que previamente sólo se ha considerado la edad como factor determinante de la mortalidad. Se denomina población homogénea a una población que verifica esta propiedad, es decir, en la que el factor determinante de la mortalidad es la edad. En adelante consideraremos que las poblaciones con las que tratamos son homogéneas, como por ejemplo la población masculina o femenina en un determinado país o región. Una tabla de mortalidad, o de supervivencia, si se prefiere, contiene los aspectos fundamentales que permiten calcular las probabilidades de muerte y supervivencia en una población homogénea, a partir de los cuales se llevan a cabo los cálculos actuariales.
]]> Resultados de la obtención de funciones de supervivencia al caso de MéxicoEn el cuadro 1 y en la gráfica 1 se presentan las esperanzas de vida obtenidas, previa adquisición de las funciones de supervivencia, con base en las tablas de mortalidad conseguidas a partir de las proyecciones de los parámetros de las funciones de supervivencia para los años 2010, 2020, 2030, 2040 y 2050.
Conclusiones
Las funciones de supervivencia son una herramienta útil en la descripción del impacto de la mortalidad. Con ellas se puede resumir en pocos parámetros a la tabla de mortalidad, en especial a la serie de sobrevivientes a edad exacta x (lx), lo que adicionalmente permite, una vez que la tendencia histórica de dichos parámetros se tiene, proyectar el impacto de la mortalidad, obteniéndose las tablas de mortalidad a corto y largo plazo, pudiendo cuantificar las ganancias en las esperanzas de vida que en el futuro se tendrán, lo que sirve, entre otras cosas, para la legislación sobre las edades de retiro de la población económicamente activa y la legislación sobre la conveniencia de ampliarla, y hasta qué edad realmente hacerlo.
]]> Anexo 1
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Información sobre el autor
Alejandro Mina Valdés. Actuario y matemático por la Universidad Nacional Autónoma de México, maestro en Demografía por El Colegio de México. Profesor–Investigador de tiempo completo del Centro de Estudios Demográficos Urbanos y Ambientales de El Colegio de México de 1979 a la fecha, coordinador de la Maestría en Demografía de 2006 al 2009 en el Centro de Estudios Demográficos y de Desarrollo Urbano de El Colegio de México. Es miembro del Sistema Nacional de Investigadores. Entre sus publicaciones más importantes destaca: "Las causas de muerte en México y sus ganancias en las esperanzas de vida", en Población, Ciudad y Medio Ambiente en el México Contemporáneo, El Colegio de México, 2006. pp. 115–148.
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