Propiedades dimensionales e inerciales del sistema fruto-pedicelo del mango relacionadas con la cosecha por vibración*

Dimensional and inertial properties of the fruit-stem system of mango related with harvest by vibrationn

Pedro Ramón Mayans Céspedes^1§, Gilberto de Jesús López Cansteñs¹, Eugenio Romanchik Kriuchkova¹ y Luciano Pérez Sobrevilla¹

¹ Departamento de Ingeniería Mecánica Agrícola- Universidad Autónoma Chapingo. Carretera México-Texcoco, km 38.5, Texcoco, México. C. P. 56230. Tel: 5959521680. (alelopez10@hotmail.com; eugenior@correo.chapingo.mx; sobrevill2002@hotmail.com). ^§Autor para correspondencia: mayans@correo.chapingo.mx.

* Recibido: julio de 2014
Aceptado: diciembre de 2014

Resumen

Para el diseño y operación de máquinas cosechadoras de mango por vibración, es necesario conocer las propiedades físico-mecánicas del sistema fruto-pedicelo, ya que constituyen los datos de entrada para la evaluación de los modelos teóricos empleados en el análisis de la dinámica del sistema, así como su modelación con el fin de conocer los modos y regímenes de vibración más apropiados para el desprendimiento de los frutos. El presente trabajo tiene como objetivo determinar las características dimensionales del sistema fruto-pedicelo del mango (Mangifera indica L.) y las propiedades inerciales del fruto. Para ello, se elaboró una metodología y se seleccionaron los medios e instrumentos de medición con las precisiones establecidas en las normas mexicanas. Las mediciones se realizaron en una parcela experimental de mango de la variedad Manila, ubicada en Ídolos, Veracruz; en junio de 2013, obteniéndose los valores medios del diámetro polar, ecuatorial mínimo y máximo del fruto, la longitud y diámetro del pedicelo así como la masa, los momentos de inercia y la densidad volumétrica de los frutos, para tres estadios de maduración. El análisis de varianza mostró que existen diferencias significativas entre las medias para 95% del nivel de significancia en las propiedades para frutos maduros, con maduración fisiológica y verdes, lo que favorece la aplicación de regímenes de vibración que permita la caída de los frutos de acuerdo al nivel de maduración.

Palabras clave: Mangifera indica L., frecuencia natural, resonancia, selectividad.

Abstract

For the design and operation of mango harvesting machines by vibration, is necessary to know the physical-mechanical properties of fruit-stem system, since they constitute the input data for the evaluation of the theoretical models used in the analysis of dynamic systems, thus its modeling in order to know the most appropriate modes and regimes of vibration for detachment of fruits. This study aims to determine the dimensional characteristics of fruit-stem system of mango (Mangifera indica L.) and the inertial properties of fruit. For this, a methodology was developed and selected the means and instruments of measurement with points established in Mexican standards. The measurements were performed in an experimental plot of Manila mango, located in Idolos, Veracruz; in June 2013, obtaining average values of fruit polar diameter, minimum and maximum equatorial, length and diameter of stem as well as mass, moments of inertia and bulk density of fruits, for three stages of maturation. Analysis of variance showed significant differences between means for 95% level of significance in the properties for ripe fruits, with physiological maturation and greens, which favors the application of vibration regimes that allow fruit to drop according to maturation level.

Introducción

El sistema máquina-árbol-fruto es un sistema complejo compuesto de varios subsistemas, uno de los modelos más completos para el estudio de este sistema fue elaborada por Llanes et al. (2000) y su aplicación ha sido validada experimentalmente con éxito durante el desprendimiento de frutos por vibración en cítricos, guayaba y café. Al ser acoplado el vibrador a un punto de excitación del árbol, se aplica a éste una fuerza excitadora y como resultado de esta excitación en el punto de aplicación, se generará un movimiento vibratorio originando un desplazamiento del punto de aplicación de la excitación que estará determinado por los parámetros de diseño y operación del equipo vibrador, tales como la masa desbalanceada, masa total del vibrador, frecuencia de las oscilaciones y excentricidad de la masa desbalanceada así como la magnitud y fase de la impedancia mecánica.

Las vibraciones aplicadas al punto de excitación se trasmiten a través de la estructura del árbol hasta el subsistema fruto-pedicelo, el estudio de la transmisión de las vibraciones a través de la estructura del árbol es necesario con vista a determinar la amplitud de las vibraciones que excitan al subsistema fruto-pedicelo en diferentes zonas del árbol.

