Comparación de tres métodos estadísticos para detección y monitoreo de sequías meteorológicas

Comparison of three statistical methods for detection and monitoring of meteorological drought

Daniel F. Campos-Aranda

Facultad de Ingeniería de la Universidad Autónoma de San Luis Potosí. Genaro Codina # 240. 78280 San Luis Potosí, San Luis Potosí. * Autor responsable (campos_aranda@hotmail.com).

Recibido: enero, 2014.
Aprobado: mayo, 2014.

Resumen

Las sequías son un fenómeno natural recurrente de carácter regional, cuyos efectos negativos pueden ser aminorados si son detectadas oportunamente y tienen un monitoreo adecuado. En este artículo se describen con detalle tres métodos estadísticos efectivos en la detección de sequías meteorológicas, los cuales también se pueden emplear en su seguimiento. Tales métodos son el déficit probabilístico de precipitación, el índice de precipitación estandarizada y el índice de reconocimiento de sequías. Este último emplea además de la lluvia, la evapotranspiración potencial, por lo cual toma en cuenta otras variables asociadas con las sequías, como temperaturas altas. Los tres métodos se aplican al registro de 64 años (1949-2012) de precipitación mensual de la estación climatológica Fresnillo en el estado de Zacatecas, México. Con base en la aplicación numérica se concluye que el primer método no detecta los años con sequía, de manera semejante a los dos siguientes, debido a que toma en cuenta implícitamente la distribución estacional de la lluvia en cada año. Los otros dos métodos aportan resultados bastante similares, tanto en la interpretación de la severidad de las sequías anuales, como en el establecimiento de sus periodos de ocurrencia continua o intercaladas. Además se deduce que los resultados de los tres métodos expuestos se complementan para definir con mayor precisión las sequías meteorológicas, según su duración preestablecida, por lo cual se recomienda su aplicación conjunta en cada estación climatológica procesada. El análisis regional de los registros disponibles permitirá formular conclusiones sobre la variación espacial de las sequías.

Palabras clave: Distribución Gamma mixta, pruebas estadísticas, error estándar de ajuste, severidad y duración de sequías, ETP mensual.

Abstract

Drought is a recurring natural phenomenon of regional character, whose negative effects can be lessened if they are detected timely and have an adequate monitoring. This paper describes in detail three effective statistical methods to detect meteorological droughts, which can also be used in monitoring. Such methods are probabilistic precipitation deficit, the standardized precipitation index and the drought reconnaissance index. The latter uses, in addition to rain, potential evapotranspiration, thus taking into account other variables associated with drought, as high temperatures. The three methods are applied to the record of 64 years (1949-2012) of monthly precipitation of the weather station Fresnillo in Zacatecas state, Mexico. Based on the numerical application it is concluded that the first method does not detect drought years, in similar way to the other two, because it takes into account implicitly the seasonal distribution of rainfall each year. The other two methods provide very similar results, both in the interpretation of the severity of annual droughts, as in establishing their periods of continuous or interleaved occurrence. Also it follows that the results of the three exposed methods complement each other to define more precisely the meteorological drought, according to their fixed duration and therefore their joint application is recommended for each weather station processed. Regional analysis of the available records will allow reaching conclusions about the spatial variation of drought.

INTRODUCCIÓN

Las sequías se originan por una disminución en la precipitación normal que ocurre en un área y que se extiende por un lapso amplio, comúnmente una estación o varios años, con resultados que causan un déficit en el abastecimiento para una actividad, un grupo o un sector ambiental. Generalmente, los efectos de una sequía son exacerbados por el incremento en las demandas de agua potable, riego para la agricultura y otros usos. Una vez iniciada la sequía es relativamente fácil reconocer sus impactos en los usuarios del agua, generándose progresivamente déficits meteorológicos e hidrológicos que producen sequías agrícolas y socioeconómicas (Cacciamani et al., 2007; Sene, 2010). Hay diversas dificultades en la detección y el seguimiento o monitoreo de las sequías, tanto temporal como espacialmente; por ejemplo, su desarrollo lento o pausado y su gran extensión, además de las variaciones intrínsecas de los impactos económicos y sociales. La sequía es un fenómeno regional, caracterizado por tres dimensiones: severidad o intensidad, duración y extensión superficial (Tsakiris et al., 2005). Lo anterior llevó al desarrollo de varios índices de detección y monitoreo de sequías, los cuales analizan de manera separada o conjunta esas dimensiones.

