Average Annual Flood Estimation Based on Power Regression Equations in Mexico's Hydrological Region No. 10

Campos-Aranda Daniel Francisco

Profesor Jubilado de la Universidad Autónoma de San Luis Potosí, México. Correo: campos_aranda@hotmail.com

Información del artículo: recibido: julio de 2012. ]]> Aceptado: septiembre de 2012

Resumen

Las crecientes de diseño son básicas en el dimensionamiento o la revisión hidrológica de todas las obras hidráulicas. En sitios de interés sin información hidrométrica, su estimación se lleva a cabo con métodos regionales, cuyos resultados se deben escalar o dimensionar con base en la creciente media anual (Q_ma). Para estimar la Q_ma en una cuenca sin aforos, los hidrólogos emplean ecuaciones de regresión potencial, desarrolladas para una región homogénea, las cuales relacionan los valores observados de la Q_ma con diversas características fisiográficas de sus cuencas. Debido a la importancia que tiene la estimación de la Q_nm, se justifica la búsqueda de tales regresiones con diversos planteamientos y las mejores técnicas de obtención de sus parámetros de ajuste. En este trabajo se procesaron 22 registros de gasto máximo anual, cuyos lapsos fluctuaron de 21 a 56 años. Se analizaron cuatro ecuaciones de regresión y se aplicaron dos técnicas de ajuste, la de mínimos cuadrados de los residuos en el dominio logarítmico, incluyendo su corrección por sesgo y la otra basada en optimización numérica, empleando el algoritmo de Rosenbrock de múltiples variables no restringidas. Se obtuvieron 28 ecuaciones de regresión, que incluyen cuatro para cada uno de los dos subgrupos de cuencas en que se dividió la región hidrológica. Se realizaron cinco contrastes numéricos en estaciones hidrométricas no utilizadas en la deducción de las ecuaciones de regresión. Por último, se formulan las conclusiones, las cuales destacan la similitud de los resultados y recomiendan aplicar los análisis realizados en otras regiones del país.

Descriptores: características fisiográficas, regresión lineal múltiple, selección de regresores, prueba de heterogeneidad, índices de desempeño, optimización numérica, funciones objetivo.

Abstract

Design floods are critical in the hydrological sizing or review of all waterworks. In sites of interest without hydrometric information, their estimation is carried out with regional methods, whose results must be scaled or dimensioned based on the average annual flood (Q_aa). In order to estimate the Q_aa in an ungauged watershed, hydrologists use power regression equations developed for a homogeneous region, relating the observed values of the Q_aa with different physiographic characteristics of their watersheds. The importance of estimating the Q_aa justifies the search for such regressions with different approaches and techniques for obtaining the best fit parameters. In this paper, 22 records of annual maximum flows were processed, with periods ranging from 21 to 56 years. Four regression equations were analyzed and two techniques of adjustment were applied: the least-squares of the residuals in the logarithmic domain, including their bias correction, and another based on numerical optimization, using the multivariable unconstrained Rosenbrock algorithm. 28 regression equations were obtained, including four for each of the two watersheds subgroups in which the hydrological region was divided. Five numerical contrasts were applied in the hydrometric stations not used in deriving the regression equations. Finally, the conclusions are formulated, which emphasize the similarity of the results and recommend the application of this analysis for other regions of the country.

Keywords: physiographic characteristics, multiple linear regression, predictor variables selection, test for heterogeneity, performance indices, numerical optimization, objective functions.

Las llamadas Avenidas Máximas o Crecientes de Diseño son la estimación hidrológica más común, ya que son la base del dimensionamiento de todas las obras hidráulicas en su etapa de planeación o de diseño; además son imprescindibles cuando se aborda una revisión o se verifica la seguridad de tales obras. El procedimiento más confiable para realizar esta estimación, consiste en ajustar de un modelo probabilístico a los datos del gasto máximo anual y con base en éste, obtener las crecientes asociadas a una cierta probabilidad de excedencia (predicciones), cuyo recíproco es el periodo de retorno. Un problema general de este método, conocido como análisis de frecuencia de crecientes (AFC), es la escasa disponibilidad de registros de crecientes en los sitios de interés.

