On the potential of an infinite dielectric cylinder and a line of charge: Green's function in an elliptic coordinate approach
J.L. Marínª, I. Marín–Enriquezª, R. Rieraª and R. Pérez–Enriquezb
ª Departamento de Investigación en Física, Universidad de Sonora, Apartado Postal 5–088, 83190 Hermosillo, Son. MÉXICO.
b Departamento de Física Universidad de Sonora, Apartado Postal 1626, 83000 Hermosillo, Son. MÉXICO.
Recibido el 15 de febrero de 2006 ]]> Aceptado el 1 de agosto de 2006
Abstract
A two–dimensional Laplace equation is separable in elliptic coordinates and leads to a Chebyshev–like differential equation for both angular and radial variables. In the case of the angular variable η (—1 < η < 1), the solutions are the well known first class Chebyshev polynomials. However, in the case of the radial variable ξ (1 < ξ < ∞) it is necessary to construct another independent solution which, to our knowledge, has not been previously reported in the current literature nor in textbooks; this new solution can be constructed either by a Fröbenius series representation or by using the standard methods through the knowledge of the first solution (first–class Chebyshev polynomials). In any case, either must lead to the same result because of linear independence. Once we know these functions, the complete solution of a two–dimensional Laplace equation in this coordinate system can be constructed accordingly, and it could be used to study a variety of boundary–value electrostatic problems involving infinite dielectric or conducting cylinders and lines of charge of this shape, since with this information, the corresponding Green's function for the Laplace operator can also be readily obtained using the procedures outlined in standard textbooks on mathematical physics. These aspects are dealt with and discussed in the present work and some useful trends regarding applications of the results are also given in the case of an explicit example, namely, the case of a dielectric elliptic cylinder and an infinite line of charge.
Keywords: Elliptic coordinates; Green function; two–dimensional Laplace equation; Chebyshev functions.
Resumen
La ecuación de Laplace en dos dimensiones es separable en coordenadas elípticas, y la separación de variables resulta en ecuaciones tipo Chebyshev para las dos coordenadas, radial (ξ) y angular (η). En el caso de la coordenada angular η, (—1 < η < 1), las soluciones son los polinomios de Chebyshev de primera clase, los cuales están muy bien estudiados. Sin embargo, en el caso de la coordenada radial ξ (1 < ξ < ∞), existe la necesidad de construir otra solución independiente, que (a nuestro conocimiento) no está reportada en libros de texto ni en artículos; esta nueva solución puede ser construida, ya sea en forma de una serie de Fröbenius o usando los métodos de integración que involucran el conocimiento de la primera solución. Cualquiera de estos dos métodos nos llevará al mismo resultado, debido a la independencia lineal de las soluciones. Una vez que conozcamos dichas funciones, la solución completa la ecuación de Laplace en dos dimensiones para este sistema de coordenadas puede ser construida, y dicha solución puede ser aplicada para estudiar una variedad de problemas de contorno que involucren cilindros dieléctricos o conductores infinitos o líneas de carga, pues con esta información, podemos obtener fácilmente la función de Green para el operador de Laplace usando el procedimiento de los libros de texto de métodos matemáticos. Estos aspectos se discuten en el presente trabajo, y se dan algunas indicaciones respecto a las aplicaciones de los resultados, incluyendo un ejemplo explícito: el caso de un cilindro elíptico dieléctrico y una linea infinita de carga.
Descriptores: Coordenadas elípticas; función de Green; ecuación de Laplace en dos dimensiones; funciones de Chebyshev.
]]> PACS: 02.30.Gp; 41.20.Cv
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Acknowledgements
Raúl Pérez Enríquez and Ivan Marín–Enríquez are Ph. D. students at Departmento de Investigación en Física (Universidad de Sonora) and are supported by CONACyT and Universidad de Sonora. This work has been done under projects CONACyT–40629 and 47682).
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