Así, Gocic y Trajkovic (2014) aplican el índice de precipitación estandarizada en 12 meses a 29 estaciones pluviométricas durante el periodo de 1948 a 2012 y con base en el análisis de agrupamientos identifican tres subregiones diferentes en relación con las características de las sequías. Dogan et al. (2012) contrastan seis índices de monitoreo de sequías, empleando 12 estaciones pluviométricas y 18 diferentes lapsos en meses de aplicación, los cuales variaron de 1 a 48 meses; ellos recomiendan intervalos de 6, 9 y 12 meses, usando varios índices para los estudios de sequías de las zonas semi-áridas. Mirakbari et al. (2010), en la región suroeste de Irán, procesan 41 registros de precipitación mensual y en cada uno detectan sus sequías por duración y severidad, y con base en estas características forman subregiones homogéneas empleando momentos L. La distribución bivariada en cada subregión se estimó usando el análisis matemático vía cópulas. Sadri y Burn (2014) también aplican el análisis por cópulas y destacan que las sequías ocurren tanto en regiones áridas como en las húmedas. En estas últimas, las sequías son más cortas pero más severas.

El objetivo de este estudio fue exponer brevemente los aspectos básicos teóricos y con detalle los procedimientos operativos de tres métodos estadísticos propuestos para la detección y el seguimiento de sequías meteorológicas. Estos métodos son el déficit probabilístico de precipitación (DPP), el índice de precipitación estandarizada (SPI) y el índice de reconocimiento de sequías (RDI). Los dos primeros emplean exclusivamente la precipitación mensual y ambos la procesan probabilísticamente, pero de manera diferente; el tercero usa conjuntamente la evapotranspiración potencial mensual. Los tres métodos se aplican al registro disponible de precipitación total mensual de la estación climatológica Fresnillo, en el estado de Zacatecas, México, cuya extensión es de 64 años. La aplicación numérica descrita se realiza en una sola estación climatológica por razones de espacio, pero los análisis de sequías son regionales y, así, formular conclusiones respecto a su desarrollo o evolución espacial.

MATERIALES Y MÉTODOS

Déficit probabilístico de la precipitación (DPP)

Este enfoque probabilístico de análisis de la precipitación mensual para definir sequías, propuesto hacia mediados de los años noventa (Mawdsley et al., 1994), consiste en obtener los valores medianos mensuales del registro designados como M_j y después se calcula en cada año i del registro, la suma exclusiva de las diferencias negativas (DAⁱ) entre la precipitación mensual (Pⁱ_k) y su mediana respectiva. También se pueden utilizar la media aritmética y la moda (Campos, 2012). Los índices j, i y k varían respectivamente, de 1 a 12, de 1 a NA o número de años del registro disponible y de 1 a k, que es el número de meses que abarca la estación de análisis o duración de la sequía, comúnmente 3, 6 o 12. Los lapsos de 3 o 6 meses se definen para la estación de crecimiento de los cultivos o para los meses de la época de lluvias. El análisis probabilístico de los valores anuales DAⁱ permite definir los límites relativos a la severidad de las sequías en forma categórica según el Cuadro 1.

Con el propósito de que el criterio de Mawdsley et al. (1994) también defina cuatro tipos de sequías, como lo hacen los siguientes dos índices (SPI y RDI), se le agregó el intervalo de periodos de retorno de 2 a 5 para definir las sequías leves o ligeras.

Como los periodos de retorno del Cuadro 1 son bajos, entonces las predicciones o límites buscados con el ajuste de un modelo probabilístico seleccionado serán muy semejantes y por ello se recomienda aplicar únicamente las tres distribuciones de probabilidad establecidas bajo precepto: la Log—Pearson tipo III (LP3), la General de Valores Extremos (GVE) y la Logística Generalizada (LOG), seleccionando los resultados de la que conduzca al menor error estándar de ajuste (Kite, 1977).