Para superar tal dificultad se han desarrollado las técnicas regionales del AFC, las cuales consisten en el uso conjunto de toda la información de gastos máximos anuales disponible dentro de una zona o región que puede ser considerada homogénea desde un punto de vista hidrológico. Esto significa que los registros de crecientes tienen cierta similitud estadística, o bien, sus cuencas presentan semejanza en determinadas propiedades físicas. En general, las técnicas regionales del AFC, estandarizan la información de crecientes con su gasto medio anual, antes de utilizarla de manera conjunta y por ello, para estimar crecientes de diseño con tales métodos se deben escalar o dimensionar sus resultados o predicciones adimensionales, es decir, se requiere una estimación de la creciente media anual (Q_ma) en el sitio de interés dentro de la región homogénea.

Las técnicas regionales clásicas que conducen a predicciones adimensionales son, por ejemplo, el método de las estaciones-años y el procedimiento del índice de crecientes, los cuales se pueden consultar en Escalante y Reyes (2002). Recientemente, los momentos L han permitido desarrollar otros enfoques, como el ajuste de modelos probabilísticos regionales adimensionales con base en esos momentos ponderados o estimados (Hosking y Wallis, 1997).

Habiéndose probado en diversos trabajos previos que la Región Hidrológica Núm. 10 (Sinaloa), forma una zona homogénea desde un punto de vista hidrológico (Escalante, 1998; Gutiérrez et al., 2004), el objetivo de este trabajo consistió en desarrollar varias ecuaciones de regresión potencial (Y = b₀ · X₁^b1 ·X₂^b2 ···X_m^bm) para estimar el gasto medio anual (Y) en m³/s, empleando diferentes propiedades físicas de las cuencas (X_i). Se procesaron 22 estaciones hidrométricas y se establecieron 28 ecuaciones de regresión, las cuales se contrastan en 5 estaciones hidrométricas no utilizadas en su deducción.

Desarrollo

Información hidrométrica utilizada

Escalante y Reyes (2002) reportan 42 estaciones hidrométricas dentro de la Región Hidrológica Núm. 10 (Sinaloa), que pueden considerarse confiables; de éstas, las que tienen registros de gastos máximos anuales mayores de 20 años y que están disponibles en el sistema BANDAS (IMTA, 2002) son 21. Los datos de la estación San Francisco proceden del Boletín Hidrológico Núm. 36 (SRH, 1975). Las características generales de esas estaciones y de cinco más que serán utilizadas para comparación, cuyos datos del BANDAS se han complementado con los que presentan Escalante y Reyes (2002), se muestran en la tabla 1, expuestas en orden decreciente de magnitud de cuenca. En la tercera columna de la tabla 2 se muestran los datos del gasto medio anual (Q_ma) de cada registro disponible. En la figura 1 se muestra la ubicación, dentro de la Región Hidrológica Núm. 10 (Sinaloa), de las cuencas de las 22 estaciones hidrométricas que serán procesadas y de las 5 que se utilizaron para comparación.

Las cuencas son las entidades básicas donde se estudian los procesos hidrológicos que generan el escurrimiento a partir de la lluvia ocurrida en ella. El fin del estudio será, la cuantificación de las respuestas, por lo que las propiedades físicas de las cuencas tienen un papel preponderante. Entre ellas, destaca el área o tamaño de la cuenca, pues ésta dimensiona todos los procesos. Otras propiedades importantes están asociadas a su red de cauces. Éstas y otras propiedades físicas se denominan características fisiográficas porque describen geomorfológicamente a las cuencas.