El árbol es sometido a vibraciones forzadas; diferentes puntos de su estructura oscilarán en el estado estacionario con la frecuencia correspondiente a la frecuencia de excitación, dependiendo de la amplitud y fase de las oscilaciones de estos puntos, así será el comportamiento modal que asuma el fruto en el árbol ante esta frecuencia. La transmisión de las vibraciones a la estructura del árbol estará determinado por la amplitud y frecuencia en el punto de excitación, así como las características dimensionales y propiedades físico-mecánicas del árbol, tales como el módulo de elasticidad a la flexión y a la torsión, coeficiente de Poisson, la densidad volumétrica, razón de amortiguamiento, así como los momentos de inercia de las ramas entre otras.

La excitación sinusoidal de la frecuencia y la amplitud provocará la oscilación del subsistema fruto-pedicelo y la aparición del momento flector en la zona de abscisión, que debe superar el momento flector necesario para lograr el desprendimiento del fruto. El modo de vibración que asuma el subsistema fruto-pedicelo estará dado por la amplitud y frecuencia de las oscilaciones y por las propiedades físico-mecánicas tales como el diámetro polar, el diámetro ecuatorial mínimo, el diámetro ecuatorial máximo, el diámetro y longitud del pedicelo, masa del fruto, densidad volumétrica del fruto y los momentos de inercia en el eje menor y en el eje mayor, la rigidez, módulo de elasticidad a la flexión y a la torsión, el coeficiente de Poisson y el momento flector de desprendimiento del pedicelo.

Determinar el comportamiento modal y regímenes de vibración para el desprendimiento de los frutos del mango, constituyen un problema de alta dificultad por tantas variables involucradas. Abordar este estudio experimental requeriría de gran inversión de recursos y tiempo por lo que se recomienda abordarlo mediante la modelación matemática.

La modelación del sistema fruto-pedicelo, ha sido una herramienta utilizada durante las investigaciones relacionadas con la cosecha mecanizada de frutas por vibración desde la década de los 60 (Fridley y Adrián, 1960; Rumsey, 1967; Cooke y Rand, 1969; Varlamov, 1972; Bobeva, 1972). El análisis de la dinámica del sistema fruto-pedicelo, dirigido a determinar la respuesta de frecuencias de dicho sistema cuando es sometido a una excitación armónica ha sido objeto de diferentes modelaciones.

La práctica científica en los últimos años se ha visto modernizada de forma acelerada gracias a los medios de cómputo y de poderosos software de apoyo al diseño asistido por computadoras, así como el análisis por elementos finitos (CAD-3D y FEA) por sus siglas en ingles respectivamente; ponen en manos de los investigadores poderosas herramientas que posibilitan abordar con menos restricciones en la idealización de los fenómenos, temáticas tales como las que se presentan en esta investigación.

Diferentes propiedades físico-mecánicas de los frutos del mango han sido determinadas por varios autores, como Ramírez et al. (2006); Infoagro (2012). En todos los casos determinaron la masa, diámetro polar y ecuatorial máximo del fruto para algunas variedades, sin embargo; estas propiedades son insuficientes para aplicar la modelación matemática con vistas a conocer los modos y los regímenes de vibración óptimos que garanticen la cosecha selectiva de los frutos.

Santos (2012), determinó algunas propiedades físico-mecánicas del sistema fruto-pedicelo del mango de la variedad Ataulfo; sin embargo, no tuvo en cuenta los estadios de maduración de los frutos, siendo un aspecto indispensable para el análisis de la selectividad la cosecha mecanizada por vibración.

Materiales y métodos

Determinación de las características dimensionales de los frutos y pedicelos

En la Figura 1 se muestra la acotación de las diferentes magnitudes objeto de medición durante la determinación de las características dimensionales de frutos y pedicelos. Las dimensiones correspondientes a los diámetros de los frutos (d₁, d₂, d₃) así como el diámetro medio y longitud del pedicelo (d_p, L_p) se determinaron con un micrómetro digital de precisión ±0.01 mm. Como quiera que los pedicelos no sean perfectamente cilíndricos se midieron en su parte central como se muestra en la Figura 1.

Materiales y métodos para la determinación de las propiedades inerciales de los frutos

La masa del fruto se determinó con una balanza analítica (Figura 2a) con una precisión ±0.1 g colocándose los frutos de uno en uno sobre la misma; para la densidad volumétrica los frutos fueron colocados dentro de una probeta graduada con agua (Figura 2b), determinándose el volumen del líquido desplazado por los mismos.