Índice de precipitación estandarizada (SPI)

El SPI (Standardized Precipitation Index) fue propuesto por McKee et al. (1993) y se ha popularizado debido a su planteamiento teórico y por usar sólo el registro mensual de precipitación, preferentemente con más de 30 años. Su procedimiento de cálculo comienza ajustando el modelo probabilístico Gamma de dos parámetros, el cual se transforma a una distribución Normal, cuya variable es el índice SPI, con valores positivos para los años húmedos y negativos para los secos o de sequía. Velasco (2002) da mayores detalles de su planteamiento teórico.

Como el índice SPI se estima generalmente para las siete duraciones mensuales siguientes: 1, 3, 6, 9, 12, 24 y 48; entonces se comienza por obtener los valores factibles en cada lapso indicado. Para la duración de un mes se ajusta el modelo Gamma a todo el registro mensual, cuyo número de datos es n_d=12•NA, siendo NA el número años del registro disponible. Para lapsos siguientes se obtienen las sumas móviles. Por ejemplo, para tres meses, el primer dato es la suma de los tres primeros meses del registro y el segundo dato será la suma del mes dos al cuarto y así sucesivamente. Por tanto, el nuevo n_d será:

en donde, dm es la duración en meses de la nueva secuencia de datos que se calculan como sumas móviles. Debido a la posibilidad de tener sumas móviles iguales a cero en las duraciones cortas, se utiliza la distribución Gamma Mixta para su ajuste.

en la cual, α>0 es el parámetro de forma, β>0 el de escala, x>0 la precipitación en un cierto lapso y Γ(α) la función matemática factorial o función Gamma que da nombre a tal distribución, originalmente conocida como Pearson tipo III. Varios métodos se han propuesto para estimar los parámetros de ajuste, uno de ellos, el de máxima verosimilitud es bastante exacto y sus expresiones son (Haan, 1997; Campos, 2005):

siendo A una variable auxiliar definida como:

en la cual, n' es el número de datos no nulos (x_i), cuya media aritmética es . La estimación del parámetro de forma con la ecuación 3, requiere una corrección originada por el método de máxima verosimilitud, que consiste en restarle el término Δα cuando resultó menor de 5.60, ésta es:

La distribución Gamma Mixta toma en cuenta la probabilidad de tener valores nulos q y de no tenerlos p=1-q, cuando se evalúa la probabilidad de no excedencia de un valor x, su expresión es:

Entonces, cuando x= 0, H(0)= q. Si m es el número de ceros de la serie que se procesa, el valor de q será estimado por m/n_d y por lo tanto, n'= n_d- m. Cuando la serie no tiene valores nulos, q será cero y H(x)= G(x).

Para estimar la probabilidad de no excedencia G(x) relativa, un valor x, se empleará la conversión del modelo Pearson tipo III a la distribución ji cuadrada (X²) con ν grados de libertad, cuya equivalencia de variables es (Haan, 1977; Bobée y Ashkar, 1991; Rao y Hamed, 2000):

Ahora se aplica la aproximación por expansión en serie para estimar la probabilidad de no excedencia en la distribución X² para un valor de ν; ésta es (Zelen y Severo, 1965):

La función factorial Gamma fue estimada con la fórmula de Stirling (Davis, 1965), que para valores grandes del argumento ε es bastante aproximada con un error cercano a cero; ésta es:

Por último, de acuerdo con Edwards y McKee (1997) se emplea una aproximación numérica racional, expuesta en Zelen y Severo (1965), para convertir la probabilidad acumulada H(x) en la variable normal estandarizada Z de media cero y varianza unitaria, la cual define el índice SPI; sus ecuaciones son:

donde:

Los niveles de humedad o de sequía se definen en el Cuadro 2, en el cual se indican sus probabilidades de ocurrencia correspondientes; por ejemplo, las sequías moderadas (SPI≤ -1) tienen una probabilidad de ocurrencia del 15.9 % y las extremas (SPI≤ -2) del 2.3 % (Cacciamani et al., 2007; Tsakiris et al., 2007). El índice SPI se aplicó en México para monitorear a una sequía en la Región Hidrológica No. 10 (Sanz et al., 2012).