Las características fisiográficas que se han utilizado en este estudio proceden del Apéndice A de Escalante y Chávez (2002) y corresponden a las siguientes: área o magnitud (A) en km²; parámetro de forma (P_f) definido como el cociente entre la longitud del parteaguas y el área, por ello sus unidades son 1/km; pendiente de la cuenca (Sc), adimensional; elevación media (E_m) en metros sobre el nivel del mar; longitud del cauce o colector principal (L_cp), en km; pendiente promedio del cauce principal (S_cp), adimensional; densidad de drenaje (D_d) o cociente entre la longitud de todos los cauces y el área de cuenca, por lo tanto sus unidades son 1/ km; densidad de cauces o corrientes (D_c) o cociente entre el número total de cauces y el tamaño de la cuenca, por lo cual sus unidades son 1/km². En la tabla 2 se tienen las magnitudes de las últimas siete características fisiográficas citadas, correspondientes a cada cuenca de las 27 estaciones hidrométricas que serán procesadas. Por último, en la tabla 2, PMA es la precipitación media anual en cada cuenca, también tomada de Escalante y Chávez (2002).

Ecuaciones de regresión potencial

Los métodos empíricos de estimación son comunes dentro de la ingeniería civil y en especial en hidrología superficial. El método más simple para representar unos datos es el llamado modelo lineal, cuya fórmula es la ecuación de la línea recta. Cuando la variable dependiente (y) está relacionada con varias independientes (x_i), es decir, que existen varios regresores o variables predictivas, se define la regresión lineal múltiple (RLM):

Los coeficientes de ajuste b₀ a b_m de la ecuación 1 se obtienen minimizando la suma de los cuadrados de los residuos, lo cual conduce a una solución matricial que se puede consultar en cualquier texto de métodos numéricos, por ejemplo en Campos (2003). La RLM tiene pocas aplicaciones como modelo empírico y en general, es mucho más frecuente el llamado modelo potencial (McCuen et al., 1990), cuya expresión general es:

Este modelo se vuelve lineal tomando logaritmos en ambos lados de su ecuación, obteniéndose:

La solución de mínimos cuadrados permite obtener los coeficientes de ajuste buscados b_i con i = 1, 2, 3,..., m. Haciendo a₀ = log b₀ de la ecuación 3, entonces el valor de b₀ será igual a 10^a0 o a e^a0 según si se utilizaron logaritmos decimales o naturales. Sin embargo, la solución es óptima únicamente en el dominio logarítmico (McCuen et al., 1990).

Selección de regresores

Siempre que se ajustan ecuaciones de RLM, resulta conveniente evitar el uso de regresores que tienen cierta dependencia lineal con otro o con varios, lo cual conduce a los problemas de multicolinealidad (Montgomery et al., 2002). Para ello, es útil examinar las correlaciones simples (r_xy) entre los regresores candidatos o variables predictivas, para detectar su dependencia. En la tabla 3 se muestra la matriz de coeficientes de correlación cuya expresión es (Campos, 2003):

en la cual, n es el número de datos, en este caso 22. En la tabla 3, se ha incluido otro regresor diferente de las ocho características fisiográficas, la precipitación media anual (PMA) en la cuenca de cada estación hidrométrica. Los regresores candidatos de la tabla 3, corresponden a los comúnmente empleados en este tipo de búsqueda de ecuaciones de regresión potenciales (Tasker et al., 1996).

En la tabla 3 se observa que la correlación más alta se tiene entre P_f y D_c, lo cual es ficticio, ya que en tal caso existe correlación espuria (Benson, 1965), ya que ambos regresores usan como denominador el área de cuenca (A). La siguiente correlación alta ocurre entre el gasto medio anual (Q_ma) y el tamaño de cuenca (A), la cual es muy importante y real. Conviene observar que la longitud del cauce principal (L_cp) presenta correlaciones altas con A y con Q_ma, así como con la elevación media (E_m); con P_f tiene correlación negativa. También se destaca que E_m muestra en general correlaciones destacables con P_f , Sc, A y Q_ma. Por último, el regresor PMA no presentó correlación con los demás.

