Coarse graining in genetic dynamics: A renormalization group analysis of a simple genetic system

C.R. Stephens*, C. Chryssomalakos**, and Adolfo Zamora***

Instituto de Ciencias Nucleares, U.N.A.M, Circuito Exterior, Apartado Postal 70-543, México D.F. 04510, México. * stephens@nuclecu.unam.mx, ** chryss@nuclecu.unam.mx, ***zamora@nuclecu.unam.mx

Recibido el 19 de septiembre de 2003; ]]> Aceptado el 15 de abril de 2004.

Abstract

We show how the idea of coarse graining can be applied fruitfully to the area of genetic dynamics, both in the context of "effective" theories -leading to more appropriate effective degrees of freedom with which to describe the dynamics - as well as in terms of integrating out degrees of freedom, using the Renormalization Group as a systematic calculational scheme. Specializing to dynamics in the presence of selection and mutation we show how the Renormalization Group can be implemented at the level of a transfer matrix-type description. Further, we present an explicit exact RG transformation for the simple case of a one gene-two allele system, solving for its fixed points and the asymptotic behaviour of the system in the vicinity of these fixed points.

Keywords: Renormalization Group, Genetic Dynamics, Coarse graining, Selection, Mutation, Evolution.

Resumen

Se muestra como la idea de "coarse graining" puede ser aplicado exitosamente al area de la dinámica genética, tanto en el contexto de teorías "efectivas" - llevando a grados de libertad mas adecuados con que describir la dinámica - como en términos de la integración de grados de libertad, usando el grupo de renormalización como un esquema sistemático computacional. Particularizando la dinámica en la presencia de mutación y selección mostrando como el grupo de renormalización puede ser implementado al nivel de una descripción de tipo matriz de transferencia. Adicionalmente, se presenta una transformación del grupo de renormalización exacta y explícita para el caso de un sistema de un gen y dos alelos, solucionandola para obtener los puntos fijos correspondientes y el comportamiento asintótico del sistema cerca a estos puntos fijos.

Descriptores: Grupo de renormalización, dinámica genética, selección, mutación, evolución.

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Acknowledgements

The work of CRS was supported by Conacyt grants 30422-E and 41221-F. CRS is grateful to Riccardo Poli, Alden Wright and Michael Vose for useful conversations. AZ is grateful for the hospitality of the Instituto de Ciencias Nucleares, UNAM.

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