Guttman (1999) sugiere utilizar la distribución Pearson tipo III con tres parámetros de ajuste, en lugar del modelo Gamma de dos parámetros, debido a su mayor flexibilidad. Además indica que la confiabilidad del índice SPI depende del tamaño de la muestra y por ello, el uso de lapsos mayores de 24 meses no es recomendable dada la longitud máxima actual de los registros pluviométricos, comúnmente menores de 80 años.

Para este índice RDI sus antecedentes teóricos y la descripción detallada de sus ventajas están en Tsakiris y Vangelis (2005). Su expresión general es (Tsakiris et al., 2007):

en la cual, i es el año variando de 1 a NA, k es el número de meses en que se calcula el índice RDI; P_jⁱ y ETP_jⁱ son respectivamente, la precipitación y la evapotranspiración potencial del mes j del año i. El RDI generalmente se calcula para la estación de crecimiento de un cultivo (3 o 6 meses) y para cada año (k= 12). Como los episodios de sequía incluyen temperaturas más altas, ello resulta en una mayor demanda de evaporación y entonces es probable que el índice RDI sea más sensitivo que los dos anteriores porque se basan sólo en la precipitación. Las presentaciones normalizada y estandarizada del índice RDI son (Tsakiris et al., 2007):

donde es la media aritmética de los NA valores anuales y y_i son los logaritmos naturales de δ_kⁱ, cuya media y desviación estándar son y S_y. La estandarización del índice RDI considera que δ_kⁱ sigue la distribución Log-Normal. Como el RDI_STⁱ se comporta igual al índice SPI, el Cuadro 2 también permite su designación específica como año húmedo o seco (sequía).

Registro pluviométrico mensual procesado

Verificación de la homogeneidad del registro pluviométrico

Los valores anuales de precipitación (PA) en la estación Fresnillo, se muestran en la segunda columna del Cuadro 4. Con base en tales datos se realizó el análisis de calidad estadística del registro, para lo cual se aplicaron las siguientes siete pruebas, una general y seis específicas: 1) Von Neumann, detecta pérdida de aleatoriedad por componentes determinísticas no especificadas; 2) Anderson y 3) Sneyers, buscan persistencia; 4) Kendall y 5) Spearman, detectan tendencia; 6) Bartlett, prueba la variabilidad y; 7) Cramer, busca cambios en la media. En todas las pruebas el registro fue homogéneo cuando se usó un nivel de significancia del 5 %. Las pruebas estadísticas citadas están disponibles en WMO (1971), Buishand (1982) y Machiwal y Jha (2012).

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Estimación de las sequías anuales con el índice DPP

Con base en los 12 valores medianos muestrales del Cuadro 3, cuya suma es de 347.4 mm, se obtuvieron las sumas anuales (DAⁱ) de las diferencias negativas de cada lluvia mensual, las cuales se muestran en la tercera columna del Cuadro 4, sin el signo menos. Después, a la serie de 64 valores se le ajustaron los modelos probabilísticos Log—Pearson tipo III (LP3), General de Valores extremos (GVE) y Logística Generalizada (LOG). Los tres parámetros de ajuste de cada distribución se obtuvieron con base en los métodos más generalizados debido a su consistencia estadística de estimación. Así, el modelo LP3 se ajustó con el método de momentos en los dominios logarítmico y real (WRC, 1977; Bobée, 1975), la función GVE con los métodos de momentos, sextiles, máxima verosimilitud y momentos L (Kite, 1977; Stedinger et al., 1993; Rao y Hamed, 2000), y la distribución LOG únicamente con el método de momentos L (Hosking y Wallis, 1997). En cada modelo, los resultados del método que condujo al menor error estándar de ajuste (EEA) se muestran en el Cuadro 5 y se adoptan los del modelo GVE.

Estimación de las sequías anuales con el índice SPI

El procesamiento estadístico del registro de precipitación mensual de la estación Fresnillo en Zacatecas, utilizando una duración de 12 meses condujo a un número de secuencias de 757 (ecuación 1), cuyo ajuste de la distribución Gamma Mixta definió un parámetro de forma (α) de 11.95301 y uno de escala (β) de 34.55477 mm. Para la aplicación de la ecuación 10 se desarrolló un algoritmo para la expansión en serie, el cual concluye cuando cada término de tal secuencia es inferior a 10^-7. Los valores del índice SPI estimados con las ecuaciones 12 o 13, se muestran en la quinta columna del Cuadro 4 y en la sexta se tiene su designación respectiva (TS).