Con base en las correlaciones obtenidas en el primer renglón de resultados de la tabla 3 y las observaciones generales anteriores se recomienda investigar las cuatro regresiones siguientes:

Ajuste de mínimos cuadrados en toda la región hidrológica

Las cuatro regresiones potenciales planteadas en las ecuaciones 5 a 8, se obtuvieron mediante la solución matricial de una ecuación de RLM en el dominio logarítmico. Los resultados obtenidos con este método de ajuste se muestran en la tabla 4, como ecuaciones Ia a Id.

Índices de desempeño de las ecuaciones de regresión

Cuando se tienen varias ecuaciones de RLM, la selección de la más conveniente se puede abordar a través de varios indicadores basados en los residuos (Montgomery et al., 2002; Campos, 2011), es decir, en las diferencias entre la variable observada (y) y la estimada (ŷ) con la ecuación de RLM que se contrasta. Cuando se trabaja con los logaritmos de las variables, tales indicadores, como el coeficiente de determinación o la estadística C_p de Mallows, no son confiables, pues los residuos se evalúan en el dominio logarítmico, como han señalado McCuen et al. (1990).

Por lo anterior, todas las ecuaciones de regresión que se obtengan con los métodos de ajuste que serán aplicados, se evaluarán por medio de los tres índices de desempeño siguientes, calculados en el dominio real (Pandey y Nguyen, 1999):

DAM es la desviación absoluta media con unidades de m³/s, Q_ma y _ma son los gastos medios anuales observado y estimado con la ecuación de regresión potencial, n es el número de datos utilizados de cada variable, en este caso 22 (tabla 1) y npa, es el número de parámetro de ajuste, el cual varía de 2 a 4. EEM es el error estándar medio con unidades de m³/s:

En las columnas 6, 7 y 8 de la tabla 4 se exponen los valores obtenidos para los índices anteriores, relativos a las ecuaciones Ia a Id, obtenidas por mínimos cuadrados de los residuos en el dominio logarítmico.

Corrección por sesgo del ajuste de mínimos cuadrados

Desde la década de los años setenta, se estableció que el ajuste de la ecuación 2 por mínimos cuadrados de los residuos, en efecto los minimiza pero en el dominio logarítmico y por ello se han sugerido varios procedimientos para corregir esta ecuación. McCuen et al. (1990) presentan tres procedimientos para corregir el coeficiente b₀ , también llamado ordenada al origen, por la similitud entre la ecuación 1 y la fórmula de la línea recta. Se puede obtener una estimación de b₀ no sesgada haciendo cero los residuos (e_i) en el dominio real, es decir:

el estimador buscado será:

en la obtención de f₀ se está aceptando que el sesgo se puede corregir exclusivamente ajustando b₀ , pero ello no implica que los coeficientes b_i poblacionales sean insesgados; de hecho b₀ sólo es insesgado para la muestra utilizada. Los otros dos procedimientos de ajuste de b₀ expuestos por McCuen et al. (1990) se basan en los residuos en el dominio logarítmico. En la tabla 4 se muestran las estimaciones de f₀ obtenidas con la ecuación 13, así como sus índices de desempeño respectivos (ecuaciones II). Se observa que el DAM y el EREM crecen en todas las nuevas ecuaciones de regresión, pero el EEM disminuye en los modelos de dos y tres variables predictivas.

Ajuste de mínimos cuadrados por subgrupos de cuencas

Los estudios previos de homogeneidad regional realizados en la Región Hidrológica Núm. 10 (Sinaloa), por Escalante (1998) y Gutiérrez et al. (2004) han establecido que las cuencas grandes, con áreas mayores a los 5,000 km², pertenecen a la zona montañosa de la región y por ello tienen orografía accidentada, definiendo un subgrupo de cuencas grandes. Este enfoque de subdivisión por tamaños de cuencas es común y ha sido abordado por Tasker et al, (1996) y Pandey y Nguyen (1999).