La precisión de la probeta fue de ± 5 mL. La densidad volumétrica se calculó con la siguiente expresión:

Donde: ρ= densidad volumétrica de los frutos (kg m^-3); m= masa del fruto (g); v= volumen del agua desplazada por el fruto (mL).

El momento de inercia del fruto se obtiene de forma indirecta, para lo cual se confeccionó un péndulo torsional formado por una cuerda de acero para guitarra de 40 cm de longitud y 1 mm de diámetro, del cual pende el fruto de uno de sus extremos (Figura 3), el mango se atraviesa con la cuerda por su centro de masa según los ejes X o Y trazados en dirección del diámetro ecuatorial mínimo y máximo respectivamente, con el fin de determinar el momento de inercia según ambos ejes. El otro extremo libre de la cuerda se fijó a un soporte universal. Una vez compuesto el péndulo, se hace oscilar libremente en el plano XZ o YZ a partir de una desviación inicial de 90° cronometrándose el tiempo invertido en completar 10 oscilaciones libres del sistema.

El momento de inercia (I) para cada muestra se determina utilizando la expresión para la frecuencia de las oscilaciones libres del péndulo torsional.

Donde: f= frecuencia de las oscilaciones libres (Hz); I= momento de inercia del fruto (N m s²); k= constante de la cuerda la cual se determina haciendo oscilar un cilindro metálico (Figura 4) de momento de inercia conocido, es decir; el momento del cilindro patrón es:

Donde: I_c= momento de inercia del cilindro patrón (N m s²); r_c= radio del cilindro (m); m_c= masa del cilindro (kg).

Con el resultado anterior y despejando la constante k de la cuerda de la expresión (2); se tiene finalmente que:

Sustituyendo los valores de I_c y f en la expresión (4) se obtiene una constante de la cuerda de 0.000895564 N m. Con el valor de la constante de la cuerda y las oscilaciones libres de los frutos, se sustituye en la expresión (2) obteniéndose los momentos de inercia en los ejes X y Y. El periodo de las oscilaciones libres se midió con un cronometro con precisión de ± 0.01 s.

Resultados y discusión

Los resultados de las mediciones de las propiedades físico-mecánicas (PFM) objeto de estudio fueron procesados estadísticamente por el paquete Statical Analys System (SAS) versión 8.0, Statgraphics Plus versión 5.1 y Microsoft Excel versión 2010, obteniéndose para cada PFM determinada experimentalmente en los tres estadios de maduración los valores medios (x), error estándar de la media (e), desviación típica (σ) y el coeficiente de variación (cv); además se construyeron las curvas variacionales de distribución. Adicionalmente se efectuó la prueba de Tukey para detectar diferencias significativas entre los valores medios de cada propiedad en los tres estadios de maduración. En el Cuadro 1 se muestran los resultados del análisis de varianza para las diferentes propiedades objeto de estudio de acuerdo al estadio de maduración.

En el Cuadro 1 se puede observar que el diámetro polar, ecuatorial mínimo y ecuatorial máximo de los frutos va aumentando desde los verdes a maduros, existiendo de acuerdo a la prueba de Tukey diferencias significativas para 95% de nivel de significancia entre los valores de estos parámetros para frutos verdes con relación a frutos con maduración fisiológica (pintones) y maduros. El incremento de estas dimensiones influye sobre la frecuencia natural de vibraciones del sistema fruto-pedicelo (SFP) en el sentido de su disminución lo que favorece los posibles índices de selectividad, ya que al seleccionar los regímenes de vibración óptimos produciría sólo la caída de los frutos maduros y pintones. En el cuadro 1 se aprecia una disminución del diámetro medio del pedicelo que va desde los frutos maduros a verdes, existiendo diferencias significativas entre los valores medios de los frutos maduros con respecto a pintones y verdes.

Este comportamiento pudiera favorecer la cosecha selectiva del mango por vibración, ya que los pedicelos gruesos están asociados a valores de frecuencias naturales relativamente altas, con relación a pedicelos más delgados; lo cual estaría a favor de hallar diferencias entre las frecuencias naturales en sistemas frutos-pedicelos con diferentes niveles de maduración. En cuanto a la longitud de los pedicelos se observa un incremento en los mismos que van desde los verdes a maduros, existiendo diferencias significativas entre la longitud de los pedicelos correspondiente a frutos maduros y verdes.