Estimación de las sequías anuales con el índice RDI

Para estimar este índice se requiere la estimación previa de la evapotranspiración potencial mensual de cada año (ETP_jⁱ) , lo cual se realizó con base en la segunda fórmula de Hargreaves—Samani, que es (Hargreaves-Samani, 1991; Campos, 2005):

donde RA_j es la radiación extraterrestre que está en función del mes del año y de la latitud del lugar, expresada en milímetros de agua evaporada; Ttⁱ_j, T _jⁱ y t ⁱ_j son las temperaturas media, máxima y mínima en °C del mes j del año i. Para estimar RA_j se usó la aproximación que propuso Campos (2002, 2005). En la séptima columna del Cuadro 4 están los valores de ETP ⁱ estimados con la ecuación 19, usando los respectivos registros de temperaturas Tt, T y t de la estación Fresnillo de enero de 1949 a diciembre de 2012. Como tales registros presentan pocos datos faltantes, por simplicidad éstos se adoptaron, igual a su valor promedio mensual.

Los resultados de la aplicación de las ecuaciones 16 y 18 están en las columnas 8 y 9 del Cuadro 4. La obtención de los índices anuales estandarizados (RDI_ST) se realizó con base en los estadísticos siguientes: = —1.573713 y Sy=0.3133357. Y en la columna 10 del Cuadro 4 está la designación del tipo de sequía (TS).

Contraste de las estimaciones de las sequías anuales

A escala global, los tres índices detectan el mismo número de sequías (31 el DPP, 33 el SPI y 31 el RDI_ST). A escala individual, el índice DPP encuentra varios años con sequía ligera no detectados con los otros dos índices, por ejemplo, en 1958, 1971, 1975, 1990, 2000 y 2007. Algunos de estos años tienen lluvia anual alta, pero su distribución mensual difiere del patrón que definen los valores medianos (Cuadro 3). Además, en el caso analizado, el índice DPP no encontró sequías extremas (DAⁱ> 202.5 mm). Los índices SPI y RDI_ST tienen resultados bastante similares en número y en tipo de sequía anual. En 1950, 1953, 1970 y 1978 el índice SPI detecta sequía ligera pero el RDI_ST no lo hace; lo contrario ocurre en 1985 y 1993. Ambos índices detectan los mismos periodos de sequías continuas en 1952 a 1956, 1960 a 1965, 1997 a 1999 y 2009 a 2012. También los dos índices coinciden en un lapso amplio de sequías intercaladas de 1969 a 1989. En 1997 y 1998 con el índice RDI_ST se obtienen sequías más severas que con el índice SPI.

En la Figura 1 se muestra la comparación de los 64 valores anuales de los índices SPI y RDI_ST, del Cuadro 4. Hay una correspondencia general aceptable, con sólo seis valores que no concuerdan en signo y son los más cercanos a cero. Con respecto a las sequías, tercer cuadrante de la Figura 1, el índice SPI obtiene magnitudes mayores; así los puntos de cada año quedan por arriba de la recta a 45°, excepto en ocho años, los más extremos 1982 y 2011.

CONCLUSIONES

Los años con sequía y su severidad según el índice DPP, no corresponden plenamente a los resultados de los índices SPI y RDI_ST. Esto se debe a que toma en cuenta la ocurrencia estacional de la lluvia y por ello ratifica o complementa las deducciones de estos últimos. Los resultados de los índices SPI y RDI_ST son semejantes; por lo cual se recomiendan para la detección de los años con sequía.

Cuando se disponga de información de temperaturas mensuales, se debe aplicar el índice RDI_ST ya que involucra más variables asociadas con la ocurrencia de las sequías, como es un mayor poder de evaporación de la atmósfera debido a las temperaturas altas.

AGRADECIMIENTOS

Se aprecian las correcciones sugeridas por los dos árbitros anónimos y los comentarios del editor asignado, pues todo ello ayudó a mejorar el trabajo y a definir sus alcances y limitaciones.

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