Con el propósito de comprobar numéricamente la conveniencia de la subdivisión de la región hidrológica en dos subgrupos de cuencas, se aplicó una prueba estadística muy simple que mide la heterogeneidad de un área o zona específica, denominada rango regional normalizado de los coeficientes de variación de las crecientes [RRN(Cv)], definido por Burn (1990) como:

donde R(Cv) y M(Cv) son el rango y la mediana de los valores del Cv de la subregión o zona analizada. Entonces cuando el RRN(Cv) aplicado por subregiones resulta ⁱ menor que el de la región total, la subdivisión es conveniente. En la tabla 5 se presentan las 10 y 12 estaciones hidrométricas que integran cada subgrupo y los resultados respectivos de la prueba del RRN(Cv) se muestran con negritas. Se observa que la subdivisión resulta conveniente para el subgrupo de las grandes cuencas, pero no implica gran diferencia en el de las cuencas menores; además los Cv de las crecientes no muestran un agrupamiento o diferenciación acusada entre esos subgrupos. Por lo anterior, es probable que las ecuaciones de regresión obtenidas en cada subgrupo no muestren grandes ventajas estadísticas con respecto a las obtenidas para toda la región hidrológica.

Los resultados concentrados en la tabla 4 para los dos subgrupos procesados (ecuaciones III y IV), ponen de manifiesto, a través de los fuertes cambios que experimentan los coeficientes b_i , no sólo en magnitud sino en signo, que ahora los problemas asociados a la multicolinealidad son más severos, lo cual es lógico, al agrupar a las cuencas por tamaño, ya que los índices de desempeño siempre resultan influenciados por la magnitud de la variable dependiente (y), entonces la DAM y el EEM son menores en el subgrupo de cuencas menores y viceversa en las de mayor área. Lo contrario ocurre con el EREM. En términos generales, no existe evidencia estadística para desechar las ecuaciones de regresión encontradas por subgrupos, pero en realidad tienen menor confiablidad debido al número reducido de datos empleados en su deducción.

Ajuste a través de optimización numérica

Este procedimiento tiene dos ventajas fundamentales con respecto al ajuste de una ecuación de regresión potencial por mínimos cuadrados de los residuos (ecuación 2), la primera es que trabaja en el dominio real y la segunda es que se puede emplear cualquier función objetivo para buscar su mínimo. Haciendo uso del algoritmo de Rosenbrock de múltiples variables no restringidas (Rosenbrock, 1960; Kuester y Mize, 1973; Campos, 2003), se ajustaron las ecuaciones 5 a 8 empleando como funciones objetivo minimizar las medidas de desempeño definidas con las ecuaciones 9 a 11. Los resultados obtenidos se han concentrado en la tabla 6, observándose que en todos los casos los valores de DAM, el EEM y el EREM alcanzados fueron menores que los de mínimos cuadrados (tabla 4), incluso inferiores a los obtenidos con la corrección por sesgo (ecuación 13).

Aplicaciones numéricas de contraste

En cada una de las cinco estaciones hidrométricas finales de las tablas 1 y 2, se aplicaron las 28 ecuaciones de regresión potencial que se obtuvieron a través de los análisis y procedimientos descritos. Los resultados se han concentrado en la tabla 7, mostrando 24 estimaciones, pues únicamente se toma un subgrupo de ecuaciones, III ó IV de la tabla 4, de acuerdo con el tamaño de cuenca. Los resultados muestran una gran regularidad en las estimaciones, lo cual está asociado a la veracidad de las características fisiográficas de cada cuenca. Para la selección de la estimación buscada (_ma), se recomienda dar un "peso" a cada ecuación potencial, es decir, que son más confiables las tipo V (tabla 6), así como las II (tabla 4) y menos las obtenidas por subgrupos (III y IV).