Con relación a la masa de los frutos se aprecian diferencias significativas entre sus valores medios para los tres estadios de maduración incrementándose del verde al maduro en orden ascendente. El aumento de esta propiedad influye sobre la frecuencia natural de vibración del SFP, en el sentido de su disminución, coincidiendo en la tendencia de la longitud de los pedicelos y las dimensiones del fruto lo que favorece posibles indicadores de selectividad. Con relación a la densidad másica del fruto, en el Cuadro 1 se aprecia un incremento del valor medio de esta propiedad con la maduración del fruto. Esta característica favorece la disminución de la frecuencia natural del SFP con los frutos maduros, influyendo sobre ésta en la misma dirección que la longitud de los pedicelos y las dimensiones del fruto. Esta situación favorece la existencia de condiciones propicias para elevar los indicadores de selectividad de la cosecha.

Con respecto a los momentos de inercia respecto al eje mayor y menor puede observarse que ambos aumentan a medida que el fruto madura, existiendo diferencias significativas entre los valores de los frutos verdes con relación a los maduros y pintones, lo que indica que posibles diferencias en las frecuencias propias de vibración. El efecto de la variación de los momentos de inercia sobre las frecuencias naturales del SFP, presenta un comportamiento similar al que provoca la masa de los frutos, por lo que la tendencia de variación influye positivamente sobre la presencia de condiciones favorables para la cosecha selectiva del mango.

En el Cuadro 2 están reflejados los valores de los estadígrafos de aquellas propiedades físico-mecánicas determinadas experimentalmente, observándose que en lo general el error estándar de la media y el coeficiente de variación van aumentando desde los frutos maduros a los verdes. Esta variación de los valores observados en las mediciones de los frutos verdes, se debe a que éstos se encuentran en diferente etapa de crecimiento y desarrollo, siendo un aspecto a considerar en la selección de la amplitud y frecuencia de las vibraciones, que permita sólo la caída de frutos maduros cuando la cosecha se realice con vibradores inerciales.

De las Figuras 5 a 10 (6, 7, 8, 9) se muestran las curvas variacionales de distribución de aquellas propiedades físico-mecánicas, que fueron determinadas experimentalmente en los tres estadios de maduración, en las mismas se observa que en todos los casos la media se encuentra en la proximidad del punto de mayor frecuencia, dándole un fuerte soporte desde el punto de vista estadístico a los resultados de las mediciones. Además la disposición de dichas curvas en los tres estadios de maduración, permite establecer estrategias sobre la elección de los regímenes de vibración, ya que cuando las curvas de determinada propiedad están superpuestas, tiene el mismo efecto ante un valor dado de amplitud y frecuencia de excitación, mientras que si están separadas el comportamiento es diferente.

Los valores medios del diámetro del pedicelo fueron de 2.71, 2.82 y 3.56 mm para frutos verdes, pintones y maduros respectivamente; mientras que la longitud alcanzo valores medios de 8.29, 9.3 y 10.07 mm de acuerdo al orden de maduración antes señalado.

En sentido general se apreció diferencias significativas en las propiedades objeto de estudio con relación a frutos verdes y maduros. La variación con la maduración de los frutos de sus valores medios de la mayor parte de las propiedades estudiadas, influye en la disminución de las frecuencias naturales de los sistemas con frutos maduros, lo cual incide positivamente en la existencia de condiciones favorables para la cosecha selectiva por vibración.

Los valores medios del momento de inercia de los frutos con respecto al eje menor fueron de 142.4, 231.1 y 270.3 kg mm² para frutos verdes, pintones y maduros respectivamente; mientras que el momento de inercia con relación al eje mayor tomo valor es de 137.1, 221.9 y 260.8 kg mm² en referencia al orden de maduración antes señalado.

Literatura citada

Bobeva, M. 1972. Isledovanie otiskivaneto na malinovite plodove pri vibrirane. Sielskoskostopanstva Tejnika, I, Sofia.         [ Links ]

Cooke, J. R. and Rand, R. H. 1969. Vibratory fruit harvesting: a linear theory of fruit-stem dynamic. J. Agric. Eng. 14(3):195-200.         [ Links ]

Cooke, J. R. and Parchomchuk, P. 1972. Vibratory harvesting: an experimental analysis of fruit-stem dynamics. Transactions of the ASABE. 15(4):598-603.         [ Links ]

Fridley, R. B. and Adrian, P. A. 1960. Some aspects of vibratory fruit harvesting. J. Agric. Eng. 41:28-31.         [ Links ]

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