En relación con la estimación puntual de cada contraste (tabla 7), se observa una buena aproximación en las estaciones San Ignacio y Cazanate, cuyos registros integrados son los más confiables. El dato disponible de Q_ma = 1419.8 m³/s en la estación Piaxtla se considera bastante elevado, ya que la estación hidrométrica Ixpalino, también sobre el Río Piaxtla, que es 16.2% mayor en área tiene registrado un valor de 1199 m³/s. En tales circunstancias, la estimación de 1035 m³/s obtenida a través de las ecuaciones empíricas se considera bastante acertada.

Lo contrario ocurre en Urique II cuyo valor de Q_ma se considera sumamente bajo, pues la estación Chinipas, con el área de cuenca más parecida tiene 883.1 m³/s. Entonces la estimación empírica de 889.5 m³/s se considera mucho más apegada a la realidad. Finalmente, con respecto a la estimación en la estación hidrométrica Los Molinos, su valor del registro es muy bajo y su estimación empírica es mucho más cercana al valor obtenido por Campos (2008) de 459 m³/s con base en el método racional regional, para el periodo de retorno de 2 años.

Conclusiones

El escalamiento requerido en la aplicación de los resultados de los métodos regionales de estimación de crecientes en cuencas sin aforos, implica la cuantificación, lo más aproximada posible, de su gasto medio anual (Q_ma). Ha sido práctica común, realizar tal cuantificación a través de ecuaciones de regresión que emplean como variables predictivas las características fisiográficas de las cuencas. Dada la importancia de la estimación del Q_ma, se justifica el análisis y búsqueda de tales regresiones con diversos planteamientos y las mejores técnicas de obtención de sus parámetros de ajuste.

En este trabajo se ha expuesto con detalle, cómo establecer las ecuaciones potenciales por analizar y como aplicar el ajuste de mínimos cuadrados en el dominio logarítmico, incluyendo su corrección por sesgo. También se detalló cómo lograr un mejor ajuste de tales ecuaciones, a través de optimización numérica no restringida, empleando el algoritmo de Rosenbrock.

Los resultados concentrados en la tabla 7, para los cinco contrastes realizados en estaciones hidrométricas que no se utilizaron en la deducción de las 28 ecuaciones potenciales, muestran una regularidad bastante acusada, lo cual genera confianza en tales estimaciones. Por lo anterior, se recomienda la aplicación de los planteamientos y técnicas de ajuste utilizadas en este trabajo, en otras regiones del país, para contar con las ecuaciones potenciales que permitan una mejor aproximación del valor buscado del Q_ma.

Agradecimientos

Se agradece a los dos árbitros anónimos sus correcciones sugeridas, las cuales permitieron volver más explícito el trabajo y mejorar su redacción.

Referencias

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Daniel Francisco Campos-Aranda. Obtuvo el título de ingeniero civil en diciembre de 1972, en la entonces Escuela de Ingeniería de la UASLP. Durante el primer semestre de 1977, realizó en Madrid, España un diplomado en hidrología general y aplicada. Posteriormente, durante 1980-1981 llevó a cabo estudios de maestría en ingeniería en la especialidad de hidráulica, en la División de Estudios de Posgrado de la Facultad de Ingeniería de la UNAM. En esta misma institución, inició (1984) y concluyó (1987) el doctorado en ingeniería con especialidad en aprovechamientos hidráulicos. Ha publicado artículos principalmente en revistas mexicanas de excelencia: 41 en Tecnología y Ciencias del Agua (antes Ingeniería Hidráulica en México), 15 en Agrociencia y 13 en Ingeniería. Investigación y Tecnología. Fue investigador nacional (nivel I) desde el 1° de julio de 1991 hasta el 31 de diciembre de 2007. Actualmente es profesor jubilado de la UASLP, desde el 1° de febrero del 2003. En noviembre de 1989 obtuvo la medalla Gabino Barreda de la UNAM y en 2008 le fue otorgado el Premio Nacional "Francisco Torres H." de la AMH, a la práctica profesional de la Hidráulica.